Եվ քանի որ AB՝ CD-ին հարաբերում է, ինչպես EF՝QR-ին, ապա AB և CD գծերի վրա կառուցված KAB և LCD նման և նմանապես դրված ուղղագծային պատկերները համեմատական են , EF և QR գծերի վրա կառուցված MF և SR նման պատկերների հետ, հետևաբար KAB հարաբերվում է LCD-ին, ինչպես MF՝ SR-ին: Ենթադրվում է, որ KAB կհարաբերի LCD-ին, ինչպես MF՝NH-ին: Հետևաբար, MF հարաբերում է SR-իմ, ինչպես MF՝NH-ին [Պնդ. 5.11]: MF և NH հարաբերությունը հավասար է SR և NH հարաբերությանը: Հետևաբար, NH-ը հավասար է SR-ին [Պնդ. 5.9]: Եվ NH-ը նման է և նմանապես դրված է SR-ին: Հետևաբար, GH-ը հավասար է QR-ին: Եվ քանի որ AB հարաբերում է CD-ին, ինչպես EF՝QR-ին, իսկ QR-ը հավասար է GH-ին, հետևաբար AB հարաբերում է CD-ին, ինչպես EF՝GH-ին:
Այսպիսով, եթե չորս ուղիղ գծերը համաչափ են, համանման և նույն կերպ նկարագրված գծված, ապա իրենցով կազմված ուղղագիծ պատկերները նույնպես համաչափ կլինեն: Եվ եթե նմանատիպ և նույն կերպ նկարագրված ուղղագիծ պատկերները (գծված) համաչափ են, ապա ուղիղ գծերն իրենք նույնպես համաչափ կլինեն: Ապացուցվեց այն, ինչը հարկավոր էր ցույց տալ:
== Առաջարկություն 24 ==
Յուրաքանչյուր զուգահեռագծում, անկյունագծի շուրջ կառուցված զուգահեռագծերը նման են թե՛ ամբողջ զուգահեռագծին, թե՛ միմյանց:
Թող ABCD-ը լինի զուգահեռագիծ, իսկ AC-ը՝ նրա անկյունագիծը։ Եվ թող EG և HK լինեն զուգահեռագծեր, կառուցված AC անկյունագծի շուրջ։ Ասում եմ, որ EG և HK զուգահեռագծերը յուրաքանչյուրը նման են ամբողջ (ABCD) զուգահեռագծին և նաև միմյանց:
Քանի որ EF գիծը գծվել է ABC եռանկյան BC կողքին զուգահեռ, համեմատականորեն, ինչպես BE-ը EA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CF-ը FA-ի նկատմամբ [Բան. 6.2]: Նորից, քանի որ FG-ը գծվել է ACD եռանկյան CD կողքին զուգահեռ, նույն կերպ, ինչպես CF-ը FA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ DG-ը GA-ի նկատմամբ [Բան. 6.2]: Բայց, ինչպես CF-ը FA-ի նկատմամբ է, նույն կերպ արդեն ցույց տրված է, որ BE-ը EA-ի նկատմամբ է։ Ուստի, ինչպես BE-ը EA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ DG-ը GA-ի նկատմամբ։ Եվ, այսպես, համակցելով, ինչպես BA-ը AE-ի նկատմամբ է, այնպես էլ DA-ը AG-ի նկատմամբ [Բան. 5.18]: Եվ, այլընտրանքորեն, ինչպես BA-ը AD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ EA-ը AG-ի նկատմամբ [Բան. 5.16]: Այսպիսով, ABCD և EG զուգահեռագծերում BAD ընդհանուր անկյան շուրջ կողմերը համաչափ են։ Եվ քանի որ GF-ը զուգահեռ է DC-ին, AFG անկյունը հավասար է DCA անկյանին [Բան. 1.29]: Եվ DAC անկյունը ընդհանուր է ADC և AGF եռանկյունների համար։ Ուստի ADC եռանկյունը հավանկյուն է AGF եռանկյանը [Բան. 1.32]: Նույն պատճառներով, ACB եռանկյունը հավանկյուն է AFE եռանկյանը, և ամբողջ ABCD զուգահեռագիծը հավանկյուն է EG զուգահեռագծին։ Այսպիսով, համաչափորեն, ինչպես AD-ը DC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AG-ը GF-ի նկատմամբ է, և ինչպես DC-ը CA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GF-ը FA-ի նկատմամբ է, և ինչպես AC-ը CB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AF-ը FE-ի նկատմամբ է, իսկ, հետագայում, ինչպես CB-ը BA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FE-ը EA-ի նկատմամբ [Բան. 6.4]: Եվ քանի որ ցույց տրված էր, որ ինչպես DC-ը CA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GF-ը FA-ի նկատմամբ է, և ինչպես AC-ը CB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AF-ը FE-ի նկատմամբ է, ապա, հավասարությամբ, ինչպես DC-ը CB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GF-ը FE-ի նկատմամբ է [Բան. 5.22]: Այսպիսով, ABCD և EG զուգահեռագծերում հավասար անկյունների շուրջ կողմերը համաչափ են։ Ուստի, ABCD զուգահեռագիծը նման է EG զուգահեռագծին [Սահմանում 6.1]: Նույն (պատճառներով), ABCD զուգահեռագիծը նման է նաև KH զուգահեռագծին։ Այսպիսով, EG և HK զուգահեռագծերը յուրաքանչյուրը նման են [ABCD] զուգահեռագծին։ Եվ (ուղղագծային) պատկերները, որոնք նման են նույն ուղղագծային պատկերին, նաև նման են միմյանց [Բան. 6.21]: Այսպիսով, EG զուգահեռագիծը նույնպես նման է HK զուգահեռագծին։
[[Պատկեր:1.png]]
Այսպիսով, յուրաքանչյուր զուգահեռագծում անկյունագծի շուրջ գտնվող զուգահեռագծերը նման են թե՛ ամբողջին, թե՛ միմյանց։
== Առաջարկություն 25 ==
Կառուցել մեկ (ուղղագծային պատկեր), որը նման է տրված ուղղագծային պատկերին և հավասար է մեկ այլ տրված ուղղագծային պատկերին։
Թող ABC լինի տրված ուղղագծային պատկերը, որին պետք է կառուցել նման (ուղղագծային) պատկեր, իսկ D-ը լինի այն (ուղղագծային) պատկերը, որին պետք է հավասար լինի կառուցվող պատկերը։ Արդ, հարկավոր է կառուցել մեկ (ուղղագծային) պատկեր, որը նման է ABC-ին և հավասար է D-ին։
Քանի որ զուգահեռագիծ BE-ն, հավասար ABC եռանկյունին, թող դրվի BC ուղղագծի վրա [Բան. 1.44], և զուգահեռագիծ CM-ը, հավասար D-ին, (դրվի) CE ուղղագծի վրա, FCE անկյան մեջ, որը հավասար է CBL անկյանին [Բան. 1.45]։ Այդպիսով, BC-ը ուղղագիծ է դեպի CF, իսկ LE-ն դեպի EM [Բան. 1.14]։ Եվ թող BC-ի և CF-ի միջին համեմատականը GH ընդունված լինի [Բան. 6.13]։ Եվ թող KGH պատկերը, նման և նույն կերպ դասավորված ABC-ին, գծված լինի GH-ի վրա [Բան. 6.18]։
Եվ քանի որ ինչպես BC-ը GH-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GH-ը CF-ի նկատմամբ է, իսկ եթե երեք ուղիղ գծեր համաչափ են, ապա ինչպես առաջինը երրորդի նկատմամբ է, այնպես էլ առաջինի վրա կառուցված պատկերն ընդհանրապես նման, նույն կերպ կառուցված երկրորդի վրա գտնվող պատկերին է [Բան. 6.19 ճշգրտում], ապա ինչպես BC-ը CF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ ABC եռանկյունը KGH եռանկյան նկատմամբ է։ Բայց նաև, ինչպես BC-ը CF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BE զուգահեռագիծը EF զուգահեռագծի նկատմամբ է [Բան. 6.1]։ Ուստի, ինչպես ABC եռանկյունը KGH եռանկյան նկատմամբ է, նույնպես BE զուգահեռագիծը EF զուգահեռագծի նկատմամբ է։ Այսպես, այլընտրանքորեն, ինչպես ABC եռանկյունը BE զուգահեռագծի նկատմամբ է, այնպես էլ KGH եռանկյունը EF զուգահեռագծի նկատմամբ է [Բան. 5.16]։ Եվ քանի որ ABC եռանկյունը հավասար է BE զուգահեռագծին, հետևաբար KGH եռանկյունը նույնպես հավասար է EF զուգահեռագծին։ Բայց EF զուգահեռագիծը հավասար է D-ին։ Արդ, KGH-ն նույնպես հավասար է D-ին։ Եվ KGH-ն նաև նման է ABC-ին։
Այսպիսով, մեկ (ուղղագծային) պատկեր KGH կառուցվեց, որը նման է տրված ուղղագծային պատկերին ABC և հավասար է այլ տրված (ուղղագծային) պատկերի D։ (Այս) հենց այն էր, ինչ պետք էր անել։
==Առաջարկություն 26==
Եթե զուգահեռագծից հանվի այլ զուգահեռագիծ, որը նման է և նույն կերպ դասավորված ամբողջին և ունի նրա հետ ընդհանուր անկյուն, ապա (հանված զուգահեռագիծը) կլինի նույն անկյունագծի շուրջ, ինչ ամբողջը։
Քանզի զուգահեռագիծ ABCD-ից թող հանվի AF զուգահեռագիծը, որը նման և նույն կերպ դասավորված է ABCD-ին, ունենալով նրա հետ ընդհանուր DAB անկյունը։ Ասում եմ, որ ABCD-ը նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ AF-ը։
[[Պատկեր:1.2.png]]
Եթե ոչ, ապա ենթադրենք հնարավոր է, որ AHC լինի [ABCD]-ի անկյունագիծը։ Եվ շարունակելով GF գիծը, թող այն անցնի H կետով։ Եվ թող HK-ը նույնպես գծվի H կետով, զուգահեռ AD-ին կամ BC-ին [Բան. 1.31]։
Ուստի, քանի որ ABCD-ը նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ KG-ը, ապա ինչպես DA-ը AB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GA-ն AK-ի նկատմամբ [Բան. 6.24]։ Եվ ABCD և EG զուգահեռագծերի նմանության շնորհիվ, ինչպես DA-ը AB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GA-ը AE-ի նկատմամբ է։ Այսպիսով, ինչպես GA-ը AK-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GA-ը AE-ի նկատմամբ է։ Ուրեմն GA-ն նույն հարաբերությունն ունի AK-ի և AE-ի նկատմամբ։ Հետևաբար AE-ը հավասար է AK-ին [Բան. 5.9], ավելի փոքրն ավելի մեծին։ Սա անհնար է։ Արդ, ABCD-ը չէ նույն անկյունագծի շուրջ, ինչ AF-ը։ Ուստի ABCD զուգահեռագիծը նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ AF զուգահեռագիծը։
Այսպիսով, եթե զուգահեռագծից հանվի այլ զուգահեռագիծ, որը նման է և նույն կերպ դասավորված ամբողջին և ունի նրա հետ ընդհանուր անկյուն, ապա (հանված զուգահեռագիծը) նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ ամբողջը։ (Ահա թե ինչ էր կարիքը ցույց տալու)։
== Առաջարկություն 27 ==
Բոլոր այն զուգահեռագծերից, որոնք դրված են նույն ուղղագծի վրա և թերանում են հանման հետևանքով առաջացած զուգահեռագծային պատկերներով, որոնք նման են և նույն կերպ դասավորված այն (զուգահեռագծին), որ կառուցված է ուղղագծի կեսի վրա, ամենամեծը այն զուգահեռագիծն է, որը դրված է այդ կեսի վրա և նման է այն (զուգահեռագծին), որի միջոցով թերանում է։
Թող AB լինի ուղղագիծ և թող այն բաժանված լինի կեսի վրա C կետով [Բան. 1.10]։ Եվ թող AD զուգահեռագիծը դրված լինի AB ուղղագծի վրա, թերանալով DB զուգահեռագծային պատկերով, որը կիրառված է AB-ի կեսին, այն է՝ CB-ին։ Ասում եմ, որ բոլոր այն զուգահեռագծերից, որոնք դրված են AB-ի վրա և թերանում են DB-ին նման և նույն կերպ դասավորված զուգահեռագծային պատկերներով, ամենամեծը AD-ն է։ Քանզի թող AF զուգահեռագիծը դրված լինի AB-ի վրա, թերանալով FB զուգահեռագծային պատկերով, որը նույնպես նման է և նույն կերպ դասավորված DB-ին։ Ասում եմ, որ AD-ն մեծ է AF-ից։
[[Պատկեր:1.3.png]]
Քանի որ DB զուգահեռագիծը նման է FB զուգահեռագծին, ապա դրանք նույն անկյունագծի շուրջ են [Բան. 6.26]։ Թող նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը DB գծվի, և թող պատկերի մնացորդը լրացվի։
Ուստի, քանի որ (լրացնող) CF-ը հավասար է (լրացնող) FE-ին [Բան. 1.43], և FB զուգահեռագիծը ընդհանուր է, ապա ամբողջ CH զուգահեռագիծը հավասար է ամբողջ KE զուգահեռագծին։ Բայց CH զուգահեռագիծը հավասար է CG-ին, քանի որ AC-ը նույնպես հավասար է CB-ին [Բան. 6.1]։ Ուստի GC զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է EK-ին։ Թող CF զուգահեռագիծը ավելացվի երկուսին էլ։ Արդ, ամբողջ AF զուգահեռագիծը հավասար է LMN գномոնին։ Հետևաբար, DB զուգահեռագիծը, այսինքն AD-ը, մեծ է AF զուգահեռագծից։
Այսպիսով, բոլոր այն զուգահեռագծերի համար, որոնք կիրառված են նույն ուղղագծի վրա և թերանում են (հանման հետևանքով առաջացած) զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է և նույն կերպ դասավորված է այն զուգահեռագծին, որ կառուցված է ուղղագծի կեսի վրա, ամենամեծը այն է, որը դրված է հենց այդ կեսի վրա։ (Դա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 28 ==
Որպեսզի ուղղագծին կիրառվի զուգահեռագիծ, հավասար տրված ուղղագծային պատկերին, այնպես, որ կիրառված զուգահեռագիծը թերանա մի զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է տրված զուգահեռագծին, անհրաժեշտ է, որ տրված ուղղագծային պատկերը [որին հավասար զուգահեռագիծը պետք է կիրառվի] մեծ չլինի այն զուգահեռագծից, որը կառուցված է ուղղագծի կեսի վրա և նման է թերացման պատկերին։
Թող AB-ն լինի տրված ուղղագիծը, իսկ C-ը տրված ուղղագծային պատկերը, որին AB-ի վրա կիրառվող զուգահեռագիծը պետք է հավասար լինի, ընդ որում C-ը մեծ չէ այն զուգահեռագծից, որը կառուցված է AB-ի կեսի վրա և նման է թերացման պատկերին։ D-ը այն զուգահեռագիծն է, որին պետք է նման լինի թերացումը։ Արդ, պետք է AB ուղղագծի վրա կիրառել զուգահեռագիծ, հավասար տրված C ուղղագծային պատկերին, թերանալով մի զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է D-ին։
[[Պատկեր:1.4.png]]
Թող AB-ը բաժանված լինի կետ E-ով երկու կեսի [Բան. 1.10], և թող (զուգահեռագիծ) EBFG, որը նման է ու նույն կերպ դասավորված D զուգահեռագծին, կառուցվի EB-ի վրա [Բան. 6.18]։ Եվ թող AG զուգահեռագիծը լրացվի։
Եթե AG-ը հավասար է C-ին, ապա նախապես պահանջվածը կատարված է։ Որովհետև AG զուգահեռագիծը, հավասար տրված ուղղագծային պատկեր C-ին, կիրառված է AB ուղղագծի վրա, թերանալով GB զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է D-ին։ Իսկ եթե ոչ, թող HE-ն մեծ լինի C-ից։ Եվ HE-ը հավասար է GB-ին [Բան. 6.1]։ Ուստի GB-ն նույնպես մեծ է C-ից։ Թող KLMN զուգահեռագիծը կառուցվի, որը թե՛ նման է և թե՛ նույն կերպ դասավորված D-ին, և հավասար GB-ի C-ից մեծ լինելու չափին [Բան. 6.25]։ Բայց GB-ն նման է D-ին։ Ուրեմն KM-ն նույնպես նման է GB-ին [Բան. 6.21]։ Ուստի թող KL-ը համապատասխանեցվի GE-ին, իսկ LM-ը GF-ին։ Եվ چونکہ GB զուգահեռագիծը հավասար է C պատկերին և KM զուգահեռագծին, GB-ն ավելի մեծ է KM-ից։ Հետևաբար GE-ն նույնպես մեծ է KL-ից, իսկ GF-ը LM-ից։ Թող GO-ը հավասարեցվի KL-ին, իսկ GP-ը LM-ին [Բան. 1.3]։ Եվ թող OGPQ զուգահեռագիծը լրացվի։ Այսպիսով [GQ]-ը հավասար է ու նման KM-ին (իսկ KM-ն նման է GB-ին), ուստի GQ-ն նույնպես նման է GB-ին [Բան. 6.21]։ Այսպիսով GQ և GB զուգահեռագծերը նույն անկյունագծի շուրջ են [Բան. 6.26]։ Թող GQB-ը լինի նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը, և թող պատկերի մնացորդը լրացվի։
Քանի որ BG-ը հավասար է C-ին և KM-ին, որոնցից GQ-ը հավասար է KM-ին, մնացած գномոն VWU-ն նույնպես հավասար է C-ին։ Եվ քանի որ (լրացնող) PR-ը հավասար է (լրացնող) OS-ին [Բան. 1.43], թող QB զուգահեռագիծը ավելացվի երկուսին էլ։ Այդպիսով ամբողջ PB զուգահեռագիծը հավասար է ամբողջ OB զուգահեռագծին։ Իսկ OB-ն հավասար է TE-ին, քանի որ AE կողմը հավասար է EB կողմին [Բան. 6.1]։ Ուստի TE-ն նույնպես հավասար է PB-ին։ Թող (զուգահեռագիծ) OS-ը նույնպես ավելացվի երկուսին էլ։ Այդպիսով ամբողջ TS զուգահեռագիծը հավասար է VWU գномոնին։ Բայց VWU գномոնը ցույց տրվեց, որ հավասար է C-ին։ Ուստի TS զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է C պատկերին։
Այսպիսով, ST զուգահեռագիծը, հավասար տրված ուղղագծային պատկեր C-ին, կիրառվեց տրված AB ուղղագծի վրա, թերանալով QB զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է D-ին [քանի որ QB-ն նման է GQ-ին [Բան. 6.24]]։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր անել)։
Ծանոթագրություն: Այս առաջարկությունը երկրաչափական լուծումն է x² – αx + β = 0 քառորդասնական հավասարման։ Այստեղ x-ը թերացման կողմի երկարության և D պատկերի համապատասխան կողմի հարաբերությունն է, α-ն AB ուղղագծի երկարության և D պատկերի այն կողմի երկարության հարաբերությունը, որը համապատասխանում է թերացման կողքին (AB-ի երկայնքով), իսկ β-ն C և D պատկերների մակերեսների հարաբերությունն է։ Պայմանադրությունը β < α²/4-ն է, որպեսզի հավասարումն ունենա իրական լուծումներ։ Այստեղ գտնվում է հավասարման միայն փոքր արմատը։ Մեծ արմատը կարելի է գտնել նմանատիպ մեթոդով։
== Առաջարկություն 29 ==
Ուղղագծին կիրառել մի զուգահեռագիծ, որը հավասար է տրված ուղղագծային պատկերին, այնպես, որ կիրառված զուգահեռագիծը անցնի սահմանվածից ավել (անցնի սահմանագիծը) մի զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է տրված (զուգահեռագծին):
[[Պատկեր:1.5.png]]
Թող AB-ն լինի տրված ուղղագիծը, իսկ C-ը տրված ուղղագծային պատկերը, որին AB-ի վրա կիրառվող զուգահեռագիծը պետք է հավասար լինի։ D-ը այն զուգահեռագիծն է, которому նման պետք է լինի ավելացած մասը։ Արդ, անհրաժեշտ է AB ուղղագծի վրա կիրառել մի զուգահեռագիծ, հավասար C ուղղագծային պատկերին, բայց այնքան, որ այն անցնի սահմանվածից ավել, առաջացնելով մի զուգահեռագծային պատկեր, որը նման է D-ին։
Թող AB-ը բաժանված լինի կեսի վրա E կետով [Բան. 1.10], և թող EB-ի վրա կառուցվի BF զուգահեռագիծը, որը նման և նույն կերպ դասավորված է D զուգահեռագծին [Բան. 6.18]։ Թող նաև կառուցվի GH զուգահեռագիծը, որը նույնպես նման է D-ին և հավասար BF-ի և C-ի գումարին [Բան. 6.25]։ Եվ թող KH-ը համապատասխանեցվի FL-ին, իսկ KG-ը FE-ին։ Քանի որ GH զուգահեռագիծը մեծ է FB զուգահեռագծից, հետևաբար KH-ը նույնպես մեծ է FL-ից, իսկ KG-ը մեծ է FE-ից։ Թող FL և FE գծերը երկարացվեն, և թող FLM երկարությունը հավասարեցվի KH-ին, իսկ FEN-ը հավասարեցվի KG-ին [Բան. 1.3]։ Եվ թող MN զուգահեռագիծը լրացվի։ Այսպիսով MN-ը հավասար և նման է GH-ին։ Բայց GH-ը նման է EL-ին։ Ուրեմն MN-ը նույնպես նման է EL-ին [Բան. 6.21]։ EL-ը, ուրեմն, նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ MN-ը [Բան. 6.26]։ Թող նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծ FO գծվի, և թող պատկերի մնացած մասը լրացվի։
Եվ քանի որ GH զուգահեռագիծը հավասար է EL զուգահեռագծին և (C) պատկերին, բայց GH-ը հավասար է նաև MN զուգահեռագծին, ուրեմն MN-ը նույնպես հավասար է EL-ին և C-ին։ Թող EL-ը հանվի երկուսից էլ։ Ուստի մնացող XWV գνομոնը հավասար է (C) պատկերին։ Եվ քանի որ AE-ը հավասար է EB-ին, AN զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է NB զուգահեռագծին [Բան. 6.1], այսինքն LP զուգահեռագծին [Բան. 1.43]։ Թող EO զուգահեռագիծը ավելացվի երկուսին էլ։ Այդպիսով ամբողջ AO զուգահեռագիծը հավասար է VWX գνομոնին։ Բայց VWX գνομոնը հավասար է (C) պատկերին։ Ուստի AO զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է C պատկերին։
Այսպիսով AO զուգահեռագիծը, հավասար տրված ուղղագծային պատկեր C-ին, կիրառվել է տրված AB ուղղագծին, անցնելով ավել մի զուգահեռագծային պատկերով QP, որը նման է D-ին, քանի որ PQ-ն նույնպես նման է EL-ին [Բան. 6.24]։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր անել)։
Ծանոթագրություն: Այս առաջարկությունը քառակուսային հավասարման x² + αx – β = 0 երկրաչափական լուծումն է։ Այստեղ x-ը ավելցուկի կողմի և D պատկերի համապատասխան կողմի հարաբերությունն է, α-ն AB ուղղագծի երկարության և D պատկերի այն կողքի երկարության հարաբերությունը, որը համապատասխանում է ավելցուկի երկայնքով AB կողմին, իսկ β-ն C և D պատկերների մակերեսների հարաբերությունն է։ Այստեղ գտնվում է հավասարման միայն դրական արմատը։
== Առաջարկություն 30 ==
Տրված վերջավոր ուղղագծի հատվածումը ծայրագույն և միջին հարաբերությամբ։
[[Պատկեր:1.5.png]]
Թող AB լինի տրված վերջավոր ուղղագիծը։ Ուրեմն անհրաժեշտ է AB ուղղագիծը բաժանել ծայրագույն և միջին հարաբերությամբ։
Թող AB ուղղագծի վրա կառուցվի BC քառակուսին [Բան. 1.46], և թող BC-ին հավասար CD զուգահեռագիծը կիրառվի AC-ի վրա, անցնելով սահմանվածից ավելի AD պատկերով, որը նման է BC-ին [Բան. 6.29]։
Քանի որ BC-ը քառակուսի է, ուրեմն AD-ն նույնպես քառակուսի է։ Եվ քանի որ BC-ը հավասար է CD-ին, թող CE ուղղանկյունը հանվի երկուսից էլ։ Այդպիսով, մնացած BF ուղղանկյունը հավասար է մնացած AD քառակուսուն։ Այն նաև հավանկյուն է նրա հետ։ Այսպիսով BF-ի և AD-ի կողմերը հավասար անկյունների շուրջ обратно (փոխադարձաբար) համաչափ են [Բան. 6.14]։ Ուստի, ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես AE-ը EB-ի նկատմամբ է։ Եվ FE-ը հավասար է AB-ին, իսկ ED-ը AE-ին։ Հետևաբար, ինչպես BA-ը AE-ի նկատմամբ է, նույնպես AE-ը EB-ի նկատմամբ է։ Եվ քանի որ AB-ը մեծ է AE-ից, ուրեմն AE-ը նույնպես մեծ է EB-ից [Բան. 5.14]։
Այսպիսով, AB ուղղագիծը բաժանվեց ծայրագույն և միջին հարաբերությամբ E կետում, և AE-ն նրա մեծ մասը դարձավ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր անել)։
Ծանոթագրություն: Այս մեթոդը ուղղագծի բաժանման, որն ibland անվանվում է "ոսկե հատում", դիտեք Առաջարկություն 2.11:
== Առաջարկություն 31 ==
Ուղղանկյուն եռանկյուններում, աջ անկյունը ծածկող կողմի վրա գծված պատկերն հավասար է աջ անկյունը շրջապատող կողմերի վրա կառուցված նման, և նույն կերպ նկարագրված պատկերների գումարին:
[[Պատկեր:1.7.png]]
Թող ABC-ն լինի ուղղանկյուն եռանկյուն, որտեղ BΑC անկյունը աջ անկյուն է։ Ասում եմ, որ BC կողմի վրա կառուցված պատկերը հավասար է BA և AC կողերին կառուցված նման, նույն կերպ նկարագրված պատկերների գումարին։
Թող AD ուղղահայացը գծվի [Բան. 1.12]:
Ուստի, քանի որ ABC ուղղանկյուն եռանկյունում AD ուղիղը գծվեց A աջ անկյունից BC հիմքին ուղղահայաց, երեքանկյունները ABD և ADC ուղղահայացի շուրջ նման են թե՛ ամբողջ ABC եռանկյունին, թե՛ միմյանց [Բան. 6.8]: Եվ քանի որ ABC-ն նման է ABD-ին, ուրեմն ինչպես CB-ը BA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AB-ը BD-ի նկատմամբ է [Սահմ. 6.1]։ Եվ քանի որ երեք ուղղագծերը համաչափ են, ապա ինչպես առաջինը երրորդի նկատմամբ է, այնպես էլ առաջինի վրա կառուցված նման և նույն ձևով նկարագրված պատկերը երկրորդի վրա կառուցված պատկերի նկատմամբ է [Բան. 6.19 ուղղում]: Այսպիսով, ինչպես CB-ը BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CB-ի վրա կառուցված պատկերը BA-ի վրա կառուցված նման, նույն կերպ նկարագրված պատկերի նկատմամբ է։ Նույն պատճառներով, ինչպես BC-ը CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BC-ի վրա կառուցված պատկերը CA-ի վրա կառուցված պատկերի նկատմամբ է։ Հետևաբար, քանի որ BC-ը BD-ի և DC-ի նկատմամբ է, BC-ի վրա կառուցված պատկերը հավասար է BA և AC կողմերին կառուցված նման, նույն ձևով նկարագրված պատկերների գումարին [Բան. 5.24]: Եվ քանի որ BC-ը հավասար է BD-ին և DC-ին, BC-ի վրա կառուցված պատկերը նույնպես հավասար է BA-ի և AC-ի վրա կառուցված նման, նույն ձևով նկարագրված պատկերների գումարին [Բան. 5.9]։
Արդ, ուղղանկյուն եռանկյուններում աջ անկյունը ծածկող կողի վրա կառուցված պատկերը հավասար է աջ անկյունը շրջապատող կողմերի վրա կառուցված նման, նույն կերպ նկարագրված պատկերների գումարին։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 32 ==
Եթե երկու եռանկյուններ, որոնք ունեն երկու կողմեր համաչափ երկու այլ կողմերին, տեղադրված են մեկ ընդհանուր անկյան շուրջ այնպես, որ համապատասխանող կողմերը նույնպես զուգահեռ են, ապա եռանկյունների մնացած կողմերը կլինեն ուղղագծի վրա (միմյանց նկատմամբ):
[[Պատկեր:1.8.png]]
Թող ABC և DCE լինեն երկու եռանկյուններ, որոնց BA և AC երկու կողմերը համաչափ են DC և DE երկու կողմերին, այնպես որ ինչպես AB-ը AC-ի նկատմամբ է, նույն կերպ DC-ն DE-ի նկատմամբ է, և AB կողմը զուգահեռ է DC-ին, իսկ AC-ն DE-ին։ Ասում եմ, որ BC կողմը ուղիղ է CE-ի հետ։
Քանզի AB-ը զուգահեռ է DC-ին, և AC ուղղագիծը անցնում է նրանց միջով, BAC և ACD փոխարինական անկյունները հավասար են միմյանց [Բան. 1.29]։ Նույն պատճառներով CDE-ն հավասար է ACD-ին։ Ուստի BAC-ը հավասար է CDE-ին։ Եվ քանի որ ABC և DCE են երկու եռանկյուններ, որոնք ունեն A անկյունը հավասար D անկյանը, իսկ հավասար անկյունների շուրջ գտնվող կողմերը համաչափ են (այնպես, որ ինչպես BA-ը AC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CD-ն DE-ի նկատմամբ է), ABC եռանկյունը հավանկյուն է DCE եռանկյունին [Բան. 6.6]։ Ուստի ABC անկյունը հավասար է DCE անկյանը։ Եվ (անկյուն) ACD-ն նույնպես ցույց տրվեց հավասար BAC անկյանը։ Դրա շնորհիվ (ամբողջ) ACE անկյունը հավասար է (ABC և BAC անկյունների) գումարին։ Թող ACB անկյունը նույնպես ավելացվի երկուսին։ Այդպիսով ACE և ACB անկյունները հավասար են BAC, ACB, և CBA անկյուններին։ Բայց BAC, ABC և ACB անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղղանկյունների [Բան. 1.32]։ Ուստի ACE և ACB անկյունները նույնպես հավասար են երկու ուղղանկյունների։ Այսպիսով, BC և CE երկու ուղիղները, որոնք չեն գտնվում նույն կողմում, կազմում են ACE և ACB հարակից անկյուններ, որոնց գումարը հավասար է երկու ուղղանկյունների AC ուղղագծի վրա, C կետում։ Ուստի BC-ը ուղիղ է CE-ի հետ [Բան. 1.14]։
Այսպիսով, եթե երկու եռանկյուններ, որոնք ունեն երկու կողմերը համաչափ երկու այլ կողմերին, տեղադրված են մեկ ընդհանուր անկյան շուրջ այնպես, որ համապատասխանող կողմերը նույնպես զուգահեռ են, ապա մնացած կողմերը կլինեն միևնույն ուղիղ գծի վրա (միմյանց նկատմամբ)։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 33 ==
Հավասար շրջաններում անկյունները նույն հարաբերությունն ունեն այն շրջագծերի նկատմամբ, որոնց վրա կանգնած են, արդյոք նրանք գտնվում են շրջանների կենտրոններում, թե շրջագծերի վրա:
[[Պատկեր:1.9.png]]
Թող ABC և DEF լինեն հավասար շրջաններ, և թող BGC և EHF անկյունները լինեն դրանց կենտրոններում G և H կետերում համապատասխանաբար, իսկ BAC և EDF անկյունները լինեն դրանց շրջագծերի վրա։ Ասում եմ, որ ինչպես BC շրջագիծը EF շրջագծի նկատմամբ է, այնպես էլ BGC անկյունը EHF անկյան նկատմամբ է, և BAC անկյունը EDF անկյան նկատմամբ։
Թող որևէ քանակի հաջորդական շրջագծաշղթաներ CK և KL լինեն հավասար BC շրջագծին, և որևէ քանակի FM և MN լինեն հավասար EF շրջագծին։ Թող GK, GL, HM, և HN գծերը ավելացվեն։
Ուստի, քանի որ BC, CK և KL շրջագծերը հավասար են միմյանց, BGC, CGK և KGL անկյունները նույնպես հավասար են միմյանց [Բան. 3.27]։ Այսպիսով, քանի անգամ BL շրջագիծը բաժանվում է BC շրջագծի մեջ, նույնքան անգամ BGL անկյունը բաժանվում է BGC անկյան մեջ։ Եվ նույն պատճառներով, քանի անգամ NE շրջագիծը բաժանվում է EF-ի մեջ, նույնքան անգամ NHE անկյունը բաժանվում է EHF անկյան մեջ։ Արդ, եթե BL շրջագիծը հավասար է EN շրջագծին, ապա BGL անկյունը նույնպես հավասար է EHN անկյանին [Բան. 3.27]։ Եթե BL-ը մեծ է EN-ից, ապա BGL անկյունը նույնպես մեծ է EHN-ից, իսկ եթե BL-ը փոքր է EN-ից, ապա BGL անկյունը նույնպես փոքր է EHN-ից։ Արդ, ունենք չորս մեծություններ՝ երկու շրջագծեր BC և EF, և երկու անկյուններ BGC և EHF։ Եվ վերցվել են հավասար բազմապատիկներ BC շրջագծից և BGC անկյունից (մասնավորապես BL շրջագիծն ու BGL անկյունը) և EF շրջագծից ու EHF անկյունից (մասնավորապես EN շրջագիծն ու EHN անկյունը)։ Եվ ցույց տրվեց, որ եթե BL շրջագիծը գերազանցում է EN շրջագծին, ապա BGL անկյունը նույնպես գերազանցում է EHN անկյանը, եթե հավասար են, ապա հավասար են, իսկ եթե BL-ը փոքր է, ապա BGL անկյունը նույնպես փոքր է EHN-ից։ Այսպիսով, ինչպես BC շրջագիծը EF-ի նկատմամբ է, այնպես BGC անկյունը EHF-ի նկատմամբ է [Սահմանում 5.5]։ Բայց քանի որ BGC անկյունը EHF-ի նկատմամբ է, նույն կերպ BAC անկյունը EDF-ի նկատմամբ է [Բան. 5.15]։ Նախադրյալները կրկնապատկում են հետևությունները [Բան. 3.20]։ Ուստի, ինչպես BC շրջագիծը EF-ի նկատմամբ է, այնպես BGC անկյունը EHF-ի նկատմամբ է, և BAC անկյունը EDF-ի նկատմամբ է։
Այսպիսով, հավասար շրջաններում անկյունները նույն հարաբերությունն ունեն այն շրջագծերի նկատմամբ, որոնց վրա կանգնած են, արդյոք նրանք գտնվում են շրջանների կենտրոններում, թե շրջագծերի վրա։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Սահմանումներ
1. Միավորը այն է, ըստ որի ամեն գոյող (բան) ասվում է «մեկ»։
2. Թիվը միավորներից կազմված բազմություն է։†
3. Թիվը մաս է (ուրիշ) թիվի, փոքրագույնը մեծագույնի, երբ այն չափում է մեծագույնը։‡
4. Իսկ (եթե փոքրագույնը) մասեր է (մեծագույնի), երբ այն չի չափում այն։§
5. Եվ մեծագույն (թիվը) փոքրագույնի բազմապատիկն է, երբ մեծագույնը չափվում է փոքրագույնով։
6. Զույգ թիվը այն թիվն է, որ կարելի է բաժանել երկու հավասար մասերի։
7. Թեք (կամ կենտ) թիվը այն թիվն է, որը չի կարելի բաժանել երկու հավասար մասերի, կամ որը տարբերվում է զույգ թվից մեկ միավորով։
8. Զույգ-անգամ-զույգ թիվը այն է, որ չափվում է մի զույգ թվով, ըստ մի այլ զույգ թվի։¶
9. Իսկ զույգ-անգամ-թեք թիվը այն է, որ չափվում է մի զույգ թվով, ըստ մի թեք (կենտ) թվի։∗
10. Եվ թեք-անգամ-թեք թիվը այն է, որ չափվում է մի թեք (կենտ) թվով, ըստ մի այլ թեք (կենտ) թվի։$
11. Առաջնային∥ թիվը այն է, որ չափվում է միայն միավորով։
12. Թվերը, որոնք պարզ են (առաջնային) միմյանց նկատմամբ, այն թվերն են, որոնք չափվում են միայն միավորով որպես ընդհանուր չափ։
13. Բարդ թիվը այն է, որ չափվում է ինչ-որ թվով։
14. Եվ թվերը, որոնք բարդ են միմյանց նկատմամբ, այն թվերն են, որոնք չափվում են ինչ-որ թվով որպես ընդհանուր չափ։
15. Ասվում է, որ թիվը բազմապատկում է (ուրիշ) թիվը, երբ բազմապատկվող թիվը ինքն իրեն מוסարձակվում է այնքան անգամ, որքան միավորներ կան առաջին (բազմապատկող) թվում, և (այդ կերպ) առաջանում է մեկ այլ թիվ։
16. Եվ երբ երկու թվեր միմյանց բազմապատկելով առաջացնում են ինչ-որ (ուրիշ) թիվ, ապա (այդպիսով) առաջացած թիվը կոչվում է հարթ (ղեկավար տերմինը "plane" – "հարթ"), և նրա կողմերը այն թվերն են, որոնք բազմապատկում են միմյանց։
17. Եվ երբ երեք թվեր միմյանց բազմապատկելով առաջացնում են ինչ-որ (ուրիշ) թիվ, ապա (այդպիսով) առաջացած թիվը կոչվում է ծավալային (solid), և նրա կողմերը այն թվերն են, որոնք բազմապատկում են միմյանց։
18. Քառակուսի (square) թիվը հավասար բազմապատիկ է հավասարի, կամ (հարթ թիվ) է, պարփակված երկու հավասար թվերով։
19. Եվ խորանարդ (cube) թիվը հավասար-նշանակ բազմապատիկ է հավասարի, կրկին հավասարի, կամ (ծավալային թիվ) է, պարփակված երեք հավասար թվերով։
20. Թվերը համաչափ են, երբ առաջինը նույն բազմապատիկն է, կամ նույն մասը, կամ նույն մասերն են երկրորդի նկատմամբ, ինչ երրորդը չորրորդի նկատմամբ։
21. Նման հարթ և ծավալային թվերը այն թվերն են, որոնք ունեն համեմատական (համաչափ) կողմեր։
22. Կատարյալ թիվը այն է, որը հավասար է իր մասերի գումարին։††
Ծանոթագրություններ:
† Այլ կերպ ասած, «թիվը» միավորից մեծ դրական ամբողջ թիվ է։
‡ Այլ կերպ ասած, թիվ a-ն մաս է թիվ b-ի, եթե գոյություն ունի թիվ n, այնպես, որ na = b։
§ Այլ կերպ ասած, a թիվը մասեր է b թիվի (որտեղ a < b), եթե գոյություն ունեն տարբեր թվեր m և n, այնպես որ na = m*b։
¶ Այլ կերպ ասած, զույգ-անգամ-զույգ թիվը երկու զույգ թվերի արտադրյալն է։
∗ Այլ կերպ ասած, զույգ-անգամ-թեք թիվը մեկ զույգ և մեկ թեք (կենտ) թվերի արտադրյալն է։
$ Այլ կերպ ասած, թեք-անգամ-թեք թիվը երկու թեք (կենտ) թվերի արտադրյալն է։
∥ Բառացիորեն, «առաջին»։
†† Այլ կերպ ասած, կատարյալ թիվը հավասար է իր բաժանարարների գումարին։
== Առաջարկություն 1 ==
Եթե տրվեն երկու անհավասար թվեր, և փոքրագույնը հերթով անընդհատ հանվի մեծագույնից, այնպես, որ մնացորդը երբեք չչափի իրեն նախորդող թիվը, մինչև չմնա մեկ միավոր, ապա սկզբնական թվերը կլինեն միմյանց նկատմամբ պարզ (արնչություն չունեն որևէ ընդհանուր բաժանարարից բացի մեկից):
[[Պատկեր:1.10.png]]
Երկու [անհավասար] թվերի, AB և CD-ի դեպքում, եթե փոքրագույնը հերթով անընդհատ հանվի մեծագույնից, թող մնացորդը երբեք չչափի իրեն նախորդող թիվը, մինչև չմնա մեկ միավոր։ Ասում եմ, որ AB և CD թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ, այսինքն՝ միայն միավորը չափում է (և) AB-ին, (և) CD-ին։
Եթե AB և CD պարզ չլինեն միմյանց նկատմամբ, ապա որոշ թիվ նրանց կչափի։ Թող այդ թիվը լինի E։ Եվ թող CD-ն, չափելով BF-ը, թողնի FA մնացորդ, փոքր քան ինքն է, հետո AF-ը, չափելով DG-ն, թողնի GC մնացորդ, փոքր քան ինքն է, հետո GC-ն, չափելով FH-ը, թողնի HA միավորը։
Փաստորեն, քանի որ E-ն չափում է CD-ն, և CD-ն չափում է BF-ը, E-ն նույնպես չափում է BF-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ BA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի BA-ի մնացորդ AF-ը։ Եվ AF-ն չափում է DG-ն։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է DG-ը։ Եվ (E-ն) նույնպես չափում է ամբողջ DC-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի CG մնացորդը։ Եվ CG-ն չափում է FH-ը։ Այսպիսով, E-ն նույնպես չափում է FH-ը։ Եվ (E-ն) նաև չափում է ամբողջ FA-ն։ Ուստի (E-ն) նույնպես կչափի HA մնացորդային միավորը, թեև դա ուղղակի միավոր է։ Սա բացարձակապես անհնար է։
Հետևաբար գոյություն չունի թիվ, որը չափի (և) AB-ը, (և) CD-ը։ Այսպիսով, AB և CD թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ։ (Ահա թե ինչ էր անհրաժեշտ ցույց տալ):
Մեկնաբանություններ:
† Այստեղ օգտագործվում է չարտասանված ընդհանուր գաղափարը, որ եթե a-ն չափում է b-ին, և b-ն չափում է c-ին, ապա a-ն նույնպես չափում է c-ին, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
‡ Այստեղ օգտագործվում է չարտասանված ընդհանուր գաղափարը, որ եթե a-ն չափում է b-ին, և a-ն նաև չափում է b-ի մի մասը, ապա a-ն նույնպես չափում է b-ի մնացորդային մասը, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
== Առաջարկություն 2 ==
Գտնել երկու տրված թվերի (որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն) ամենամեծ ընդհանուր չափը:
[[Պատկեր:1.11.png]]
Թող AB և CD լինեն երկու տրված թվերը, որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն։ Արդ, անհրաժեշտ է գտնել AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափը։
Իրոք, եթե CD-ը չափում է AB-ը, ապա CD-ը այդպիսով AB-ի և CD-ի ընդհանուր չափն է (քանի որ CD-ը նաև ինքն իրեն է չափում)։ Եվ ակնհայտ է, որ այն նաև ամենամեծ (ընդհանուր չափն) է։ Քանի որ ոչինչ, որ մեծ է CD-ից, չի կարող չափել CD-ին։
Բայց եթե CD-ը չի չափում AB-ը, ապա AB-ից և CD-ից կմնա որոշ թիվ, երբ փոքրագույնը հերթով շարունակաբար հանենք մեծագույնից, որը կչափի իրեն նախորդող թիվը։ Որովհետև մեկ միավոր չի մնա։ Բայց եթե ոչ, ապա AB և CD թվերը պարզ կլինեն միմյանց նկատմամբ [Բան. 7.1]։ Սա հակասում է այն, ինչ ենթադրվել էր։ Ուստի կմնա մի թիվ, որը կչափի իրեն նախորդող թիվը։ ԵՎ թող CD-ը, չափելով BE-ն, թողնի EA մնացորդը, որը փոքր է իրենից, հետո EA-ն, չափելով DF-ը, թողնի FC մնացորդը, որը փոքր է իրենից, ապա CF-ը թող չափի AE-ը։ Ուստի, քանի որ CF-ը չափում է AE-ը, իսկ AE-ը չափում է DF-ը, CF-ը կհասկանանք, որ չափում է նաև DF-ը։ Եվ այն նաև ինքն իրեն է չափում։ Ուստի այն կչափի նաև ամբողջ CD-ը։ Իսկ CD-ը չափում է BE-ը։ Ուստի CF-ը նույնպես կչափի BE-ը։ Եվ այն նաև չափում է EA-ն։ Ուստի այն կչափի նաև ամբողջ BA-ն։ Այն նաև չափում է AE մնացորդը։ Եվ AE-ը չափում է DF-ը։ Ուստի CF-ը նույնպես կչափի DF-ը։ Եվ այն ինքն իրեն է չափում։ Ուստի այն կչափի նաև DC մնացորդը։ Այսպիսով, CF-ը չափում է և AB-ը, և CD-ը։ Ասում եմ, որ այն նաև ամենամեծ (ընդհանուր չափն) է։ Քանի որ եթե CF-ը AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափը չէ, ապա կգտնվի մի թիվ, որը մեծ է CF-ից և կչափի AB ու CD թվերը։ Թող այն չափի (AB և CD), և թող այդ թիվը լինի G։ Եվ քանի որ G-ն չափում է CD-ը, իսկ CD-ն չափում է BE-ը, G-ն նույնպես կչափի BE-ը։ Եվ այն նաև կչափի ամբողջ BA-ն։ Ուստի այն կչափի AE մնացորդը։ Իսկ AE-ը չափում է DF-ը։ Ուստի G-ն նույնպես կչափի DF-ը։ Այն նաև չափում է ամբողջ DC-ը։ Ուստի այն կչափի CF մնացորդը, մեծը չափելով փոքրին։ Սա անհնար է։ Ուստի ոչ մի թիվ, որը մեծ է CF-ից, չի կարող չափել AB և CD թվերը։ Այսպիսով, CF-ը AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Հաջորդակում (Corollary)
Այդպիսով ակնհայտ է, որ եթե մի թիվ չափում է երկու թիվ, ապա այն կչափի նաև նրանց ամենամեծ ընդհանուր չափը։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 3 ==
Գտնել երեք տրված թվերի (որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն) ամենամեծ ընդհանուր չափը:
[[Պատկեր:1.12.png]]
Թող A, B և C լինեն երեք տրված թվերը, որոնք միմյանց նկատմամբ պարզ չեն։ Արդ, անհրաժեշտ է գտնել A, B և C թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափը։
Թող նախ վերցված լինի A և B երկու (թվերի) ամենամեծ ընդհանուր չափը D [Բան. 7.2]։ Ուրեմն D-ը կամ չափում է, կամ չի չափում C-ը։ Նախ ենթադրենք, որ այն չափում է (C-ը)։ Այն նաև չափում է A-ն և B-ը։ Ուստի D-ը չափում է A, B և C թվերը։ Այսպիսով, D-ը A, B և C թվերի ընդհանուր չափն է։ Ասում եմ, որ այն նաև ամենամեծ (ընդհանուր) չափն է։ Քանի որ եթե D-ը A, B և C ամենամեծ ընդհանուր չափը չլինի, ապա կգտնվի մի թիվ, ավելի մեծ քան D-ը, որը կչափի A, B և C թվերը։ Թող այն (այդպես) չափի (A, B, C) և կոչվի E։ Ուստի, քանի որ E-ը չափում է A, B և C, այն կչափի նաև A և B։ Այսպիսով, այն կչափի A և B ամենամեծ ընդհանուր չափը D-ը [Ընդհանր.` 7.2], իսկ D-ը ամենամեծ ընդհանուր չափն է A և B թվերի։ Այսպիսով, E-ը չափում է D-ը, մեծը չափում է փոքրին։ Սա բացարձակ անհնար է։
Հետևաբար, ոչ մի թիվ, մեծ քան D-ը, չի կարող չափել A, B և C թվերը։ Ուստի D-ը A, B և C թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Եթե D-ը չի չափում C-ը, ասում եմ նախ, որ C և D թվերը միմյանց նկատմամբ պարզ չեն։ Քանի որ A, B, C միմյանց նկատմամբ պարզ չեն, մի թիվ կգտնվի, որը կչափի դրանք։ Այսպիսով, A, B, C չափող թիվը կչափի նաև A և B, և կչափի A և B ամենամեծ ընդհանուր չափը D-ը [Ընդհանր. 7.2], և կչափի նաև C-ը։ Ուստի որոշ թիվ կչափի D և C թվերը։ Այսպիսով, D և C նույնպես պարզ չեն միմյանց նկատմամբ։ Թող D և C ամենամեծ ընդհանուր չափը, E-ը, վերցվի [Բան. 7.2]։ Եվ քանի որ E-ը չափում է D-ին, իսկ D-ը չափում է A և B, E-ը նույնպես չափում է A և B։ Այն նաև չափում է C-ը։ Ուստի E-ը A, B, C թվերի ընդհանուր չափն է։ Ասում եմ, որ այն նաև ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ Քանի որ եթե E-ը A, B, C ամենամեծ ընդհանուր չափը չլինի, ապա կգտնվի թիվ, ավելի մեծ քան E-ը, որը կչափի A, B և C թվերը։ Թող այն (այդպես) չափի (A, B և C) և կոչվի F։ Եվ քանի որ F-ը չափում է A, B, C, այն կչափի նաև A և B։ Ուստի այն կչափի A և B ամենամեծ ընդհանուր չափը D-ը [Ընդհանր. 7.2], իսկ D-ը A և B ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ Այսպիսով, F-ը չափում է D-ը։ Այն նաև չափում է C-ը։ Ուստի F-ը չափում է D և C թվերը, և կչափի D և C ամենամեծ ընդհանուր չափը [Ընդհանր.` 7.2]։ Իսկ E-ը D և C ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ Այսպիսով, F-ը չափում է E-ին, մեծը չափում է փոքրին։ Սա անհնար է։ Ուստի ոչ մի թիվ, մեծ քան E-ը, չի չափում A, B, C թվերը։ Այսպիսով, E-ը A, B, C ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 4 ==
Ցանկացած թիվ կամ մաս է, կամ մասեր են յուրաքանչյուր (ուրիշ) թվի, ավելի փոքրն ավելի մեծի։
Թող A և BC լինեն երկու թվեր, և թող BC-ը լինի փոքրագույնը։ Ասում եմ, որ BC-ը կամ մաս է, կամ մասեր են A թվի։
Քանի որ A և BC թվերը կամ պարզ են միմյանց նկատմամբ, կամ ոչ։ Նախ թող A և BC պարզ լինեն միմյանց նկատմամբ։ Այդ դեպքում, բաժանելով BC-ը նրա միավորներից կազմված բաղկացուցիչ մասերի, BC-ի յուրաքանչյուր միավոր կլինի A-ի ինչ-որ մասը։ Հետևաբար, BC-ը A-ի մասերից է։
[[Պատկեր:1.13.png]]
Այսպիսով, թող A և BC պարզ չլինեն միմյանց նկատմամբ։ Ուրեմն BC-ը կամ չափում է A թիվը, կամ չի չափում։ Եթե BC-ը չափում է A-ը, ապա BC-ը A-ի մաս է։ Իսկ եթե ոչ, թող A և BC ամենամեծ ընդհանուր չափը, D-ը, վերցվի [Բան. 7.2], և թող BC-ը բաժանվի BE, EF, և FC մասերի, որոնք հավասար են D-ին։ Եվ քանի որ D-ը չափում է A-ը, D-ը A-ի մաս է։ Եվ D-ը հավասար է BE, EF և FC մասերին։ Հետևաբար, BE, EF, FC ամեն մեկը A-ի մաս է։ Ուրեմն BC-ը A-ի մասերից է։
Այսպիսով, ցանկացած թիվ կամ մաս է, կամ մասեր են յուրաքանչյուր (ուրիշ) թվի, ավելի փոքրն ավելի մեծի։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 5 ==
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մի այլ (թիվ) նույն մասը չէ մեկ ուրիշի, ապա (կատարյալ) առաջատար թվերի գումարը նույնպես կլինի նույն մասը հաջորդ թվերի գումարի, ինչ-որ մի թիվ մեկ այլ թվի։
[[Պատկեր:1.14.png]]
Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, իսկ D թիվը լինի նույն մասը EF թվի նկատմամբ, ինչ A-ն է BC-ի նկատմամբ: Ասում եմ, որ A և D թվերի գումարը նույնպես կլինի նույն մասը BC և EF գումարի նկատմամբ, ինչ A-ն է BC-ի նկատմամբ:
Քանի որ ինչ մաս էլ A-ն ունի BC-ի մեջ, D-ն նույն մասն ունի EF-ի մեջ, ուրեմն քանի A-ին հավասար թվեր կան BC-ում, նույնքան D-ին հավասար թվեր կան նաև EF-ում: Թող BC-ը բաժանվի BG-ի և GC-ի, որոնք հավասար են A-ին, իսկ EF-ը բաժանվի EH-ի և HF-ի, որոնք հավասար են D-ին: Այսպիսով BG, GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH, HF բաժանումների քանակին: Եվ քանի որ BG-ը հավասար է A-ին, իսկ EH-ը D-ին, ապա BG, EH զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին: Նույն պատճառներով GC, HF զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին: Այսպիսով, քանի անգամ BC-ը բաժանվում է A-ով, նույնքան անգամ BC, EF գումարը բաժանվում է A, D գումարով: Հետևաբար, ինչ մաս A-ն BC-ի է, A, D գումարն էլ նույն մասն է BC, EF գումարի նկատմամբ:
(Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
== Առաջարկություն 6 ==
Եթե մի թիվ մասեր է մեկ թվի, իսկ մեկ այլ թիվ նույն մասերն ունի մեկ այլ թվի նկատմամբ, ապա առաջին երկուսի գումարն էլ նույն մասերը կլինի երկրորդ զույգի գումարի նկատմամբ, ինչպիսին առաջին թիվը երկրորդի նկատմամբ է:
[[Պատկեր:1.15.png]]
Թող AB թիվը մասեր լինի C թվի, իսկ DE թիվը նույն մասերը լինի F թվի նկատմամբ, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի մեջ։ Ասում եմ, որ AB և DE գումարը նույնպես նույն մասերն է կունենա C և F գումարի նկատմամբ, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ։
Քանի որ ինչ մասեր էլ AB-ն ունի C-ի մեջ, DE-ն նույն մասերը կունենա F-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով AB-ն բաժանում է C-ն, նույնքան մասով DE-ն բաժանում է F-ը։ Թող AB թիվը բաժանվի AG և GB մասերի, որոնք C-ի մասեր են, իսկ DE թիվը բաժանվի DH և HE մասերի, որոնք F-ի մասեր են։ Այդպես AG, GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH, HE բաժանումների քանակին։ Եվ քանի որ ինչ մաս AG-ը C-ի է, DH-ն նույն մասն է F-ի, ուրեմն ինչ մաս AG-ը C-ի է, AG և DH գումարը նույնպես նույն մասն է C և F գումարի նկատմամբ [Բան. 7.5]։ Նույն կերպ, ինչ մաս GB-ը C-ի է, GB և HE գումարը նույնպես նույն մասն է C և F գումարի նկատմամբ։ Ուստի, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, AB և DE գումարը նույնպես նույն մասերն է ունենալու C և F գումարի նկատմամբ։
(Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։
Ժամանակակից նշաններով: Այս առաջարկությունը ժամանակակից գրառմամբ ասում է, որ եթե a = (m/n)*c և d = (m/n)f, ապա (a+d) = (m/n)(c+f), որտեղ բոլոր նշանները թվեր են։
== Առաջարկություն 7 ==
Եթե մի թիվ այն նույն մասը լինի ինչ-որ թվի, ինչ (մասը) հանված AE-ն (է) հանված մասի CF-ից, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասը մնացորդի, ինչ ամբողջ AB-ն է ամբողջ CD-ի նկատմամբ:
[[Պատկեր:1.16.png]]
Թող AB թիվը լինի այն մասը CD թվի, ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է: Ասում եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն բաժինը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն է CD-ի նկատմամբ:
Քանի որ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), թող EB-ն նույնպես լինի նույն մասը CG-ի: Եվ քանի որ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), EB-ն նույնպես նույն մասը կլինի CG-ի, ապա (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), AB-ն նույնպես նույն մասը կլինի GF-ի [Բան. 7.5]: Եվ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), AB-ն նույնպես ընդունված է լինել նույն մասը CD-ի: Այսպիսով, (ինչ մաս AB-ն է GF-ի), (AB-ն) նույնպես նույն մասն է CD-ի: Ուրեմն GF-ը հավասար է CD-ին: Թող CF-ը հանվի երկուսից էլ: Ուստի GC մնացորդը հավասար է FD մնացորդին: Եվ քանի որ (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), EB-ն նույնպես նույն մասը կլինի GC-ի, իսկ GC-ն հավասար է FD-ին, ապա (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), EB-ն նույնպես նույն մասն է FD-ի: Բայց (ինչ մաս AE-ն է CF-ի), AB-ն նույնպես նույն մասն է CD-ի: Ուրեմն EB մնացորդը նույն մասն է FD մնացորդի, ինչ AB-ն է CD-ի: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
Նշում : Ժամանակակից նշանումներով, այս առաջարկությունը նշանակում է, որ եթե a = (m/n)*b և c = (m/n)d, ապա (a+c) = (m/n)(b+d), որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
== Առաջարկություն 8 ==
Եթե մի թիվ այն նույն մասերն է մեկ թվի նկատմամբ, ինչ (հանված) AE մասը է (հանված) CF մասի նկատմամբ, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերի հարաբերությամբ մնացորդի նկատմամբ, ինչպիսին ամբողջը է ամբողջի նկատմամբ:
[[Պատկեր:1.17.png]]
Թող AB թիվը լինի այն նույն մասերն CD թվի նկատմամբ, ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է: Ասում եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն է CD-ի նկատմամբ:
Թող GH-ը դրվի հավասար AB-ին: Ուստի ինչ մասեր GH-ը ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասերն ունի CF-ի նկատմամբ: Թող GH-ը բաժանվի CD-ի մասերի՝ GK և KH, իսկ AE-ը՝ CF-ի մասերի՝ AL և LE: Այսպիսով, GK և KH բաժանումների քանակը հավասար կլինի AL և LE բաժանումների քանակին: Եվ քանի որ ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, նույն մաս AL-ը CF-ի նկատմամբ է, և քանի որ CD-ն մեծ է CF-ից, GK-ն նույնպես մեծ է AL-ից: Թող GM-ը վերցվի հավասար AL-ին: Այսպիսով, ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, GM-ը նույն մասն է CF-ի նկատմամբ: Ուստի MK մնացորդը նույնպես նույն մասն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բան. 7.5]:
Նույն կերպ, քանի որ ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, EL-ը նույն մասն է CF-ի նկատմամբ, և CD-ն մեծ է CF-ից, HK-ն ավելի մեծ է EL-ից: Թող KN-ը հավասարեցվի EL-ին: Այսպիսով, ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, KN-ը նույն մասն է CF-ի նկատմամբ: Ուստի NH մնացորդը նույնպես նույն մասն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ KH ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բան. 7.5]:
Եվ MK մնացորդը նույնպես ցույց տրվեց, որ նույն մասն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է: Ուստի MK և NH գումարը նույն մասերն են DF-ի նկատմամբ, ինչ HG ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է: Եվ MK, NH գումարը հավասար է EB-ին, իսկ HG-ը՝ BA-ին: Ուստի EB մնացորդը նույնպես նույն մասերն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
Նշում : Ժամանակակից նշանումներով, այս առաջարկությունը նշանակում է, որ եթե a = (m/n)*b և c = (m/n)d, ապա (a+c) = (m/n)(b+d), որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։
== Առաջարկություն 9 ==
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ կամ նույն մասերը, չորրորդ.
[[Պատկեր:1.18.png]]
Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ:
Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, և մեկ այլ (թիվ) D լինի նույն մասը մեկ այլ EF թվի, ինչ A-ն է BC-ի: Ասում եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ A-ն ունենա D-ի նկատմամբ, BC-ն նույնպես կունենա նույն մասը, կամ նույն մասերը EF-ի նկատմամբ:
Քանի որ ինչ մաս A-ն ունի BC-ի նկատմամբ, D-ն նույն մասն ունի EF-ի նկատմամբ, ապա որքան թվեր կան BC-ի մեջ, որոնք հավասար են A-ին, նույնքան թվեր կլինեն EF-ի մեջ, որոնք հավասար են D-ին: Թող BC-ը բաժանված լինի BG և GC մասերի, հավասար A-ին, իսկ EF-ը բաժանված լինի EH և HF մասերի, հավասար D-ին: Այսպիսով, BG և GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH և HF բաժանումների քանակին:
Եվ քանի որ BG և GC թվերը հավասար են միմյանց, իսկ EH և HF թվերը նույնպես հավասար են միմյանց, և BG, GC բաժանումների քանակը հավասար է EH, HF բաժանումների քանակին, ապա ինչ մասը, կամ մասերն էլ որ BG-ն ունենա EH-ի նկատմամբ, GC-ն նույնպես կունենա նույն մասը, կամ նույն մասերը HF-ի նկատմամբ: Եվ այդպիսով, ինչ մասը, կամ մասերն էլ BG-ն ունենա EH-ի նկատմամբ, BC-ի ամբողջությունն էլ նույն մասը կամ մասերը կունենա EF-ի ամբողջության նկատմամբ [Բան. 7.5, 7.6]: Եվ քանի որ BG-ը հավասար է A-ին, իսկ EH-ը հավասար է D-ին, ուրեմն ինչ մասը, կամ մասերն էլ A-ն ունենա D-ի նկատմամբ, BC-ն նույնպես կունենա նույն մասը կամ մասերը EF-ի նկատմամբ: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (1/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)d, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր):
== Առաջարկություն 10† ==
Եթե մի թիվ մասեր է ինչ-որ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասերն է մեկ այլ թվի, ապա նաև, փոխարինաբար, թե որ մասերը կամ մասը առաջին թիվը ունենա երրորդի նկատմամբ, երկրորդ թիվը նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասը չորրորդի նկատմամբ:
Թող AB թիվը լինի C թվի մասերը, իսկ DE թիվը լինի F թվի նույն մասերը: Ասում եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասերը, կամ որ մասը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, DE-ն նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասը F-ի նկատմամբ:
[[Պատկեր:1.19.png]]
Քանի որ ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, DE-ն նույնպես նույն մասերն ունի F-ի նկատմամբ, ապա որքան մասեր C-ի մեջ կան AB-ի չափ, նույնքան մասեր կլինեն F-ի մեջ DE-ի չափ: Թող AB-ը բաժանվի C-ի մասերի՝ AG և GB, իսկ DE-ը բաժանվի F-ի մասերի՝ DH և HE: Այսպիսով, AG և GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH և HE բաժանումների քանակին:
Եվ քանի որ ինչ մասը, կամ մասեր AG-ն ունի C-ի նկատմամբ, DH-ն նույնպես ունի նույն մասը կամ մասերը F-ի նկատմամբ, նաև փոխարինաբար, ինչ մասը կամ մասերը AG-ն ունի DH-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերը կունենա F-ի նկատմամբ [Բան. 7.9]: Նույն պատճառով, ինչ մասը կամ մասերը GB-ն ունի HE-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերը կունենա F-ի նկատմամբ [Բան. 7.9]: Եվ ինչ մասը կամ մասերը AG-ն ունի DH-ի նկատմամբ, GB-ն նույն մասը կամ մասերը կունենա HE-ի նկատմամբ [Բան. 7.5, 7.6]: Բայց ինչ մասը կամ մասերը AG-ն ունի DH-ի նկատմամբ, նաև ցույց տրվեց, որ C-ն նույն մասը կամ մասերը ունի F-ի նկատմամբ: Ուստի, ինչ մասեր կամ ինչ մասը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ samme մասը կունենա F-ի նկատմամբ: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են):
== Առաջարկություն 11 ==
Եթե, ինչպես ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ի նկատմամբ է, նույն ձևով AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է, ապա մնացորդը նույնպես կլինի մնացորդի նկատմամբ այն հարաբերությամբ, ինչ ամբողջը ամբողջի նկատմամբ է:
Թող ամբողջ AB-ն լինի ամբողջ CD-ի նկատմամբ այնպիսին, ինչպիսին AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է: Ասում եմ, որ EB մնացորդը FD մնացորդի նկատմամբ նույն հարաբերությունն ունի, ինչ ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ի նկատմամբ:
[[Պատկեր:1.20.png]]
Քանի որ ինչպես AB-ը CD-ի նկատմամբ է, այնպես AE-ը CF-ի նկատմամբ է, ապա ինչ մասեր կամ մասը AB-ն ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի CF-ի նկատմամբ [Սահմ. 7.20]: Ուստի EB մնացորդը նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն ունի CD-ի նկատմամբ [Բան. 7.7, 7.8]: Այսպիսով, ինչպես EB-ն FD-ի նկատմամբ է, այնպես AB-ն CD-ի նկատմամբ է [Սահմ. 7.20]: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
== Առաջարկություն 12† ==
Եթե կամայական քանակի թվեր համաչափ են, ապա ինչպես առաջավոր (թվերից) մեկը (է) հետագային, այնպես էլ (արդյունքում) բոլոր առաջավոր (թվերի) գումարը (կլինի) բոլոր հետագա (թվերի) գումարի նկատմամբ:
[[Պատկեր:1.21.png]]
Թող կամայական քանակի թվեր A, B, C, D համաչափ լինեն (այնպես, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես C-ն D-ի նկատմամբ է): Ասում եմ, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես A և C (համատեղ) B և D (համատեղ) նկատմամբ են:
Քանի որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես C-ն D-ի նկատմամբ է, ապա ինչ մասը, կամ մասերն էլ A-ն ունենա B-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի D-ի նկատմամբ [Սահմ. 7.20]: Այդպիսով, A և C գումարը նույնպես նույն մասը, կամ նույն մասերն է B և D գումարի նկատմամբ, ինչ A-ն B-ի նկատմամբ [Բան. 7.5, 7.6]: Ուստի, ինչպես A-ն B-ի նկատմամբ է, այնպես A, C (համատեղ) B, D (համատեղ) նկատմամբ են [Սահմ. 7.20]: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):
Ժամանակակից մեկնություն (†)
Ժամանակակից նշանմամբ, այս առաջարկությունն ասում է, որ եթե a : b :: c : d, ապա a : b :: a + c : b + d, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։