[[Պատկեր:Նկար-1.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-2.png|center|200px]]
Երկու ուղիղներ զուգահեռ են երրորդ ուղղին որը նրանց հետ նույն հարթության մեջ չի գտնվում, ապա այդ ուղիղները միմյանց նկատմամբ նույնպես զուգահեռ են։
[[Պատկեր:Նկար-3.png|center|200px]]
AB և CD ուղիղներից յուրաքանչյուրը զուգահեռ է EF ուղղին, որը նույն հարթության մեջ չէ։ Ցույց տանք որ AB և CD ուղիղները զուգահեռ են։ Պատահականորեն վերցնենք մի G կետ EF ուղղի վրա։ GH ուղիղը EF ուղղի հետ կազմում է ուղիղ անկյուն EF և AB ուղիղներով անցնող հարթության մեջ։ Եվ EF-ն ուղղահայաց է GK ուղղին՝ FE և CD ուղիղներով անցնող հարթության վրա:
Եթե երկու հատվող ուղիղներ զուգահեռ են այլ հարթության մեջ գտնվող երկու հատվող ուղիղների, ապա հարթությունները պարունակում են հավասար անկյուններ։
[[Պատկեր:Նկար-4.png|center|200px]]
Իրար միացած երկու ուղիղները՝ AB և BC, զուգահեռ են (համապատասխանաբար) միմյանց միացած երկու ուղիղների՝ DE և EF որոնք վերջիններս ընկած չեն AB և BC ուղիղներով անցնող հարթությանը ։Ցույց տանք, որ ABC անկյունը հավասար է DEF անկյանը:
[[Պատկեր:Նկար-11.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-12.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-13.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-14.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-15.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-16.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-17.png|center|200px]]
Եթե ուղիղն ուղղահայաց է ինչ-որ հարթությանը, ապա այդ ուղղով անցնող բոլոր հարթությունները նույնպես ուղղահայաց կլինեն դիտարկվող հարթությանը:
[[Պատկեր:Նկար-18.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-19.png|center|200px]]
[[Պատկեր:Նկար-20.png|center|200px]]
== Պնդում 21 ==
Մարմնային անկյունը կառուցվում է հարթ անկյուններով որոնց գումարը փոքր է չորս ուղիղ անկյուններից։
[[Պատկեր:Նկար.png|center|200px]]
Ենթադրենք A անկյունը կառուցվում է BAC, CAD և DAB հարթ անկյուններով:Ցույց տանք, որ BAC, CAD և DAB անկյունների գումարը չորս ուղիղ անկյունների գումարից փոքր է:
Վերցնենք B, C և D կամայական կետերը AB, AC և AD ուղիղներից յուրաքանչյուրի վրա համապատասխան: Քանի որ B մարմնային անկյունը պարունակում է CBA, ABD և CBD երեք հարթ անկյունները, ապա ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից [Պնդ. 11.20]։ Այսպիսով, CBA և ABD անկյունների գումարը ավելի մեծ է, քան CBD-ն: Այսպիսով, նույն կերպ BCA-ի և ACD-ի գումարը մեծ է BCD-ից, իսկ CDA-ի և ADB-ի գումարը մեծ է, CDB-ից: Այսպիսով, CBA, ABD, BCA, ACD, CDA և ADB վեց անկյունների գումարը ավելի մեծ է, քան երեք անկյունների գումարը CBD, BCD և CDB: Բայց երեք անկյունների գումարը CBD, BDC և BCD հավասար է երկու ուղիղ անկյունների[Պնդ. 1.32]: Այսպիսով, CBA, ABD, BCA, ACD, CDA և ADB վեց անկյունների գումարը մեծ է երկու ուղիղ անկյուննեից: Եվ քանի որ ABC, ACD և ADB եռանկյուններից յուրաքանչյուրի երեք անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների, ապա ինը անկյունների գումարը СВА, АСВ, ВAC, ACD, CDA, CAD, ADB, DBA և BAD երեք եռանկյուններից հավասար են վեց ուղիղ անկյունների գումարին, որոնցից վեց անկյունների գումարը ABC, BCA, ACD, CDA, ADB, DBA ավելի մեծ է, քան երկու ուղիղ անկյունները: Այսպիսով, մնացած երեք անկյունների գումարը BAC, CAD և DAB, որոնք վերջիններս կառուցում են մարմնային անկյունը, փոքր է չորս ուղիղ անկյուններից:
''Հանգունորեն, ցանկացած մարմնային անկյուն կառուցվում է հարթ անկյուններով որոնց գումարը փոքր է չորս ուղիղ անկյունից։ Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 22 ==
Եթե երեք հարթ անկյուններից ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից և հատվածները հավասար են միմյանց ապա ամենայն հավանականությամբ այդ հատվածներով կարելի է կառուցել եռանկյուն։
[[Պատկեր:Նկար-21.png|center|200px]]
Ենթադրենք ABC, DEF, և GHK հարթ անկյուններ են որոնց ցանկացած երկուսի գումարը ավելի մեծ է քան երրորդը։ AB, BC, DE, EF, GH, և HK հավասար հատվածներ են։Միացնենք AC,DF և GK հատվածները։ Այժմ ցույց տանք որ հնարավոր է կառուցել եռանկյուն որի կողմերը հավասար են AC, DF և GK հատվածներին, ասել է թե ցանկացած երկուսի գումարը մեծ է երրորդից։ ABC, DEF և GHK անկյունները հավասար են՝ ստացվում է, որ AC, DF, GK հատվածները հավասարվում են և հնարավոր է լինում կառուցել եռանկյուն այդ հատվածներով։ Հակառակ դեպքում եթե նրանք հավասար չեն և KHL անկյունը հավասար է ABC անկյանը։ Ենթադրենք որ HL հատվածը հավասար է AB, BC, DE, EF, GH, HK հատվածներից մեկին։ Միացնենք KL-ն GL-ին։ Քանի որ AB և BC հատվածները հավասար են համապատասխանաբար KH և HL հատվածներին և անկյուն B հավասար է KHL-ին և AC-ն հավասար է KL հիմքին։ ABC և GHK անկյունների գումարը մեծ է DEF-ից, և ABC հավասար է KHL, GHL անկյուններին որոնք իրենց հերթին մեծ են DEF անկյունից։ Եվ քանի որ GH և HL կողմերը հավասար են համապատասխանաբար DE և EF հատվածներին,GHL անկյունը մեծ է DEF-ից ստացվում է որ GL հիմքը մեծ է DF հիմքից[Պնդ. 1.24]։ GK և KL հատվածների գումարը մեծ է GL-ից [Պնդ. 1.20]։Հետևաբար GK և KL հատվածների գումարը մեծ է DF-ից, KL հավասար է AC-ին։ Այդ իսկ պատճառով AC և GK հատվածների գումարը մեծ է DF-ից։
''Հանգունորեն՝ կարող ենք ասել որ AC և DF գումարը մեծ է GK-ից, ավելին DF-ի և GK-ի գումարը մեծ է AC-ից։ Այսպիսով կարելի է կառուցել եռանկյուն AC, DF, GK հատվածներով։Ինչը պահանջվում էր ցույց տալ։
''
== Պնդում 23 ==
Մարմնային անկյուն կառուցելու համար պետք է երեք հարթ անկյուններ, որոնցից երկուսի գումարը մեծ է երրորդից։ Այսպիսով, անհրաժեշտ է, որ այդ անկյունների գումարը փոքր լինիչորս ուղիղ անկյունների գումարից։
[[Պատկեր:Նկար-23.png|center|200px]]
Տրված են ABC, DEF և GHK երեք հարթ անկյուններ, որոնցից երկուսի գումարը մեծ է երրորդից, իսկ երեքի գումարը չորս ուղիղ անկյուններից փոքր է։ Այսպիսով, անհրաժեշտ է կառուցել մարմնային անկյուն՝ հարթ անկյուններից։
AB, BC, DE, EF, GH և HK հատվում են այնպես, որ դրանք հավասար լինեն միմյանց։ AC-ը, DF-ն և GK-ն միացնենք։ Հնարավոր է կառուցել եռանկյունի հետևյալ հատվածներից՝ AC, DF և GK [Պնդ. 11.22]:
LMN եռանկյունը կառուցենք այնպես, որ AC-ը հավասար է LM-ին, DF-ն՝ MN-ին, և GK-ն՝ NL-ին։ LMN կետերով շրջան գծենք LMN եռանկյան շուրջը Օ կենտրոնով։ Միացնենք LO, MO և NO շառավիղները։
[[Պատկեր:Նկար-23-2.png|center|200px]]
Ցույց տանք, որ AB-ն ավելի մեծ է, քան LO-ն,հակառակ ենթադրությամբ AB-ն կամ հավասար է LO-ին, կամ փոքր է նրանից։ Ենթադրենք հավասար է։Քանի որ AB-ն հավասար է LO-ին, AB-ն նաև հավասար է BC-ին, իսկ OL-ը՝ OM-ին, ուստի AB և BC համապատասխանաբար հավասար են LO-ին և OM-ին։ Իսկ AC հիմքը ենթադրվում էր հավասար LM հիմքին։ Այդ իսկ պատճառով ABC անկյունը հավասար է LOM անկյանը [Պնդ. 1.8]:
Նույն կերպ DEF-ը նույնպես հավասար է MON-ին, իսկ GHK-ն՝ NOL-ին։ Կարելի է պնդել որ երեք անկյունները ABC, DEF և GHK հավասար են LOM, MON և NOL երեք անկյուններին համապատասխանաբար։ Բայց LOM, MON և NOL երեք անկյունների գումարը հավասար է չորս ուղիղ անկյունների գումարին։ Այսպիսով, երեք անկյունների ABC, DEF և GHK գումարը նույնպես հավասար է չորս ուղիղ անկյունների գումարին։ Սակայն նաև ենթադրվում էր, որ դրանք փոքր են չորս ուղիղ անկյունների գումարից։ Որը անհնար է։ Այսպիսով, AB-ն չի կարող հավասար լինել LO-ին։ Ցույց տանք որ AB-ն LO-ից քիչ չէ։ Հակառակ ենթադրությամբ վերցնենք որ փոքր է։
Ենթադրենք OP-ն հավասար է AB-ին, իսկ OQ-ն հավասար BC-ին։ Քանի որ AB-ն հավասար է BC-ին, OP-ն նույնպես հավասար է OQ-ին։ Հետևաբար LP-ն նույնպես հավասար է QM-ին։ Այսպիսով, LM-ը զուգահեռ է PQ-ին [Պնդ. 6.2], և եռանկյունը LMO հավասար է PQO եռանկյանը։
Այսպիսով, ինչպես OL-ն LM-ին էհարաբերում, այնպես էլ OP-ը PQ-ին։ Այլապես, ինչպես LO-ն OP-ին է, այնպես էլ LM-ն PQ-ին: Իսկ LO-ն ավելի մեծ է, քան OP։ Այսպիսով, LM-ը նույնպես ավելի մեծ է, քան PQ-ն: Բայց LM-ն հավասար է AC-ին։ Այսպիսով, AC-ը նույնպես ավելի մեծ է, քան PQ-ն։
Հետևաբար, քանի որ AB և BC հատվածները հավասար են PO և OQ-ին , և AC հիմքը մեծ է PQհիմքից, ABC անկյունը ավելի մեծ է, քան անկյունը PQO:
Մենք կարող ենք ցույց տալ, որ DEF-ը նույնպես մեծ է MON-ից, իսկ GHK-ն՝ NOL-ից։ Այսպիսով, երեք անկյունների ABC-ի, DEF-ի և GHK-ի գումարը հավասար է NOL-ին։ Բայց ABC-ի, DEF-ի և GHK-ի գումարը ենթադրվում էր փոքր չորս ուղիղ անյունների գումարից։ Բայց LOM-ի, MON-ի և NOL-ի գումարը շատ ավելի փոքր է այդ գումարից։ Բայց նույնպես պետք է հավասար լինի չորս ուղիղ անկյունների գումարին։ Ինչը անհնար է։ Այսպիսով, AB-ն LO-ից պակաս չէ։Երկու սխալ ենթադրություններից հետո կարելի է ասել AB-ը մեծ է LO-ից։
Այսպիսով, O կետում LMN շրջանագծի հարթության նկատմամբ ուղղահայաց գծենք OR: OR-ի քառակուսին հավասար է AB-ի քառակուսի գումարած LO քառակուսի։․Եվ քանի որ RO-ն ուղահայաց է LMN շրջանագծի հարթությանը, RO-ն նույնպես ուղղահայաց է LO, MO և NO-ից յուրաքանչյուրին։ Եվ քանի որ LO-ն հավասար է OM-ին, իսկ OR-ը ուղիղ է, ուստի RL հիմքը հավասար է RM-ի հիմքին [Պնդ. 1.4]. Նույն պատճառներով RN-ը նույնպես հավասար է RL-ից և RM-ից յուրաքանչյուրին։
Այսպիսով, երեք (ուղիղ) RL, RM և RN հավասար են միմյանց: Եվ քանի որ OR-ի քառակուսին ենթադրվում էր, որ հավասար AB-ի քառակուսի հանած LO-ի քառակուսին, հետևաբար AB-ի քառակուսին հավասար է նրանց քառակուսիների գումարին: LR-ի քառակուսին հավասար է LO-ի և OR-ի քառակուսիների գումարին: Այսպիսով, AB-ի վրա քառակուսին հավասար է RL-ի քառակուսուն: Այսպիսով, AB հավասար է RL-ին:
Բայց BC, DE, EF, GH և HK-ից յուրաքանչյուրը հավասար է AB-ին, իսկ RM-ն և RN-ն հավասար է RL-ին։ Այսպիսով, AB, BC, DE, EF, GH և HK-ից յուրաքանչյուրն հավասար է RL, RM և RN-ին։
Եվ քանի որ LR և RM երկու գծերը հավասար են AB և BC-ին համապատասխանաբար, և LM հիմքը հավասար է AC հիմքին, ապա LRM անկյունը հավասար է ABC անկյանը։
''Այսպիսով, R մարմնային անկյունը, որը պարունակում է LRM, MRN և LRN անկյունները, կառուցվել է LRM, MRN և LRN երեք հարթ անկյուններից, որոնք հավասար են երեք հարթ անկյուններին՝ ABC, DEF և GHK ։ Ինչը պահանջվում էր ապացուցվի։''
=== Լեմմա ===
[[Պատկեր:Լեմմա.png|center|200px]]
Եվ այսպես, մենք կարող ենք ցույց տալ, թե ինչպես վերցնենք OR-ը այնպես, որ դրա քառակուսին հավասար լինի այն մակերեսին, որով AB-ի քառակուսին ավելի մեծ է LO-ի քառակուսուց։
AB և LO ուղիղները գծենք այնպես, որ AB-ն ավելի մեծ լինի քան LO։ ABC կիսաշրջանը ընկած լինի AB տրամագծի վրա, և AC-ը ՝որը հավասար է LO-ին և մեծ չէ AB-ից, գծենք այդ կիսաշրջանի մեջ: Միացնենք նաև C և B կետերը։
Քանի որ ACB անկյունը գտնվում է ABC կիսաշրջանի մեջ և ընկած է տրամագծի վրա, ապա ACB անկյունը ուղիղ է:Հետևաբար, AB-ի քառակուսին հավասար է AC-ի և CB-ի քառակուսիների գումարի գումարին [Պնդ. 1.47]:
Այսպիսով, AB-ի քառակուսին AC-ի քառակուսուց մեծ է CB-ի քառակուսու չափով։ Եվ քանի որ AC-ը հավասար է LO-ին, ապա AB-ի քառակուսին ավելի մեծ է LO-ի քառակուսուց CB-ի քառակուսու չափով։
Հիմա եթե OR-ը վերցնենք այնպես, որ այն հավասար լինի CB-ին, ապա AB-ի քառակուսին կլինի հավասար LO-ի և OR-ի քառակուսիների գումարին։
''Այսինքն, AB-ի քառակուսուց հանած LO-ի քառակուսի հավասար է OR-ի քառակուսուն։ Ինչը անհրաժեշտ էր ցույց տալ։''
== Պնդում 24 ==
Եթե բազմանիստը բախկացած է 6 զուգահեռ հարթություններից որոնք և հատումներից առաջացնում են հակադիր հավասար զուգհեռագծեր։
[[Պատկեր:Նկար-24.png|center|200px]]
CDHG բազմանիստը կազմված է երկու զուգահեռ հարթություններով AC, GF և AH, DF և BF,AE։ Ցույց տանք որ հակադիր հարթությունները հավասար զուգահեռագծեր են։
Երկու զուգահեռ հարթությունները BG-ն և CE-ն հատվում են երրորդ՝ AC հարթությամբ, առաջացած հատվածները զուգահեռ են /AB-ն և DC-ն/։ Նույն կերպ BF և AE զուգահեռ հարթությունները հատվում են AC հարթությամբ, և առաջացած հատվածները զուգահեռ են: Այսպիսով, մենք կարող ենք նաև ցույց տալ, որ DF, FG, GB, BF և AE ստեղծում են զուգահեռագծեր:
A միացնենք H-ն և D միացնենք F-ն: Եվ քանի որ AB-ը զուգահեռ է DC-ին, իսկ BH-ն՝ CF-ին, ուստի երկու հատվածները՝ AB և BH, զուգահեռ են միմյանց միացող այլ հարթության մեջ ընկած երկու ուղիղ գծերին՝ DC-ին և CF-ին։ Հետևաբար նրանք կպարունակեն հավասար անկյուններ: ABH անկյունը հավասար է DCF անկյանը: Եվ քանի որ երկու հատվածներ ՝ AB և BH հավասար են երկու հատվածների DC-ին և CFին, իսկ ABH անկյունը հավասար է DCF անկյան, հետևաբար,AH հիմքը հավասար է հիմքի DF-ին, իսկ ABH եռանկյունը հավասար է DCF եռանկյանը: Այսպիսով, BG զուգահեռագիծը հավասար է CE զուգահեռագծին: Մենք կարող ենք ցույց տալ, որ AC-ը նույնպես հավասար է GF-ին, իսկ AE-ն՝ BF-ին:
''Այսպիսով, եթե բազմանիստը պարունակվում է վեց զուգահեռ հարթություններ, ապա նրա հակառակ հարթությունները և՛ հավասար են, և՛ զուգահեռագծեր են: Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:
''
== Պնդում 25 ==
Եթե զուգահեռանիստը հատվում է զուգահեռ հարթություններով որոնք հակադիր են բազմանիստի հիմքին ապա առաջացած մարմինները կլինեն կրկին զուգահեռանիստեր։
[[Պատկեր:Նկար-25.png|center|200px]]
ABCD զուգահեռագիծը հատենք FG հարթությամբ որը զուգահեռ է RA և DH հարթություններին։ Ցույց տանք որ AEFV հիմքը հարաբերում է EHCF հիմքին այնպես ինչպես ABFU զուգահեռագծի ծավալը EGCD զուգահեռագծի ծավալին։
AK և KL գծենք հավասար AE հատվածին, նման կերպ HM և MN գծենք հավասար EH-ին։ Եվ քանի որ LK, KA և AE հատվածները հավասար են, LP, KV և AF զուգահեռագծերը նույնպես հավասար են։ KO, KB և AG հավասար են, նաև LX, KQ և AR հավասար են: Այսպիսով, նույն կերպ EC, HW և MS զուգահեռագծերը նույնպես հավասար են, իսկ HG, HI և IN հավասար են, ինչպես նաև DH, MY և NT հատվածներն են հավասար: Այսպիսով, զուգահեռանիսների երեք հարթությունները LQ, KR և AU հավասար են մյուս զուգահեռանիսի երեք հարթություններին: Բացի այդ վերոնշյալ երեք հարթությունները հավասար են երեք հակադիր հարթություններին: Այսպիսով, զուգահեռանիսները LQ, KR և AU հավասար են միմյանց: Նույն կերպ երեք զուգահեռանիստերը ED, DM և MT նույնպես հավասար են: Այսպիսով LF հիմքը հարաբերում է AF հիմքին այնպես ինչպես LU զուգահեռանիստը AU-ի: Հանգունորեն որքան NF հիմքը հարաբերում է FHին , այնպես ինչպես NU զուգահեռանիստը HU-ին: Եթե հիմք LF-ն հավասար է NF հիմքին, ապա LU զուգահեռանիստը նույնպես հավասար է NU զուգահեռանիստին: Սակայն եթե LF փոքր է NF-ից, ապա LU-ն փոքր է NU-ից: Այսպիսով, կան չորս մեծություններ՝ երկու հիմքերը՝ AF և FH, և երկու զուգահեռանիստ՝ AU և UH, որոնք վերջինս հարաբերում են նույն կերպ:Ցույց տվեցինք, որ եթե LF հիմքը մեծ է FN հիմքից, ապա LU զուգահեռանիստը նույնպես մեծ է NU-ից,նույն կերպ հավասարման դեպքում նրանք հավասարվում են:
''Այսպիսով, AF հիմքը հարաբերում է FH հիմքին այնպես ինչպես AU զուգահեռանիստը UH-ին։Ինչը պահանջվում էր ցույց տալ:
''
== Պնդում 26 ==
Մարմնային անկյան կառուցունը որը հավասար է տրված մարմնային անկյանը և անցնում է տրված ուղղի տրված կետով։
Ենթադրենք AB-ն տրված ուղիղն է, իսկ A-ն տրված կետը, և D-ն տրված մարմնային անկյունը որը վերջիններս պատկանում է EDC, EDF, FDC հարթ անկյուններին։Այսպիսով անհրաժեշտ է կառուցել մարմնային անկյունը որը կանցնի AB ուղղի A կետով և հավասար կլինի տրված D մարմնային անկյանը։
[[Պատկեր:Նկար-26.png|center|200px]]
Կամայական F կետ վերցնենք DF ուղղի վրա, իսկ FG ուղիղը գծենք F կետից ուղղահայաց ED և DC ուղիղներով անցնող հարթությանը, վերջինիս կհատի հարթությունը G կետում: BAL անկյունը, որը հավասար է EDC անկյան, և BAK անկյունը, հավասար է EDG-ին, կառուցված են AB ուղղի A կետով: AK հավասար է DG-ին: KH-ն անցնում է K կետով և ուղղահայաց է B, A, L կետերով անցնող հարթությանը: KH-ն հավասար GF-ին։Ցույց տանք, որ A կետով անցնող մարմնային անկյունը, որը պարունակում է BAL, BAH և HAL հարթ անկյունները, հավասար է D-իմարմնային անկյանը, որը վերջինիս պարունակում է EDC, EDF և FDC հարթ անկյունները:
AB-ն և DE-ն հատվում են այնպես որ առաջացած հատվածները լինեն հավասար: Քանի որ FG-ն ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, այն նաև ուղղահայաց կլինի դիտարկվող հարթությանը պատկանող բոլոր ուղիղներին: Այսպիսով, FGD և FGE անկյունները ուղիղ անկյուններ են: Նույն կերպ HKA և HKB անկյունները նույնպես ուղիղ են: Եվ քանի որ երկու հատվածներ՝ KA և AB հավասար են երկու հատվածների GD-ին և DET-ին, և նրանք պարունակում են հավասար անկյուններ, ուստի KB հիմքը հավասար է GE հիմքին։ KH-ն հավասար է GF-ին։ Իսկ դրանք պարունակում են ուղիղ անկյուններ: Այսպիսով, HB նույնպես հավասար է FE-ին։ Եվ քանի որ երկու հատվածներ AK և KH հավասար են DG և GF հատվածներին համապատասխանաբար, և դրանք պարունակում են ուղիղ անկյուններ, հետևաբար AH հիմքը հավասար է FD հիմքին։ AB հատվածը հավասար է DE-ին: Երկու HA և AB հատվածները հավասար են DF-ին և DE-ին համապատասխանաբար: Իսկ HB հիմքը հավասար է FE հիմքին։ Այսպիսով, BAH անկյունը հավասար է EDF անկյանը: Նույն կերպ HAL անկյունը հավասար է FDC-ին, իսկ BAL-ը հավասար է EDC-ին:
''Այսպիսով, կառուցեցինք այն մարմնային անկյունը որը հավասար է տրված D մարմնային անկյանը, և անցնում է AB ուղղի A կետով։ Ինչը պահանջվում էր ցույց տալ։''
== Պնդում 27 ==
Կառուցել տրված գծից տրված զուգահեռանիստին համաչափ զուգահեռահեռանիստ։
Ենթադրենք տրված ուղիղը AB-ն է, իսկ տրված զուգահեռանիստը CD-ն: Այսպիսով, անհրաժեշտ է կառուցել տրված ուղղի՝ AB-ի վրա տրված զուգահեռանիստի՝ CD-ին նման զուգահեռանիստ:
[[Պատկեր:Նկար-27.png|center|200px]]
AB ուղիղ գծի վրա՝ A կետում BAH, HAK և KAB հարթ անկյուններով կազմված մարմնային անկյունը հավասար է C մարմնային անկյանը, BAH անկյունը հավասար է ECF-ին, և BAK-ը` ECG-ին և KAH-ը՝ GCF-ին: EC-ն հարաբերում է CG-ին, այնպես ինչպես BA-ն՝ AK-ին, և ինչպես GC-ն՝ CF-ին, ինչպես KA-ն՝ AH-ին: Լրացնենք HB զուգահեռանիստը։
Եվ քանի EC-ն հարաբերում է CG-ին, այնպես ինչպես BA-ն՝ AK-ին, և ECG և BAK հավասար անկյունների դիմացի կողմերը հարաբերում են նույն կերպ, ուստի GE զուգահեռագիծը նման է KB զուգահեռագծին: Հանգունորեն KH զուգահեռագիծը նման է GF զուգահեռագծին, FE-ն էլ՝ HB-ին: Այսպիսով, CD զուգահեռանիստի երեք զուգահեռագծերը նման են AL զուգահեռանիստի երեք զուգահեռագծերին: Նաև առաջին զուգահեռանիստի երեքը հակադիր զուգահեռագծերը նման են, մյուս երեքը հակադիր զուգահեռագծերին։ Այսպիսով, CD զուգահեռանիստը նման է AL զուգահեռանիստին։
''Այսպիսով, AL զուգահեռանիստը, որը նման է տրված զուգահեռանիստի CD-ին, նկարագրված է տրված AB ուղղի A կետով: Ինչ հենց պահանջվում էր անել:''
== Պնդում 28 ==
Եթե զուգահեռանիստը անկյունագծային հարթությամբ հատենք, ապա զուգահեռանիստը կկիսվի։
AB զուգահեռանիստը հատենք CDEF հարթությամբ, որը անցնում է CF և DE անկյունագծերով:Ցույց տանք, CDEF հարթությունը կկիսի AB զուգահեռանիստը:
[[Պատկեր:Նկար-28.png|center|200px]]
Քանի որ CGF եռանկյունը հավասար է CFB եռանկյունին, ADE հավասար է DEH-ին, իսկ CA զուգահեռագիծը հավասար է EB-ին, քանի որ նիստերը հակադիր են, հանգունորեն GE նիստը հավասար է CH-ին, հետևաբար, պրիզման, որը պարունակում է երկու եռանկյուններ CGF և ADE, և երեք զուգահեռագծեր GE, AC և CE, հավասար է CFB և DEH երկու եռանկյուններ պարունակվող պրիզմային, և երեք զուգահեռագծերի՝ CH, BE և CE:Այդ եռանկյունները ընկած են հարթությունների մեջ որոնք հավասար։
''Այսպիսով, ամբողջ զուգահեռանիստը կիսվում է CDEF հարթությամբ: Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''
== Պնդում 29 ==
Զուգահեռանիստերը որոնք ընկած են նույն հիմքի վրա և ունեն հավասար բարձրություններ, ապա նրանք հավասար են միմյանց։
[[Պատկեր:Նկար-29.png|center|200px]]
Ենթադրենք CM և CN զուգահեռագծերը ընկած են նույն AB հիմքի վրա և ունեն նույն բարձրությունը, AG, AF, LM, LN, CD, CE, BH, և BK-ն ընկած են նույն ՝ FN և DK ուղիղների վրա։Ցույց տանք որ CM և CN զուգահեռանիստերը հավասար են։
Քանի որ CH-ն և CK-ը զուգահեռագծեր են, ու CB-ն հավասար է և՛ DH-ին և՛ EK-ին: DH-ն հավասար է EK-ին: Այսպիսով, DE հավասար է HK-ին: DCE եռանկյունը նույնպես հավասար է HBK եռանկյանը, և DG զուգահեռագիծը հավասար է HN զուգահեռագծին: Հանգունորեն AFG եռանկյունը, հավասար է MLN եռանկյանը: Եվ CF զուգահեռագիծը հավասար է BM զուգահեռագծին, իսկ իր հերթին CG-ն՝ BN-ին: Որպես հակադիր նիստեր: Այսպիսով, AFG և DCE երկու եռանկյունների և երեք AD, DG և CG զուգահեռագծերով անցնող պրիզման հավասար է MLN և HBK երկու եռանկյունների և երեք BM, HN և BN զուգահեռագծերով՝ պրիզմային:Հակադիր նիստերը նույնպես հավասար են։ Հետևաբար ամբողջ զուգահեռանիստ CM-ն հավասար է ամբողջ զուգահեռանիստին՝ CN-ին:
''Այսպիսով, զուգահեռանիստեր, որոնք գտնվում են միևնույն հիմքի վրա և ունեն նույն բարձրությունը հավասար են միմյանց։Ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:''