այսինքն՝ հայտնի նույնությունը։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch7.png|800px|frameless|thumb|center]]
==ԳԼՈՒԽ ՅՈԹԵՐՈՐԴ։ ԱՄԵՆԱՄԵԾ ԵՎ ԱՄԵՆԱՓՈՔՐ ԱՐԺԵՔՆԵՐ==
<math>x^2-124x+4100-m^2 \;=\; 0</math>։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_19_20.png|400px|frameless|thumb|center]]
Լուծելով այս հավասարումը <math>x</math>-ի նկատմամբ, կունենանք
Երկաթուղու ուղղագիծ ճանապարհից <math>20 \; կմ</math> հեռավորության վրա գտնվում է <math>B</math> գյուղը (նկ. 21)։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_21.png|400px|frameless|thumb|center]]
Որտե՞ղ պետք է կառուցել <math>C</math> կիսակայարանը, որպեսզի <math>AC</math> երկաթուղով և <math>CB</math> խճուղով <math>A</math>-ից մինչև <math>B</math> գնալը խլի հնարավորին չափ քիչ ժամանակ։ Արագությունը երկաթուղով րոպեում <math>0,8</math> կիլոմետր է, խճուղով՝ <math>0,2</math> կիլոմետր։
<math>x \;=\; \frac{k \pm \sqrt{16k^2-96000}}{15}</math>։
Քանի որ <math>k=0,8m-a</math>, ապա <math>m</math>-ի ամենափոքր արժեքի դեպքում <math>k</math>-ն հասնում է ամենափոքր մեծության, և հակառակը<ref>Պետք է նկատի ունենալ, որ <math>k>0</math>, քանի որ<br><math>0,8m \;=\; a-x+4\sqrt{x^2+20^2}>a-x+x \;=\; a</math>։</ref>։ Բայց որպեսզի <math>x</math>-ը լինի իրական, <math>16x^2</math> պետք է լինի <math>96000</math>-ից ոչ փոքր։ Նշանակում է՝ <math>16k^2</math> համար ամենափոքր մեծությունը <math>96000</math>-ն է։ Ուստի՝ <math>m</math>-ը դառնում է ամենափոքր, երբ
<math>16k^2 \;=\; 96000</math>,
''Ինչպիսին էլ որ լինի <math>a=AD</math> երկարությունը'', կիսակայարանը պետք է կառուցել <math>D</math> կետից մոտավորապես <math>5 \; կմ</math> հեռավորության վրա։
Բայց, հասկանալի է, որ մեր լուծումն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ <math>x<a</math>, քանի որ հավասարումը կազմելիս մենք <math>a-x</math> արտահայտությունը հաշվեցինք դրական թիվ։
Եթե <math>x=a \approx 5,16</math>, ապա կիսակայարանի կառուցելը ընդհանրապես պետք չէ. խճուղին ուղղակի պետք է անցկացնել դեպի կալարան։ Այդպես պետք է վարվել և այն դեպքում, երբ <math>a</math> հեռավորությունը <math>5,16 \; կմ</math>-ից ավելի կարճ է։
Այս անգամ մենք ավելի կանխատեսող եղանք, քան թե հավասարումը։ Իսկ եթե մենք կուրորեն հավատայինք հավասարմանը, մենք ստիպված կլինեինք ներկա դեպքում կիսակայարանը կառուցել կայարանի հետևում, որը բացահայտ անհեթեթություն կլիներ, այդ դեպքում <math>x>a</math>, և այդ պատճառով
<math>\frac{a-x}{0,8}</math>
գումարը պետք է լինի ամենափոքրը։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_22.png|400px|frameless|thumb|center]]
Այդ ամենափոքր արժեքը նշանակենք <math>m</math>-ով։ Կունենանք հետևյալ հավասարումը
արտադրյալնևրը <math>x+y+x, \; x+y+z+t</math> և այլն գումարների հաստատուն լինելու դեպքում հասնում են ամենամեծ մեծության այն դեպքում, երբ
<math>x : y : z \;=\; p : q : r, \;\; x : y : z : t \;=\; p : q : r : u</math>
և այլն։
Ընթերցողը, եթե ցանկանում է իր ուժերը փորձել ապացուցելու հանրահաշվական օգտավետ թեորեմաներ, թող ինքնուրույն ապացուցի հետևյալ դրույթները՝
1. Երկու թվերի գումարը, որոնց արտադրյալն անփոփոխ է, դառնում է ''ամենափոքր'', երբ այդ թվերը հավասար են։
Օրինակ՝ <math>36 \text{ արտադրյալի համար՝ } 4+9=13, \; 3+12=15, \; 2+18=20, \; 1+36=37 \text{ և, վերջապես, } 6+6=12</math>։
Գլանաձև գերանից պետք է սղոցել ամենամեծ ծավալի ուղղանկյուն չորսու։ Ինչպիսի՞ ձև կունենա նրա հատվածքը (նկ. 23)։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_23.png|300px|frameless|thumb|center]]
'''''Լուծում'''''
<math>x \;=\; \frac{l}{4}, y \;=\; l-2 \cdot \frac{l}{4} \;=\; \frac{l}{2}</math>։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_24.png|170px|frameless|thumb|right]]
Այսպիսով, տրված պարագծով սեկտորը շրջափակում է ամենամեծ մակերես այն դեպքում, երբ նրա շառավիղը կազմում է աղեղի կեսը (այսինքն՝ նրա աղեղի երկարությունը հավասար է շառավիղների գումարին կամ նրա պարագծի կոր մասի երկարությունը հավասար է բեկյալի երկարությանը)։ Սեկտորի անկյունը հավասար է ≈115° (երկու ռադիանի)։ Թե ինչպիսին են այդպիսի լայն օդապարուկի թռչելու կարողությունները, այլ հարց է, որի դիտարկումը չի մտնում մեր խնդրի մեջ։
Այդպիսի պայմաններում ինչպե՞ս ամենաշահավետ ձևով օգտագործել անվնաս մնացած պատը։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_25.png|270px|frameless|thumb|center]]
'''''Լուծում'''''
<math>S \;=\; xy \;=\; y(l-2y)</math>։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_26.png|270px|frameless|thumb|center]]
Սա ամենամեծ արժեք կընդունի
<math>(y+z)(y+z)(x+z)(3x-3z)</math>։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_27_30.png|360px|frameless|thumb|center]]
Այս չորս արտադրիչների գումարը հավասար է
Թիթեղյա շրջանից հարկավոր է պատրաստել ձագարի կոնական մասը։ Դրա համար շրջանից կտրում են սեկտոր և շրջանի մնացած մասը ծռում կոնաձև (նկ. 31)։ Քանի՞ աստիճան պետք է լինի կտրված սեկտորի աղեղը, որպեսզի կոնը ստացվի ամենամեծ տարողության։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_31.png|300px|frameless|thumb|center]]
'''''Լուծում'''''
Կոնի բարձրությունը (Պյութագորի թեորեմայով)
<math>H \;=\; \sqrt{R^2-r^2} \;=\; \sqrt{R2R^2-\frac{x^2}{4\pi^2}}</math>
(նկ. 31)։ Այդ կոնի ծավալն ունի հետևյալ արժեքը՝
Սեղանից ի՞նչ բարձրության վրա պետք է գտնվի մոմի բոցը, որպեսզի սեղանի վրա եղած դրամը լուսավորվի ամենից պայծառ։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_32.png|270px|frameless|thumb|center]]
'''''Լուծում'''''
Լուծելով այս հավասարումը, գտնում ենք`
<math>x \;=\; \frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0,71a</math>։
Դրամը ամենից պայծառ կլուսավորվի, եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է այնպիսի բարձրության վրա, որը հավասար է աղբյուրի պրոյեկցիայից մինչև դրամի հեռավորության <math>0,71</math> մասին։ Այս հարաբերության գիտենալը օգնում է աշխատանքային տեղը ամենալավ ձևով լուսավորելու գործին։