Այսպիսով, առաջին ապոտոմի քառակուսին միջին ուղիղ-գծի վրա, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծի հետ, առաջացնում է երկրորդ ապոտոմ որպես լայնություն: Իսկ դա հենց այն է, ինչն անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 99==
Այն քառակուսին որը երկրորդ ապոտոմի միջին ուղիղ գծի վրա է, և կիրառված է ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է երրորդ ապոտոմ որպես լայնություն։
Թող AB-ն լինի մեդիալ ուղիղ-գծի երկրորդ ապոտոմը, իսկ CD-ն՝ ռացիոնալ ուղիղ-գիծ: Եվ թող CE-ն, որը հավասար է AB-ի քառակուսուն, կիրառվի CD-ին, ստեղծելով CF որպես լայնություն: Ես ասում եմ, որ CF-ն երրորդ ապոտոմ է:
Թող BG-ն լինի AB-ին կցորդը: Ուստի, AG-ն և GB-ն միջին ուղիղ-գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսում, պարունակելով մեդիալ մակերես [Տե՛ս «Տարրեր», 10.75]: Եվ թող CH-ն, որը հավասար է AG-ի քառակուսուն, կիրառվի CD-ին, ստեղծելով CK-ն որպես լայնություն: Եվ թող KL-ն, որը հավասար է BG-ի քառակուսուն, կիրառվի KH-ին, ստեղծելով KM որպես լայնություն: Ուստի, CL ամբողջությամբ հավասար է AG և GB-ի քառակուսիների գումարին: Ուստի, CL-ն նույնպես մեդիալ մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15, 10.23]: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ ուղիղ-գծին CD-ին, ստեղծելով CM որպես լայնություն: Ուստի, CM-ն ռացիոնալ է, և համաչափելի է CD-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ CL-ն ամբողջությամբ հավասար է AG և GB-ի քառակուսիների գումարին, որոնցից CE-ն հավասար է AB-ի քառակուսուն, մնացած LF-ը, հետևաբար, հավասար է երկու անգամ AG և GB-ի առանձին մակերեսներին [Տե՛ս «Տարրեր», 2.71]: Ուստի, թող FM-ն կիսվի N կետում: Եվ թող NO-ն սկսվի N-ով, զուգահեռ CD-ին: Ուստի, FO-ն և NL-ը հավասար են AG և GB-ի առանձին մակերեսներին: Եվ AG և GB-ի առանձին մակերեսները մեդիալ են: Ուստի, FL-ն նույնպես մեդիալ է: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ EF ուղիղ-գծին, ստեղծելով FM որպես լայնություն: FM-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է, և անհամաչափելի է CD-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]:
Ուստի, ինչպես CK-ն է MN-ի նկատմամբ, այնպես էլ MN-ը՝ KM-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Ուստի, CK և KM-ի կողմերով կազմված առանձին մակերեսը հավասար է MN-ի քառակուսուն, այսինքն՝ FM-ի քառակուսու չորրորդ մասին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]: Ուստի, քանի որ CM և MF-ը երկու անհավասար ուղիղ-գծեր են, և մեկ տարածք, որը հավասար է FM-ի քառակուսու չորրորդ մասին, կիրառվել է CM-ին, և բաժանում է այն համաչափելի մասերի, CM-ի քառակուսին մեծ է, քան ME-ի քառակուսին՝ ռացիոնալ ուղիղ-գծի քառակուսով, որը համատեղելի է CM-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Եվ ոչ CM-ը, ոչ էլ MF-ը համատեղելի չեն երկարությամբ նախորդում նշված ռացիոնալ ուղիղ-գծի CD-ի հետ: CF-ը, հետևաբար, երրորդ ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13].
Ուստի, երկրորդ ապոտոմի քառակուսիմն, կիրառված ռացիոնալ ուղիղ-գծի վրա, ստեղծում է երրորդ ապոտոմ որպես լայնություն: Սա հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։
== Էջ 406 - 422 ==