==Պնդում 100==
[[Պատկեր:Proposition99.jpg|center|350px]]
Այն քառակուսին որը երրորդ ապոտոմի միջին ուղիղ գծի վրա է, և կիրառված է ռացիոնալ ուղիղ-գծին, առաջացնում է չորրորդ ապոտոմ որպես լայնություն։
Ուստի, FO-ն և NL-ն յուրաքանչյուրը հավասար են AG և GB-ի պարփակված մակերեսին: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի պարփակված մակերեսի կրկնապատիկը միջանկյալ է, և հավասար է FL-ին, FL-ն էլ միջանկյալ է: Եվ այն կիրառվում է ռացիոնալ (ուղիղ-գիծ) FE-ին, ձևավորելով F'M՝ որպես լայնություն: Ուստի, FM-ն ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափ չէ CD-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.22]: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, և երկու անգամ AG-ի և GB-ի պարփակված մակերեսը միջանկյալ է, AG-ի և GB-ի քառակուսիների գումարը համաչափ չէ երկու անգամ AG-ի և GB-ի պարփակված մակերեսի հետ: Եվ CL-ը հավասար է AG-ի և GB-ի քառակուսիների գումարին, իսկ FL-ը հավասար է երկու անգամ AG-ի և GB-ի պարփակված մակերեսին: CL-ը, այսպեսով, համաչափ չէ FL-ի հետ: Եվ քանի որ CL-ը FL-ին է, այնպես էլ CM-ն MF-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: CM-ն էլ երկարությամբ համաչափ չէ MF-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ-գծեր) են: Ուստի, CM և MF-ն ռացիոնալ (ուղիղ-գծեր են), որոնք միայն քառակուսիով են համաչափ: CF-ը, այսպեսով ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73]. Ուստի, ես ասում եմ, որ դա նաև չորրորդ ապոտոմ է:
Քանի որ AG-ն և GB-ն համաչափ չեն քառակուսիով, AG-ի քառակուսին այսպես էլ համաչափ չէ GB-ի քառակուսու հետ: Եվ CH-ը հավասար է AG-ի քառակուսուն, իսկ KL-ը՝ GB-ի քառակուսուն: Ուստի, CH-ը համաչափ չէ KL-ի հետ: Եվ քանի որ CH-ը KL-ին է, այնպես էլ CK-ն KM-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: CK-ն էլ երկարությամբ համաչափ չէ KM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.11]: Եվ քանի որ AG-ի և GB-ի պարփակված մակերեսը միջին համեմատական է AG-ի և GB-ի քառակուսիների հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21], իսկ AG-ի քառակուսին հավասար է CH-ին, GB-ի քառակուսին՝ KL-ին, իսկ AG-ի և GB-ի պարփակված մակերեսը՝ NL-ին, NL-ը միջին համադրող է CH-ի և KL-ի հետ: Ուստի, ինչպես CH-ը NL-ին է հարաբերում, այնպես էլ NL-ը՝ KL-ին: Բայց քանի որ CH-ը NL-ին է, այնպես էլ CK-ը NM-ին է, ու NL-ը հարաբերում է KL-ին, այնպես էլ NM-ը KM-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: Ուստի, քանի որ CK-ը MN-ին է հարաբերում, այնպես էլ MN-ը KM-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 5.111]. CK և KM-ի պարփակված մակերեսը հավասար է MN-ի քառակուսուն՝ այսինքն, FM-ի քառակուսու չորրորդ մասին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]. Ուստի, քանի որ CM և MF երկու տարբեր (ուղիղ-գծեր) են, և CK-ի և KM-ի պարփակված մակերեսը, որը հավասար է ME-ի քառակուսու)ժ չորրորդ մասին, կիրառվել է CM-ի վրա, որն ի վերջո չի հասնում քառակուսի եզրին և բաժանում է այն համաչափ չհամակարգվող մասերի, CM-ի քառակուսին այդպես ավելի մեծ է MF-ի քառակուսին քան այն քառակուսին, որը ուղիղ-գիծ է, երկարությամբ համաչափ չէ CM-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]. Եվ CM-ի ամբողջականությունը երկարությամբ համաչափ է նախորդում ռացիոնալ ուղիղ-գիծ CD-ի հետ: Ուստի, CF-ը չորրորդ ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.14].
==Պնդում 101==