Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Ավելացվել է 66 493 բայտ, 08:16, 4 Օգոստոսի 2017

Վարձատրության այդպիսի մեծահոգի սիստեմի դեպքում ռազմիկը պետք է ստանար <math>16</math> վերք և մնար կենդանի, որպեսզի արժանանար <math>655</math> ռուբ. <math>35</math> կոպ. պարգևի։

==ԳԼՈՒԽ ԻՆՆԵՐՈՐԴ։ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՅՈԹԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆ==

===ՅՈԹԵՐՈՐԴ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ===

Մենք արդեն հիշատակեցինք, որ հինգերորդ գործողությունը՝ աստիճան բարձրացնելիս ունի երկու հակադարձ գործողություններ։ Եթե

<math>a^b \;=\; c</math>,

ապա <math>a</math>-ի գտնելը մի հակադարձ գործողություն է՝ արմատ հանել, իսկ <math>b</math>-ի գտնելը մյուսը, լոգարիթմել։ Ենթադրում եմ, որ այս գրքի ընթերցողը ծանոթ է լոգարիթմների մասին ուսմունքի հիմունքներին դպրոցական դասընթացի ծավալով։ Հավանաբար, նրա համար դժվար չէ ըմբռնել, օրինակ, այսպիսի արտահայտությունը՝

<math>a^{lg_a b}</math>։

Դվար չէ հասկանալ, որ եթե լոգարիթմի <math>a</math> հիմքը բարձրացնենք <math>b</math> թվի լոգարիթմի աստիճան, ապա կստացվի այդ <math>b</math> թիվը։

Ինչի՞ համար են հնարված լոգարիթմները։ Իհարկե, հաշվումները արագացնելու և պարզեցնելու համար։ Առաջին լոգարիթմական աղյուսակների հնարող Նեպերը իր մտահղացումների մասին այսպես է ասում՝

«Որքան կարողացա ես աշխատեցի հրաժարվել հաշվումների դժվարություններից և ձանձրույթից, որոնց տաղտկալիությունը սովորաբար շատ շատերին վախեցնում է մաթեմատիկան ուսումնասիրելիս»։

Իրոք, լոգարիթմները արտակարգ հեշտացնում և արագացնում են հաշվումները, չխոսելով դեռ այն մասին, որ դրանք հնարավորություն են տալիս կատարել այնպիսի օպերացիաներ, որոնց կատարելն առանց նրանց օգնության՝ շատ դժվար է (ցանկացած աստիճանի արմատ հանելը)։

Անհիմն չէ, որ Լապլասը գրել է. «Լոգարիթմների գյուտը, հաշվումների մի քանի ամիսների աշխատանքը կրճատելով-հասցնելով մի քանի օրերի՝ գրեթե աստղագետների կյանքը կրկնապատկում է»։

Մեծ մաթեմատիկոսը խոսում է աստղագետների մասին, քանի որ հատկապես նրանց է հարկ լինում կատարել բարդ և հոգնեցուցիչ հաշվումներ։ Բայց նրա խոսքերը ամենայն իրավամբ կարելի է վերագրել ընդհանրապես բոլոր նրանց, ովքեր գործ ունեն թվային հաշվումների հետ։

Վարժվելով լոգարիթմների գործածությանը և դրանց միջոցով հաշվումների հեշտացմանը՝ մեզ համար դժվար է պատկերացնել այն զարմանքը և հիացմունքը, որ առաջացրել են դրանք՝ իրենց հայտնվելու ժամանակ։ Նեպերի ժամանակակից Բրիգը, հետագայում փառաբանվելով տասնորդական լոգարիթմների գյուտով, Նեպերի երկերն ստանալիս գրել է. «Նեպերն իր նոր զարմանալի լոգարիթմներով ստիպեց ինձ ջերմեռանդորեն աշխատել և՛ գլխով, և՛ ոտքերով։ Ես հույս ունեմ ամռանը նրան տեսնել, քանի որ երբեք չեմ կարդացել այնպիսի գիրք, որը ինձ ավելի դուր գար և մեծ հիացմունք պատճառեր»։ Բրիգը իրագործեց իր ցանկությունը և ուղևորվեց Շոտլանդիա, որպեսզի այցելի լոգարիթմների գյուտարարին։ Նրան հանդիպելիս Բրիգն ասաց՝

«Ես ձեռնարկեցի այո երկար ճանապարհորդությունը մի նպատակով՝ տեսնել ձեզ և իմանալ, թե ինչ արվեստի և սրամիտ զենքի օգնությամբ դուք եկաք այդ մտքին՝ աստղագիտության համար զարմանալի ձեռնարկին՝ լոգարիթմներին։ Սակայն այժմ ես ավելի եմ զարմանում, թե ինչո՞ւ ոչ մեկը առաջուց չի գտել, քանի որ դրանց հետ ծանոթանալուց հետո դրանք թվում են չափազանց պարզ»։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԻ ՄՐՑԱԿԻՑՆԵՐԸ===

Մինչ լոգարիթմների գյուտը, հաշվումների արագացման պահանջը ծնեց ուրույն տեսակի աղյուսակներ, որոնց օգնությամբ բազմապատկման գործողությունը փոխարինվում էր ոչ թե գումարումով, այլ հանումով։

Այդ աղյուսակների կառուցվածքը հիմնված է

նույնության վրա, որի ճշտության մեջ հեշտությամբ կարելի է համոզվել, եթե բացենք փակագծերը։

Ունենալով քառակուսիների պատրաստի քառորդները՝ կարելի է գտնել երկու թվերի արտադրյալը, չկատարելով բազմապատկումներ, այլ հանելով այդ թվերի գումարի քառակուսու քառորդից դրանց տարբերության քառակուսու քառորդը։ Այդ նույն աղյուսակները հեշտացնում են քառակուսի բարձրացնելը և քառակուսի արմատ հանելը, իսկ աղյուսակներին միացնելով հակադարձ թվերը՝ պարզեցնում են նաև բաժանման գործողությունը։ Լոգարիթմական աղյուսակների նկատմամբ դրանց առավելությունն այն է, որ դրանց օգնությամբ արդյունքներն ստացվում են ''ճիշտ'', և ոչ թե մոտավոր։ Բայց դրանք զիջում են լոգարիթմականին գործնականորեն անհամեմատ ավելի կարևոր մի շարք կետերում։ Այն ժամանակ, երբ քառակուսիների քառորդների աղյուսակները թույլ են տալիս բազմապատկել միայն երկու թվեր, լոգարիթմները հնարավորություն են տալիս միանգամից գտնել ցանկացած թվով արտադրիչների արտադրյալը և, բացի այդ, բարձրացնել ''ցանկացած'' աստիճանը և ''ցանկացած'' ցուցիչով արմատ հանելը (ամբողջ կամ կոտորակային)։ Օրինակ՝ քառակուսիների քառորդների աղյուսակների օգնությամբ բարդ տոկոսներ գումարել չի կարելի։

Բայց և այնպես, քառակուսիների քառորդների աղյուսակները հրատարակվեցին և այն ժամանակ, երբ հայտնվեցին զանազան լոգարիթմական աղյուսակներ։

1856 թվականին Ֆրանսիայում լույս տեսան հետևյալ վերնագրով աղյուսակները՝

''«Թվերի քառակուսիների աղյուսակ <math>1</math>-ից մինչև <math>1000</math> միլիոն, որի օգնությամբ գտնվում են թվերի ճշգրիտ արտադրյալը շատ պարզ եղանակով, ավելի հարմար, քան լոգարիթմների օգնությամբ։ Կազմեց Ալեքսանդր Կոսսարը»։''

Այս գաղափարն առաջանում է շատերի մոտ՝ չկասկածելով, որ այն վաղուց արդեն իրականացված է։

Նման աղյուսակների գյուտարարները մի երկու անգամ դիմել են ինձ և շատ են զարմացել իմանալով, որ այդ աղյուսակների գյուտը ավելի քան 300 տարվա պատմություն ունի։

Լոգարիթմների մյուս՝ ավելի երիտասարդ մրցակիցները հանդիսանում են հաշվիչ աղյուսակները, որոնք զետեղված են տեխնիկական բազմաթիվ տեղեկատուներում։ Դրանք տեղեկատու աղյուսակներ են, որոնք պարունակում են հետևյալ բաժինները՝ թվերի քառակուսիները, խորանարդները, քառակուսի արմատները, խորանարդ արմատները, հակադարձ թվերը շրջանագծի երկարությունները և շրջանների մակերեսները <math>2</math>-ից մինչև <math>1000</math> թվերի համար։ Տեխնիկական բազմաթիվ հաշվարկների համար այդ աղյուսակները շատ հարմար են, սակայն դրանք ոչ միշտ են բավարար։ Լոգարիթմական աղյուսակներն անհամեմատ ավելի ընդարձակ կիրառություններ ունեն։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ԱՂՅՈՒՍԱԿՆԵՐԻ ԷՎՈԼՅՈՒՑԻԱՆ===

Մեր դպրոցներում դեռ վերջերս գործածվում էին լոգարիթմական <math>5</math>-անիշ աղյուսակները։ Այժմ դրանք վերածվել են քառանիշի, քանի որ լիովին բավարար են տեխնիկական հաշվարկների համար։ Բայց մեծ մասամբ գործնական պահանջների համար կարելի է հաջողությամբ ղեկավարվել անգամ եռանիշ մանտիսներով, չէ՞ որ առօրյա չափումները հազվադեպ է, որ կատարվում են երեքից ավելի նիշերով։

Ավելի կարճ մանտիսների բավարար լինելու միտքը համեմատաբար վերջերս է ըմբռնվել։ Դեռ հիշում եմ, երբ մեր դպրոցներում գործածվում էին <math>7</math>-անիշ լոգարիթմների ծանր կշռով հատորները, որոնք իրենց տեղը զիջել են <math>5</math>-անիշներին, միայն համառ պայքարից հետո։ Բայց <math>7</math>-անիշ լոգարիթմներն էլ իրենց հայտնվելու դեպքում (1794) թվում էին անթույլատրելի նորամուծություն։

Առաջին տասնորդական լոգարիթմները, որ ստեղծվել են լոնդոնցի մաթեմատիկոս Հենրի Բրիգի աշխատանքով (1624), եղել են <math>14</math>-անիշ։ Մի քանի տարի անց, դրանց փոխարինեցին հոլանդական մաթեմատիկոս Անդրիանա Վլակի <math>10</math>-անիշ աղյուսակները։

Ինչպես տեսնում ենք, լոգարիթմական գործող աղյուսակների էվոլյուցիան բազմանիշ մանտիսներից ավելի կարճերին անցավ և այլևս չկատարելագործվեց մեր օրերում, քանի որ այժմ էլ շատերը չեն գիտակցել այն պարզ ճշմարտությունը, որ հաշվումների ճշտությունը չի կարող գերազանցել չափումների ճշտությանը։

Մանտիսների կարճացնելը ծնում է գործնական երկու կարևոր հետևանքներ՝ 1) աղյուսակների ծավալի նկատելի փոքրացումը և 2) դրա հետ կապված նրանցից օգտվելու պարզեցումը, իսկ դա նշանակում է դրանց օգնությամբ կատարվող հաշվումների արագացումը։ Թվերի յոթանիշ աղյուսակներն զբաղեցնում են մոտ 200 էջ մեծ չափսերով, <math>5</math>-անիշները՝ երկու անգամ փոքր չափսերի 30 էջ, քառանիշներն զբաղեցնում են տասնապատիկ փոքր ծավալ, որը տեղավորվում է մեծ չափսերի երկու էջի վրա, իսկ եռանիշները կարող են տեղավորվել մեկ էջի վրա։

Ինչ վերաբերում է հաշվումների արագությանը, ապա հայտնի է, որ, օրինակ, հնգանիշ աղյուսակներով հաշվարկներ կատարելը պահանջում է երեք անգամ քիչ ժամանակ, քան յոթանիշով։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ՏԱՐՕՐԻՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ===

Եթե տեխնիկական առօրյայի և գործնական կյանքի հաշվողական պահանջները լրիվ ապահովվում են եռանիշ և քառանիշ աղյուսակներով, ապա, մյուս կողմից, տեսական հետազոտողի տրամադրության տակ կան և այնպիսի աղյուսակներ, որ ունեն ավելի շատ նիշեր, քան նույնիսկ Բրիգի 14-անիշ լոգարիթմները։ Ընդհանրապես ասած, լոգարիթմը մեծ մասամբ իռացիոնալ թիվ է և թվանշանների ոչ մի քանակով չի կարելի ճշտորեն արտահայտել։ Մեծ մասամբ թվերի լոգարիթմները, որքան էլ նիշեր վերցնելու լինենք, արտահայտվում են միայն մոտավոր կերպով և որքան դրանց մանտիսներում թվանշանները շատ են, այնքան դրանք ճիշտ են։

Գիտական աշխատանքների համար <math>14</math>-անիշ լոգարիթմները<ref>Բրիգի <math>14</math>-անիշ լոգարիթմները կազմված են, ի միջի այլոց, միայն <math>1</math>-ից մինչև <math>20000 \text{ և } 90000</math>-ից մինչև <math>101000</math> թվերի համար։</ref> երբեմն ճիշտ չեն, բայց տարբեր տեսակի 300 լոգարիթմական աղյուսակներից, որոնք լույս են տեսել դրանց հայտնագործումից հետո, հետազոտողը միշտ կարող է գտնել այնպիսիները, որոնք կարող են նրան բավարարել։ Նշենք, օրինակ, <math>2</math>-ից մինչև <math>1200</math> թվերի <math>20</math>-անիշ լոգարիթմները, որ հրատարակվել է Ֆրանսիայի Կալլե (1795) քաղաքում։ Ավելի սահմանափակ թվերի խմբերի համար կան նաև վիթխարի թվով տասնորդական նիշերով լոգարիթմների աղյուսակներ՝ լոգարիթմական իսկական տարօրինակություններ, որոնց գոյության մասին, ինչպես ես համոզվել եմ, չեն կասկածում նաև բազմաթիվ մաթեմատիկոսներ։

Ահա այդ լոգարիթմ-հսկաները, դրանք բոլորը տասնորդական չեն, այլ բնական<ref>Բնական կոչվում են այն լոգարիթմները, որոնք ոչ թե <math>10</math> հիմքով են, այլ <math>2,718 \dots</math> հիմքով, որի մասին դեռ խոսելու ենք։</ref>։

Վոլֆրամի <math>48</math>-անիշ աղյուսակները մինչև <math>10000</math> թվերի համար։

Շարպի <math>61</math>-անիշ աղյուսակները։

Պարկխերստի <math>102</math>-անիշ աղյուսակները և, վերջապես, լոգարիթմական գերտարօրինակությունը՝

Ադամսի <math>260</math>-անիշ լոգարիթմները։

Վերջին դեպքում մենք ունենք, ի միջի այլոց, ոչ թե աղյուսակ, այլ միայն այսպես կոչված հինգ թվերի բնական լոգարիթմներ՝ <math>2, \; 3, \; 5, \; 7 \text{ և } 10</math>, և փոխանցող (<math>260</math>-անիշ) արտադրիչ դրանք տասնորդականի վերածելու համար։ Սակայն, դժվար չէ հասկանալ, որ ունենալով այդ հինգ թվերի լոգարիթմները՝ պարզ գումարով կամ բազմապատկումով կարելի է ստանալ բարդ թվերի բազմության լոգարիթմները. օրինակ <math>12</math>-ի լոգարիթմը հավասար է <math>2, \; 2 \text{ և } 3</math> թվերի լոգարիթմների գումարին և այլն։

Լրիվ կերպով կարելի է լոգարիթմական տարօրինակության շարքը դասել նաև հաշվեքանոնը, այդ «փայտե լոգարիթմները», եթե միայն շնորհիվ իր հարմարության այդ սրամիտ գործիքը չդառնար տեխնիկների համար այդքան սովորական հաշվող գործիք, ինչպես համրիչը գրասենյակային աշխատողների համար։ Սովորության հետևանքով մարում է հիացմունքի զգացումը լոգարիթմի սկզբունքով աշխատող սարքի առջև, մի սարք, որն իրենից օգտվողից չի պահանջում նույնիսկ գիտենալ, թե ինչ բան է լոգարիթմը։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԸ ԷՍՏՐԱԴԱՅՈՒՄ===

Հասարակության առջև պրոֆեսիոնալ հաշվողների կողմից կատարված ամենաապշեցուցիչ համարներից են, անկասկած, հետևյալները. աֆիշայի միջոցով նախօրոք տեղեկանալով, որ վիրտուոզ հաշվողը բազմանիշ թվերից մտքով բարձր աստիճանի արմատ կհանի, դուք տանը համբերությամբ նախապատրաստում եք որևէ թվի <math>31</math>-րդ աստիճանի հաշվարկը նպատակ ունենալով դիտավորյալ հարվածել հաշվողին <math>35</math>-անիշ թվային լինկորով։ Պատշաճ պահին դուք դիմում եք հաշվողին՝ հետևյալ խոսքերով.

— Իսկ փորձեցեք <math>31</math>-րդ աստիճանի արմատ հանել հետևյալ <math>35</math>-անիշ թվից։ Գրեցե՛ք, ես թելադրում եմ։

Վիրտուոզ-հաշվողը վերցնում է կավիճը, բայց մինչև դուք բացում եք ձեր բերանը, որպեսզի արտասանեք առաջին թվանշանը, նա արդեն դրում է արդյունքը՝ <math>13</math>։

Չիմանալով թիվը, նա այդ թվից արմատ է հանում, նույնիսկ <math>31</math>-րդ աստիճանի, անգամ մտքով, կայծակնայի՛ն արագությամբ։

Դուք զարմացած եք, ընկճված, մինչդեռ այդ բոլորի մեջ գերբնական ոչինչ չկա։ Գաղտնիքը ուղղակի նրանումն է, որ գոյություն ունի միայն մեկ թիվ, այն է՝ <math>13</math>-ը, որը <math>31</math>-րդ աստիճանում տալիս է <math>35</math>-անիշ արդյունք։ <math>13</math>-ից փոքր թվերը տալիս են <math>35</math> թվանշանից փոքր, մեծերը մեծ։

Սակայն հաշվողը որտեղի՞ց իմացավ այդ։ Նա ինչպե՞ս գտավ <math>13</math> թիվը։ Նրան օգնեցին լոգարիթմները, երկանիշ լոգարիթմները, որոնց նա հիշում է անգիր, առաջին <math>15-20</math> թվերի համար։ Դրանց անգիր անելը այնքան էլ դժվար չէ, ինչպես թվում է, հատկապես, եթե գիտենանք, որ բարդ թվի լոգարիթմը հավասար է նրա պարզ արտադրիչների լոգարիթմների գումարին, հաստատորեն իմանալով <math>2</math>-ի, <math>3</math>-ի և <math>7</math><ref>Հիշենք, որ <math>lg5 \;=\; lg \frac{10}{2} \;=\; 1-lg2</math>։</ref>-ի լոգարիթմները, դուք արդեն գիտեք առաջին տասնյակի թվերի լոգարիթմները. երկրորդ տասնյակի համար պահանջվում է հիշել ևս չորս թվերի լոգարիթմները։

Ինչպես էլ որ լինի, էստրադային հաշվողը մտքով դասավորում է երկանիշ լոգարիթմների հետևյալ փոքրիկ աղյուսակը

<TR>

<TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Լոգարիթմներ</TD>

<TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Լոգարիթմներ</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Ձեզ զարմացնող մաթեմատիկական տրյուկը կայանում է հետևյալում.

<math>lg \sqrt[31]{(35 \; թվանշան)} \;=\; \frac{34,\dots}{31}</math>։

Որոնելի լոգարիթմը կարող է գտնվել

<math>\frac{34}{31} \text{ և } \frac{34,99}{31} \text{ միջև կամ } 1,09 \text{ և } 1,13</math> միջև։

Այդ ինտերվալում կա միայն մեկ ամբողջ թվի լոգարիթմ, այն է՝ <math>13</math>-ի լոգարիթմը՝ <math>1,11</math>։ Այդ ճանապարհով էլ գտնված է ձեզ շշմեցնող արդյունքը։ Իհարկե, այդ բոլորը մտքով արագ կատարելու համար պետք է տիրապետել մասնագետի հնարամտությանը և հմտությանը, բայց ըստ էության, ինչպես տեսնում ենք, դա բավականին պարզ է։ Այժմ դուք ինքներդ էլ կարող եք կատարել նման ֆոկուսներ, եթե ոչ մտքով, գոնե թղթի վրա։

Դիցուք ձեզ առաջարկված է խնդիր՝ <math>64</math>-րդ աստիճանի արմատ հանել <math>20</math>-անիշ թվից։

Չտեղեկանալով այն մասին, թե դա ինչ թիվ է, դուք կարող եք արմատ հանելու արդյունքը հայտարարել արմատը հավասար է <math>2</math>-ի։

Իրոք, <math>lg \sqrt[64]{(20 \; թվանշան)} \;=\; \frac{19,\dots}{64}</math>, հետևաբար այն պետք է գտնվի <math>\frac{19}{64} \text{ և } \frac{19,99}{64}</math> միջև, այսինքն՝ <math>0,29 \text{ և } 0,32</math> միջև։ Այդպիսի լոգարիթմը ամբողջ թվի համար միայն մեկն է՝ <math>0,30\dots</math> այսինքն՝ <math>2</math> թվի լոգարիթմը։

Դուք անգամ կարող եք վերջնականապես հաղթել հաշվողին, նրան հայտնելով, թե նա ինչպիսի թիվ էր ուզում ձեզ թելադրել. հռչակավոր շախմատային թիվը՝

<math>2^{64} \;=\; 18 \; 446 \; 744 \; 073 \; 709 \; 551 \; 616</math>։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԸ ԱՆԱՍՆԱՆՈՑՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

Այսպես կոչված «պահպանման» կերի քանակը (այսինքն կերի այն ամենափոքր քանակը, որը միայն լրացնում է օրգանիզմի ծախսերը ջերմության, ներքին օրգանների աշխատանքի, մեռնող բջիջների վերականգնման համար և այլն)<ref>Ի տարբերություն «մթերատու» կերից, այսինքն՝ կերի այն մասից, որը ծախսվում է անասնային մթերք ստանալու վրա։</ref> համեմատական է անասունի մարմնի արտաքին մակերևույթին։ Իմանալով այդ, որոշեցեք պահպանող կերի կալորիականությունը այն եզան համար, որո կշռում է <math>420 \; կգ</math>, եթե նույն պայմանների դեպքում <math>630 \; կգ</math> կշռով եզը կարիք ունի <math>13 \; 600</math> կալորիայի։

'''''Լուծում'''''

Անասնապահության բնագավառից այդ գործնական խնդիրը լուծելու համար բացի հանրահաշվից հարկավոր է դիմել երկրաչափությանը։

Համաձայն խնդրի պայմանի որոնելի <math>x</math> կալորիականությունը համեմատական է եզան մակերևույթին (<math>S</math>), այսինքն՝

<math>\frac{x}{13 \; 500} \;=\; \frac{S}{S_1}</math>,

որտեղ <math>S_1</math>-ը <math>630 \; կգ</math> կշիռ ունեցող եզան մարմնի մակերևույթն է։ Երկրաչափությունից մենք գիտենք, որ նման մարմինների մակերևույթները (<math>S</math>) հարաբերում են, ինչպես նրանց գծային չափերի (<math>l</math>) քառակուսիները իսկ ծավալները՝ (և, հետևաբար, կշիռները), ինչպես գծային չափերի խորանարդները։ Ուստի՝

<math>\frac{S}{S_1} \;=\; \frac{l^2}{l_1^2}, \frac{420}{630} \;=\; \frac{l^3}{l_1^3} \text{ և, նշանակում է՝ } \frac{l}{l_1} \;=\; \frac{\sqrt[3]{420}}{\sqrt[3]{630}}</math>,

որտեղից

<math>\frac{x}{13 \; 500} \;=\; \frac{\sqrt[3]{420^2}}{\sqrt[3]{630^2}} \;=\; \sqrt[3]{\left(\frac{420}{630}\right)^2} \;=\; \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2}</math>,

Լոգարիթմական աղյուսակների օգնությամբ գտնում ենք՝

<math>x=10 \; 300</math>։

Եզը կարիք ունի <math>10 \; 300</math> կալորիայի։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԸ ԵՐԱԺՇՏՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ===

Երաժիշտները հազվադեպ են հրապուրվում մաթեմատիկայով. նրանց մեծամասնությունը դեպի այդ գիտությունը հարգանք տածելով, գերադասում է նրանից շատ հեռու կանգնել։ Այնինչ երաժիշտները, նույնիսկ նրանք, ովքեր չեն ստուգում «հարմոնիան հանրահաշվով», ինչպես Պուշկինի մոտ Սալերին, մաթեմատիկայի հետ շփվում են ավելի հաճախ, քան ենթադրում են իրենք, ընդսմին այնպիսի ահեղ բաների հետ, ինչպիսին են լոգարիթմները։

Հարկ եմ համարում այդ առթիվ մեր հանգուցյալ ֆիզիկոս Ա. Էյխենվալդի<ref>Այն տպվել է „Pyсский астрономический календарь”-ում 1919 թ. և վերնագրված է „О больших и малых расстояниях”.</ref> հոդվածից բերել մի հատված.

Իմ գիմնազիստ ընկերը սիրում էր դաշնամուր նվագել, բայց մաթեմատիկա չէր սիրում։ Նա նույնիսկ արհամարհանքով ասում էր, որ երաժշտությունը և մաթեմատիկան միմյանց հետ ընդհանուր ոչինչ չունեն։

«Ճիշտ է, Պյութագորը ձայնական տատանումների միջև գտավ ինչ-որ հարաբերություններ,— բայց չէ՞ որ հենց պյութագորյան գամման մեր երաժշտության համար ոչ կիրառելի եղավ»։

Երևակայեցեք, թե ինչպես իմ ընկերոջը տհաճ զարմանք պատճառեց այն, երբ ես նրան ապացուցեցի, որ նվագելով ժամանակակից դաշնամուրի ստեղների վրա, նա նվագում է, ճիշտն ասած, լոգարիթմների վրա... Եվ իրոք, այսպես կոչված տեմպերացված քրոմատիկ (ելևէջային) գամմաների աստիճանները դասավորված չեն հավասար հեռավորությամբ ''ո՛չ'' տատանումների թվերի նկատմամբ և ''ո՛չ'' էլ համապատասխան ձայնի ալիքների երկարության նկատմամբ, այլ իրենցից ներկայացնում են այդ մեծությունների ''լոգարիթմները''։ Միայն այդ լոգարիթմների հիմքը հավասար է <math>2</math>-ի, և ոչ թե <math>10</math>-ի, ինչպես ընդունված է մյուս դեպքում։

Ենթադրենք, որ ամենացածր օկտավայի do նոտան (նրան կանվանենք զրո օկտավա) սահմանված է վայրկյանում <math>n</math> տատանումներով։ Այդ ժամանակ առաջին օկտավայի do-ն վայրկյանում կանի <math>2ո</math> տատանումներ, իսկ <math>m</math>-րդ օկտավան՝ <math>n \cdot 2^m</math> տատանումներ և այլն։ Դաշնամուրի խրոմատիկ գամմայի բոլոր նոտաները նշանակենք <math>p</math> համարներով, յուրաքանչյուր օկտավայի do տոնը ընդունելով որպես զրո. այդ ժամանակ, օրինակ, sol տոնը կլինի <math>7</math>-րդ, la-ն կլինի <math>9</math>-րդ և այլն. <math>12</math>-րդ տոնը նորից կլինի do միայն թե մի օկտավայով բարձր։ Քանի որ տեմպերացված քրոմատիկ գամմայի յուրաքանչյուր հետագա տոնը ունի <math>\sqrt[12]{2}</math>-ից ավելի մեծ տատանումներ, քան նախորդը, ապա ցանկացած տոնի տատանումների թիվը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝

<math>N_{pm} \;=\; n \cdot 2^m\left(\sqrt[12]{2}\right)^p</math>։

Լոգարիթմելով այս բանաձևը, կստանանք՝

կամ

<math>lgN_{pm} \;=\; lgn+\left(m+\frac{p}{12}\right)lg2</math>,

իսկ do-ի ամենացածր տատանումների թիվն ընդունելով մեկ (<math>ո=1</math>) և բոլոր լոգարիթմները փոխադրելով <math>2</math> հիմքի (կամ պարզապես ընդունելով <math>lg2=1</math>), կունենանք՝

<math>lgN_{pm} = m+\frac{p}{12}</math>։

Այստեղից տեսնում ենք, որ դաշնամուրի ստեղների համարները իրենցից ներկայացնում են համապատասխան ձայների տատանումների թվի լոգարիթմներ<ref>Բազմապատկում <math>12</math>-ով։</ref>։

Մենք անգամ կարող ենք ասել, որ օկտավայի համարը իրենից ներկայացնում է այդ լոգարիթմի ''խարակտերիստիկան'', իսկ տվյալ օկտավայում<ref>Բաժանում <math>12</math>-ի վրա։</ref> ձայնի համարը՝ ''մանտիսան''։

Օրինակ՝ պարզաբանում ենք, որ երրորդ օկտավի sol տոնում, այսինքն՝ <math>3+\frac{7}{12} (\approx 3,583)</math> թվի մեջ, <math>3</math> թիվը այդ տոնի տատանումների թվի լոգարիթմի խարակտերիստիկան է, իսկ <math>\frac{7}{12} (\approx 0,583)</math>-ը նույն լոգարիթմի մանտիսան <math>2</math> հիմքի դեպքում. տատանումների թիվը, հետևաբար» <math>23,583</math>, այսինքն՝ <math>11,98</math> անգամ մեծ է առաջին օկտավայի do տոնի տատանումների թվից։

===ԱՍՏՂԵՐԸ, ԱՂՄՈՒԿԸ ԵՎ ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԸ===

Այս վերնագիրը, որ միացնում է այդքան, թվում է, միմյանց չմիացվոց առարկաներ, հավակնություն չունի լինել Կուզմա Պրուտկովի ստեղծագործության պարոդիան։ Իրականում խոսքը գնում է աստղերի և աղմուկի մասին՝ լոգարիթմների հետ սերտորեն կապված։

Աղմուկը և աստղերը այստեղ միացվում են նրա համար, որ թե՛ աղմուկի բարձր լինելը, և թե՛ աստղերի պայծառությունը գնահատվում են միատեսակ ձևով՝ ըստ լոգարիթմական սանդղակի։

Աստղագետները աստղերը բաժանում են ըստ նրանց տեսողության պայծառության աստիճանների՝ առաջին մեծության, երկրորդ մեծության, երրորդ մեծության լուսատուների և այլն։ Աստղերի հաջորդական մեծություններն աչքով ընկալվում են որպես թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներ։ Բայց դրանց ֆիզիկական պայծառությունը փոփոխվում է այլ օրենքով՝ իրական պայծառությունները կազմում են <math>2,5</math> քանորդով երկրաչափական պրոգրեսիա։ Հեշտ է հասկանալ, որ աստղի «մեծությունը» իրենից ներկայացնում է ոչ այլ ինչ, քան նրա ֆիզիկական պայծառության լոգարիթմը։ Օրինակ՝ երրորդ մեծության աստղը առաջին մեծության աստղից պայծառ է <math>2,5^{3-1}</math>, այսինքն՝ <math>6,25</math> անգամ։ Կարճ ասած, գնահատելով աստղերի տեսանելի պայծառությունը, աստղագետը հենվում է լոգարիթմների աղյուսակի վրա, որոնք կազմված են <math>2,5</math> հիմքի համար։ Այստեղ մանրամասնորեն կանգ չենք առնի այդ հետաքրքրական առնչությունների վրա, քանի որ իմ մյուս՝ „Занимательная астрономия” գրքում դրանց հատկացվել է բավականին էջեր։

Համանման ձևով գնահատվում է նաև աղմուկի բարձրությունը։ Բանվորների առողջության և աշխատանքի արտադրողականության վրա արդյունաբերական աղմուկների վնասակար ազդեցությունը հարկադրել է մշակել աղմուկի բարձրության գնահատման թվային ճիշտ եղանակներ։ Բարձրության միավոր է հանդիսանում «բելը», գործնականում նրա տասներորդական մասը՝ «դեցիբելը»։ Բարձրության հաջորդական աստիճաններն են՝ <math>1</math> բել, <math>2</math> բել և այլն (գործնականում՝ <math>10</math> դեցիբել, <math>20</math> դեցիբել և այլն), որոնք մեր լսողության համար կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա։ Այդ աղմուկների ֆիզիկական «ուժը» (ճշտորեն՝ էներգիան) կազմում է <math>10</math> քանորդով երկրաչափական պրոգրեսիա։ Բարձրությունների <math>1</math> բել տարբերությանը համապատասխանում է աղմուկների ուժերի <math>10</math>-ի հարաբերությունը։ Նշանակում է՝ աղմուկի բարձրությունը (արտահայտած բելերով) հավասար է նրա ֆիզիկական ուժի տասնորդական լոգարիթմին։

Հարցը պարզ է դառնում, եթե դիտարկենք մի քանի օրինակներ։

Տերևների սոսափյունը գնահատվում է <math>1</math> բել, բարձր խոսակցությունը՝ <math>6,5</math> բել, առյուծի մռնչյունը՝ <math>8,7</math> բել։ Այստեղից հետևում է, որ, ըստ ձայնի ուժի խոսակցությունը տերևների սոսափյունին գերազանցում է

<math>10^{6,5-1} = 10^{5,5} = 316 \; 000</math> անգամ.

առյուծի մռնչյունը բարձր խոսակցությունից ուժեղ է

<math>10^{8,7-6,5} = 10^{2,2} = 158</math> անգամ։

Այն աղմուկը, որի բարձրությունը մեծ է <math>8</math> բելից, մարդկային օրգանիզմի համար ճանաչվում է վնասակար։ Շատ գործարաններում օրենքով սահմանված նորման գերազանցվում է։ Այստեղ պատահում են <math>10</math> և ավելի բել աղմուկներ. մուրճի հարվածները, որ հասցվում են պողպատյա սալին, առաջացնում են <math>11</math> բել աղմուկ։ Այդ աղմուկները <math>100 \text{ և } 1000</math> անգամ ուժեղ են թույլատրելի նորմայից և <math>10—100</math> անգամ ավելի բարձր Նիագարայի ջրվեժի ամենաաղմկոտ տեղից (<math>9</math> բել)։

Պատահականությո՞ւն է արդյոք այն, որ լուսատուների տեսանելի պայծառությունը գնահատելիս և աղմուկի բարձրությունը չափելիս մենք գործ ունենք զգայության մեծության և այն առաջացնող գրգիռների միջև եղած լոգարիթմական կախվածության հետ։ Ոչ, և՛ մեկը, և՛ մյուսը հանդիսանում են ընդհանուր օրենքի հետևանք «Ֆեխների պսիխոֆիզիկական օրենք», որը պնդում է, թե զգայության մեծությունը համեմատական է գրգռման մեծության լոգարիթմին։

Ինչպես տեսնում ենք, լոգարիթմները թափանցում են նաև հոգեբանության բնագավառը։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄՆԵՐԸ ԷԼԵԿՏՐԱԼՈՒՍԱՎՈՐՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ===

'''''Խնդիր'''''

Այն բանի պատճառը, որ գազով լցված (հաճախ սխալմամբ անվանելով «կիսավատտային», լամպերն ավելի պայծառ լույս են տալիս, քան միևնույն նյութից պատրաստված մետաղյա լարով դատարկ լամպերը, թագնված է շիկացման լարի տարբեր ջերմաստիճանի մեջ։ Ֆիզիկայում սահմանված օրենքի համաձայն լույսի ընդհանուր քանակը, որ տարածվում է սպիտակ շիկացման դեպքում, աճում է բացարձակ ջերմաստիճանի <math>12</math>-րդ աստիճանին համեմատ։ Իմանալով այդ, կատարենք այսպիսի հաշվարկ. որոշենք, թե «կիսավատտային» լամպը, որի շիկացման լարի ջերմաստիճանը բացարձակ սանդղակում (այսինքն՝ հաշվելով -273°C-ից) 2500° է, քանի՞ անգամ ավելի շատ լույս է արտածում, քան դատարկ լամպը, որի լարի շիկացումը մինչև 2200° է։

'''''Լուծում'''''

Նշանակելով որոնելի հարաբերությունը <math>x</math>-ով, կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

<math>x \;=\; \left(\frac{2500}{2200}\right)^{12} \;=\; \left(\frac{25}{22}\right)^{12}</math>,

որտեղից

<math>lgx \;=\; 12(lg25-lg22), \; x=4,6</math>։

Գազով լցված լամպի լույսը <math>4,6</math> անգամ ավելի շատ է, քան թե դատարկինը։ Նշանակում է, եթե դատարկը տալիս է <math>50</math> մոմի լույս, ապա նույն պայմանների դեպքում գազով լցվածը կտա <math>230</math> մոմի լույս։

Կատարենք ևս մի հաշվարկ. բացարձակ ջերմաստիճանի ինչպիսի՞ բարձրացում է անհրաժեշտ (տոկոսներով) լամպի պայծառությունը կրկնապատկելու համար։

'''''Լուծում'''''

Կազմենք հավասարում՝

<math>\left(1+\frac{x}{100}\right)^{12} \;=\; 2</math>,

որտեղից՝

<math>lg \left(1+\frac{x}{100}\right) \;=\; \frac{lg2}{12} \text{ և } x=6%</math>։

Վերջապես, երրորդ հաշվարկը. որքանո՞վ է (տոկոսներով) աճում լամպի պայծառությունը, եթե նրա լարի ջերմաստիճանը (բացարձակ) բարձրացվում է 1%-ով։

'''''Լուծում'''''

Լոգարիթմների օգնությամբ կատարելով

հաշվարկը, գտնում ենք՝

<math>x=1,13</math>։

Պայծառությունը աճում է 13%-ով։

Կատարելով հաշվարկ ջերմաստիճանը 2%-ով բարձրացնելու համար, կգտնենք, որ պայծառությունը մեծանում է 27%-ով, իսկ ջերմաստիճանը 3%-ով բարձրացնելիս պայծառությունը մեծանում է 43%-ով։

Այստեղից պարզ է, թե ինչու տեխնիկայում էլեկտրալամպեր պատրաստելիս այդպես մտահոգվում են շիկացման լարի ջերմաստիճանը բարձրացնելու մասին, խնայելով յուրաքանչյուր ավելորդ աստիճան։

===ԿՏԱԿ ՀԱՐՅՈՒՐ ՏԱՐՈՎ===

Ո՞վ չի լսել ցորենի հատիկների այն առասպելական թվի մասին, որը, իբր թե, շախմատի խաղի գյուտարարը «պահանջել է որպես պարգև։ Այդ թիվը կազմվել է մեկը հաջորդաբար կրկնապատկելու ճանապարհով, շախմատային տախտակի առաջին դաշտի համար գյուտարարը պահանջել է <math>1</math> հատիկ, երկրորդի համար՝ <math>2</math> հատիկ և այլն, կրկնապատկելով բոլորը՝ մինչև, վերջին <math>64</math>-րդը։

Սակայն թվերն անսպասելի սրընթացությամբ աճում են ոչ միայն հաջորդական կրկնապատկման դեպքում, այլև՝ անհամեմատ ավելի չափավոր մեծացման դեպքում։

5% բերող կապիտալը տարեկան մեծանում է <math>1,05</math> անգամ։ Կարծես թե այնքան շատ նկատելի չէ աճելը։ Մինչդեռ բավական ժամանակ անցնելուց հետո կապիտալը աճում և դառնում է վիթխարի գումար։ Դրանով էլ բացատրվում է կապիտալի ապշեցնող աճը, որը կտակված է շատ երկար ժամանակով։ Թվում է տարօրինակ, որ թողնելով բավականին համեստ գումար, կտակողը կարգադրություն է անում վիթխարի կապիտալի վճարման մասին։ Հայտնի է ամերիկյան պետական հռչակավոր գործիչ Վենյամին Ֆրանկլինի կտակը: Այն հրապարակվել է «Վենյամին Ֆրանկլինի տարբեր երկերի ժողովածուում»։ Ահա նրանից մի քաղվածք՝

«Հանձնում եմ հազար ֆունտ ստերլինգ Բոստոնի բնակիչներին։ Եթե նրանք ընդունեն այդ հազար ֆունտը, ապա այն պետք է հանձնել ամենաընտիր քաղաքացիներին, իսկ նրանք այդ փողը վարկով կտան երիտասարդ արհեստավորներին<ref>Ամերիկայում այն ժամանակներում դեռ չկային վարկային հիմնարկներ։</ref> տարին հարյուրին <math>5</math> տոկոսով։ Այդ գումարը հարյուր տարի հետո կաճի մինչև <math>131 \; 000</math> ֆունտ ստերլինգի։ Ես ցանկանում եմ, որպեսզի այն ժամանակ <math>100 \; 000</math> ֆունտը ծախսվի հասարակական շենքերի կառույցի վրա, իսկ մնացած <math>31 \; 000</math> ֆունտը արվի տոկոսով՝ <math>100</math> տարով։ Երկրորդ հարյուրամյակն անցնելուց հետո գումարը կաճի մինչև <math>4 \; 061 \; 000</math> ֆունտ ստերլինգի, որից <math>1 \; 060 \; 000</math> ֆունտը թողնում եմ Բոստոնի բնակիչների տնօրինությանը, իսկ <math>3 \; 000 \; 000</math>-ը՝ Մասսաչուզետի համայնքի վարչությանը։ Այնուհետև չեմ համարձակվում տարածել իմ տեսակետը»։

Թողնելով ընդամենը <math>1000</math> ֆունտ, Ֆրանկլինը բաժանել է միլիոններ։ Այստեղ չկա, սակայն, ոչ մի թյուրիմացություն։ Մաթեմատիկական հաշվարկը հաստատում է, որ կտակողի խորհրդածումները լիովին ռեալ են։ <math>1000</math> ֆունտը յուրաքանչյուր տարի աճելով <math>1,05</math> անգամ, <math>100</math> տարուց հետո պետք է դառնա

<math>x \;=\; 1000 \cdot 1,05^{100}</math> ֆունտ։

Այս արտահայտությունը կարելի է հաշվել լոգարիթմների օգնությամբ՝

<math>lgx \;=\; lg1000+100lg1,005 \;=\; 5,11893</math>,

որտեղից

<math>x=131 \; 000</math>,

որ համապատասխանում է տեքստում եղած կտակին։ Այնուհետև, <math>31 \; 000</math> ֆունտը հաջորդ հարյուրամյակի ընթացքում դառնում է

<math>y \;=\; 31 \; 000 \cdot 1,05^{100}</math>,

որտեղից, հաշվելով լոգարիթմների օգնությամբ գտնում ենք՝

գումարը, որը էապես քիչ է տարբերվում կտակում ցույց տրվածից։

Ներկայացնում եմ ընթերցողին ինքնուրույնաբար լուծելու հետևյալ խնդիրը, որը վերցված է Սալտիկովի „Господа Головлевы”-ից.<ref>Գրքում վրիպակ է՝ Սալտիկովի „Господ Головлевых”։— ''Մ.''։</ref> «Պորֆիրի Վլադիմիրովիչը նստած էր իր կաբինետում և նիշեր գրելով՝ սպառում էր թղթի թերթերը։ Այս անգամ նրան զբաղեցնում էր մի հարց. այժմ նա ինչքա՞ն փող կունենար, եթե իր <math>100</math> ռուբլին, որ նվիրել էր պապիկը նրան իր ծնված օրը «ատամների համար», մայրը չսեփականացներ, այլ դներ լոմբարդ փոքրիկ Պորֆիրիկի անունով։ Սակայն ստացվում էր ոչ շատ՝ ընդամենը <math>800</math> ռուբլի»։

Ենթադրելով, որ հաշիվներ անելու ժամանակ Պորֆիրին <math>50</math> տարեկան էր և ընդունելով, որ նա հաշվումները կատարել է ճիշտ (ենթադրությունը քիչ հավանական է, քանի որ դժվար թե Գոլովլյովը գիտեր լոգարիթմները և բարդ տոկոսները), պահանջվում է որոշել, թե այն ժամանակ լոմբարդը քանի տոկոս էր վճարում։

===ԿԱՊԻՏԱԼԻ ԱՆԸՆԴՀԱՏ ԱՃԸ===

Խնայդրամարկղներում տոկոսային փողերն ամեն տարի միացվում են հիմնական կապիտալին։ Եթե միացումը կատարվում է ավելի հաճախ, ապա կապիտալն աճում է ավելի արագ, քանի որ տոկոսների գոյացմանը մասնակցում է մեծ թվով գումար։ Վերցնենք միանգամայն տեսական, խիստ պարզեցված օրինակ։ Դիցուք, խնայդրամարկղում դրված է <math>100</math> ռուբլի՝ տարեկան 100%-ով։ Եթե տոկոսային փողերը հիմնական կապիտալին միացվեն միայն տարին լրանալուց հետո՝ ապա այդ ժամկետին <math>100</math> ռուբ. վերածվում է <math>200</math> ռուբլու։ Այժմ տեսնենք, թե <math>100</math> ռուբլին ինչքա՞ն է դառնում, եթե տոկոսային փողերը հիմնական կապիտալին միացնենք յուրաքանչյուր կես տարին մեկ։ Կես տարին անցնելուց հետո <math>100</math> ռուբլին կդառնա

<math>100 \text{ ռուբ. } \cdot 1,5 = 150</math> ռուբ.

և դարձյալ կես տարի հետո՝

<math>150 \text{ ռուբ. } \cdot 1,5 = 225</math> ռուբ.։

Եթե միացումը կատարենք յուրաքանչյուր <math>\frac{1}{3}</math> տարին մեկ, ապա տարին անցնելուց հետո <math>100</math> ոուբ. կվերածվի

<math>100 \text{ ռուբ. } \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^3 \approx 237 \text{ ռուբ. } 03</math> կոպ.-ի։

Ավելի հաճախակի դարձնենք տոկոսային փողերի միացման ժամկետները՝ մինչև <math>0,1, \; 0,01, \; 0,001</math> տարի և այլն։ Այդ ժամանակ մեկ տարի հետո 100 ռուբլուց կստացվի՝

<TR>

<TD><math>\approx 259 \text{ ռուբ.} 37</math> կոպ.</TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\approx 270 \text{ ռուբ.} 48</math> կոպ.</TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\approx 271 \text{ ռուբ.} 69</math> կոպ.</TD>

</TR>

</TABLE>

Բարձրագույն մաթեմատիկայի մեթոդներով ապացուցվում է, որ միացման ժամկետների անսահման կրճատման դեպքում աճող կապիտալը չի աճում անսահմանորեն, այլ մոտենում է որոշ սահմանի, որը մոտավորապես<ref>Կոպեկների կոտորակային մասն անտեսում ենք։</ref> հավասար է

<math>271 \text{ ռուբ. } 83</math> կոպ.։

100%-ով դրված կապիտալը <math>2,7183</math>-ից ավել մեծանալ չի կարող, եթե անգամ աճող տոկոսները կապիտալին միացվեն յուրաքանչյուր վայրկյանում։

„<math>e</math>” ԹԻՎԸ

Ստացված <math>2,7183 \dots</math> թիվը, որը բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ վիթխարի դեր է խաղում, ոչ ավելի պակաս, քան հռչակավոր <math>\pi</math> թիվը, ունի հատուկ նշանակում՝ <math>e</math>։ Սա իռացիոնալ թիվ է. այն չի կարող թվանշանների<ref>Բացի այդ, այդ թիվը, ինչպես և <math>\pi</math> թիվը տրանսցենդենտ են, այսինքն՝ չեն կարող լինել ամբողջ գործակիցներով հանրահաշվական որևէ հավասարման լուծման արդյունք։</ref> վերջավոր թվով ճշտորեն արտահայտվել, բայց հաշվվում է միայն մոտավորությամբ, ճշտության ցանկացած աստիճանով, հետևյալ շարքի միջոցով՝

Բարդ տոկոսներով կապիտալի աճի վերը բերված օրինակից հեշտ է նկատել, որ <math>e</math> թիվը

<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

արտահայտության սահմանն է <math>n</math>-ի անսահմանորեն աճելու դեպքում։

Շատ պատճառներով, որոնք մենք այստեղ շարադրել չենք կարող, <math>e</math> թիվը նպատակահարմար է ընդունել որպես լոգարիթմների սիստեմի հիմք։ Այդպիսի աղյուսակները («բնական լոգարիթմների») գոյություն ունեն և լայն կիրառություն են գտնում գիտության և տեխնիկայի մեջ։ <math>48, 61, 102 և 260</math> թվանշաններով այն լոգարիթմ-հսկաները, որոնց մասին մենք խոսել ենք ավելի վաղ, հատկապես ունեն <math>e</math> հիմքը։

<math>e</math> թիվը հաճախ հայտնվում է այնտեղ, որտեղ նրան ընդհանրապես չեն սպասում։ Դնենք, օրինակ, այսպիսի խնդիր։

Ի՞նչ մասերի պետք է բաժանել տրված a թիվը, որպեսզի բոլոր մասերի արտադրյալը լինի ամենամեծը։

Մենք արդեն դիտենք, որ հաստատուն գումարի դեպքում թվերն ամենամեծ արտադրյալը տալիս են այն դեպքում, երբ դրանք միմյանց հավասար են։ Պարզ է, որ <math>a</math> թիվը պետք է բաժանել հավասար մասերի։ Բայց քանի հավասար մասի։ Երկուսի՞, երեքի՞, տասի՞։ Բարձրագույն մաթեմատիկայի եղանակներով կարելի է որոշել, որ ամենամեծ արտադրյալն ստացվում է, երբ մասերը ըստ հնարավորին մոտ են <math>e</math> թվին։

Օրինակ, <math>10</math>-ը պետք է բաժանել այնպիսի թվով հավասար մասերի, որպեսզի մասերն ըստ հնարավորին մոտ լինեն <math>2,718</math>-ին։ Դրա համար պետք է գտնել հետևյալ քանորդը՝

Քանի որ թիվը <math>3,678 \dots</math> հավասար մասերի վրա բաժանել չի կարելի,<ref>Գրքում վրիպակ է՝ Քանի որ <math>3,678 \dots</math> թիվը հավասար մասերի վրա բաժանել չի կարելի,— ''Մ.''։</ref> ապա հարկ է լինում բաժանարարը վերցնել նրան ամենամոտ ամբողջ թիվը՝ <math>4</math>-ը։ Հետևաբար, <math>10</math>-ի մասերի ամենամեծ արտադրյալը, մենք կստանանք, եթե այդ մասերը հավասար են <math>\frac{10}{4}</math>, այսինքն՝ <math>2,5</math>։

Նշանակում է

ամենամեծ թիվն է, որը կարող է ստացվել <math>10</math>-ի միատեսակ մասերի բազմապատկումից։ Իրոք, <math>10</math>-ը բաժանելով <math>3 կամ 5</math> հավասար մասերի՝ մենք կստանանք փոքր արտադրյալ

<math>\left(\frac{10}{3}\right)^3 \;=\; 37, \left(\frac{10}{5}\right)^5 \;=\; 32</math>։

<math>20</math> թվի մասերի ամենամեծ արտադրյալն ստանալու համար այն պետք է բաժանել <math>7</math> հավասար մասերի, քանի որ,

<math>20 \;:\; 2,718 \dots \;=\; 7,36 \approx 7</math>։

<math>50</math> թիվը պետք է բաժանել <math>18</math> մասի, իսկ <math>100</math>-ը՝ <math>37</math>, քանի որ

<math>50 \;:\; 2,718 \dots = 18,4</math>,

<math>100 \;:\; 2,718 \dots = 36,8</math>։

<math>e</math> թիվը վիթխարի դեր է խաղում մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի, աստղագիտության և մյուս գիտությունների մեջ։ Ահա մի քանի հարցեր, որոնք մաթեմատիկորեն դիտարկելու դեպքում հարկ է լինում օգտվել այդ թվից (ցանկը կարելի էր մեծացնել անսահմանափակ կերպով).

Բարոմետրական բանաձև (ճնշման փոքրանալը բարձրության հետ միասին),

Էյլերի բանաձևը<ref>Այդ մասին տե՛ս „Жюль-Верновский силач и формула Эйлера” հոդվածը իմ «Հետաքրքրաշարժ ֆիզիկայի» 2-րդ գրքում։</ref>,

Մարմինների սառելու օրենքը,

Ռադիոակտիվ տրոհումը և Երկրի տարիքը,

ճոճանակի տատանվելը օդում,

Ցիոլկովսկու բանաձևը հրթիռի արագության համար<ref>Տե՛ս իմ «Միջմոլորակային ճանապարհորդություններ» գիրքը։</ref>,

Տատանողական երևույթները ռադիոկոնտուրում,

Բջիջների աճելը։

===ԼՈԳԱՐԻԹՄԱԿԱՆ ԿՈՄԵԴԻԱ===

'''''Խնդիր'''''

Որպես լրացում մաթեմատիկական այն կոմեդիաների, որոնց ընթերցողը ծանոթացավ 5-րդ գլխում, բերենք նույն տեսքի ևս մի նմուշ, այն է՝ <math>2>3</math> անհավասարության «ապացույցը»։ Այս անգամ ապացույցին մասնակցում է լոգարիթմումը։ «Կոմեդիան» սկսվում է

անհավասարությունով, որը անվիճելիորեն ճիշտ է։ Այնուհետև հետևում է ձևափոխությունը՝

<math>\left(\frac{1}{2}\right)^2 > \left(\frac{1}{2}\right)^3</math>,

որը նույնպես կասկած չի ներշնչում։ Մեծ թվին համապատասխանում է մեծ լոգարիթմ, նշանակում է՝

<math>2lg_{10}\left(\frac{1}{2}\right) > 3lg_{10}\left(\frac{1}{2}\right)</math>։

<math>lg_{10}\left(\frac{1}{2}\right)</math>-ով կրճատելուց հետո կունենանք՝ <math>2>3</math>։ Ինչո՞մն է այդ ապացուցման սխալը։

'''''Լուծում'''''

Սխալը նրանումն է, որ <math>lg_{10}\left(\frac{1}{2}\right)</math>-ով կրճատելու դեպքում անհավասարության նշանը չփոխվեց (<math>></math>-ը <math><</math>-ով) այն ժամանակ անհրաժեշտ էր այդ անել, քանի որ <math>lg_{10}\left(\frac{1}{2} \right)</math> թիվը բացասական է։ [Իսկ եթե մենք լոգարիթմենք ոչ թե <math>10</math> հիմքով, այլ <math>\frac{1}{2}</math>-ից փոքր հիմքով, ապա <math>lg\left(\frac{1}{2}\right)</math>-ը կլիներ դրական թիվ, բայց մենք այն ժամանակ իրավացի չէինք լինի պնդելու, որ մեծ թվին համապատասխանում է մեծ լոգարիթմ։

===ՑԱՆԿԱՑԱԾ ԹԻՎ՝ ԵՐԵՔ ԵՐԿՈՒՍՆԵՐՈՎ===

'''''Խնդիր'''''

Գիրքն ավարտենք հանրահաշվական սրամիտ գլուխկոտրուկով, որով զվարճացել են ֆիզիկոսների մի համագումարի մասնակիցները Օդեսայում։ Առաջարկվում է հետևյալ խնդիրը՝ ցանկացած ամբողջ և դրական տրված թիվը պատկերել երեք երկուսներով և մաթեմատիկական սիմվոլներով։

'''''Լուծում'''''

Ցույց տանք, թե նախ ինչպես է խնդիրը լուծվում պատահական օրինակով։ Դիցուք <math>3</math>-ը տրված թիվն է։ Այդ դեպքում խնդիրը լուծվում է այսպես՝

<math>3 \;=\; -lg_2lg_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}</math>։

Այս հավասարության ճշտության մեջ հեշտ է համոզվել։

Իրոք՝

<math>\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} \;=\; \left[\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right]^{\frac{1}{2}} \;=\; 2^{\frac{1}{2^3}} \;=\; 2^{2^{-3}}</math>

<math>lg_22^{2^{-3}} \;=\; 2^{-3}, \;\; -lg_22^{-3} \;=\; 3</math>։

Իսկ եթե տված լիներ <math>5</math> թիվը, մենք խնդիրը կլուծեինք նույն օրինակով՝

<math>5 \;=\; -lg_2lg_2 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}</math>։

Ինչպես տեսնում ենք, մենք այստեղ օգտվում ենք այն բանից, որ քառակուսի արմատի դեպքում արմատի ցուցիչը չի գրվում։

Խնդրի ընդհանուր լուծումը այսպես է։ Եթե տրված թիվը <math>N</math> է, ապա

<math>N \;=\; -lg_2lg_2 \underbrace{\sqrt{\sqrt{ \dots \sqrt{\sqrt{2}}}}}_{N անգամ}</math>,

ընդ որում արմատների թիվը հավասար է տրված թվի միավորների քանակին։

Մանվել

Վստահելի

1396

edits

Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Գրապահարան