Changes

==Պնդում 87102==Գտնել երրորդ կտրվածքը(ապոտոմեն)։

Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ Այն (ուղիղ գիծգիծը) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի որի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի միջինական մակերեսի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ միասին կազմում էմիջինական ամբողջություն, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծգծի) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի դրված` ստանում է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(վեցերորդ կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է:որպես լայնություն։

Քանի որ ինչպես EԹող AB-ն BC-ի նկատմամբ էլինի այն ուղիղ գիծը, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ որը միջինական մակերեսի հետ կազմում էմիջինական ամբողջություն, և ինչպես BCCD-ն CDլինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ): Եվ թող CE-ի նկատմամբ էն, այնպես էլ FGորը հավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ էքառակուսուն, ապա հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն դրված լինի CD-ի նկատմամբ էվրա, այնպես էլ Aպարփակված AG-ի վրա կառուցված քառակուսին HGով և GB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերությունով, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուրեմն Aորոնք միջինական են, և AG-ի վրա կառուցված քառակուսին HGև GB-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ նույնպես չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, A-ն երկարությամբ քառակուսիների գումարը անհամաչափ է GHAG-ի հետ ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս «Տարրեր» "Տարրեր" 10.978]:

ՈւրեմնՈւստի, ոչ FGթող CH-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ որը հավասար է GHAG-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբարքառակուսուն, քանի որ ինչպես BC-ն դրված լինի CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմնարտադրելով CK որպես լայնություն, փոխադարձաբարև KL-ը, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ որը հավասար է, այնպես էլ FGGB-ի վրա կառուցված քառակուսին Kքառակուսուն։ Այսպիսով, CL-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ ամբողջությունը հավասար է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BDAG-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FGև GB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես Kքառակուսիների գումարին։ CL-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստիը, հետևաբար, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: միջինական է։ Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ այն դրված է GHռացիոնալ CD-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափովարտադրելով CM որպես լայնություն։ Ուստի, որը երկարությամբ համաչափ CM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) ACD-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» "Տարրեր" 10.13-ի սահմանումը22]:

ԱյսպիսովՀետևաբար, գտնվեց երրորդ ապոտոմե (կտրվածք) FHքանի որ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-նհավասար է AB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, մնացորդ FL-ը, հետևաբար, հավասար է AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 2.7]: (Սա Եվ քանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյունը միջինական է, FL-ը նույնպես միջինական է։ Եվ այն էրդրված է ռացիոնալ FE-ի վրա, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել)արտադրելով FM որպես լայնություն։ Ուստի, FM-ը ռացիոնալ է և անհամաչափ է երկարությամբ CD-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 10.22]:

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և տրված լինի BG-նՈւստի, որը CM-ը երկարությամբ համաչափ անհամաչափ է AMF-ի հետ[Տե՛ս "Տարրեր" 10.11]: ԱյսպիսովԵվ երկուսն էլ ռացիոնալ են։ Ուստի, BGCM-ն և MF-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ CF-ը, հետևաբար, ապոտոմե է[Տե՛ս "Տարրեր" 10.73]: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FEՈւրեմն, այնպեսես ասում եմ, որ DEայն նաև վեցերորդ (կտրվածքն) է։ Քանի որ FL-ն լրիվությամբ չունենա DFը հավասար է AG-ից ով և FEGB-ից յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերությունով պարփակված կրկնապատիկ ուղղանկյանին, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված FM-ը բաժանված լինիկեսի վրա N-ում, որ ինչպես DEև թող NO-ն է EFքաշված լինի N-ի նկատմամբմիջով, այնպես էլ BGզուգահեռ CD-ի վրա կառուցված քառակուսին GCին։ Այսպիսով, FO-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Ուստի BGն և NL-ը յուրաքանչյուրն հավասար են AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյան։ Եվ քանի որ AG-ն և GB-ն անհամաչափ են քառակուսով, AG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ , հետևաբար, անհամաչափ է GCGB-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ BGհետ։ Սակայն, CH-ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ քառակուսուն, իսկ KL-ը հավասար է: Ուրեմն GCGB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբարքառակուսուն։ Ուստի, GCCH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) ը անհամաչափ է: KL-ի հետ։ Եվ քանի որ DEինչպես CH-ն EFէ KL-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն BGայնպես էլ CK-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GCն KM-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերությունէ [Տե՛ս "Տարրեր" 6.1]: Ուստի, BGCK-ն երկարությամբ անհամաչափ է GCKM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» "Տարրեր" 10.911]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսովքանի որ AG-ով և GB-ով պարփակված ուղղանկյունը միջին չափաբաժին է AG-ի և GB-ի վրա կառուցված քառակուսիների միջև [Տե՛ս "Տարրեր" 10.21-ի լեմմա], BGիսկ CH-ն ը հավասար է AG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, KL-ը՝ GB-ի վրա կառուցված քառակուսուն, NL-ը՝ AG-ով և GCGB-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են)ով պարփակված ուղղանկյունին, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: NL-ը, հետևաբար, նույնպես միջին չափաբաժին է CH-ի և KL-ի միջև։ Ուստի, BCինչպես CH-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]:NL-ի նկատմամբ, այնպես էլ NL-ը KL-ի։ Եվ նույն տրամաբանությամբ, CM-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MF-ի վրա կառուցված քառակուսուց որոշակի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը լայնությամբ արտադրում է CF։ Ես ասում եմ, որ CF-ը վեցերորդ ապոտոմեն է։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։