{{Տարերքի գրքեր}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
=== '''Pages 506-530''' ===
== Պնդում 1 ==
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորի վրա քառակուսին, գումարած ամբողջի կեսը, հնգապատիկն է կեսի վրա քառակուսու։
[[Պատկեր:1.png|center|200px]]
Թող AB ուղիղ գիծը կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Թող AD ուղիղ գիծը երկարացվի՝ անցնելով CA։ Եվ թող AD-ն լինի AB-ի կեսը։ Ասում եմ, որ CD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DA-ի վրա քառակուսու։
Եթե ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է դրա մի կտորի վրա քառակուսու, և կրկնապատիկ այդ կտորը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի սկզբնական ուղիղ գծի մնացած մասը։
[[Պատկեր:2.png|center|200px]]
Թող AB ուղիղ գծի վրա քառակուսին հնգապատիկն է AC կտորի վրա քառակուսու։ Եվ թող CD-ն լինի կրկնապատիկ AC-ից։ Ասում եմ, որ եթե CD-ն կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա մեծ կտորը կլինի CB։
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա փոքր կտորի վրա քառակուսին, ավելացված մեծ կտորի կեսին, հնգապատիկն է մեծ կտորի կեսի վրա քառակուսու։
[[Պատկեր:3.png|center|200px]]
Թող ինչ-որ ուղիղ գիծ AB կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում։ Եվ թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AC-ն կտրված լինի կեսում՝ D կետում։ Ասում եմ, որ BD-ի վրա քառակուսին հնգապատիկն է DC-ի վրա քառակուսու։
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա ամբողջ գծի և փոքր կտորի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է մեծ կտորի վրա քառակուսու։
[[Պատկեր:4.png|center|200px]]
Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AB և BC-ի վրա քառակուսիների գումարը երեքապատիկն է CA-ի վրա քառակուսուց։
Եթե ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և այդ մեծ կտորին հավասար ուղիղ գիծը ավելացվում է դրան, ապա ամբողջ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և սկզբնական ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։
[[Պատկեր:5.png|center|200px]]
Թող AB լինի ուղիղ գիծ, և թող այն կտրված լինի արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Եվ թող AD-ն [դառնա] հավասար AC-ին։ Ասում եմ, որ DB ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ A կետում, և որ սկզբնական AB ուղիղ գիծը մեծ կտորն է։
Եթե մի ռացիոնալ ուղիղ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ, ապա յուրաքանչյուր կտորը կլինի այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։
[[Պատկեր:6.png|center|200px]]
Թող AB լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ, որը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ C կետում, և թող AC-ն լինի մեծ կտորը։ Ասում եմ, որ AC և CB-ը, յուրաքանչյուրը, կլինեն այն անպարբեր (ուղիղ գիծ), որ կոչվում է «ապոտոմ»։
Թող երեք անկյունները, որոնք լինելու են կամ հաջորդական, կամ ոչ հաջորդական, հավասար կլինեն հավասարանկյուն հնգանկյունում, ապա հնգանկյունը կլինի հավասարանկյուն։
[[Պատկեր:7.png|center|200px]]
Դա ցույց տալու համար, թող հնգանկյունի ABCDE երեք անկյունները՝ առաջին հերթին A, B և C կետերում, հավասար լինեն իրար։ Ես ասում եմ, որ հնգանկյունը ABCDE հավասարանկյուն է։
Եթե ուղղաձիգ գծերը կտրում են երկու հաջորդական անկյուններ հավասարանկյուն և հավասար կողմ ունեցող հնգանկյունում, ապա դրանք իրար կտրում են արտաքին և միջին հարաբերությամբ, և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։
[[Պատկեր:8.png|center|200px]]
Իսկ հիմա, եթե երկու ուղղաձիգ գծեր՝ AC և BE, հատում են իրար H կետում և դրանք ծածկում են հավասար անկյուններ՝ A և B համապատասխանաբար հավասարանկյուն հնգանկյունում ABCDE, ապա պետք է ապացուցենք, որ յուրաքանչյուր գիծ կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ H կետում և դրանց մեծ հատվածները հավասար են հնգանկյունի կողմերին։
Եթե նույն շրջանում նկարագրված վեցանկյան և տասանկյան կողմերը միասին գումարվեն, ապա ամբողջ ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (հատման կետում), և նրա մեծ հատվածը տասանկյան կողմն է:
[[Պատկեր:9.png|center|200px]]
Թող ABC լինի շրջան: Եվ ABC շրջանում նկարագրված պատկերներից, BC լինի տասանկյան կողմը, և CD (կողմը) վեցանկյան կողմը: Եվ թող դրանք դրված լինեն ուղղահայաց: Պետք է ապացուցվի, որ ամբողջ BD ուղղաձիգ գիծը կտրված է արտաքին և միջին հարաբերությամբ (C կետում), և որ CD-ն նրա մեծ հատվածն է:
Եթե միևնույն շրջանում համահարթ հնգանկյուն է դրված, ապա հնգանկյան կողմի քառակուսի գիծը հավասար է նույն շրջանում դրված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։
[[Պատկեր:10.png|center|200px]]
Թող ABCDE լինի շրջան։ Եվ թող ABCDE հավասարակողմ հնգանկյունը լինի դրված ABCDE շրջանում։ Պնդում եմ, որ հնգանկյան ABCDE կողմի քառակուսին հավասար է նույն շրջանում դրված վեցանկյանի և տասանկյանի կողմերի քառակուսիերի գումարին։
Եթե հավասարակողմ հնգանկյունը ներգծված է շրջանի մեջ, որի տրամագիծը ռացիոնալ է, ապա հնգանկյան կողմը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։
[[Պատկեր:11.png|center|200px]]
Թող հավասարակողմ հնգանկյուն ABCDE-ն ներգծված լինի ABCDE շրջանի մեջ, որի տրամագիծը ռացիոնալ է։ Ասում եմ, որ հնգանկյան [ABCDE] կողմը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։
Թող լինի ABC շրջան, և թող հավասարակողմ եռանկյուն ABC-ն ներգծված լինի դրանում [Պնդում 4.2]։ Ասում եմ, որ եռանկյուն ABC-ի որևէ կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է ABC շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։
[[Պատկեր:12.png|center|200px]]
Թող գտնված լինի ABC շրջանի կենտրոնը՝ D կետը [Պնդում 3.1]։ Եվ AD (լինելով) միացված, թող անցկացվի E կետի միջով։ Եվ թող BE-ն միացվի։
Կառուցել (կանոնավոր) բուրգ (այսինքն՝ տետրահեդրոն), այն ներգծել տրված գնդի մեջ և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է բուրգի կողմի վրա կառուցված քառակուսուց։
[[Պատկեր:13.png|center|200px]]
Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կետ C-ում բաժանվի այնպես, որ AC-ն կրկնակի լինի CB-ին [Պնդում 6.10]։ Եվ թող AB-ի վրա կառուցվի կեսաշրջագիծ ADB։ Եվ թող C կետից ուղղանկյուն լինի գծված CD ուղիղը AB-ի նկատմամբ։ Եվ թող միացվի DA։ Եվ թող DC շառավղով գծվի շրջան EFG, որի մեջ ներգծված կլինի հավասարակողմ եռանկյուն EFG [Պնդում 4.2]։ Թող գտնվի շրջանի կենտրոնը՝ H կետը [Պնդում 3.1]։ Թող միացվեն EH, HF, և HG։ Թող H կետում ուղղանկյուն լինի գծված HK ուղիղը EFG շրջանի հարթության նկատմամբ [Պնդում 11.12]։ Եվ թող HK ուղիղի վրա կտրվի հատված, որը հավասար կլինի AC ուղիղին։ Թող KE, KF, և KG գծերը միացվեն։
Սա էր պահանջվում ցույց տալ։
[[Պատկեր:14.png|center|200px]]
==Լեմմա==
Կտրել KL-ը և KM-ը՝ հավասարեցնելով մեկին EK-ի, FK-ի, GK-ի և HK-ի։ Միացնել LE-ը, LF-ը, LG-ը, LH-ը, ME-ը, MF-ը, MG-ը և MH-ը։
[[Պատկեր:15.png|center|200px]] Քանի որ KE = KH և անկյունը EKH ճիշտ ուղիղ անկյուն է, ապա HE-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։ Նույն կերպ, քանի որ LK = KE և անկյունը LKE ճիշտ ուղիղ անկյուն է, ապա EL-ի քառակուսին կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց (Պնդում 1.47)։ Եվ քանի որ HE-ի քառակուսին նույնպես կրկնապատիկ է EK-ի քառակուսուց, ապա LE-ի քառակուսին հավասար է EH-ի քառակուսուն։
Ուստի, LE = EH։ Նույն պատճառներով, LH = HE։ LEH եռանկյունը հավասարակողմ է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք նույն կերպ ցույց տալ, որ մնացած բոլոր եռանկյունիները, որոնց հիմքերը EFGH քառակուսիի կողմերն են, և գագաթները L-ն ու M-ն են, հավասարակողմ են։ Այսպես, ութանկյուն, որը բաղկացած է ութ հավասարակողմ եռանկյունիներից, կառուցվել է։
Այժմ պետք է ցույց տրվի, որ այն փակվում է տրված գնդի մեջ, և որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։
Քանի որ LK = KM և KE ընդհանուր է, և նրանք պարունակում են ճիշտ ուղիղ անկյուններ, ապա LE-ի հիմքը հավասար է EM-ին (Պնդում 1.4)։ Եվ քանի որ անկյունը LEM ճիշտ ուղիղ անկյուն է՝ ըստ կիսամորթի (Պնդում 3.31), ապա LM-ի քառակուսին կրկնապատիկ է LE-ի քառակուսուց քառակուսուն (Պնդում 1.47)։
Այնուհետև, քանի որ AC = CB, AB-ն կրկնապատիկ է BC-ի։ Եվ ինչպես AB-ը BC-ին է, այնպես էլ AB-ի քառակուսին հավասար է BD-ի քառակուսուն (Պնդում 6.8, սահման. 5.9)։ Այսպիսով, AB-ի քառակուսին կրկնապատիկ է BD-ի քառակուսուց։
Այսպիսով, AB-ի քառակուսին նույնպես հավասար է LM-ի քառակուսուն։ Այսպիսով, AB = LM։ Եվ AB-ն տրված գնդի տրամագծն է։ Ուստի, LM-ը հավասար է տրված գնդի տրամագծին։
Այսպիսով, ութանկյունը փակվել ներգծված է տրված գնդի մեջ, և միաժամանակ ցույց տրված է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին կրկնապատիկ է ութանկյոնի կողի քառակուսուց։ (Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։
==Պնդում 15==
Այժմ պետք է այն փակվի տրված գնդի մեջ, և ցույց տրվի, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։
[[Պատկեր:16.png|center|200px]]
Թող KG և EG միացվեն։ Քանի որ անկյուն KEG-ն ճիշտ անկյուն է՝ հաշվի առնելով, որ KE-ն նաև ուղղահայաց է EG-ի պլանին և ակնհայտորեն նաև ուղղահայաց է EG ուղիղ գծին (Սահման. 11.3), ապա KG-ի վրա նկարած կիսամորթը նույնպես կանցնի E կետով։ Նույն կերպ, քանի որ GF-ն ուղղահայաց է FL և FE-ի ամեն մի մասի, GF-ն նույնպես ուղղահայաց է FK-ի պլանին (Պնդում 11.4)։ Հետևաբար, եթե մենք միացնենք FK-ը, GF-ն նույնպես կլինի ուղղահայաց FK-ի հետ։ Եվ քանի որ դա այդպես է, GK-ի վրա նկարած կիսամորթը նույնպես կանցնի F կետով։ Նույն կերպ, այն կհասնի խորանարդի մնացած անկյուններին։
Եվ GK-ի քառակուսին նույնպես ցույց տրված է, որ երեք անգամ գերազանցում է KE-ի քառակուսին։ Եվ KE-ն հավասարեցված էր DB-ի հետ։ Այսպիսով, KG-ն հավասար է AB-ին։ Իսկ AB-ն տրված գնդի տրամագիծն է։ Ուստի, KG-ն հավասար է տրված գնդի տրամագծին։
Այսպիսով, խորանարդը փակվել ներգծված է տրված գնդի մեջ։ Եվ միաժամանակ ցույց տրվել է, որ գնդի տրամագծի քառակուսին երեք անգամ գերազանցում է խորանարդի կողմի քառակուսուն։ (Այսինքն) հենց այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։
==Պնդում 16==
Կառուցել իկոսահեդրոն (տասնութ նիստերով բազմանիստ է, որն ունի 20 ճիշտ եռանկյունիներ, ունի 12 գագաթներ և 30 եզրեր) և այն փակել շրջանակով, ինչպես նշված վերոնշյալ պատկերներում, և ցույց տալ, որ իկոսահեդրոնի կողմը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է փոքր:
[[Պատկեր:17.png|center|200px]]
Թող տրված շրջանակի AB տրամագիծը դրված լինի, և թող այն կիսվի C կետում այնպես, որ AC-ն լինի չորս անգամ ավելի մեծ, քան CB [Պնդում 6.10]: Եվ թող ADB կիսաշրջանը լինի AB-ում: Եվ թող CD ուղիղ գիծը նկարահանվի C-ից, որը ուղղահայաց է AB-ին: Եվ թող DB-ն միացվի: Եվ թող EFGHK շրջանը դրված լինի, և թող նրա ռադիուսը հավասար լինի DB-ի: Եվ թող հավասար և հավասար անկյուն ունեցող հնգանկյուն EFGHK լիներ նկարագրված EFGHK շրջանի մեջ [Պնդում 4.11]: Եվ թող EF, FG, GH, HK, KE շրջանների հատվածները կիսվեն L, M, N, O, P կետերում (հարգի): Եվ թող LM, MN, NO, OP, PL և EP միացվեն: Այդպես LMNOP հնգանկյունը հավասար է, և EP-ն (կողմը) է տասանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ): Եվ թող EQ, FR, GS, HT, KU ուղիղ գծերը, որոնք հավասար են EFGHK շրջանի ռադիուսի հետ, ուղղահայաց լինեն այդ շրջանի ինքնատիպ մակերևույթին, Ե, F, G, H և K կետերում (հարգի): Եվ թող QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, PQ միացվեն:
Եվ քանի որ EQ և KU ուղղահայաց են նույն ինքնատիպ մակերևույթին, EQ-ն պառլլել է KU-ին [Պնդում 11.6]: Եվ նրանք նույնն են: Եվ հավասար և զուգահեռ ուղիղ գծերը նույն կողմում նույնն են [Պնդում 1.33]: Այսպես, QU-ն հավասար և զուգահեռ է EK-ին: Եվ EK-ն (կողմը) է հավասար հնգանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ): Այսպես, QU-ն (կողմը) էլ հավասար հնգանկյունի կողմն է, որը նախադրված է EFGHK-ում: Այդպես էլ QR, RS, ST և TU նույնպես են հավասար հնգանկյունի կողմեր, որոնք նախադրված են EFGHK-ում: Հնգանկյունը QRSTU հավասար է: Եվ QE-ն (կողմը) է դասական վեցանկյունի (նախադրված շրջանակի մեջ) և EP (կողմը) է տասանկյունի, և անկյունը QEP-ն ուղղահայաց է, այնպես որ QP-ն (կողմը) է հնգանկյուն (նախադրված նույն շրջանակում): Քանի որ հնգանկյունի կողմի քառակուսին հավասար է ութանկյունի և տասանկյունի կողմերի քառակուսիների գումարով նույն շրջանակում [Պնդում 13.10]: Այսպես նույն տրամաբանությամբ PU-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է: Եվ QU-ն նույնպես հնգանկյունի կողմ է: Այսպես, QPU եռանկյունը հավասար է: Այսպես, նույն ձևով, (տրիանկյունները) QLR, RMS, SNT, TOU նույնպես հավասար են: Եվ քանի որ QL և QP եղել են (կողմը) հնգանկյունի կողմից, և LP-ը նույնպես հնգանկյուն է, ապա QLP եռանկյունը հավասար է: Այսպես, նույն ձևով, ԼRM, MSN, NTO, OUP երեքը հավասար են:
[[Պատկեր:18.png|center|200px]]
Թող կենտրոնը, V կետը, EFGHK շրջանի կենտրոնը գտնված լինի [Պնդում 3.1]: Եվ թող VZ ուղիղ գիծը նկարահանվի, որը ուղղահայաց է EFGHK շրջանի ինքնատիպ մակերևույթին: Եվ թող այն առաջ գնա մյուս կողմում, ինչպես VX: Եվ թող VW-ն կտրվի (XZ-ից) այնպես, որ հավասար լինի ութանկյունի կողմին, և յուրաքանչյուր VX և WZ հավասար լինեն տասանկյունի կողմին: Եվ թող QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, և XM միացվեն: