==Պնդում 89==
Գտնել հինգերորդ ապոտոմեն։[[Պատկեր:Proposition89.jpg|center|350px]]
Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն, և թող CG-ն լինի երկարությամբ համաչափ A-ի հետ: Այսպիսով, CG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն կրկին չունենա DF-ի և FE-ի յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CG-ի վրա կառուցված քառակուսին GB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Ուստի, GB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, BG-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Եվ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: