Խնդիրը հանգում է ամբողջ և դրական թվերով՝
<math>12x + 31y \;=\; l70170</math>
անորոշ հավասարման լուծմանը, ընդ որում <math>x</math> ամսաթիվը մեծ չէ <math>31</math>-ից, իսկ ամսվա <math>y</math> համարը մեծ չէ <math>12</math>-ից։
<math>x \;=\; 14-3(2-12t_1)+1-5t_1 \;=\; 9+31t_1</math>։
Գիտենալով, որ <math>31 \geq x>0 \text{ </math> և } <math>12 \geq y > 0</math>, գտնում ենք <math>t_1</math>-ի համար հետևյալ սահմանները՝
<math>-\frac{9}{31} < t_1 < \frac{1}{6}</math>։
հավասարման լուծմանը։
Դատենք «հակառակը»։ Ենթադրենք, որ այդ հավասարումն ունի երկու տարբեր դրական ամբողջ լուծումներ, այն է՝ <math>x_1, \; y_1 \text{ </math> և } <math>x_2, \; y_2</math>, ընդ որում <math>x_1</math>-ը և <math>x_2</math>-ը չեն գերազանցում <math>31</math>-ին, իսկ <math>y_1</math>-ը և <math>y_2</math>-ը չեն գերազանցում <math>12</math>-ին։
Մենք ունենք՝
<TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>16-y</math></TD>
<TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>26-z</math></TD>
<TD align=center style='border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'><math>ոn</math></TD>
</TR>
</TABLE>
Այս հավասարումներից առաջինը բաժանենք երկրորդի վրա՝
<math>\frac{x-z}{y-z} \;=\; \frac{8}{5} \text{ </math> կամ } <math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{5}</math>։
Քանի որ <math>x</math>-ը, <math>y</math>-ը, <math>z</math>-ը ամբողջ թվեր են, ապա և <math>x-z, \; y-z</math> տարբերությունները նույնպես ամբողջ թվեր են։ Ոստի
<math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{5}</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{8}</math>։— ''Մ.''։</ref>
Ամբողջ և դրական <math>z</math>-ի ու <math>t</math>-ի դեպքում վերջին անհավասարությունը բավարարվում է միայն մեկ դեպքում՝ երբ <math>z=1 \text{ և } t=1</math>։ Տեղադրելով այդ արժեքները
<math>z \;=\; z+8t \text{ </math> և } <math>y \;=\; z+5t</math>
հավասարումների մեջ, գտնում ենք՝ <math>x=9, \; y=6</math>։
Եթե այս հավասարումը բազմապատկենք <math>y</math>-ով, այնուհետև բացենք փակագծերը և կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք՝
<math>x(2y+y2y^2+1) \;=\; 243</math>։
Բայց
<math>x \;=\; \frac{243y}{(y+1)^2}</math>։
Որպեսզի <math>x</math>-ը լինի ամբողջ թիվ, <math>(y+1)^2</math> հայտարարը պետք է լինի <math>243</math>-ի բաժանարարներից մեկը (որովհետև <math>y</math>-ը <math>y+1</math>-ի հետ չի կարող ունենալ ընդհանուր արտադրիչներ)։ Գիտենալով, որ <math>243=3^5</math>–ի, եզրակացնում ենք, որ <math>243</math>-ը բաժանվում է միայն հետևյալ թվերի վրա, որոնք հանդիսանում են ճիշտ քառակուսիներ՝ <math>1, \; 3^2, \; 9^2</math>։ Այսպիսով՝ <math>(y+1)^2</math>-ն պետք է հավասար լինի <math>1, \; 3^2 \text{ </math> կամ } <math>9^2</math>, որտեղից(հիշելով, որ <math>y</math>-ը պետք է լինի դրական) գտնում ենք, որ <math>y</math>-ը հավասար է <math>8 \text{ </math> կամ } <math>2</math>։
Այդ դեպքում <math>x</math>-ը հավասար է
<math>\frac{243 \cdot 8}{81} \text{ </math> կամ } <math>\frac{243 \cdot 2}{9}</math>։
Այսպիսով, որոնելի թվերն են՝ <math>24 \text{ </math> և } <math>8 \text{ </math> կամ } <math>54 \text{ </math> և } <math>2</math>։
===ԻՆՉՊԻՍԻ՞ ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ Է===
որտեղից
<math>x \;=\; \frac{2y}{y-2}</math>։
Քանի որ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը պետք է լինեն դրական, ապա դրական պետք է լինի նաև <math>y-2</math> թիվը, այսինքն՝ <math>y</math>-ը պետք է լինի <math>2</math>-ից մեծ։
Նկատենք այժմ, որ
<math>x \;=\; \frac{2y}{y-2} \;=\; \frac{2(y-2) + \frac{4}{y-2} \;=\; 2 + \frac{4}{y-2}</math>։
Քանի որ <math>x</math>-ը պետք է լինի ամբողջ թիվ, ապա <math>\frac{4}{y-2}</math> արտահայտությունը պետք է լինի ամբողջ թիվ։ Բայց <math>y>2</math> դեպքում այդ հնարավոր է, եթե միայն <math>y</math> հավասար է <math>3, \; 4 \text{ </math> կամ } <math>6</math>։ <math>x</math>-ի համապատասխան արժեքները կլինեն <math>6, \; 4, \; 3</math>։
Այսպիսով, որոնելի պատկերը կա՛մ ուղղանկյուն է <math>3 \text{ </math> և } <math>6</math> կողմերով, կա՛մ քառակուսի՝ <math>4</math> կողմով։
===ԵՐԿՈՒ ԵՐԿԱՆԻՇ ԹՎԵՐ===
'''''Խնդիր'''''
<math>46 \text{ </math> և } <math>96</math> թվերն ունեն հետաքրքիր առանձնահատկություն՝ դրանց արտադրյալը չի փոխվում, եթե տեղափոխենք այդ թվերի թվանշանները։
Իրոք,
Պահանջվում է որոշել՝ գոյություն ունե՞ն արդյոք երկանիշ թվերի այլ զույգեր՝ միևնույն հատկությամբ։ Ի՞նչպեսդրանց գտնել։
'''''Լուծnւմ'''''
Որոնելի թվերի թվանշանները նշանակելով <math>x \text{ </math> և } <math>y, \; z \cdot { </math> և } <math>t</math>, կազմենք հավասարում՝
<math>(10x+y)(10z+t) \;=\; (10y+x)(10t+z)</math>։
որտեղ <math>x</math>-ը, <math>y</math>-ը, <math>z</math>-ը, <math>t</math>-ն ամբողջ թվեր են և փոքր են <math>10</math>-ից։ Լուծումները փնտրելու համար <math>9</math> թվանշաններից կազմենք հավասար արտադրյալներով բոլոր զույգերը՝
<math>1 \cdot 4=2 \cdot 2 \;\;\;\;\;\;\;\; 2 \cdot 8=4 \cdot 4</math>
<math>1 \cdot 6=2 \cdot 3 \;\;\;\;\;\;\;\; 2 \cdot 9=3 \cdot 6</math>
<math>1 \cdot 8=2 \cdot 4 \;\;\;\;\;\;\;\; 3 \cdot 8=4 \cdot 6</math>
<math>2 \cdot 6=3 \cdot 4</math>
Այս ձևով որոնում ենք հետևյալ <math>14</math> լուծումները՝
<math>12 \cdot 42=21 \cdot 24 \;\;\;\;\;\;\;\; 23 \cdot 96=32 \cdot 69</math>
<math>12 \cdot 63=21 \cdot 36 \;\;\;\;\;\;\;\; 24 \cdot 63=42 \cdot 36</math>
<math>12 \cdot 84=21 \cdot 48 \;\;\;\;\;\;\;\; 24 \cdot 84=42 \cdot 48</math>
<math>13 \cdot 62=31 \cdot 26 \;\;\;\;\;\;\;\; 26 \cdot 93=62 \cdot 39</math>
<math>13 \cdot 93=31 \cdot 39 \;\;\;\;\;\;\;\; 34 \cdot 86=43 \cdot 68</math>
<math>14 \cdot 82=41 \cdot 28 \;\;\;\;\;\;\;\; 36 \cdot 84=63 \cdot 48</math>
<math>23 \cdot 64=32 \cdot 46 \;\;\;\;\;\;\;\; 46 \cdot 96=64 \cdot 69</math>
===ՊՅՈՒԹԱԳՈՐՅԱՆ ԹՎԵՐ===