Տարերք/Գիրք 12

Բուրգերը, որոնք ունեն միևնույն բարձրություն և ունեն բազմանկյուն հիմքեր, միմյանց համար որպես հիմքեր են հանդիսանում:

Դիտարկենք նույն բարձրության բուրգեր, որոնց հիմքերն են ABCDE և FGHKL բազմանկյունները, իսկ գագաթները՝ M և N կետերը (համապատասխանաբար): Ինչպես ABCDE հիմքը նման/հարաբերվում է է FGHKL-ին է, այնպես էլ ABCDEM բուրգը նման է FGHKLN բուրգին:

Թող AC, AD, FH և FK հատվածները միացված լինեն: Հետևաբար, քանի որ ABCM-ը և ACDM-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյունաձև հիմքեր և հավասար բարձրություն, դրանք միմյանց նկատմամբ համեմատելի են իրենց հիմքերի չափերով [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, ինչպես ΑΒC հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCM-ն է հարաբերվում ACDM բուրգին: Եվ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCD հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCDM է հարաբերվում ACDM բուրգին [Prop. 5.18]: Բայց, քանի որ ACD հիմքն է ահրաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ նաև ACDM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, հավասարության միջոցով, ABCD հիմքի հարաբերությաւոնը ADE հիմքին հավասար է ABCDM բուրգի հարաբորուտըանը ADEM բուրգին [Պնդ. 5.22]: Եվ, դարձյալ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCDE հիմքն է հարաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 5.18]: Այսպիսով, նման կերպով կարելի է նաև ցույց տալ, որ ինչպես FGHKL հիմքն է հարաբերվում FGH հիմքին, այնպես էլ FGHKLN բուրգն է հարաբերվում FGHN բուրգին: Եվ քանի որ ADEM-ը և FGHN-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր և հավասար բարձրություն, հետևաբար, ADE և FGH հիմքերի հարաբերությունը հավասար է ADEM և FGHN բուրգերի հարաբերությանը [Պնդ. 12.5]։ Բայց, ինչպես ADE հիմքն է հարաբերվում ABCDE հիմքին, այնպես էլ ADEM բուրգն է հարաբերվում ABCDEM բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGH հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Բայց, ավելին, ինչպես FGH հիմքն է հարաբերվում FGHKL հիմքինին, այնպես էլ FGHN բուրգն է նույնպես հարաբերվում FGHKLN բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGHKL հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHKLN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Ինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:

Եռանկյուն հիմք ունեցող ցանկացած պրիզմա բաժանվում է երեք բուրգերի, որոնց եռանկյուն հիմքերը հավասար են միմյանց:

Դիտարկենք պրիզմա, որի հիմքը ABC եռանկյունին է, իսկ հակառակ հարթությունը DEF: Ենթադրենք, որ ABCDEF պրիզման բաժանված է երեք բուրգերի, որոնք ունեն միմյանց հավասար եռանկյուն հիմքեր:

Թող BD-ն, EC-ը և CD-ն միացված լինեն: Քանի որ ABED-ը զուգահեռագիծ է, իսկ BD-ն նրա անկյունագիծն է, հետևաբար ABD եռանկյունը հավասար է EBD եռանկյունին [Պնդ. 1.34]: Եվ այսպես, բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, հավասար է բուրգին, որի հիմքը DEB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը [Պնդ. 12.5]։ Բայց բուրգը, որի հիմքը DEB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, նույնն է, ինչ բուրգը, որի հիմքը EBC եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը։ Որովհետև դրանք սահմանափակված են նույն հարթություններում: Եվ այսպես, բուրգը, որի հիմքը ABD է, իսկ գագաթը՝ C կետը, հավասար է բուրգին, որի հիմքը EBC է, իսկ գագաթը՝ D կետը: Կրկին, քանի որ FCBE-ն զուգահեռագիծ է, իսկ CE-ն նրա անկյունագիծն է, CEF եռանկյունը հավասար է CBE եռանկյանը [Պնդ. 1.34]: Եվ այսպիսով, բուրգը, որի հիմքը BCE եռանկյունն է, և գագաթը D կետը, հավասար է բուրգին, որի հիմքը ECF եռանկյունն է, իսկ գագաթը D կետը [Պնդ. 12.5]։ Եվ բուրգը, որի հիմքը BCE եռանկյունն է, իսկ գագաթը D կետը, ցույց տրվեց, որ հավասար է այն բուրգին, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, և գագաթը C կետն է: Այսպիսով, բուրգը, որի հիմքը CEF եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը, նույնպես հավասար է բուրգին, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթնակետը C կետն է։ Այսպիսով, ABCDEF պրիզման բաժանվել է երեք բուրգերի, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր, որոնք հավասար են միմյանց:

Եվ քանի որ բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ C կետը, նույնն է, ինչ բուրգը, որի հիմքը CAB եռանկյունն է, իսկ գագաթը՝ D կետը, դրանք սահմանափակված են նույն հարթություններում։ Իսկ բուրգը, որի հիմքը ABD եռանկյունին է, իսկ գագաթը՝ C կետը, ցույց տրվեց, որ այն պրիզմայի մեկ երրորդն է, որի հիմքը ABC եռանկյունն է, և հակառակ հարթությունը DEF, հետևաբար բուրգը, որի հիմքը ABC եռանկյունն է, և D կետի գագաթը, նույնպես բուրգի մեկ երրորդն է, որն ունի նույն հիմքը, ABC եռանկյունը և հակառակ հարթություն DEF:

Եզրակացություն

Եվ սրանից պարզ է դառնում, որ ցանկացած բուրգ պրիզմայի երրորդ մասն է, որն ունի իր նույն հիմքը և հավասար բարձրություն։ Իինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:

Նման բուրգերը, որոնք նույնպես ունեն եռանկյուն հիմքեր, հարաբերվում են իրենց համապատասխան կողմերի խորանարդ հարաբերությամբ:

Թող լինեն նման և նույն ձևով դասավորված բուրգեր, որոնց հիմքերը ABC և DEF եռանկյուններն են, իսկ գագաթները՝ G և H կետերը (համապատասխանաբար): Ստուգենք արդյո՞ք ABCG բուրգի հարաբերությունը DEFH բուրգին հավասար է BC-ի հարաբեությանը EF-ին ըստ խորանարդ աստիճանի:

Թող զուգահեռանիստ պինդ մարմինները BGML և EHQP ամփոփ լինեն: Եվ քանի որ ABCG բուրգը նման է DEFH բուրգին, հետևաբար ABC անկյունը հավասար է DEF անկյանը, իսկ GBC-ն՝ HEF-ին և ABG-ն՝ DEH-ին: Եվ ինչպես AB-ն է հարաբերվում DE-ին, այնպես էլ BC է հարաբերվում EF-ին, իսկ BG-ն՝ EH-ին [Սահմանում. 11.9]։ Եվ քանի որ AB-ն DE-ին է հարաբերվում, ուստի BC հարաբերվում է EF-ին, և (այդպիսով) հավասար անկյունների շուրջ կողմերը համաչափ են, BM զուգահեռագիծն այսպիսով նման է EQ զուգահեռագծին: Այսպիսով, նույն (պատճառներով) BN-ն նույնպես նման է ER-ին, իսկ BK-ն՝ EO-ին: Այսպիսով, երեք զուգահեռագծերը MB, BK և BN նման են երեք զուգահեռագծերին EQ, EO, ER (համապատասխանաբար): Բայց երեք զուգահեռագծեր MB, BK և BN-ը և’ ) հավասար են, և’ նման են երեք հակադիր զուգահեռագծերին, իսկ երեք զուգահեռագծեր EQ, EO և ER և’ հավասար, և’ նման են երեք հակադիր զուգահեռագծերին [Պնդ. 11.24]: Այսպիսով, պինդ մարմիններ BGML և EHQP-ը սահմանափակված են հավասար թվով նման (և նմանապես դասավորված) հարթություններում: Այսպիսով, պինդ BGML-ը նման է պինդ EHQP-ին [Սահմ. 11.9]։ Իսկ նման զուգահեռանիստ պինդ մարմինները ունեն համապատասխան կողմերի խորանարդ հարաբերությունը [Պնդ. 11.33]: Այսպիսով, պինդ մարմին BGML-ի հարաբերությունը պինդ մարմին EHQP-ին խորանարդային հարաբերակցությամբ, նույնն է, ինչ համապատասխան BC կողմի հարաբերությունը EF կողմին: Եվ ինչպես պինդ մարմին BGML-ն է հարաբերվում պինդ մարմին EHQP-ին, այնպես էլ ABCG բուրգն է հարաբերվում DEFH բուրգին, քանի որ բուրգը պինդ մարմնի վեցերորդ մասն է, պրիզմայի հաշվին, լինելով զուգահեռանիստ պինդ մարմնի կեսը [Պնդ. 11.28]՝ լինելով նաև բուրգի եռապատիկ [Պնդ. 12.7]: Այսպիսով, ABCG բուրգը նույնպես պետք է ունենա բուրգի DEFH խորանարդ հարաբերակցությունը, ինչպես BC -ի հարաբերությունը EF-ին: (Սա հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ):

Եզրակացություն

Այսպիսով, սրանից պարզ է նաև, որ բազմանկյուն հիմքեր ունեցող նման բուրգերը միմյանց նկատմամբ ունեն իրենց համապատասխան կողմերի խորանարդային հարաբերակցությունը։ Որովհետև դրանք բաժանելով իրենց մեջ պարունակվող բուրգերի, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր, ընդ որում հիմքերը նույնպես պաժանված նման եռանկյունների, որոնք և՛ թվով հավասար են, և՛ համընկնում են ամբողջին [Պնդ. 6.20]: Ինչպես առաջին բուրգում (ունեցող բազմանկյուն հիմք) եռանկյուն հիմք ունեցող առանձին բուրգը հարաբերակցվում է երկրորդ բուրգում (նաեւ ունենալով բազմանկյուն հիմք) եռանկյուն հիմք ունեցող առանձին բուրգին, այնպես էլ առաջին բուրգում բոլոր եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգերի գումարը հարաբերակցվում է երկրորդ բուրգում բոլոր եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգերի գումարին [Պնդ. 5.12]։ Սա նշանակում է, որ ամբողջ առաջին բուրգը՝ բազմանկյուն հիմքով, համաչափ է երկրորդ բուրգին՝ բազմանկյուն հիմքով։ Եվ եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգը հարաբերակցվում է եռանկյուն հիմք ունեցող բուրգին կողմերի համապատասխան խորացված հարաբերությամբ [Պնդ. 12.8]։ Հետևաբար, բազմանկյուն հիմք ունեցող բուրգը նույնպես հարաբերակցվում է նման հիմք ունեցող բուրգին կողմի և համապատասխան կողմի խորացված հարաբերությամբ։

Հավասար բուրգերի հիմքերը, որոնք նույնպես ունեն եռանկյունաձև հիմքեր, փոխադարձաբար համեմատական են իրենց բարձրություններին: Իսկ այն բուրգերը, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր, որոնց հիմքերը փոխադարձաբար համեմատական ​​են իրենց բարձրություններին, հավասար են։

Որովհետև թող լինեն (երկու) հավասար բուրգեր, որոնք ունեն ABC և DEF եռանկյունաձև հիմքեր, իսկ գագաթներով G և H կետերը (համապատասխանաբար): Ես ասում եմ, որ ABCG և DEFH բուրգերի հիմքերը փոխադարձաբար համաչափ են իրենց բարձրություններին, և (այսպես) ինչպես ABC հիմքը հավասար է DEF-ին, այնպես էլ DEFH բուրգի բարձրությունը (է) ABCG բուրգի բարձրությանը:

Որովհետև զուգահեռանիստ մարմինները՝ BGML և EHQP, լրացված են: Եվ քանի որ ABCG բուրգը հավասար է DEFH բուրգին, և զուգահեռանիստ BGML մարմինը վեց անգամ մեծ է ABCG բուրգից (տե՛ս նախորդ պնդումը), և զուգահեռանիստ EHQP (է) վեց անգամ DEFH բուրգից, ապա զուգահեռանիստ BGML-ը հավասար է զուգահեռանիստ EHQP-ին: Իսկ հավասար զուգահեռանիստ մարմինների հիմքերը հակադարձորեն համեմատական են դրանց բարձրություններին [Պնդ. 11.34]: Հետևաբար, ինչպես BM հիմքն է EQ հիմքին, այնպես էլ զուգահեռանիստ EHQP-ի բարձրությունն է զուգահեռանիստ BGML-ի բարձրությանը: Բայց, ինչպես BM հիմքն է EQ հիմքին, այնպես էլ ABC եռանկյունին է DEF եռանկյունին [Պնդ. 1.34]: Եվ, հետևաբար, ինչպես ABC եռանկյունին է DEF եռանկյունին, այնպես էլ զուգահեռանիստ EHQP-ի բարձրությունն է զուգահեռանիստ BGML-ի բարձրությանը [Պնդ. 5.11]: Բայց զուգահեռանիստ EHQP-ի բարձրությունը նույնն է, ինչ DEFH բուրգի բարձրությունը, իսկ զուգահեռանիստ BGML-ի բարձրությունը նույնն է, ինչ ABCG բուրգի բարձրությունը: Հետևաբար, ինչպես ABC հիմքն է DEF հիմքին, այնպես էլ DEFH բուրգի բարձրությունն է ABCG բուրգի բարձրությանը: Հետևաբար, ABCG և DEFH բուրգերի հիմքերը հակադարձորեն համեմատական են դրանց բարձրություններին:

Ուստի, թող ABCG և DEFH բուրգերի հիմքերը լինեն հակադարձ համեմատական դրանց բարձրություններին, և թող ABC հիմքն լինի DEF հիմքին այնպես, ինչպես DEFH բուրգի բարձրությունն է ABCG բուրգի բարձրությանը: Ասում եմ, որ ABCG բուրգը հավասար է DEFH բուրգին:

Քանի որ նույն կառուցվածքով, քանի որ ABC հիմքն է DEF հիմքին, այնպես էլ DEFH բուրգի բարձրությունն է ABCG բուրգի բարձրությանը, բայց քանի որ ABC հիմքն է DEF հիմքին, այնպես էլ զուգահեռանիստ BM-ն է զուգահեռանիստ EQ-ին [Պնդ. 1.34], ուստի ինչպես զուգահեռանիստ BM-ն է զուգահեռանիստ EQ-ին, այնպես էլ DEFH բուրգի բարձրությունն է նաև ABCG բուրգի բարձրությանը [Պնդ. 5.11]: Բայց, DEFH բուրգի բարձրությունն նույնն է, ինչ զուգահեռանիստ EHQP-ի բարձրությունը, իսկ ABCG բուրգի բարձրությունն նույնն է, ինչ զուգահեռանիստ BGML-ի բարձրությունը: Ուստի, ինչպես BM հիմքն է EQ հիմքին, այնպես էլ EHQP զուգահեռանիստի բարձրությունն է BGML զուգահեռանիստի բարձրությանը: Իսկ այն զուգահեռանիստները, որոնց հիմքերը հակադարձ համեմատական են իրենց բարձրություններին, հավասար են [Պնդ. 11.34]: Ուստի, BGML զուգահեռանիստը հավասար է EHQP զուգահեռանիստին: Իսկ ABCG բուրգը BGML-ի վեցերորդ մասն է, իսկ DEFH բուրգը EHQP զուգահեռանիստի վեցերորդ մասն է: Ուստի, ABCG բուրգը հավասար է DEFH բուրգին:

Ուստի, հավասար բուրգերի հիմքերը, որոնք նաև եռանկյունի հիմքեր ունեն, հակադարձ համեմատական են իրենց բարձրություններին: Իսկ այն բուրգերը, որոնք ունեն եռանկյունի հիմքեր և որոնց հիմքերը հակադարձ համեմատական են իրենց բարձրություններին, հավասար են: Այսինքն հենց այն բանը, որը պետք է ապացուցվեր:

Յուրաքանչյուր կոն գլանի երրորդ մասն է, որն ունի դրա հիմքը և հավասար բարձրությունը:

Թող լինի կոն նույն հիմքով ինչ գլանը, (մասնավորապես) շրջանագիծ ABCD-ն և հավասար բարձրություն: Ես ասում եմ, որ կոնը գլանի երրորդ մասն է, այսինքն՝ գլանը հավասար է երեք անգամ է կոնի ծավալին։

Քանի որ եթե գլանիկը կոնից երեք անգամ մեծ չլինի, ապա գլանիկը կլինի կամ երեք անգամից ավել մեծ, կամ երեք անգամից պակաս (կոնից): Թող նախ այն լինի երեք անգամից ավել մեծ (կոնից): Եվ թող ABCD քառակուսին ներգծված լինի ABCD շրջանի մեջ [Պնդ. 4.6]: Ուրեմն, ABCD քառակուսին ավելի քան կեսն է ABCD շրջանի [Պնդ. 12.2]: Եվ թող գլանիկի բարձրությանը հավասար բարձությամբ պրիզմա կառուցված լինի ABCD քառակուսու վրա: Ուրեմն, կառուցված պրիզման գլանիկից ավելի քան կեսն է, քանի որ եթե մենք նաև արտագծենք քառակուսի ABCD շրջանի շուրջ [Պնդ. 4.7], ապա ABCD շրջանի ներգծված քառակուսին կեսն է արտագծված քառակուսու: Եվ դրանց վրա կառուցված մարմինները զուգահեռանիստ պրիզմաներ են՝ հավասար բարձրություններով: Իսկ զուգահեռանիստ մարմինները, որոնք ունեն նույն բարձրությունը, միմյանց հետ հարաբերակցում են իրենց հիմքերի նմանությամբ [Պնդ. 11.32]: Ուստի ABCD քառակուսու վրա կառուցված պրիզման կեսն է արտագծված քառակուսու վրա կառուցված պրիզմայի: Իսկ գլանիկը պակաս է արտագծված քառակուսու վրա կառուցված պրիզմայից: Ուստի ABCD քառակուսու վրա կառուցված պրիզման, որը գլանիկի բարձրության հետ նույնն է, գլանիկից ավելի քան կեսն է:

Թող AB, BC, CD և DA շրջագծերը կեսից կտրած լինեն E, F, G և H կետերում: Եվ թող AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH և HA հատվածները միացված լինեն: Ուստի AEB, BFC, CGD և DHA եռանկյուններից յուրաքանչյուրն ավելի քան կեսն է իր շուրջ գտնվող ABCD շրջանի հատվածից, ինչպես արդեն ցույց է տրվել [Պնդ. 12.2]: Թող պրիզմաներ՝ գլանիկի բարձրությանը հավասար, կառուցված լինեն AEB, BFC, CGD և DHA եռանկյունների վրա: Իսկ կառուցված պրիզմաներից յուրաքանչյուրը գլանիկի իրենց շուրջ գտնվող հատվածի կեսից ավելին է, քանի որ եթե գծենք AB, BC, CD և DA ուղղահայացներին զուգահեռ գծեր՝ անցնող E, F, G և H կետերով և լրացնենք զուգահեռագծերը AB, BC, CD և DA վրա, ապա AEB, BFC, CGD և DHA եռանկյունների վրա կառուցված պրիզմաները յուրաքանչյուրը կեսն են կառուցված զուգահեռանիստների: Իսկ գլանիկի հատվածները պակաս են կառուցված զուգահեռանիստներից: Ուստի AEB, BFC, CGD և DHA եռանկյունների վրա կառուցված պրիզմաները նույնպես գլանիկի իրենց շուրջ հատվածների կեսից ավելին են:

Ուստի, եթե մնացած շրջագծերը կեսից կտրվեն, և հատվածները միացվեն, և յուրաքանչյուր եռանկյունի վրա գլանիկի բարձրության պրիզմաներ կառուցվեն, և սա շարունակաբար կրկնվի, ապա ի վերջո կմնան գլանիկի որոշ հատվածներ, որոնց գումարը պակաս է այն ավելցուկից, որով գլանիկը գերազանցում է կոնից երեք անգամին [Պնդ. 10.1]: Թող դրանք մնացած լինեն և կոչվեն AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH և HA: Ուստի մնացած պրիզման, որի հիմքը բազմանկյուն AEBFCGDH է, և բարձրությունը գլանիկի բարձրությանը հավասար է, երեք անգամից ավելի մեծ է կոնից: Բայց պրիզման, որի հիմքը բազմանկյուն AEBFCGDH է, և բարձրությունը գլանիկի բարձրության հավասար է, երեք անգամ մեծ է այն բուրգից, որի հիմքը բազմանկյուն AEBFCGDH է, իսկ գագաթը նույնն է, ինչ կոնինը [Պնդ. 12.7 հ.]: Ուստի բուրգը, որի հիմքը բազմանկյուն AEBFCGDH է, իսկ գագաթը նույնն է, ինչ կոնինը, ավելի մեծ է, քան հիմքը ABCD շրջան ունեցող կոնը: Բայց նաև ավելի փոքր է, քանի որ ներառված է նրա մեջ: Սա անհնար է: Ուստի գլանիկը չի գերազանցում կոնին երեք անգամ:

Այսպիսով, գլանն էլ չէ պակաս երեք անգամ կոնիից։

Եվ այսպես, եթե հնարավոր է, թող գլանն ավելի քիչ լինի, քան երեք անգամ կոնիից։ Ուրեմն՝ հակադարձ, կոնն ավելի մեծ կլինի գլանի երրորդ մասից։ Թող ABCD քառակուսին ներգծված լինի ABCD շրջանին [Պնդ. 4.6]։ Այսպիսով, ABCD քառակուսին ավելի մեծ է ABCD շրջանի կեսից։ Թող կոնին նույն գագաթ ունեցող բուրգը կառուցված լինի ABCD քառակուսու վրա։ Այսպիսով, կառուցված բուրգն ավելի մեծ է կոնի կեսից, որովհետև նախորդիվ ցույց տվեցինք, որ եթե շրջանին արտագծենք քառակուսի [Պնդ. 4.7], ապա ABCD քառակուսին կլինի արտագծված քառակուսու կեսը [Պնդ. 12.2]։ Եվ եթե քառակուսիների վրա կառուցենք զուգահեռանիստներ, որոնք նաև կոչվում են պրիզմաներ, նույն բարձրությամբ, ինչ կոնը, ապա ABCD քառակուսու վրա կառուցված պրիզման կլինի արտագծված քառակուսու վրա կառուցված պրիզմայի կեսը։ Որովհետև դրանք համեմատական են իրենց հիմքերին [Պնդ. 11.32]։ Հետևաբար, նույնը ճիշտ է նաև երրորդ մասերի համար։ Այսպիսով, բուրգը, որի հիմքը ABCD քառակուսն է, կդառնա արտագծված քառակուսու վրա կառուցված բուրգի կեսը [Պնդ. 12.7 ճշտ.]։ Եվ արտագծված քառակուսու վրա կառուցված բուրգն ավելի մեծ է, քան կոնը, որովհետև այն ընդգրկում է այն։ Այսպիսով, բուրգը, որի հիմքը ABC'D քառակուսն է, և գագաթը նույնն է, ինչ կոնի գագաթը, ավելի մեծ է կոնի կեսից։

Թող AB, BC, CD և DA շրջանագծերը կիսով չափ բաժանվեն EF, F, G և H կետերով։ Եվ թող միացված լինեն AEF, EB, BF, FC, CG, GD, DH և HA։ Եվ այսպիսով, յուրաքանչյուր եռանկյունի՝ AEB, BFC, CGD և DHA, ավելի մեծ է իրենց համապատասխան շրջանի հատվածների կեսից [Պնդ. 12.2]։ Եվ թող կոնի գագաթին համապատասխան բուրգեր կառուցված լինեն յուրաքանչյուր եռանկյունու վրա։ Այսպիսով, նույն ձևով, յուրաքանչյուր կառուցված բուրգ ավելի մեծ է համապատասխան կոնի հատվածի կեսից։ Հետևաբար, եթե մնացած շրջագծերը կրկին բաժանվեն կիսով չափ, և միացվեն ուղիղ գծերով, և կոնի գագաթին համապատասխան բուրգեր կառուցվեն յուրաքանչյուր եռանկյունու վրա, և սա արվի շարունակաբար, ապա մենք (վերջապես) կթողնենք կոնի որոշ հատվածներ, որոնց գումարը կպակասի գլանի երրորդ մասից գերազանցող չափից [Պնդ. 10.1]։ Թող դրանք թողնված լինեն, և թող լինեն հատվածներ՝ AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH և HA-ի վրա։ Այսպիսով, մնացած բուրգը, որի հիմքը AEBFCGDH բազմանկյունն է, և գագաթը նույնն է, ինչ կոնի գագաթը, ավելի մեծ է գլանի երրորդ մասից։ Բայց բուրգը, որի հիմքը AEBFCGDH բազմանկյունն է, և գագաթը նույնն է, ինչ կոնի գագաթը, գլանի երրորդ մասն է, որի հիմքը նույն բազմանկյունն է և բարձրությունը նույնն է, ինչ գլանի բարձրությունը [Պնդ. 12.7 ճշտ.]։

Այսպիսով, AEBFCGDH բազմանկյունի հիմքով և գլանի նույն բարձրությամբ պրիզման ավելի մեծ է, քան ABCD շրջանի հիմքով գլանը։ Բայց (այն) նաև փոքր է, որովհետև ընդգրկված է գլանի կողմից։ Սա անհնար է։ Այսպիսով, գլանն էլ չի կարող լինել պակաս երեք անգամ կոնիից։ Եվ արդեն ցույց է տրվել, որ այն չի կարող լինել ավելի մեծ, քան երեք անգամ կոնը։ Այսպիսով, գլանը (է) երեք անգամ կոնը։ Հետևաբար, կոնը գլանի երրորդ մասն է։

Այսպիսով, յուրաքանչյուր կոն գլանի երրորդ մասն է, որն ունի նույն հիմքը, ինչ այն և հավասար բարձրություն: Սա հենց այն, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:

Կոները և գլանները, որոնք ունեն նույն բարձրությունը, իրար հարաբերակցվում են իրենց հիմքերի հարաբերությամբ։

Թող լինեն նույն բարձրությամբ կոներ և գլաններ, որոնց հիմքերը [են] ABCD և EFGH շրջանները, առանցքները՝ KL և MN, և հիմքերի տրամագծերը՝ AC և EG (համապատասխանաբար)։ Ասում եմ, որ ինչպես ABCD շրջանն է EFGH շրջանի հետ հարաբերակցվում, այնպես էլ AL կոնը՝ EN կոնին։

Եթե հնարավոր է, թող ABCD շրջանը EFGH շրջանի հետ հարաբերակցվում է այնպես, ինչպես AL կոնը՝ որոշ մարմնի, որը կամ ավելի փոքր է, կամ ավելի մեծ, քան EN կոնը։ Նախ թող այդ հարաբերակցությունը լինի ավելի փոքր մարմնի, Օ-ի հետ։ Եվ թող X մարմինը հավասար լինի այն մեծությանը, որով Օ մարմինը պակաս է EN կոնից։ Այսպիսով, EN կոնը հավասար է Օ և X մարմինների գումարին։ Թող EFGH շրջանի մեջ գրառված լինի EF'GH քառակուսին [Պնդ. 4.6]։ Այսպիսով, քառակուսին ավելի մեծ է, քան շրջանի կեսը [Պնդ. 12.2]։ Թող նույն բարձրությամբ կոնից, որը հիմնված է EF'GH քառակուսու վրա, կազմված լինի բուրգ։ Այսպիսով, կազմված բուրգը ավելի մեծ է կոնից, քանի որ, եթե շրջանի շուրջ արտագծենք քառակուսի [Պնդ. 4.7], և նրա վրա նույն բարձրությամբ բուրգ կազմենք, ապա գրառված բուրգը կլինի արտագծված բուրգի կեսը։ Քանի որ դրանք իրար հետ հարաբերակցվում են իրենց հիմքերի նմանությամբ [Պնդ. 12.6], իսկ կոնը պակաս է արտագծված բուրգից։

Թող EF, FG, GH և HE աղեղները բաժանված լինեն երկու մասի P, Q, R և S կետերում։ Եվ թող միացված լինեն HP, PE, EQ, QF, FR, RG, GS և SH։ Այսպիսով, HPE, EQF, FRG և GSH եռանկյուններից յուրաքանչյուրը մեծ է իրենց համապատասխան շրջանային հատվածների կեսից [Պնդ. 12.2]։ Թող նույն բարձրությամբ կոնից կազմված լինեն բուրգեր՝ հիմնված յուրաքանչյուր եռանկյան վրա։ Եվ այսպիսով, կազմված բուրգերից յուրաքանչյուրը մեծ է համապատասխան շրջանային հատվածի կեսից [Պնդ. 12.10]։

Այսպիսով, եթե մնացած աղեղները կրկին բաժանվեն կեսերի, ուղիղ գծեր միացվեն, և բուրգեր կազմվեն, ապա վերջապես կմնան կոնից հատվածներ, որոնց գումարը պակաս է X մարմնի ավելցուկից [Պնդ. 10.1]։ Թող դրանք մնան՝ հիմնված HPE, EQF, FRG և GSH եռանկյունների վրա։ Այսպիսով, մնացած բուրգը, որի հիմքը HPEQFRGS բազմանկյունն է, իսկ բարձրությունը՝ կոնին հավասար, ավելի մեծ է Օ մարմնից [Պնդ. 6.18]։

Հետևաբար, որպես հակասություն, պարզվեց, որ AL կոնը չի կարող հարաբերակցվել Օ մարմնի հետ։ Այսպիսով, հաստատվեց, որ կոները և գլանները, որոնք ունեն նույն բարձրությունը, իրար հետ հարաբերակցվում են իրենց հիմքերի հարաբերությամբ։

Ուստի, ես ասում եմ, որ ոչ ոք չի կարող ասել, թե շրջան ABCD-ը շրջան EFGH-ին համեմատած, ինչպես կոն AL-ը համեմատած որևէ մարմնի, որը ավելի մեծ է քան կոնե EN-ը:

Որպեսզի, եթե հնարավոր է, թող այն (նման հարաբերությամբ) լինի (ինչ-որ) մեծ (մարմին), O: Այսպիսով, հակառակաբար, ինչպես ABCD շրջանագիծն է EFGH շրջանագծի նկատմամբ, այնպես էլ մարմին O-ն է կոն AL-ի նկատմամբ [Պնդ. 5.7 շտկում]: Բայց, ինչպես մարմին O-ն է կոն AL-ի նկատմամբ, այնպես էլ կոն EN-ն է (մի տեսակ) մարմնի նկատմամբ, որը փոքր է կոն AL-ից [Պնդ. 12.2 մոտ.]: Եվ այսպես, ինչպես EFGH շրջանագիծն է ABCD շրջանագծի նկատմամբ, այնպես էլ կոն EN-ն է (մի տեսակ) մարմնի նկատմամբ, որը փոքր է կոն AL-ից: Միևնույնն է, դա անհնար էր: Այսպիսով, ABCD շրջանագիծը չի համապատասխանում EFGH շրջանագծին, ինչպես կոն AL-ն է (մի տեսակ) մարմնի նկատմամբ, որը մեծ է կոն EN-ից: Եվ, ինչպես ցույց տրված էր, ոչ էլ (նման հարաբերությամբ) այն համապատասխանում է (ինչ-որ) փոքր մարմնի: Այսպիսով, ինչպես ABCD շրջանագիծն է EFGH շրջանագծի նկատմամբ, այնպես էլ կոն AL-ն է կոն EN-ի նկատմամբ:

Բայց, ինչպես կոնը (է) կոնին, այնպես էլ գլանը (է) գլանին: Մանրամասն, ամեն մեկը երեք անգամ է յուրաքանչյուրին [Պնդ. 12.10]: Այսպիսով, ABCD շրջանագիծը նույնպես համապատասխան է EFGH շրջանագծին, ինչպես (գլանների հարաբերությունը) նրանց վրա (որոնք ունեն) նույն բարձրությունը:

Այսպիսով, նույն բարձրություն ունեցող կոները և գլանները իրար նկատմամբ են ինչպես իրենց բազաները: Իրականում դա հենց այն բանն է, որը պետք է ապացուցվեր:

Նման կոները և գլանները միմյանց հարաբերակցված են իրենց հիմքերի տրամագծերի խորացված հարաբերակցությամբ:

Թող լինեն համապատասխան կոներ և գլաններ, որոնց հիմքերը լինեն ABCD և EFGH շրջանները, հիմքերի տրամագծերը լինեն BD և FH, իսկ կոների և գլանների առանցքները լինեն KL և MN (համապատասխանաբար): Իմ հայտարարությունն է, որ այն կոնը, որի հիմքն է ABCD շրջանը, իսկ գագաթը՝ L կետը, կապված է այն կոնի հետ, որի հիմքն է EFGH շրջանը, իսկ գագաթը՝ N կետը, նրանց միջև կա BD-ի և FH-ի խորացված հարաբերակցությունը:

Եթե ABCDL կոնը չունի այնպիսի խորացված հարաբերակցություն, որը BD-ն ունի FH-ի հետ EFGHN կոնի նկատմամբ, ապա ABCDL կոնը կունենա նույն խորացված հարաբերակցությունը մի մարմնի հետ, որը կամ պակաս կլինի, կամ ավելին կլինի EFGHN կոնից: Նախ, թող այն ունենա (այդպիսի հարաբերակցություն) (ինչ-որ) պակաս (մարմնի), O-ի հետ: Եվ թող EFGH քառակուսին ներթղվել լինի EFGH շրջանի մեջ [Պնդ. 4.6]: Այսպես, EFGH քառակուսին մեծ է EFGH շրջանի կեսից [Պնդ. 12.2]: Եվ թող պիրամիդը, որը նույն խ顶ակն ունի, ինչ կոնը, տեղադրվի EFGH քառակուսի վրա: Այսպիսով, տեղադրված պիրամիդը մեծ է կոնի կեսից [Պնդ. 12.10]: Այդպես, թող EF’, FG, GH, և HE շրջանաձևությունները կտրեն կեսում P, Q, R, և S կետերում (համապատասխանաբար): Եվ թող EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS, և SE միանան: Եվ այսպես, յուրաքանչյուր EPF, FQG, GRH, և HSE եռանկյունիները մեծ են EFGH շրջանի հատվածի կեսից, որը նրանց շուրջն է [Պնդ. 12.2]: Եվ թող պիրամիդը, որը նույն խ顶ակն ունի, ինչ կոնը, տեղադրվի յուրաքանչյուր EPF, FQG, GRH, և HSE եռանկյան վրա: Եվ այսպես, յուրաքանչյուր տեղադրված պիրամիդը մեծ է կոնի հատվածի կեսից, որը դրա շուրջն է [Պնդ. 12.10]: Այսպես, (եթե) մնացած շրջանակաները կտրեն կեսում, և ուղղահայաց գծեր միանան, և պիրամիդներ, որոնք նույն խ顶ակն ունեն, ինչ կոնը, տեղադրվեն յուրաքանչյուր եռանկյան վրա, և սա անընդհատ շարունակվի, ապա մենք, վերջապես, կթողնենք կոնի մի քանի հատվածներ, որոնց (հավաքածուն) պակաս կլինի այն ավելցուկից, որով EFGHN կոնը գերազանցում է O մարմինը [Պնդ. 10.1]: Թող նրանք մնան, և թող դրանք լինեն (հավաքածուն) EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS, և SE վրա գտնվող հատվածները: Եվ այսպես, մնացած պիրամիդը, որի հիմքը բազմաբազմյուն EPFQGRHS է, և խ顶ակը՝ NV կետը, մեծ է O մարմնից: Եվ թող բազմաբազմյուն AT BUCV DW, որը նման է և նմանապես դասավորված է EPFQGRHS բազմաբազմյանը, լինի ABCD շրջանի մեջ տեղադրված [Պնդ. 6.18]: Եվ թող պիրամիդը, որի նույն խ顶ակն ունի, ինչ կոնը, տեղադրվի ATBUCV DW բազմաբազմյակի վրա: Եվ թող LBT լինի այն եռանկյունիներից մեկը, որը պարունակում է պիրամիդը, որի հիմքը AT BUCV DW բազմաբազմյակը, և խ顶ակը՝ L կետը: Եվ թող NFP լինի այն եռանկյունիներից մեկը, որը պարունակում է պիրամիդը, որի հիմքը EPFQGRHS եռանկյունին է, և խ顶ակը՝ NV կետը: Եվ թող KT և MP միացած լինեն: Եվ քանի որ ABCDL կոնը նման է EFGHN կոնին, ապա ինչպես BD-ն է FH-ի հետ, այնպես էլ առանցք KL-ը՝ առանցք MN-ին [Դեֆ. 11.24]: Եվ ինչպես BD-ն է FH-ի հետ, այնպես էլ BK-ն է FM-ի հետ: Եվ այդպես, ինչպես BK-ն է FM-ի հետ, այնպես էլ KL-ը՝ MN-ի հետ: Եվ այլ կերպ ասած, ինչպես BK-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ FM-ը՝ MN-ի հետ [Պնդ. 5.16]: Եվ նույնական անկյուններով BK L և FMN-ի շուրջ գտնվող կողմերը համահունչ են: Այսպիսով, եռանկյունը BK L նման է եռանկյան FMN-ի [Պնդ. 6.6]: Այնպես որ, քանի որ ինչպես BK-ն է KT-ի հետ, այնպես էլ FM-ն է MP-ի հետ, և նրանք գտնվում են հավասար անկյուններով BKT և FMP, քանի որ ինչ-որ մասը BKT անկյունից, որը K կենտրոնում գտնվող չորս ուղղանկյուններից է, FMP անկյունը նույնպես նույն մասն է չորս ուղղանկյուններից՝ M կենտրոնում: Ուստի, քանի որ հավասար անկյուններով կողմերը համահունչ են, եռանկյունը BAT նման է եռանկյան FMP-ին [Պնդ. 6.6]: Դարձյալ, քանի որ ցույց տրվեց, որ ինչպես BK-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ FM-ն է MN-ի հետ, և BK-ն հավասար է KT-ին, իսկ FM-ն՝ PM-ին, ապա ինչպես TK-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ PM-ն՝ MN-ի հետ: Եվ հավասար անկյուններով TKL և PMN — քանի որ դրանք երկուսն էլ ուղղանկյուններ են — կողմերը համահունչ են: Այսպիսով, եռանկյունը LKT նման է եռանկյունի NMP-ին [Պնդ. 6.6]: Եվ քանի որ, համաձայն եռանկյունների LK B և NMF նմանության, ինչպես LB-ն է BK-ի հետ, այնպես էլ NF-ն է FM-ի հետ, և համաձայն եռանկյունների BKT և FMP նմանության, ինչպես KB-ն է BT-ի հետ, այնպես էլ MF-ն է FP-ի հետ [Դեֆ. 6.1], ուստի, հավասարությամբ, ինչպես LB-ն է BT-ի հետ, այնպես էլ NF-ն է FP-ի հետ [Պնդ. 5.22]: Դարձյալ, քանի որ, համաձայն եռանկյունների LT K և NPM նմանության, ինչպես LT-ն է TK-ի հետ, այնպես էլ NP-ն է PM-ի հետ, և համաձայն եռանկյունների TK B և PMF նմանության, ինչպես KT-ն է TB-ի հետ, այնպես էլ MP-ն է PF-ի հետ, ուստի, հավասարությամբ, ինչպես LT-ն է TB-ի հետ, այնպես էլ NP-ն է PF-ի հետ [Պնդ. 5.22]: Եվ ցույց է տրված, որ ինչպես TB-ն է BL-ի հետ, այնպես էլ PF-ն է FN-ի հետ: Ուստի, հավասարության միջոցով, ինչպես TL-ն է LB-ի հետ, այնպես էլ PN-ն է NF-ի հետ [Պնդ. 5.22]: Այսպիսով, LTB և NPF եռանկյունների կողմերը համահունչ են: Այսպիսով, LTB և NPF եռանկյունները հավասարանկյուն են [Պնդ. 6.5]: Եվ, հետևաբար, (նրանք) նման են [Դեֆ. 6.1]: Եվ, այսպես, այն պիրամիդը, որի հիմքը BKT եռանկյունն է, և գագաթը L կետն է, նման է այն պիրամիդին, որի հիմքը FMP եռանկյունն է, և գագաթը N կետն է: Չնայած որ նրանք պարունակում են նույն թիվն էլ նման թռուցիկներից [Դեֆ. 11.9]: Եվ նման պիրամիդները, որոնք նաև եռանկյունային հիմքեր ունեն, գտնվում են համապատասխան կողմերի խորացված հարաբերակցությունում [Պնդ. 12.8]: Այսպիսով, պիրամիդ BKTL-ն ունի պիրամիդ F'M PN-ին այն խորացված հարաբերակցությունը, որը ունի BK-ն՝ FM-ի հետ: Իսկ նմանապես, միացնելով ուղիղ գծեր (A, W, D, V, C և U կետերից) (կենտրոն) K-ի և (FE, S, H, R, G և Q կետերից) (կենտրոն) M-ի, և կանգնեցնելով պիրամիդներ, որոնց նույն գագաթները ունեն կոները յուրաքանչյուր եռանկյունում (որոնք ձևավորվում են), մենք նույնպես կարող ենք ցույց տալ, որ յուրաքանչյուր պիրամիդը (ABCԴ հիմքով) հերթով կունենա այն խորացված հարաբերակցությունը, որը կապված է համապարփակ կողմերի BK-ի հետ՝ համապատասխան կողմերի F4—այսինքն՝ BD-ի հետ՝ FH-ի նկատմամբ: Եվ (երկու sets համար համապարփակ չափերի) ինչպես մեկը առաջնորդող (չափը) է հաջորդներից մեկին, այնպես էլ (առաջնորդող չափերի) ամբողջությունը համամասն է (հաջորդ չափերի) ամբողջությանը [Պնդ. 5.12]: Եվ, այսպես, ինչպես պիրամիդը BKTL-ն է պիրամիդին F.MPN-ին, այնպես էլ ամբողջ պիրամիդը, որի հիմքն է բազմանկյուն AT BUCV DW, և գագաթը L կետն է, համամասն է ամբողջ պիրամիդին, որի հիմքն է բազմանկյուն EPFQGRHS, և գագաթը NV կետն է: Եվ, հետեւաբար, այն պիրամիդը, որի հիմքն է բազմանկյուն AT BUCV DW, և գագաթը L կետն է, համամասն է այն պիրամիդին, որի հիմքն է բազմանկյուն EPFQGRHS, և գագաթը N կետն է, այն խորացված հարաբերակցությանը, որը BD-ն ունի FH-ի հետ: Եվ նաև ենթադրվել է, որ կոնը, որի հիմքը ABCD շրջան է, և գագաթը L կետն է, համամասն է մարմնին O այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը BD-ն ունի FH-ի հետ: Այսպիսով, ինչպես կոնը, որի հիմքը ABCD շրջան է, և գագաթը L կետն է, համամասն է մարմնին O, այնպես էլ այն պիրամիդը, որի հիմքն է [բազմանկյուն] AT BUCV DW, և գագաթը L կետն է, համամասն է այն պիրամիդին, որի հիմքն է բազմանկյուն EPFQGRHS, և գագաթը N կետն է: Այդպես, փոխարենը, ինչպես կոնը, որի հիմքը ABCD շրջան է, և գագաթը L կետն է, համամասն է նրա մեջ գտնվող պիրամիդին, որի հիմքն է բազմանկյուն ATBUCV DW, և գագաթը L կետն է, այնպես էլ [մարմին] O-ն համամասն է պիրամիդին, որի հիմքն է բազմանկյուն EPFQGRHS, և գագաթը N կետն է [Պնդ. 5.16]: Եվ հիշատակված կոնը մեծ է նրանից պիրամիդին: Այն շրջապատում է այն: Այսպիսով, մարմինը O-ն նույնպես մեծ է այն պիրամիդից, որի հիմքն է բազմանկյուն EPFQGRHS, և գագաթը N կետն է: Բայց, այն նաև փոքր է: Հենց այսը անհնար է: Այսպիսով, կոնը, որի հիմքը ABCD շրջան է, և գագաթը L կետն է, չի համամասնվում որևէ մարմնի, որը փոքր է կոնից, որի հիմքը EFGH շրջան է, և գագաթը N կետն է, այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը BD-ն ունի EH-ի հետ: Այսպիսով, նույն ձևով, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ EFGHN կոնը նույնպես չի համամասնվում որևէ մարմնի, որը փոքր է ABCDL կոնից, այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը FH-ն ունի BD-ի հետ:

Այսպիսով, ես ասում եմ, որ ABC'DL կոնը չի համամասնվում որևէ մարմնի, որը մեծ է EFGHN կոնից, այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը BD-ն ունի FH-ի հետ:

Իրովի, եթե հնարավոր է, թող այն ունենա (համար) ավելի մեծ (մարմնի) O: Այսպիսով, հակառակը, մարմինը O-ն համամասն է ABCDL կոնին այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը FH-ն ունի BD-ի հետ [Պնդ. 5.7 շտ.]: Եվ ինչպես մարմինը O-ն (է) ABCDL կոնին, այնպես էլ EFGHN կոնը (է) որևէ մարմնի համամասն, որը փոքր է ABCDL կոնից [12.2 քառ.]։ Այսպիսով, EFGHN կոնը նույնպես համամասն է որևէ մարմնի, որը փոքր է ABCDL կոնից, այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը F'H-ն ունի BD-ի հետ: Նույնը ցույց տվեց, որ անհնար է: Այսպիսով, ABCDL կոնը չի համամասնվում որևէ մարմնի, որը մեծ է EFGHN կոնից, այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը BD-ն ունի FH-ի հետ: Եվ ցույց տրվեց, որ այն նաև չի ունենում (այդպիսի հարաբերակցություն) որևէ ավելի փոքր մարմնի հետ: Այսպիսով, ABCDL կոնը համամասն է EFGHN կոնին այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը BD-ն ունի FG-ի հետ:

Եվ ինչպես կոնը կոնին, այնպես էլ գլանը գլանին: Քանզի գլանը երեք անգամ է կոնից նույն հիմքով և նույն բարձրությամբ [Պնդ. 12.10]: Այսպիսով, գլանը նույնպես ունի գլանին այն խորացված հարաբերակցությամբ, որը BD-ն ունի FH-ի հետ:

Այսպիսով, նման կոներն ու գլանները գտնվում են իրենց հիմքերի տրամագծերի խորացված հարաբերակցությունում: Եվ սա է այն, ինչը պետք էր ապացուցել: