Changes

==Պնդում 87==

Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է:

Քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ապա հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ նույնպես չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]:

Ուրեմն, ոչ FG-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն, փոխադարձաբար, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BD-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես K-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի սահմանումը]:

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և տրված լինի BG-ն, որը երկարությամբ համաչափ է A-ի հետ: Այսպիսով, BG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն լրիվությամբ չունենա DF-ից և FE-ից յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես DE-ն է EF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Ուստի BG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն GC-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]:

Հիմա, թող H-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով BG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես ED-ն DF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GB-ի վրա կառուցված քառակուսին H-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]:

==Պնդում 89==

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն, և թող CG-ն լինի երկարությամբ համաչափ A-ի հետ: Այսպիսով, CG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն կրկին չունենա DF-ի և FE-ի յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CG-ի վրա կառուցված քառակուսին GB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Ուստի, GB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, BG-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Եվ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ:

Այսպիսով, LP և PN հատվածները ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, LN-ն ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմ է:

Ուստի, եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և առաջին ապոտոմեից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես ապոտոմե է:

==Պնդում 92==

Եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և երկրորդ ապոտոմից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը հանդիսանում է միջին ռացիոնալի առաջին ապոտոմ:

Թող AB մակերեսը, բաղկացած լինի AC ռացիոնալ ուղիղ գծից, և երկրորդ AD ապոտոմից: Այսպիսով, AB-ի մակերեսի քառակուսի արմատը հանդիսանում է միջին ուղիղ գծի առաջին ապոտոմ։

Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը: Այսպիսով, AG-ն և GD-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], և կցորդ DG-ն համաչափելի է (երկարությամբ) նախապես սահմանված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) AC-ի հետ, և ամբողջ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան հավելված GD-ի վրա կառուցված քառակուսին, որոշ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, որը համաչափելի է (երկարությամբ) AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.12]: Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին որոշ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, եթե GD-ի վրա կառուցված քառակուսու մեկ չորրորդին հավասար մակերես կցվի AG-ին և մնա չլրացված քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն մասերի, որոնք համաչափելի են երկարությամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]:

Թող կետ E-ն բաժանի DG-ն երկու մասի: Եվ թող AG-ին կիրառվի EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն հավասար մակերես, մնալով չլրացված քառակուսի պատկերով: Թող դա լինի AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը: Այսպիսով, AF-ը համաչափելի է FG-ի հետ (երկարությամբ): Այսպիսով, AG-ն նույնպես համաչափելի է AF-ի և FG-ի հետ (երկարությամբ) [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]: AG-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է և անհամաչափելի է AC-ի հետ: AF-ն և FG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են) և անհամաչափելի են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13]:

Այսպիսով, AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]: Կրկին, քանի որ DE-ն համաչափելի է EG-ի հետ (երկարությամբ), DG-ն նույնպես համաչափելի է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]: Բայց DG-ն համաչափելի է նաև AC-ի հետ, հետևաբար DE-ն և EG-ն նույնպես ռացիոնալ են և համաչափելի են AC-ի հետ: Այսպիսով, DH-ն և EK-ն նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]:

Ուստի, թող կառուցվի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին: Եվ թող LM-ից հանվի NO-ն, որը հավասար է FK-ին և ունի նույն LPM անկյունը: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները ունեն ընդհանուր անկյունագիծ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]: Թող PR-ը լինի նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը, և թող գծվի (մնացած) պատկերը:

Հետևաբար, քանի որ AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են և հավասար են LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիներին համապատասխանաբար, հետևաբար LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես մեդիալ են: Ուստի, LP-ն և PN-ն նույնպես մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Եվ քանի որ AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, հետևաբար ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EG-ն է FG-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Բայց ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ AI-ն է EK-ի նկատմամբ: Եվ ինչպես EG-ն է FG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EK-ն՝ FK-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]:

Ուստի, EK-ն AI-ի և FK-ի միջին համեմատականն է:

Ուստի AB մակերեսի քառակուսի արմատը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմենն է, ինչը և պետք էր ապացուցել:

==Պնդում 93==

Թող BG-ն լինի AB-ին կցորդ: Այսպիսով, AG և GB-ը միջին ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսում, պարունակելով ռացիոնալ մակերես [Տե՛ս «Տարրեր», 10.74]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի վրա դրված քառակուսուն, կիրառված լինի CD-ին, առաջացնելով CK որպես լայնություն, իսկ KL-ը, որը հավասար է GB-ի վրա դրված քառակուսուն, առաջացնի KM որպես լայնություն: Այսպիսով, CL-ի ամբողջը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին: Այսպիսով, CL-ը նաև միջին մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15, 10.23]: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ (ուղիղ-գծին) CD, առաջացնելով CM որպես լայնություն: CM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարին, որի մեջ AB-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է CE-ին, մնացորդը՝ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, հավասար է FL-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]: Եվ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը ռացիոնալ է: Այսպիսով, FL-ը ռացիոնալ է: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ ուղիղ-գծին FE, առաջացնելով FM որպես լայնություն: FM-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.20]: Ուստի, քանի որ AG-ի և GB-ի վրա դրված քառակուսիների գումարը՝ այսինքն CL-ն, միջին է, իսկ երկու անգամ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը՝ այսինքն՝ FL-ը, ռացիոնալ է, CL-ը, հետևաբար, անհամաչափելի է FL-ի հետ: Եվ ինչպես CL-ն է FL-ի հետ, այնպես էլ CM-ն է FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Այսպիսով, CM-ն անհամաչափելի է երկարությամբ FM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են: Այսպիսով, CM-ը և MF-ը ռացիոնալ ուղիղ-գծեր են, որոնք համահարթվում են միայն քառակուսում: CF-ը, հետևաբար, ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]: Այսպես, կասենք, որ այն նաև երկրորդ ապոտոմ է։

Թող FM-ն բաժանված լինի N կետում: Եվ թող NO-ն անցնի կետ N-ի միջով, զուգահեռ CD-ին: Այսպիսով, FO-ն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունին: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը միջին համեմատական է AG-i և GB-ի վրա դրված քառակուսիների հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21 լեմ.], իսկ AG-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է CH-ին, և AG-ի և GB-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NL-ին, իսկ BG-ի վրա դրված քառակուսին հավասար է KL-ին, NL-ը, հետևաբար, նաև միջին համեմատական է CH-ի և KL-ի հետ: Այսպիսով, ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ NL-ն է KL-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Բայց ինչպես CH-ն է NL-ի հետ, այնպես էլ CK-ն է NM-ի հետ, և ինչպես NL-ն է KL-ի հետ, այնպես էլ NM-ն է MK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Այսպիսով, ինչպես CK-ն է NM-ի հետ, այնպես էլ NM-ն է KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: AG-ի և BG-ի վրա դրված (քառակուսիների) գումարից հավասար ուղղանկյուն CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը հավասար է NM-ի վրա դրված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17], այսինքն՝ FM-ի վրա դրված քառակուսու չորրորդ մասը, և քանի որ AG-ի վրա դրված քառակուսին համաչափելի է BG-ի վրա դրված քառակուսուն, CH-ն նաև հհամաչափելի է KL-ի հետ, այսինքն՝ CK-ն՝ KM-ի հետ: Այսպիսով, քանի որ CM-ն և MF-ն երկու տարբեր ուղղագծեր են, և CK-ի և KM-ի միջև պարունակվող ուղղանկյունը, որը հավասար է MF-ի վրա դրված քառակուսու չորրորդ մասին, կիրառվել է ավելի մեծ CM-ին, որը քիչ է մնացել քառակուսային պատկերից, և բաժանել է այն համաչափելի (համակարգված) մասերի, CM-ի վրա դրված քառակուսին ավելի մեծ է MF-ի վրա դրված քառակուսուց, այն քառակուսու չափով, որը համաչափելի է CM-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Կցորդ FM-ն էլ համաչափելի է դրված ռացիոնալ ուղիղ-գծի՝ CD-ի երկարությանը: CF-ը, հետևաբար, երկրորդ ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.16].

Այսպիսով, առաջին ապոտոմի քառակուսին միջին ուղիղ-գծի վրա, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծի հետ, առաջացնում է երկրորդ ապոտոմ որպես լայնություն: Իսկ դա հենց այն է, ինչն անհրաժեշտ էր ապացուցել։