Ուստի AB մակերեսի քառակուսի արմատը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմենն է, ինչը և պետք էր ապացուցել:
==Պնդում 93==
Եթե մակերեսը ձևավորվում է բանական (ուղիղ գծի) և երրորդ ապոտոմի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը կլինի միջին (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմ։
Թող AB մակերեսը կազմված լինի բանական ուղիղ գծից` AC-ից և երրորդ ապոտոմից` AD-ից։ Ասում եմ, որ AB-ի քառակուսի արմատը երկրորդ ապոտոմն է միջին ուղիղ գծի։
Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը։ Այսպիսով, AG-ն և GD-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն իրենց քառակուսիներով։ Սակայն ո՛չ AG-ն, ո՛չ GD-ն երկարությամբ չեն համաչափվում նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծին՝ AC-ին։ Այսպիսով, համընթացապես դրված ռացիոնալ ուղիղ AC-ում, AG ամբողջ քառակուսու արժեքը գերազանցում է DG-ի քառակուսին՝ որոշ ուղիղ գծի քառակուսի չափով, որը երկարությամբ համաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13]:Ապա եթե DG-ի քառակուսի չորրորդ մասն ուղղվի AG-ին՝ բայց պակասեցվի քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն երկարություններով համաչափ մասերի [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Հետևաբար, թող DG-ն կիսվի E կետով: Եվ թող EG քառակուսիի չափով մակերեսը կիրառվի AG-ին՝ նման փոքր քառակուսիի տեսքով, ու դա կլինի AF և FG պարունակվող քառանկյունը։ Ուստի, թող LM-ը հավասար լինի AI-ին: Եվ թող NO-ն որը հավասար է FK-ին, ու որը նույն անկյան շուրջ է, հանված լինի (LM-ից): Այսպիսով, LM-ն և NO-ն նույն անկյան շուրջ են։ Թող PR-ը լինի նրանց ընդհանուր անկյունագիծը, և կռուցվի պատկերը։ Հետևաբար, քանի որ AF և FG ուղղանկյունները հավասար են EG-ի քառակուսուն, ապա ինչպես AF-ը EG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EG-ը FG-ի[Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]: Բայց նաև, ինչպես AF-ը EG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ AI-ը EK-ի հետ[Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: Եվ ինչպես EG-ը FG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EK-ը FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Եվ, հետևաբար, ինչպես AI-ը EK-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EK-ը FK-ի հետ է հարաբերակցում [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Հետևաբար, EK-ը միջին համեմատական է AI-ի և FK-ի միջև։ Եվ MN-ն նույնպես միջին համեմատական է LM և NO քառակուսիների միջև [Տե՛ս «Տարրեր», 10.53 լեմմա]: