հեղինակ՝ էվկլիդես |
Pages 6-30
Պնդում 27
Դա անհնար է [Պնդում 1.16]: Հետևաբար AB և CD ուղիղները՝ գծվելով, չեն հատվի B և D ուղղությամբ։ Նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ դրանք չեն հատվի A և C ուղղություններվ։ Բայց ուղիղները, որոնք չեն հատվում ոչ մի ուղղությամբ, զուգահեռ են [Սահմանում 1.23]: Հետևաբար, AB և CD ուղիղները զուգահեռ են։ Հետևաբար, եթե երկու ուղիղներ հատող ուղիղը ստեղծում է հավասար խաչադիր անկյուններ, ապա այդ երկու ուղիղները զուգահեռ են։ Սա այն էր, ինչ պետք էր ապացուցել։
Pages 31-48
Պնդում 28
Եթե երկու ուղիղները հատող ուղիղը կազմում է արտաքին անկյուն, որը հավասար է ներքին և հակադիր անկյանը նույն կողմի վրա կամ նույն կողմի վրա գտնվող անկյունների գումարը հավասարեցնում է երկու ուղիղ անկյունների, ապա այդ երկու ուղիղները զուգահեռ են։
EF ուղիղը, որը հատում է AB և CD ուղիղները, կազմում է EGB արտաքին անկյուն, որը հավասար է ներքին և հակադիր GHD անկյանը, կամ նույն կողմի վրա գտնվող BGH և GHD անկյունների գումարը հավասարեցնում է երկու ուղիղ անկյունների։ Պնդումն այն է, որ AB և CD ուղիղները զուգահեռ են։
Առաջին դեպքում EGB անկյունը հավասար է GHD անկյանը, բայց EGB անկյունը նաև հավասար է AGH անկյանը [Պնդում 1.15], հետևաբար, AGH անկյունը հավասար է GHD անկյանը։ Դրանք նաև խաչադիր անկյուններ են։ Հետևաբար, AB և CD ուղիղները զուգահեռ են [Պնդում. 1.27]։
Երկրորդ դեպքում, կրկին, BGH և GHD անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների, ինչպես նաև AGH և BGH անկյունների գումարն է հավասար երկու ուղիղ անկյունների [Պնդում 1.13]։ Հետևաբար, AGH և BGH անկյունների գումարը հավասար է BGH և GHD անկյունների գումարին։ Երկուսից էլ հանենք BGH անկյունը։ Հետևաբար, մնացորդ AGH անկյունը հավասար է մնացորդ GHD անկյանը և դրանք խաչադիր անկյուններ են։ Հետևաբար, AB և CD ուղիղները զուգահեռ են [Պնդում 1.27]։
Հետևաբար, եթե երկու ուղիղները հատող ուղիղը կազմում է արտաքին անկյուն, որը հավասար է ներքին և հակադիր անկյանը նույն կողմի վրա կամ նույն կողմի վրա գտնվող անկյունների գումարը հավասարեցնում է երկու ուղիղ անկյունների, ապա այդ երկու ուղիղները զուգահեռ են։ Սա այն էր, ինչ պետք էր ապացուցել։