== Պնդում 44 ==
Տրված ուղղագիծ անկյանով տրված ուղիղ գծի վրա կիառուցել տրված եռանկյանը հավասար զուգահեռագիծ:
[[Պատկեր:ElementsBook1-Propostion44.png|center|200px]]
AB-ն տրված ուղիղն է, C-ն՝ տրված եռանկյունը, D-ն՝ տրված ուղղագիծ անկյունը։ Այսպիսով, պահանջվում է տրված C եռանկյանը հավասար զուգահեռագիծ կառուցել տրված AB ուղղի վրա՝ D-ին հավասար անկյան տակ։
BEFG զուգահեռագիծը՝ հավասար C եռանկյանը, կառուցված է EBG անկյունով, որը հավասար է D անկյանը [Պնդում 1.42]։ Այն տեղադրված է այնպես, որ BE-ն ընկնում է ուղիղ AB-ի վրա<ref>Սրան կարելի է հասնել օգտագործելով 1.3, 1.23, և 1.31 պնդումները։</ref>։ H կետով գծված է FG-ն և A կետով գծված է AH-ը, զուգահեռ BG-ին կամ EF-ին [Պնդում 1.31] և միացված է HB հատվածը։ Քանի որ HF ուղիղը հատում է AH և EF զուգահեռները, AHF և HFE անկյունները, հետևաբար, հավասար են երկու ուղիղ անկյունների [Պնդում 1.29]։ Հետևաբար, BHG-ի և GFE-ի գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյունից և ներքին անկյուններից (որոնց գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյուններից) ձգվող և անվերձության ձգտող ուղիղները հատվում են [Կանխադրույթ 5]: Հետևաբար, HB-ն և FE-ն, եթե գծվեն, կհատվեն։ Ենթադրենք դրանք գծված են և հատվում են K կետում։ K կետով գծված է KL-ը, որը զուգահեռ է EA-ին կմա FH-ին [Պնդում 1.31]։ Ենթադրենք, նաև, որ գծված են HA-ն և GB-ն համապատասխանաբար L և M կետերից։ Հետևաբար, HLKF-ն զուգահեռագիծ է և HK-ն դրա անկյունագիծն է։ AG-ն և ME-ն նույնպես զուգահեռագծեր են և LB-ն ու BF-ը այսպես կոչված լրացումներ են HK-ին։ Հետևաբար, LB-ն հավասար է BF-ին [Պնդում 1.43]։ Բայց, BF-ը հավասար է C եռանկյանը։ Հետևաբար, LB-ն հավասար է C-ին։ Նաև, քանի որ GBE-ն հավասար է ABM-ին [Պնդում 1.15], բայց GBE-ն նաև հավասար է D-ին, հետևաբար, ABM-ը հավասար է D-ին։
Հետևաբար, LB զուգահեռագիծը, որը հավասար է C եռանկյանը, կառուցված է տրված AB ուղղի վրա՝ ABM անկյունով, որը հավասար է D անկյանը։ Սա այն էր, ինչ պետք էր անել։
== Պնդում 45 ==
== Պնդում 46 ==