Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Ավելացվել է 132 218 բայտ, 13:58, 8 Հունիսի 2017

Այսպիսով, այդ թվի թվանշանների քանակը միլիոնից ավելի է։

==ԳԼՈՒԽ ԵՐԿՐՈՐԴ։ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԼԵԶՈՒՆ==

===ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԿԱԶՄԵԼՈՒ ԱՐՎԵՍՏԸ===

Հանրահաշվի լեզուն հավասարումներն են։ «Թվերին կամ մեծությունների վերացական հարաբերություններին վերաբերող հարցը լուծելու համար։ Հարկավոր է միայն մայրենի լեզվից այն թարգմանել հանրահաշվական լեզվի»— գրել է մեծ Նյուտոնը հանրահաշվի իր դասագրքում, որը կոչվում է «Համընդհանուր թվաբանություն»։ Թե ինչպես է կատարվում այդպիսի թարգմանությունը մայրենի լեզվից հանրահաշվական լեզվի, Նյուտոնը ցույց է ավել օրինակներով։ Ահա դրանցից մեկը.

<TR>

<TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Մայրենի լեզվով</TD>

<TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Հանրահաշվի լեզվով</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Վաճառականը ուներ մի որոշ գումար։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Առաջին տարում նա ծախսեց <math>100</math> ֆունտ։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Մնացած գումարին նա ավելացրեց նրա երրորդ մասը։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Հաջորդ տարում նա նորից ծախսեց <math>100</math> ֆունտ</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>և մնացած գումարը մեծացրեց նրա երրորդ մասով։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Երրորդ տաքում նա դարձյալ ծախսեց <math>100</math> ֆունտ։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Դրանից հետո, երբ նա մնացորդին ավելացրեց դրա երրորդ մասը,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>նրա դրամագլուխը դարձավ սկզբնականից երկու անգամ ավելի։</TD>

</TR>

</TABLE>

Վաճառականի սկզբնական դրամագլուխը որոշելու համար մնում է միայն լուծել վերքին հավասարումը։

Հավասարումների կազմելն ըստ խնդրի տվյալների ավելի դժվար է, քան դրանց լուծումը։ Դուք այժմ նկատեցիք, որ հավասարումներ կազմելու արվեստը իրոք հանգում է «մայրենի լեզվից հանրահաշվականի» հմտորեն թարգմանելուն։ Բայց հանրահաշվի լեզուն խիստ սակավաբառ է. դրա համար էլ մայրենի լեզվից հանրահաշվականի թարգմանելը այնքան էլ դյուրին գործ չէ։ Ըստ դժվարությունների թարգմանությունները լինում են տարբեր, դրանում կհամոզվի ընթերցողը առաջին աստիճանի հավասարումներ կազմելու վերաբերյալ բերված հետագա մի շարք օրինակներից։

===ԴԻՈՖԱՆՏԻ ԿՅԱՆՔԸ===

'''''Խնդիր'''''

Պատմությունը հնադարյան նշանավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտի կենսագրության վերաբերյալ մեզ քիչ բան է թողել։ Այն բոլորը, ինչ հայտնի է նրա մասին, վերցված է նրա գերեզմանաքարի վրայի արձանագրությունից, արձանագրություն, որը կազմված է մաթեմատիկական խնդրի տեսքով։ Բերենք այդ արձանագրությունը՝

<TR>

<TD align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Հանրահաշվի լեզվով</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ճանապարհո՛րդ։ Այստեղ հանգչում է Դիոֆանտը, և թվերը կպատմեն քեզ, թե որքան է տևել նրա կյանքը։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Նրա կյանքի վեցերորդ մասը կազմել է սքանչելի մանկությունը։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Էլի կյանքի տասներկուերորդ մասն անցավ և դեմքը ծածկվեց աղվամազով։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ամուսնությունից հետո կյանքի յոթերորդ մասն անզավակ ապրեց Դիոֆանտը։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Անցավ հինգ տարի և բախտավորվեց նա՝ ունենալով արու զավակ,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>որին ճակատագիրը հոր սքանչելի ու պայծառ կյանքի միայն կեսը պարգևեց։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Եվ խոր թախծի մեջ ծերուկը մահ ընդունեց, ապրելով միայն չորս տարի այն պահից ի վեր, երբ զրկվեց որդուց։</TD>

</TR>

<TR>

<TD colspan=2 align=center style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Ասա՛, քանի՞ տարեկան հասակում մահացավ Դիոֆանտը։</TD>

</TR>

</TABLE>

Լուծում

Լուծելով հավասարումը և գտնելով, որ <math>x=84</math>, իմանում ենք Դիոֆանտի կենսագրության հետևյալ գծերը. նա ամուսնացավ <math>21</math> տարեկան հասակում, դարձավ հայր <math>38</math>-րդ տարում, որդուն կորցրեց <math>80</math>-րդ տարում և մեռավ <math>84</math> տարեկան հասակում։

===ՁԻՆ ԵՎ ՋՈՐԻՆ===

'''''Խնդիր'''''

Ահա դարձյալ հինավուրց ոչ բարդ խնդիր, որը հեշտությամբ մայրենի լեզվից թարգմանվում է հանրահաշվական լեզվի։

«Ձին և ջորին գնում էին կողք-կողքի՝ ծանր բեռով բեռնված։ Ձին դժգոհեց իր անչափ ծանր բեռան համար։ Ինչո՚՞ւ ես դու դժգոհում,— պատասխանեց նրան ջորին, չէ՞ որ եթե ես վերցնեմ քեզանից մեկ պարկ, իմ բեռը երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։ Իսկ եթե դու իմ մեջքից վերցնես մի պարկ, քո բեռը կդառնա իմին հավասար»։

Ասացե՛ք, իմաստուն մաթեմատիկոսներ, քանի՞ պարկ էր կրում ձին և քանի՞սը՝ ջորին։

'''''Լուծում'''''

<TR>

<TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Եթե ես քեզանից վերցնեմ մի պարկ,</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>երկու անգամ ծանր կդառնա քոնից։</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Իսկ եթե դու իմ բեռից վերցնես մի պարկ,</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>իմին հավասար կդառնա։</TD>

</TR>

</TABLE>

Մենր խնդիրը բերեցինք երկու անհայտով հավասարումների սիստեմի.

<math>

\begin{cases}

y+1=2(x-1)\\

y-1=x+1\\

\end{cases}</math>

կամ

<math>

\begin{cases}

2x-y=3\\

y-x=2\\

\end{cases}</math>

Լուծելով այն, գտնում ենք <math>x=5,\;y=7</math>։ Ձին կրում էր <math>5</math> պարկ, շորին՝ <math>7</math>։

===ՉՈՐՍ ԵՂԲԱՅՐՆԵՐ===

'''''Խնդիր'''

Չորս եղբայրներ ունեին <math>43</math> ռուբլի։ Եթե առաջինի փողը ավելացնենք <math>2</math> ռուբլով, երկրորդի փողը պակասեցնենք <math>2</math> ռուբլով, երրորդի փողն ավելացնենք երկու անգամ, իսկ չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անգամ, ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։ Որքա՞ն փող ուներ յուրաքանչյուրը։

'''''Լուծում'''''

<TR>

<TD style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Չորս հղբայրներ ունեին <math>45</math> ռուրլի,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Եթե առաջինի փողը ավելացնենք <math>2</math> ռուբլով,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>երկրորդի փողը պակասեցնենք <math>2</math> ռուբլով,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>երրորդի փողը ավելացնենք երկու անգամ,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անցամ,</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։</TD>

</TR>

</TABLE>

Վերջին հավասարումը մասնատենք երեք մասերի՝

<math>x+2 \;=\; y-2</math>,

<math>x+2 \;=\; 2z</math>,

<math>x+2 \;=\; \frac{t}{2}</math>,

որտեղից՝

<math>y \;=\; x+4</math>,

<math>z \;=\; \frac{x+2}{2}</math>,

<math>t \;=\; 2x+4</math>։

Այս արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ, կստանանք՝

<math>x + x+4 + \frac{x+2}{2} + 2x+4 \;=\; 45</math>,

որտեղից <math>x=8</math>։ Այնուհետև կգտնենք՝ <math>y=12,\; z=5,\; t=20</math>։ Այսպիսով, եղբայրներն ունեին՝ 8 ռ., 12 ռ., 5ռ., 20 ռ.։

===ԹՌՉՈՒՆՆԵՐԸ ԳԵՏԻ ՄՈՏ===

'''''Խնդիր'''''

11-րդ դարի արաբական մի մաթեմատիկոսի մոտ գտնում ենք հետևյալ խնդիրը։

Գետի երկու ափերին աճում են երկու արմավենիներ՝ մեկը մյուսի դիմաց։ Մեկի բարձրությունը <math>30</math> կանգուն է, մյուսինը՝ <math>20</math>։ Դրանց հիմքերի միջև եղած հեռավորությունը <math>50</math> կանգուն է։ Յուրաքանչյուր արմավենու կատարին նստած է մի թռչուն։ Երկու թռչունն էլ հանկարծ նկատեցին մի ձուկ, որը արմավենիների միջև ջրի մեջ լողում էր դեպի մակերևույթը։ Նրանք դեպի ձուկը նետվեցին միանգամից և նրան հասան միաժամանակ (նկ. 4)։

Բարձր արմավենու հիմքից ի՞նչ հեռավորության վրա երևաց ձուկը։

'''''Լուծում'''''

Սխեմատիկ գծագրից ելնելով (նկ. 5), օգտվելով Պյութագորի թեորեմայից, գտնում ենք՝

<math>\overline{AB}^2=30^2+x^2, \; \; \overline{AC}^2=20^2+(50-x)^2</math>

Բայց AB=AC, քանի որ երկու թռչունն էլ այդ հեռավորությունները թռչել են միևնույն ժամանակում։ Ուստի՝

<math>30^2+x^2=20^2+(50-x)^2</math>։

Բացելով փակագծերը և կատարելով պարզեցումները՝ կստանանք առաջին աստիճանի հավասարում.

<math>100x=2000</math>,

որտեղից

<math>x=20</math>։

Ձուկը երևաց <math>20</math> կանգուն հեռու այն արմավենուց, որի բարձրությունը <math>30</math> կանգուն է։

===ԶԲՈՍԱՆՔ===

'''''Խնդիր'''''

— Անցեք ինձ մոտ վաղը ցերեկով։— ասաց ծեր բժիշկն իր ծանոթին։

— Շնորհակալություն։ Ես դուրս կգամ ժամը երեքին։ Գուցե դուք ևս ցանկանաք զբոսնել, այդ դեպքում դուրս եկեք նույն ժամին, կհանդիպենք կիսաճանապարհին։

— Դուք մոռանում եք, որ ես ծեր եմ, ընդամենը ժամnւմ քայլում եմ միայն <math>3 \; կմ</math>, իսկ դուք՝ երիտասարդ, ամենադանդաղ քայլելու դեպքում անցնում եք ժամում <math>4 \; կմ</math>։ Հանցանք չէր լինի ինձ մի փոքր արտոնություն տալ։

— Արդարացի է։ Քանի որ ես ձեզանից ժամում <math>1 \; կմ</math>-ով ավելի եմ անցնում, ապա հավասարության համար այդ կիլոմետրը կտամ ձեզ, այսինքն՝ դուրս կգամ քառորդ ժամ առաջ։ Բավակա՞ն է։

— Ձեր կողմից դա մեծ սիրալիրություն է,— շտապեց համաձայնվել ծերունին։

Երիտասարդն այդպես էլ կատարեց. տնից դուրս եկավ երեքին քառորդ պակաս և անցավ ժամում <math>4 \; կմ</math> արագությամբ։ Իսկ բժիշկը դուրս եկավ ուղիղ երեքին՝ ժամում անցնելով <math>3 \; կմ</math>։ Երբ նրանք հանդիպեցին, ծերունին ետ դարձավ և երիտասարդ բարեկամի հետ միասին ուղղվեց դեպի տուն։

Միայն տուն վերադառնալիս, երիտասարդը կշռադատեց, որ մի քառորդ ժամ արտոնության պատճառով, նա ընդհանրապես անցավ ոչ թե երկու, այլ չորս անգամ ավելի, քան բժիշկը։

Ի՞նչ հեռավորության վրա էր բժշկի տունը իր երիտասարդ ծանոթի տնից։

'''''Լուծում'''''

Տների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք <math>x</math>-ով։

Երիտասարդն ընդամենը անցավ <math>2x</math>, իսկ բժիշկը չորս անգամ պակաս, այսինքն՝ <math>\frac{x}{2}</math>։ Մինչև հանդիպելը բժիշկն անցավ իր անցնելիք ճանապարհի կեսը, այսինքն <math>\frac{x}{4}</math>, իսկ երիտասարդը մնացածը, այսինքն՝ <math>\frac{3x}{4}</math>։ Բժիշկը ճանապարհի իր մասն անցավ <math>\frac{x}{12}</math> ժամում, իսկ երիտասարդը <math>\frac{3x}{16}</math> ժամում, ընդ որում մենք գիտենք, որ նա ճանապարհին եղավ ¼ ժամով ավելի, քան բժիշկը։

Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

<math>\frac{3x}{16}-\frac{x}{12} \;=\; \frac{1}{4}</math>,

որtեղից՝ <math>x=2,4 կմ</math>։

Երիտասարդի տնից մինչև բժշկի տունը <math>2,4 կմ</math> է։

===ՀՆՁՎՈՐՆԵՐԻ ԱՐՏԵԼԸ===

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Վ. Ցինգերը Լ. Ն. Տոլստոյի մասին իր հիշողություններում պատմում է հետևյալ խնդրի մասին, որը մեծ գրողին շատ էր դուր եկել։

«Հնձվորների արտելը պետք է հնձեր երկու մարդագետին, մեկը մյուսից երկու անգամ մեծ։ Կես օր արտելը հունձ արեց մեծ մարգագետնում։ Դրանից հետո արտելը բաժանվեց երկու հավասար մասի՝ առաջին կեսը մնաց մեծ մարգագետնում և մինչև երեկո այն հնձեց ու վերջացրեց, իսկ երկրորդ կեսը հնձեց փոքր մարգագետինը, որի որոշ մասը երեկոյան մնաց չհնձված և որը հաջորդ օրվա ընթացքում հնձեց մի հնձվոր։ Քանի՞ հնձվոր կար արտելում։

'''''Լուծում'''''

Այս դեպքում, բացի գլխավոր անհայտից՝ հնձվորների թվից, որը մենք կնշանակվեք <math>x</math>-ով, հարկ է լինում մտցնել օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ այն հողամասի չափը, որը մի հնձվորը հնձում է մեկ օրում. այն նշանակենք <math>y</math>-ով։ Թեպետ խնդիրը չի պահանջում նրա որոշելը, բայց այն հեշտացնում է գլխավոր անհայտի գտնելը։

Մեծ մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի միջոցով։ Այդ մարգագետինը հնձեցին x հնձվորները կես օրում. նրանք հնձեցին՝

Օրվա երկրորդ կեսին այն հնձեց միայն արտելի կեսը այսինքն՝ <math>\frac{x}{2}</math> հնձվոր։ Նրանք Հնձեցին

Քանի որ երեկոյան հնձվեց ամբողջ մարգագետինը, ապա նրա մակերեսը հավասար է՝

<math>\frac{xy}{2} + \frac{xy}{4} \;=\; \frac{3xy}{4}</math>։

Այժմ փոքր մարգագետնի մակերեսն արտահայտենք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի միջոցով։ Այն կես օրում հնձեցին <math>\frac{x}{2}</math> հնձվորներ և հնձեցին <math>\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot y \;=\; \frac{xy}{4}</math> մակերես։ Ավելացնենք չհնձված հողամասը, որ հավասար է <math>y</math>-ի (մի հնձվորի մեկ աշխատանքային օրում հնձած մակերեսը), և կստանանք փոքր մարգագետնի մակերեսը՝

<math>\frac{xy}{4}+y \;=\; \frac{xy+4y}{4}</math>։

Մնում է հանրահաշվական լեզվի թարգմանել հետևյալ դարձվածքը. «Առաջին մարգագետինը երկու անգամ մեծ է երկրորդից» և հավասարումը կազմված է՝

<math>\frac{3xy}{4} : \frac{xy+4y}{4} \;=\; 2</math> կամ <math>\frac{3xy}{xy+4y} \;=\; 2</math>։

Հավասարման ձախ մասի կոտորակը կրճատենք y-ով։ Դրա շնորհիվ օժանդակ անհայտը արտաքսվում է, և հավասարումն ընդունում է հետևյալ տեսքը՝

<math>\frac{3x}{x+4} \;=\; 2</math> կամ <math>3x \;=\; 2x+8</math>,

որտեղից <math>x=8</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x=6</math>։— ''Մ.''։</ref>։

Արտելում կար <math>8</math> հնձվոր։

«Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» առաջին հրատարակության լույս տեսնելուց հետո պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը ինձ ուղարկեց այս խնդրի վերաբերյալ շատ հետաքրքիր և մանրամասն հաղորդում։ Խնդրի գլխավոր էֆեկտը, ըստ նրա կարծիքի, այն է, որ «այն բոլորովին էլ հանրահաշվական չէ, այլ թվաբանական է և այն էլ չափազանց հասարակ, միայն դժվարացնողը նրա ոչ շաբլոն ձևն է»։

«Այդ խնդրի պատմությունն այսպես է,— շարունակում է պրոֆ. Ա. Վ. Ցինգերը։— Մոսկվայի Համալսարանի մաթեմատիկական ֆակուլտետում այն ժամանակ, երբ այնտեղ սովորում էին իմ հայրը և իմ քեռին՝ Ի. Ի. Ռաևսկին (Լ. Տոլստոյի մոտիկ բարեկամը), այլ առարկաների հետ միասին դասավանդվում էր մանկավարժության նման ինչ-որ բան։ Այդ նպատակով ուսանողները պետք է հաճախեին համալսարանի համար հատկացված քաղաքային ժողովրդական դպրոցը և այնտեղ աշխատակցելով փորձված հմուտ ուսուցիչների հետ՝ վարժվեին դասավանդման մեջ։ Ցինգերի և Ռաևսկու ընկերների մեջ կար ոմն ուսանող՝ Պետրով, ըստ պատմածների — արտակարգ շնորհալի և յուրահատուկ մարդ։ Այդ Պետրովը (մահացել է շատ երիտասարդ հասակում, թվում է, թոքախտից) հաստատում էր, որ թվաբանության դասերին աշակերտներին փչացնում են՝ նրանց սովորեցնելով շաբլոն խնդիրներ և լուծման շաբլոն եղանակներ։ Իր միտքը հաստատելու համար Պետրովը հորինեց խնդիրներ, որոնք շաբլոն չլինելու հետևանքով շատ էին դժվարացնում «փորձված հմուտ ուսուցիչներին», բայց հեշտությամբ լուծվում էին ավելի ընդունակ աշակերտների կողմից» որոնք դեռ չէին փչացել այդ պարապմունքներում։ Այդպիսի խնդիրների (Պետրովը հնարել է նման մի քանի խնդիրներ) թվին է պատկանում նաև հնձվորների արտելի մասին խնդիրը։ Փորձված ուսուցիչները, անշուշտ, հեշտությամբ կարող էին լուծել այն՝ հավասարում կազմելու միջոցով, բայց թվաբանական պարզ լուծումը նրանց մտքով չէր անցնում։ Այնինչ խնդիրը այնքան պարզ է, որ նրա լուծման համար հանրահաշվական եղանակ մեջ բերել բոլորովին չարժե։

«Եթե մեծ մարգագետինը հնձել է մինչև օրվա կեսը ամբողջ արտելը և օրվա մյուս կեսը՝ արտելի կեսը, ապա պարզ է, որ կես օրում արտելի կեսը կարող է հնձել մարգագետնի <math>^1/_3</math> մասը։

Հետևաբար, փոքր մարգագետնում մնում է չհնձված <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}</math>

հողամաս։ Եթե մեկ հնձվորը օրական հնձում է մարգագետնի <math>^1/_6</math>-ը,

իսկ հնձվածը եղել է <math>\frac{6}{6}+\frac{2}{6}=\frac{8}{6}</math>, ապա հնձվորները <math>8</math>-ն էին։

Տոլստոյը, որ իր կյանքում սիրում էր ֆոկուսային և ոչ թե խիստ խորամանկ խնդիրներ, այդ խնդիրը սովորել էր իմ հորից դեռ երիտասարդ տարիներին։ Երբ այդ խնդրի մասին իմ և ծերունի Տոլստոյի միջև զրույց տեղի ունեցավ, նրան առանձնապես զմայլեց այն, որ խնդիրը դառնում է անհամեմատ պարզ և հստակ, եթե լուծելիս օգտվել միանգամայն պարզունակ գծագրից (նկ. 7)։

Ստորև մեզ կհանդիպեն ևս մի քանի խնդիրներ, որոնք որոշ ըմբռնողության դեպքում թվաբանորեն ավելի պարզ են լուծվում, քան հանրահաշվորեն։

===ԿՈՎԵՐԸ ՄԱՐԳԱԳԵՏՆՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

«Գիտություններն ուսումնասիրելիս խնդիրներն ավելի օգտավետ են, քան կանոնները»— գրել է Նյուտոնը իր «Համընդհանուր թվաբանություն» աշխատության մեջ, և տեսական ցուցումներին նա կցում էր մի շարք օրինակներ։ Այդ վարժությունների թվում գտնում ենք մարգագետնում արածող կովերի մասին եղած խնդիրը, որը և հանդիսանում է հետևյալ խնդրի նման հատուկ տիպի յուրատեսակ խնդիրների նախամայրը։

«Ամբողջ մարգագետնում խոտն աճում է նույն խտությամբ և արագությամբ։ Հայտնի է, որ <math>70</math> կովը այն կարածեին <math>24</math> օրում, իսկ <math>30</math> կովը՝ <math>60</math> օրում։ Քանի՞ կով կարող էին արածել մարգագետնի ամբողջ խոտը <math>96</math> օրում»։

Այս խնդիրը հումորիստական պատմվածքի համար սյուժետ դարձավ՝ հիշեցնելով չեխովյան „Penemumop”-ը։ Մի դպրոցականի հանձնարարել էին լուծելու այդ խնդիրը։ Նրա երկու չափահաս ազգականները ապարդյուն կերպով աշխատում էին նրա վրա և տարակուսում.

— Ստացվում է ինչ-որ տարօրինակ բան։— ասում է լուծողներից մեկը,— եթե 24 օրում 70 կովը արածում են մարգագետնի ամբողջ խոտը, ապա քանի՞ կով այն կարող է արածել 96 օրում։ Իհարկե, <math>70</math>-ի ¼-ը, այսինքն՝ <math>17</math>½ կով... Առաջին անհեթեթություն։ Եվ ահա երկրորդը՝ <math>30</math> կով արածում են խոտը <math>60</math> օրում, քանի՞ կով կարող է այն արածել <math>96</math> օրում։ Ստացվում է ավելի վատ՝ <math>18</math>¾ կով։ Բացի այդ, եթե <math>70</math> կովը խոտն արածում է <math>24</math> օրում, ապա <math>30</math> կովը այն կարածի <math>56</math> օրում և ոչ թե <math>60</math> օրում, ինչպես հաստատում է խնդիրը։

— Իսկ դուք հաշվի առնո՞ւմ եք, որ խոտն ամբողջ ժամանակ աճում է,— հարցնում է մյուսը։

Դիտողությունը խելացի է՝ խոտն անընդհատ աճում է, և եթե այդ հաշվի չառնվի, ապա ոչ միայն չի կարելի լուծել խնդիրը, այլև հենց նրա պայմանը կթվա հակասական։ Իսկ ինչպե՞ս է լուծվում խնդիրը։

'''''Լուծում'''

Այստեղ ևս մտցնենք օժանդակ անհայտ, այսինքն՝ մարգագետնի խոտի օրվա աճը նրա պահեստի այն հողակտորներում, որ տվյալ օրը կովերը չեն արածում։ Մեկ օրում աճում է <math>y</math>, <math>24</math> օրում՝ <math>24y</math>. եթե ընդհանուր պաշարն ընդունենք <math>1</math>, ապա <math>24</math> օրվա ընթացքում կովերը կարածեն

<math>1+24y</math>։

Ամբողջ նախիրը (<math>70</math> կովից) մեկ օրում կարածի

<math>\frac{1+24y}{24}</math>,

իսկ մեկ կովը մեկ օրում՝

Նույն ձևով, քանի որ <math>30</math> կովը միևնույն մարգագետնի խոտը կարածեր <math>60</math> օրում, եզրակացնում ենք, որ մեկ կովը մեկ օրում արածում է

Բայց մի կովի մեկ օրում կերած խոտի քանակը երկու նախիրների համար հավասար է։ Ուստի՝

<math>\frac{1+24y}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1 + 60y}{30 \cdot 60}</math>,

որտեղից՝

<math>y=\frac{1}{480}</math>։

Գտնելով <math>y</math>-ը (խոտի աճի մեծությունը), արդեն հեշտ է որոշել, թե մեկ կովը խոտի նախնական պաշարի ո՛ր մասը կուտի մեկ օրում.

<math>\frac{1+24y}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1+24 \cdot \frac{1}{480}}{24 \cdot 70} \;=\; \frac{1}{1600}</math>։

Վերջապես, խնդրի վերջնական լուծման համար կազմենք հավասարում. եթե կովերի որոնելի թիվը <math>x</math> է, ապա

<math>\frac{1+96 \cdot \frac{1}{480}}{96x} \;=\; \frac{1}{1600}</math>,

որտեղից <math>x=20</math>։

<math>20</math> կովը ամբողջ խոտը կարածեր <math>96</math> օրում։

===ՆՅՈՒՏՈՆԻ ԽՆԴԻՐԸ===

Այժմ դիտարկենք եզների մասին նյուտոնյան խնդիրը, որի ձևով կազմված է ստորև դիտարկվող խնդիրը։

Խնդիրը, ի միջի այլոց, հորինված չէ հենց Նյուտոնի կողմից. այն ժողովրդի մաթեմատիկական ստեղծագործության արդյունքն է։

«Երեք մարգագետիններ, որոնք ծածկված են միատեսակ խտություն և աճման արագություն ունեցող խոտով, ունեն <math>3^1/_3 \; հա</math>, <math>10 հա</math> և <math>24 հա</math> մակերեսներ։ Առաջինում կերակրվում է <math>12</math> եզ <math>4</math> շաբաթվա ընթացքում. երկրորդում՝ <math>21</math> եզ <math>9</math> շաբաթվա ընթացքում։ Քանի՞ եզ կարող է կերակրել երրորդ մարգագետինը <math>18</math> շաբաթվա ընթացքում»։

'''''Լուծում'''''

Մտցնենք օժանդակ անհայտ՝ <math>y</math>, որը նշանակում է, թե խոտի նախնական պաշարի ո՞ր մասն է աճում <math>1 \; հա</math>-ի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում։ Առաջին մարգագետնի վրա մեկ շաբաթվա ընթացքում աճում է նրա վրա եղած խոտի նախնական ամբողջ պաշարի <math>3^1/_3y</math>, իսկ <math>4</math> շաբաթվա ընթացքում` <math>3^1/_3 \cdot 4 \;=\; \frac{40}{3}y</math> մասը։ Սա համարժեք է այն բանին, թե իբր մարգագետնի նախնական մակերեսը մեծացվել և հավասարվել է

<math>\left(3\frac{1}{3}+\frac{40}{3}y\right)</math> հեկտարի։

Այլ խոսքով, եզները կերել են այնքան խոտ, որքան կծածկեր <math>\left(3\frac{1}{3} + \frac{40}{3}y\right)</math> հեկտար մակերեսով մարգագետինը։ Մեկ շաբաթում <math>12</math> եզը կուտեր այդ քանակի ¼-ը, իսկ մեկ եզը նույն քանակի, այսինքն՝

<math>\left(3\frac{1}{3}+\frac{40}{3}y\right) : 48 \;=\; \frac{10+40y}{144}</math>

հեկտար մակերես ունեցող մարգագետնի խոտի պաշարի <math>^1/_{48}</math>-ը։

Նույն ձևով, երկրորդ մարգագետնի տվյալներից գտնում ենք նրա այն մակերեսը, որ մեկ շաբաթում կերակրում է մեկ եզան։

<TR>

<TD>շաբաթվա աճը = </TD>

</TR>

<TR>

<TD>շաբաթվա աճը = </TD>

</TR>

<TR>

<TD>շաբաթվա աճը = </TD>

</TR>

</TABLE>

<math>9</math> շաբաթ <math>21</math> եզ կերակրելու համար խոտի պաշար ունեցող հողակտորի մակերեսը հավասար է

<math>10+90y</math>։

Մեկ շաբաթ 1 եզանը կերակրելու համար անհրաժեշտ է

հեկտար։

Կերակրման երկու նորմաներն էլ պետք է լինեն հավասար՝

Լուծելով այդ հավասարումը կգտնենք <math>y=^1/_{12}</math>։ Այժմ որոշենք մարգագետնի այն մակերեսը, որի խոտի պաշարը բավականացնում է մեկ շաբաթվա ընթացքում մեկ եզ կերակրելու համար.

<math>\frac{10+40y}{144} \;=\; \frac{10+40 \cdot \frac{1}{12}}{144} \;=\; \frac{5}{54}</math> հեկտար։

Վերջապես մոտենում ենք խնդրի հարցին։ Նշանակելով եզների որոնելի թիվը <math>x</math>-ով, կունենանք.

<math>\frac{24+24 \cdot 18 \cdot \frac{1}{12}}{18x} \;=\; \frac{5}{54}</math>,

որտեղից <math>x=36</math>։ Երրորդ մարգագետինը <math>18</math> շաբաթվա ընթացքում կարող է կերակրել <math>36</math> եզ։

===ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆԸ===

'''''Խնդիր'''''

Հայտնի ֆիզիկոս Ա. Էյնշտեյնի կենսագիր և բարեկամ Ա. Մոշկովսկին, մեկ անգամ ցանկանալով զբաղեցնել իր մտերիմին նրա հիվանդության ժամանակ, նրան առաջարկեց հետևյալ խնդիրը (նկ. 9)։

«Վերցնենք սլաքների դիրքը ժամը <math>12</math>-ին,— ասաց Մոշկովսկին։ Եթե այդ դիրքում մեծ և փոքր սլաքները փոխանակեին տեղերը, այնուամենայնիվ, նրանք ճիշտ ցույց կտային ժամանակը։ Բայց մյուս պահերին, օրինակ՝ ժամը <math>6</math>-ին, սլաքների փոխադարձ տեղափոխումը կհանգեցներ անհեթեթության, մի դրության, որ կանոնավոր աշխատող ժամացույցների վրա տեղի չի ունենա, րոպե ցույց տվող սլաքը չի կարող կանգնել <math>6</math>-ի վրա, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը ցույց է տալիս <math>12</math>-ը։ Հարց է առաջանում՝ ե՞րբ և քանի՞ ժամը մեկ ժամացույցի սլաքները գրավում են այնպիսի դիրք, որ մեկը մյուսով փոխարինելիս տալիս են այնպիսի նոր դիրք, որը նույնպես հնարավոր է ճիշտ աշխատող ժամացույցների համար։

— Այո,— պատասխանեց Էյնշտեյնը, դա միանգամայն հարմար խնդիր է այն մարդու համար, որը որևէ հիվանդությունից հարկադրված՝ մնում է անկողնում. բավականաչափ հետաքրքիր է և շատ էլ հեշտ չէ։ Միայն վախենում եմ, որ զվարճությունը երկար չի տևի, ես արդեն նշմարեցի լուծման ճանապարհը։

Եվ մի փոքր բարձրանալով անկողնում, նա մի քանի գծանշումներով թղթի վրա գծեց խնդրի պայմանը պատկերող սխեման։ Լուծելու համար նրան հարկավոր եղավ ավելի քիչ ժամանակ, քան թե ինձ՝ խնդիրը ձևակերպելու համար...»

Ինչպե՞ս է լուծվում այս խնդիրը։

'''''Լուծում'''''

Շրջանագծի <math>60</math>-երորդական մասերով կչափենք սլաքների հեռավորությունները թվացույցի շրջանով, այն կետից, որտեղ գրված է <math>12</math> թվանշանը։

Դիցուք, սլաքների պահանջվող դիրքերից մեկը գիտվում է այն ժամանակ, երբ ժամ ցույց տվող սլաքը <math>12</math> թվանշանից հեռացավ <math>x</math> բաժանումով, իսկ րոպեներինը՝ <math>y</math> բաժանումով։ Քանի որ ժամ ցույց տվող սլաքը <math>12</math> ժամվա ընթացքում անցնում է <math>60</math> բաժանում, այսինքն՝ ժամում <math>5</math> բաժանում, ապա <math>x</math>, բաժանումը նա կանցնի <math>\frac{x}{5}</math> ժամում։ Այլ կերպ ասած, այն պահից հետո,երբ ժամացույցը ցույց էր տալիս <math>12</math>-ը, անցավ <math>\frac{x}{5}</math> ժամ։ Րոպե ցույց տվող սլաքը <math>y</math> բաժանումն անցավ <math>y</math> րոպեում, այսինքն՝ <math>\frac{y}{60}</math> ժամում։ Այլ կերպ ասած, րոպե ցույց տվող սլաքը <math>12</math> թվանշանն անցավ <math>\frac{y}{60}</math> ժամ այն պահից առաջ, կամ <math>\frac{x}{5}-\frac{y}{60}</math> ժամ այն պահից հետո, երբ երկու սլաքներն էլ գտնվում էին տասներկուսի վրա։ Այս թիվն ամբողջական է (զրոյից մինչև <math>11</math>), քանի որ նա ցույց է տալիս, թե քանի լրիվ ժամ անցավ տասներկուսից հետո։

Երբ սլաքները տեղերը փոխում են, մենք համանման ձևով գտնում ենք, որ ժամը <math>12</math>-ից հետո անցած այն ժամանակը, որ ցույց են տալիս սլաքները, կազմում է

լրիվ ժամ։ Այդ թիվը նույնպես ամբողջական է (զրոյից մինչև <math>11</math>)։

Ունենք հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

<math>

\begin{cases}

\frac{x}{5}-\frac{y}{60} \;=\; m\\

\frac{y}{5}-\frac{x}{60} \;=\; n,\\

\end{cases}

</math>

որտեղ <math>m</math>-ը և <math>n</math>-ը ամբողջ թվեր են, որոնք կարող են փոխվել <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>։ Այդ սիստեմից գտնում ենք՝

<math>

\begin{array}{r}

x \;=\; \frac{60(12m+n)}{143}\\

y \;=\; \frac{60(12n+m)}{143}\\

\end{array}

</math>։

<math>m</math>-ին և <math>n</math>-ին տալով <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math> ամբողջ արժեքները, մենք որոշում ենք սլաքների բոլոր պահանջվող դիրքերը։ Քանի որ <math>m</math>-ի <math>12</math> արժեքներից յուրաքանչյուրը կարելի է համադրել <math>n</math>-ի <math>12</math> արժեքներից յուրաքանչյուրի հետ, ապա թվում է, թե բոլոր լուծումների թիվը հավասար է <math>12 \cdot 12 = 144</math>։

Բայց իրականում ալն հավասար է <math>143</math>-ի, որովհետև երբ <math>m=0, \; ո=0</math> և երբ <math>m=11, \; ո=11</math> ստացվում է սլաքների միևնույն դիրքը։

<math>m=11, \; ո=11</math>-ի դեպքում ունենք՝

<math>x=60, \; y=60</math>,

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս <math>12</math>-ը այնպես, ինչպես <math>m=0, \; ո=0</math> դեպքում։

Բոլոր հնարավոր դիրքերը մենք չենք քննարկի, վերցնենք միայն երկու օրինակ։

Առաջին օրինակ.

<math>m=1, \; ո=1</math>.

<math>x \;=\; \frac{60 \cdot 13}{143} \;=;\ 5\frac{1}{5}, \; y \;=\; 5\frac{5}{11}</math>,

այսինքն՝ ժամացույցը ցույց է տալիս <math>1</math> ժամ <math>5\frac{5}{11}</math> րոպե. այդ պահին սլաքները համատեղվում են. դրանց տեղերը, իհարկե, կարելի է փոխել (ինչպես և սլաքների մյուս բոլոր համատեղումների դեպքերում)։

Երկրորդ օրինակ.

<math>m=8, \; ո=5</math>։

<math>x \;=\; \frac{60(5+12 \cdot 8)}{143} \approx 42,38, \; y \;=\; \frac{60(8+12 \cdot 5)}{143} \approx 28,53</math>։

Համապատասխանող պահերն են` <math>8</math> ժամ <math>28,53</math> րոպե և <math>5</math> ժամ <math>42,38</math> րոպե։

Լուծումների թիվը մենք գիտենք՝ <math>143</math>։ Որպեսզի գտնենք թվացույցի ալն բոլոր կետերը, որոնք տալիս են սլաքների պահանջվող դիրքերը, պետք է թվացույցի շրջանագիծը բաժանենք <math>143</math> հավասար մասի. կստանանք <math>143</math> կետ, որոնք հանդիսանում են որոնելիներ։ Սլաքների պահանջվող դիրքերը այդ կետերի միջակայքներում հնարավոր չեն։

===ԺԱՄԱՑՈՒՅՑԻ ՍԼԱՔՆԵՐԻ ՀԱՄԸՆԿՆՈՒՄԸ===

'''''Խնդիր'''''

Կանոնավոր աշխատող ժամացույցի վրա քանի՞ դիրք կա, երբ ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվում են։

'''''Լուծում'''''

Մենք կարող ենք օգտվել այն հավասարումներից, nրոնք ստացվել են նախորդ խնդիրը լուծելիս. չէ՞ որ, եթե ժամ և րոպե ցույց տվող սլաքները համատեղվել են, ապա կարելի է դրանց տեղերը փոխել. դրանից ոչինչ չի փոխվի։ Ընդ որում երկու սլաքներն էլ <math>12</math> թվանշանից անցել են հավասար թվով բաժանումներ, այսինքն՝ <math>x=y</math>։ Այսպիսով, նախորդ խնդրի վերաբերյալ արած դատողություններից մենք արտածում ենք հետևյալ հավասարումը.

<math>\frac{x}{5}-\frac{x}{60} \;=\; m</math>,

որտեղ <math>m</math>-ը ամբողջ թիվ է՝ <math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>։ Այդ հավասարումից գտնում ենք՝

<math>x \;=\; \frac{60m}{11}</math>։

<math>m</math>-ի համար տասներկու հնարավոր արժեքներից (<math>0</math>-ից մինչև <math>11</math>) մենք կստանանք սլաքների ոչ թե <math>12</math>, այլ միայն <math>11</math> տարբեր դիրքեր, քանի որ <math>m=11</math> դեպքում մենք գտնում ենք <math>x=60</math>, այսինքն՝ երկու սլաքներն էլ անցել են <math>60</math> բաժանում և գտնվում են թվանշանի վրա, այդ նույնը ստացվում է, երբ <math>m=0</math>։

===ՅՈԹ ԽԱՂԱՑՈՂԵՐ===

'''''Խնդիր'''''

Յոթ խաղացողներ պայմանավորվեցին, որ յուրաքանչյուր տարվող մնացած վեց խաղակիցներից յուրաքանչյուրին վճարի այնքան փող, որքան նա ունի, այլ խոսքով, կրկնապատկի նրա փողը։

Խաղացին <math>7</math> պարտիա։ Բոլորն էլ տարվեցին՝ յուրաքանչյուրը մեկական անգամ։ Խաղն ավարտվելուց հետո հաշվեցին, թե յուրաքանչյուրը որքան փող ունի։ Պարզվեց, որ յուրաքանչյուրի մոտ կա <math>12</math> ռուբ. <math>80</math> կ.։

Յուրաքանչյուրը որքա՞ն փող ուներ խաղի սկզբին։

'''''Լուծում'''''

Չնայած թվացող բարդությանը, խնդիրը լուծվում է բավականին հեշտ, եթե ըմբռնենք, որ խաղի ժամանակ բոլոր խաղացողների մոտ փողի ընդհանուր գումարը եղել է անփոփոխ՝ միայն մեկի գրպանից այն անցել է մյուսը գրպանը։ Այստեղից հետևում է, որ խաղի սկզբին փողի ընդհանուր քանակը եղել է նույնը, ինչ որ վերջում, այսինքն՝ <math>7 \times 12,8</math> ռուբլի։

Հետևենք, թև առաջին տարվողի փողի քանակն ինչպես էր փոխվում խաղի ընթացքում։

Նրա մոտ խաղի սկզբին կար <math>x</math> ռուբլի։

''Առաջին'' պարտիայից հետո, տարվելով, նա վեց խաղակիցներին վճարեց այնքան, որքան նրանք բոլորն ունեին, այսինքն՝ <math>7 \times 12,8-x</math>։ Առաջին պարտիայից հետո նրա մոտ մնաց՝

<math>x-(7 \times 12,8-X) \;=\; 2x-7 \times 12,8</math>։

''Երկրորդ'' պարտիայից հետո նրա փողը կրկնապատկվեց և, այդպիսով, հավասար եղավ՝

<math>2(2x-7 \times 12,8)</math>։

''Երրորդ'' պարտիայից հետո նրա փողը նորից կրկնապատկվեց և կազմեց՝

<math>2^2(2x-7 \times 12,8)</math>։

''Չորրորդ'' պարտիայից հետո նրա մոտ եղավ՝

<math>2^3(2x-7 \times 12,8)</math>։

''Յոթերորդ'' պարտիայից հետո, ալսինքն՝ խաղի ավարտից հետո, նա ուներ <math>12,8</math> ռ., հետևաբար՝

<math>2^6(2x-7 \times 12,8) \;=\; 12,8</math>։

Լուծենք այս հավասարումը՝

<math>64(2x-7 \times 12,8) \;=\; 12,8</math>,

<math>2x-7 \times 12,8 \;=\; 0,2</math>,

<math>2x-7 \times 89,6 \;=\; 0,2, \; x=44,9</math>։

Այսպիսով, խաղի սկզբին առաջին խաղացողն ուներ <math>44</math> ռ. <math>90</math> կ.։ Նույն ձևով որոշենք երկրորդ տարվողի փողը։ Խաղի սկզբին նրա մոտ կար <math>y</math>։

''Առաջին'' պարտիայից հետո նրա մոտ դարձավ <math>2y</math>։

''Երկրորդ'' պարտիան նա տարվեց և վճարեց

<math>7 \times 12,82y</math>,

նրա մոտ մնաց

<math>2y-(7 \times 12,8-2y) \;=\; 4y-7 \times 12,8</math>։

''Երրորդ'' պարտիայից հետո նրա մոտ կար

<math>2(4y-7 \times 12,8)</math>։

''Չորրորդից'' հետո`

<math>2^2(4y-7 \times 12,8)</math>։

''Յոթերորդից'' հետո՝

<math>2^5(4y-7 \times 12,8)</math>։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը

<math>2^5(4y-7 \times 12,8) \;=\; 12,8</math>,

որտեղից՝

<math>y=22</math> ռուբ. <math>50</math> կ.։

Նման ձևով էլ կգտնենք երրորդ խաղացողի փողը՝ <math>11</math> ռ. <math>30</math> կ.։

Առաջարկում ենք ընթերցողին ինքնուրույնաբար որոշելու մնացած խաղացողների փողերը։ Լուծման ստուգումը կլինի այն, որ բոլոր խաղացողների փողերի ընդհանուր գումարը խաղից առաջ և հետո պետք է հավասար լինի։

===ԿԵՂԾ ԱՆՀԵԹԵԹՈՒԹՅՈՒՆ===

'''''Խնդիր'''''

Ահա մի խնդիր, որ կարող է միանգամայն անհեթեթ թվալ։

Ինչի՞ է հավասար <math>84</math>-ը, եթե <math>8 \times 8=54</math>-ի։

Այս տարօրինակ հարցը իմաստից զուրկ չէ և խնդիրը հնարավոր է լուծել հավասարման միջոցով։

Փորձեցեք վերծանել այն։

'''''Լուծում'''''

Հավանաբար դուք գուշակեցիք, որ խնդրի մեջ մտնող թվերը գրված են ոչ տասնորդական սիստեմով, այլապես «ինչի է հավասար <math>84</math>-ը» հարցը կլիներ անհեթեթ։ Դիցուք թվարկության անհայտ սիստեմի հիմքը <math>x</math> է։ Այն ժամանակ «<math>84</math>» թիվը նշանակում է երկրորդ կարգի <math>8</math> միավոր և առաջինի՝ <math>4</math> միավոր, այսինքն՝

„<math>84</math>” <math> =\; 8x+4</math>։

„<math>54</math>” թիվը նշանակում է <math>5x+4</math>։

Կունենանք <math>8 \times 8 \;=\; 5x+4</math> հավասարումը, այսինքն՝ տասնորդական սիստեմում.

<math>64=5x+4</math>,

որտեղից <math>x = 12</math>։ Թվերը գրված են տասներկուական սիստեմով, և „<math>84</math>” <math> = 8 \times 12+4 = 100</math>։ Նշանակում է՝ եթե <math>8 \times 8 =</math> „<math>54</math>”, ապա „<math>84</math>” <math> = 100</math>։

Նման ձևով էլ լուծվում է այդ տիպի այլ խնդիր։

Ինչի՞ է հավասար <math>100</math>-ը, երբ <math>5 \times 6 = 33</math>։

Պատասխան՝ <math>81</math> (թվարկության իննական սիստեմ)։

===ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ ՄՏԱԾՈՒՄ Է ՄԵՐ ՓՈԽԱՐԵՆ===

Եթե դուք կասկածում եք այն բանում, որ հավասարումը որոշ դեպքում մեզանից կանխատես է լինում, լուծեցեք հետևյալ խնդիրը.

Հայրը <math>32</math> տարեկան է, տղան <math>5</math> տարեկան։ Քանի՞ տարի հետո հայրը <math>10</math> անգամ մեծ կլինի տղայից։

Որոնելի ժամանակը նշանակենք <math>x</math>-ով։ <math>x</math> տարի հետո հայրը կլինի <math>32+x</math> տարեկան, տղան՝ <math>5+x</math>։ Եվ քանի որ հայրը այդ ժամանակ պետք է <math>10</math> անգամ մեծ լինի տղայից, ապա կունենանք հետևյալ հավասարումը

<math>32+x \;=\; 10(5+x)</math>։

Լուծելով այն, կստանանք <math>x=-2</math>։

«Մինուս երկու տարի հետո» նշանակում է՝ «երկու տարի առաջ»։ Երբ մենք կազմեցինք հավասարումը, չմտածեցինք այն մասին, որ հոր տարիքը ''ապագայում'' երբեք <math>10</math> անգամ չի կարող մեծ լինել տղայի տարիքից, այդպիսի հարաբերություն կարող էր տեղի ունենալ միմիայն անցյալում։ Հավասարումն ավելի խորհող հանդիսացավ, քան թե մենք և շտկեց սխալը։

===ԿՈՒՐՅՈԶՆԵՐ ԵՎ ԱՆԱԿՆԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ===

Հավասարումներ լուծելիս մենք երբեմն հանդիպում ենք այնպիսի պատասխանների, որոնք անփորձ մաթեմատիկոսին կարող են փակուղու, մեջ դնել։ Բերենք մի քանի օրինակներ։

I. Գտնել երկանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները։ Տասնավորների թվանշանը միավորների թվանշանից փոքր լինի <math>4</math>-ով։ Եթե նույն թվանշաններով, բայց հակառակ կարգով գրված թվից հանենք որոնելի թիվը, ապա կստանանք <math>27</math>։

Նշանակելով տասնավորների թվանշանը <math>x</math>-ով, իսկ միավորների թվանշանը՝ <math>y</math>-ով, մենք այդ խնդրի համար հեշտությամբ կկազմենք հետևյալ հավասարումների սիստեմը՝

<math>

\begin{cases}

x \;=\; y-4,\\

(10y+x)-(10x+y) \;=\; 27։\\

\end{cases}

</math>

Առաջին հավասարումից <math>x</math>-ի արժեքը տեղադրելով երկրորդի մեջ՝ կգտնենք

<math>10y+y-4-[10(y-4)+y] \;=\; 27</math>,

իսկ ձևափոխությունից հետո՝

<math>36 \;=\; 27</math>։

Մեզ մոտ չորոշվեցին անհայտների արժեքները, սակայն մենք իմացանք, որ <math>36=27</math>... Ի՞նչ է սա նշանակում։

Այս նշանակում է՝ որ տրված հավասարումներին բավարարող երկանիշ թվեր գոյություն չունեն և որ այդ հավասարումները հակասում են մեկը մյուսին։ Իսկապես առաջին հավասարման երկու մասերը բազմապատկելով <math>9</math>-ով, մենք նրանից կգտնենք՝

<math>9y-9x \;=\; 36</math>։

իսկ երկրորդից (փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո)՝

<math>9y-9x \;=\; 27</math>։

Միևնույն մեծությունը՝ <math>9y-9x</math>, համաձայն առաջին հավասարման, հավասար է <math>36</math>-ի, իսկ համաձայն երկրորդի՝ <math>27</math>-ի։ Դա անպայման անհնարին է, քանի որ <math>36 \neq 27</math>։

Նման թյուրիմացություն է սպասում նաև հետևյալ հավասարումների սիստեմը լուծողին՝

<math>

\begin{cases}

x^2y^2 = 8,\\

xy = 4։\\

\end{cases}

</math>

Առաջին հավասարումը բաժանելով երկրորդի վրա, կստանանք

<math>xy = 2</math>,

իսկ նոր ստացված հավասարումը համեմատելով երկրորդի հետ, նկատում ենք, որ

<math>

\begin{cases}

xy = 4, \\

xy = 2,

\end{cases}

</math>

այսինքն՝ <math>4=2</math>։ Այդ սիստեմին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։ (Այն հավասարումները, որոնց կազմած սիստեմը լուծումներ չունի, կոչվում են ''անհամատեղելի'')։

II. Այլ տեսքի անսպասելիության կհանդիպենք մենք, եթե մասամբ փոխենք նախորդ խնդրի պայմանը։ Այն է՝ հաշվենք, որ տասնավորների թվանշանը ոչ թե <math>4</math>-ով, այլ <math>3</math>-ով է փոքր միավորների թվանշանից, իսկ խնդրի մնացած պայմանը նույնն է։ Ի՞նչ թիվ է դա։

Կազմում ենք հավասարում։ Եթե տասնավորների թվանշանը նշանակենք <math>x</math>-ով, ապա միավորների թվանշանը կլինի <math>x+3</math>։ Խնդիրը թարգմանելով հանրահաշվի լեզվով, կստանանք՝

<math>10(x+3)+x-[10x+(x+3)] \;=\; 27</math>։

Կատարելով պարզումներ, կհանգենք հետևյալ հավասարությանը՝

<math>27=27</math>։

Այս հավասարությունը անվիճելիորեն ճիշտ է, բայց նա մեզ ոչինչ չի ասի <math>x</math>-ի արժեքի մասին։ Սա նշանակո՞ւմ է արդյոք, որ խնդրի պահանջին բավարարող թվեր գոյություն չունեն։

Ընդհակառակն, այդ նշանակում է, որ մեր կազմած հավասարումը նույնություն է, այսքիքն՝ այն ճիշտ է <math>x</math> անհայտի ցանկացած արժեքի դեպքում։ Իսկապես, հեշտ է համոզվել նրանում, որ խնդրում նշված հատկությունն ունի յուրաքանչյուր երկանիշ թիվ, որի միավորների թվանշանը <math>3</math>-ով մեծ է տասնավորների թվանշանից.

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

III. Գտնել եռանիշ թիվ, որն ունենա հետևյալ հատկությունները՝

1) տասնավորների թվանշանը <math>7</math> է,

2) հարյուրավորների թվանշանը <math>4</math>-ով փոքր է միավորների թվանշանից։

3) եթե այդ թվի թվանշանները դասավորենք հակառակ կարգով, ապա նոր թիվը <math>396</math>-ով մեծ կլինի որոնելիից։

Կազմենք հավասարում, միավորների թվանշանը նշանակելով <math>x</math>-ով.

<math>100x+70+x-4-[100(x-4)+70+x] \;=\; 396</math>։

Այս հավասարումը պարզեցնելուց հետո բերվում է հետևյալ հավասարությանը՝

<math>396=396</math>։

Ընթերցողներն արդեն գիտեն, թե ինչպես պետք է մեկնաբանել նման արդյունքը։ Այն նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եռանիշ թիվ, որի առաջին թվանշանը <math>4</math>-ով փոքր է երրորդից<ref>Տասնավորների թվանշանը դեր չի խաղա։</ref>, մեծանում է <math>396</math>-ով, եթե թվանշանները գրենք հակառակ կարգով։

Մինչև այժմ մենք դիտարկել ենք խնդիրներ, որոնք քիչ թե շատ արհեստական, գրքային բնույթ ունեին։ Դրանք ուղղված էին հավասարումներ կազմելու և լուծելու համար հմտություն ձեռք բերելու նպատակին։ Այժմ տեսականորեն զինված զբաղվենք գործնական խնդիրների մի քանի օրինակներով՝ արտադրության, առօրյա կենցաղի, ռազմական գործի և սպորտի բնագավառներից։

===ՎԱՐՍԱՎԻՐԱՆՈՑՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

Կարո՞ղ է արդյոք հանրահաշիվը պետք գալ վարսավիրանոցում։ Պարզվում է, որ այդպիսի դեպքեր պատահում են։ Ես դրանում համոզվեցի, երբ մի անգամ վարսավիրանոցում ինձ մոտեցավ վարպետը անսպասելի խնդրանքով՝

— Չէիք բարեհաճի մեզ օգնել լուծելու մի խնդիր, որից մենք ոչ մի կերպ գլուխ չենք հանում։

— Արդեն դրա պատճառով ինչքա՜ն լուծույթ է փչացել,— ավելացրեց մյուսը։

— Ինչո՞ւմն է խնդիրը,— հարց ու փորձ արի ես։

— Մենք ունենք ջրածնի պերօքսիդի երկու լուծույթ՝ <math>30</math> տոկոսանոց և <math>3</math> տոկոսանոց։ Հարկավոր է դրանք խառնել այնպես, որ ստացվի <math>12</math> տոկոսանոց լուծույթ։ Չենք կարող գտնել ճիշտ հարաբերություն...

Ինձ տվեցին թուղթ, և պահանջված հարաբերությունը գտնվեց։

Պարզվեց, որ այն շատ պարզ է։ Իսկ ի՞նչու։

'''''Լուծում'''''

Խնդիրր կարելի է լուծել նաև թվաբանորեն, բայց այստեղ հանրահաշիվը նպատակին է հասցնում ավելի պարզ և ավելի արագ։ Դիցուք, <math>12</math> տոկոսանոց խառնուրդ կազմելու համար պահանջվում է վերցնել <math>x</math> գրամ <math>3</math> տոկոսանոց և <math>y</math> գրամ <math>30</math> տոկոսանոց լուծույթներ։ Այդ ժամանակ առաջին բաժնում պարունակվում է <math>0,03x</math> գրամ մաքուր ջրածնի պերօքսիդ, երկրորդում՝ <math>0,3y</math>, իսկ ընդամենը՝

<math>0,03x+0,3y</math>։

Արդյունքում ստացվում է <math>(x+y)</math> գրամ լուծույթ, որի մեջ մաքուր պերօքսիդը պետք է լինի <math>0,12(x+y)</math>։

Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

<math>0,03x+0,3y=0,12(x+y)</math>։

Այս հավասարումից գտնում ենք <math>x=2y</math>, այսինքն՝ <math>3</math> տոկոսանոց լուծույթից պետք է վերցնել երկու անգամ ավելի, քան <math>30</math> տոկոսանոցից։

===ՏՐԱՄՎԱՅԸ ԵՎ ՀԵՏԻՈՏՆԸ===

Գնալով տրամվայի ճանապարհի երկարությամբ, ես նկատեցի, որ յուրաքանչյուր <math>12</math> րոպեից հետո ինձ հասնում է տրամվայը, իսկ յուրաքանչյուր <math>4</math> րոպեում ես ինքս եմ դիմավորում տրամվային։ Թե՛ ես, թե՛ տրամվայները շարժվում ենք հավասարաչափ։ Յուրաքանչյուր քանի՞ րոպեն մեկ տրամվայները մեկը մյուսի ետևից հեռանում են իրենց վերջին կետից։

'''''Լուծում'''''

Եթե վագոններն իրենց վերջին կետից հեռանում են յուրաքանչյուր <math>x</math> րոպեն մեկ, ապա այդ նշանակում է, որ այն տեղով, որտեղ ես հանդիպել եմ տրամվայներից մեկին, յուրաքանչյուր <math>x</math> րոպեն մեկ անցում է հաջորդ տրամվայը։ Եթե նա հասնում է իմ հետևից, ապա մնացած <math>12-x</math> րոպեում նա պետք է անցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողանում եմ անցնել <math>12</math> րոպեում։ Նշանակում է, այն ճանապարհը, որը ես անցնում եմ <math>1</math> րոպեում, տրամվայը կանցնի <math>\frac{12-x}{12}</math> րոպեում։

Մինչդեռ, եթե տրամվայը գալիս է ինձ ընդառաջ, ապա նա ինձ կհանդիպի նախորդից <math>4</math> րոպե հետո, իսկ մնացած <math>(x-4)</math> րոպեում նա կանցնի այն ճանապարհը, որ ես կարողացա անցնել այդ <math>4</math> րոպեում։ Հետևաբար, այն Ճանապարհը, որ ես անցնում եմ <math>1</math> րոպեում, տրամվայը կանցներ <math>\frac{x-4}{4}</math> րոպեում։

Կստանանք հետնյալ հավասարումը՝

<math>\frac{12-x}{12} \;=\; \frac{x-4}{4}</math>։

Այստեղից <math>x=6</math>։ Վագոնները հեռանում են յուրաքանչյուր <math>6</math> րոպեն մեկ։

Կարելի է նաև առաջարկել խնդրի հետևյալ (ըստ էության թվաբանորեն) լուծումը։ Մեկը մյուսին հաջորդող երկու տրամվայների միջև եղած հեռավորությունը նշանակենք <math>a</math>-ով։ Այդ ժամանակ իմ և ինձ ընդառաջ շարժվող տրամվայի միջև եղած հեռավորությունը փոքրանում է րոպեում <math>\frac{a}{4}</math>-ով (քանի որ հենց նոր անցնող տրամվայի և հաջորդի միջև եղած հեռավորությունը, որը հավասար է <math>a</math>-ի, մենք միասին անցնում ենք <math>4</math> րոպեում)։ Իսկ եթե տրամվայը հասնում է ինձ, ապա մեր միջև եղած հեռավորությունը ամեն րոպե փոքրանում է <math>\frac{a}{12}</math>-ով։ Այժմ ենթադրենք, որ ես մի րոպե տևողությամբ շարժվեցի առաջ, իսկ այնուհետև շրջվեցի և գնացի էլի մի րոպե (այսինքն՝ վերադարձա նախկին տեղը)։ Այդ ժամանակ իմ և տրամվայի միջև որը սկզբում շարժվում էր ինձ ընդառաջ) եղած հեռավորությունը առաջին րոպեից հետո կփոքրանա <math>a / 4</math>-ով, իսկ երկրորդ րոպեում (երբ այդ տրամվայը արդեն հասել էր ինձ) կփոքրանա <math>a / 12</math>-ով։ Ընդամենը <math>2</math> րոպեում մեր միջև եղած հեռավորությունը կփոքրանա <math>\frac{a}{4} + \frac{a}{12} \;=\; \frac{a}{3}</math>-ով։ Նույնը տեղի կունենար, եթե ես ամբողջ ժամանակ կանգնած մնայի տեղում, քանի որ վերջին հաշվով ես վերադարձա ետ։ Այսպիսով, եթե ես շարժվեի, ապա մեկ րոպեում (և ոչ թե երկու) տրամվայը կմոտենար ինձ <math>\frac{a}{3} \;:\; 2 \;=\; \frac{a}{6}</math>-ով, իսկ ամբողջ <math>a</math> հեռավորությունը նա կանցներ <math>6</math> րոպեում։ Այդ նշանակում է, որ անշարժ կանգնած դիտողի մոտով տրամվայներն անցնում են <math>6</math> րոպե ընդմիջումներով։

===ՇՈԳԵՆԱՎԸ ԵՎ ԼԱՍՏԱՆԱՎԵՐԸ===

'''''Խնդիր'''''

<math>A</math> քաղաքից դեպի <math>B</math> քաղաքը շոգենավը գետի հոսանքով առանց կանգառումների անցավ <math>5</math> ժամում։ Մինչդեռ հոսանքին հակառակ նա անցավ (շարժվելով սեփական նույն արագությամբ և առանց կանգառումների) <math>7</math> ժամում։ Քանի՞ ժամում կանցնեն լաստանավերը <math>A</math>-ից <math>B</math> (լաստանավերը շարժվում են գետի հոսանքի արագությամբ)։

'''''Լուծում'''''

Այն ժամանակը, որը պետք է շոգենավին <math>A</math>-ից մինչև <math>B</math> հեռավորությունը ''կանգնած ջրում'' այսինքն՝ սեփական արագությամբ շարժվելիս, նշանակենք <math>x</math>-ով, իսկ լաստանավերի շարժման ժամանակը՝ <math>y</math>-ով։ Այդ ժամանակ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի <math>AB</math> հեռավորության <math>\frac{1}{x}</math>-ը, իսկ լաստանավերը (հոսանքը)՝ այդ հեռավորության <math>\frac{1}{y}</math>-ը։ Ուստի՝ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում կանցնի <math>AB</math> հեռավորության <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}</math>-ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ <math>\frac{1}{x}-\frac{1}{y}</math>-ը։ Բայց խնդրի պայմանից մենք գիտենք, որ հոսանքի ուղղությամբ շոգենավը մեկ ժամում անցնում է հեռավորության <math>\frac{1}{5}</math>-ը, իսկ հոսանքին հակառակ՝ <math>\frac{1}{7}</math>-ը։ Կստանանք հետևյալ սիստեմը՝

<math>

\begin{cases}

\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \;=\; \frac{1}{5}, \\

\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \;=\; \frac{1}{7}։

\end{cases}

</math>

Նկատենք, որ այս սիստեմի լուծման համար պետք չէ

ազատվել հայտարարներից, պետք է պարզապես առաջին հավասարումից հանել երկրորդը։ Արդյունքում մենք կստանանք՝

<math>\frac{2}{y} \;=\; \frac{2}{35}</math>,

որտեղից՝ <math>y=35</math>։ Լաստանավերը <math>A</math>-ից <math>B</math> կգնան <math>35</math> ժամում։

===ԵՐԿՈՒ ԹԻԹԵՂԱՏՈՒՓ ՍՈՒՐՃ===

'''''Խնդիր'''''

Սուրճով լփված երկու թիթեղատուփեր ունեն միատեսակ ձև և պատրաստված են միևնույն թիթեղից։ Առաջինը կշռում է <math>2 կգ</math> և ունի <math>12 սմ</math> բարձրություն. երկրորդը կշռում է <math>1 կգ</math> և ունի <math>9,5 սմ</math> բարձրություն։

Որքա՞ն է սուրճի մաքուր կշիռը թիթեղատուփերում։

'''''Լուծում'''''

Մեծ թիթեղատուփի պարունակության կշիռը նշանակենք <math>x</math>-ով, փոքրինը՝ <math>y</math>-ով։ Թիթեղատուփերի կշիռը համապատասխանորեն նշանակենք <math>z</math>-ով և <math>t</math>-ով։ Կունենանք հետևյալ հավասարումները՝

<math>

\begin{cases}

x + z \;=\; 2, \\

y + t \;=\; 1։

\end{cases}

</math>

Քանի որ լիքը թիթեղատուփերի պարունակության կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց ծավալները, այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների<ref>Այդ համեմատությունից թույլատրելի է օգտվել միայն այն դեպքում, երբ թիթեդատուփերի պատերը չափազանց հաստ չեն (քանի որ թիթհղատուփերի արտաքին և ներքին մակերևույթները, խիստ ասած, նման չեն և, բացի այդ, բանկայի ներքին խոռոչի բարձրությունը, խիստ ասած, տարբերվում է բանկայի բարձրությունից։</ref> խորանարդները, ապա

<math>\frac{x}{y} \;=\; \frac{12^3}{9,5^3} \approx 2,02</math> կամ <math>x=2,02y</math>։

Իսկ դատարկ թիթեղատուփերի կշիռները հարաբերում են, ինչպես դրանց լրիվ ''մակերևույթները'', այսինքն՝ ինչպես դրանց բարձրությունների քառակուսիները։ Ուստի՝

<math>\frac{z}{t} \;=\; \frac{12^2}{9,5^2} \approx 1,60</math> կամ <math>z=1,60t</math>։

<math>x</math> և <math>z</math>-ի արժեքները տեղադրելով առաջին հավասարման մեջ՝ կստանանք հետևյալ սեստեմը՝

<math>

\begin{cases}

2,02y+1,60t \;=\; 2, \\

y+t \;=\; 1։

\end{cases}

</math>

Լուծելով այն՝ գտնում ենք.

<math>y \;=\; 20.21 \;=\; 0,95, \; t=0,05</math>։

Եվ հետևաբար՝

<math>x=1,92, \; z=0,08</math>։

Առանց տարայի սուրճի կշիռը մեծ թիթեղատուփի մեջ <math>1,92</math> կգ է, փոքրում՝ <math>0,95 կգ</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>0,94 կգ</math>։— ''Մ.''։</ref>։

===ԵՐԵԿՈՒՅԹ===

Երեկույթին կային <math>20</math> պարողներ։ Մարիան պարում էր յոթ պարողների հետ, Օլգան՝ ութի հետ, Վերան՝ իննի հետ և այդպես շարունակ մինչև Նինան, որը պարում էր բոլոր պարողների հետ։ Քանի՞ պարողներ (տղամարդ) կային երեկույթին։

Լուծում

Խնդիրր լուծվում է շատ պարզ, եթե անհայտը ընտրենք հաջողությամբ։ Կորոնենք ոչ թե պարողների թիվը, այլ պարողուհիների, որը կնշանակենք <math>x</math>-ով։

<TR>

<TD>Մարիան</TD>

<TD align=center>պարում էր</TD>

<TD align=center>պարողների</TD>

</TR>

<TR>

<TD>Օլգան</TD>

</TR>

<TR>

<TD>Վերան</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

<TD>Նինան</TD>

</TR>

</TABLE>

Կունենանք հավասարումը՝

<math>x + (6+x)=20</math>,

որտեղից

<math>x=7</math>,

և, հետևաբար, պարող տղամարդկանց թիվը կլինի՝

<math>20-7=13</math>։

===ԾՈՎԱՅԻՆ ՀԵՏԱԽՈՒԶՈՒԹՅՈՒՆ===

'''''Խնդիր առաջին'''''

Հետախույզին (հետախույզ նավին), որը շարժվում է նավախմբի հետ, տրված է առաջադրանք՝ նավախմբի շարժման ուղղությամբ հետազոտել ծովի շրջանը <math>70</math> մղոնի վրա։ Նավախմբի արագությունը ժամում <math>15</math> մղոն է, հետախույզի արագությունը ժամում <math>28</math> մղոն։ Պահանջվում է որոշել որքա՞ն ժամանակից հետո հետախույզը կվերադառնա նավախումբը։

'''''Լուծում'''''

Ժամերի որոնելի թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով։ Այդ ժամանակամիջոցում նավախումբը կարող է անցնել <math>15x</math> մղոն, իսկ հետախուզող նավը՝ <math>28x</math>։ Հետախույզն անցավ <math>70</math> մղոն առաջ և դեպի ետ դարձավ այդ ճանապարհի մի մասը, իսկ նավախումբը անցավ այդ ճանապարհի մնացած մասը։ Նրանք միասին անցան <math>28x+15x</math> ճանապարհ, որը հավասար է <math>2.70</math> մղոն։ Ունենք հետևյալ հավասարումը՝

<math>28x+15x=140</math>,

Հետախույզը նավախումբ է վերադառնում մոտավորապես <math>3</math> ժամ <math>13</math> րոպե հետո։

'''''Խնդիր երկրորդ'''''

Հետախույզը հրաման ստացավ հետախուզումը կատարել նավախմբի առջևից՝ նրա շարժման ուղղությամբ։ <math>3</math> ժամ հետո այդ նավը պետք է վերադառնա նավախումբ։ Նավախումբը թողնելուց որքա՞ն ժամանակ անց հետախուզական նավը պետք է ետ դառնա, եթե նրա արագությունը <math>25</math> հանգույց է, իսկ նավախմբի արագությանը՝ <math>15</math> հանգույց։

'''''Լուծում'''''

Դիցուք հետախույզը պետք է ետ դառնա <math>x</math> ժամ հետո. նշանակում է, նավախմբից նա հեռանում էր <math>x</math> ժամ, իսկ գալիս է նրան ընդառաջ <math>3-x</math> ժամ։ Քանի դեռ բոլոր նավերը գնում են մեկ ուղղությամբ, հետախույզը <math>x</math> ժամում նավախմբից կհեռանա նրանց անցած ճանապարհների տարբերության չափով, այսինքն՝

<math>25x-15x \;=\; 10x</math>։

Վերադարձին, մինչև նավախմբին հանդիպելը, հետախույզն անցավ <math>25(3-x)</math> ճանապարհ, իսկ նավախումբը՝ <math>15(3-x)</math>։ Մեկը և մյուսը միասին անցան <math>10x</math>։ Հետևաբար՝

<math>25(3-x)+15(3-x)=10x</math>,

որտեղից՝

<math>x=2\frac{2}{5}</math>։

Հետախույզը պետք է ետ դառնա նավախումբը թողնելուց <math>2</math> ժամ <math>24</math> րոպե հետո։

===ՎԵԼՈԴՐՈՄՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

Վելոդրոմի շրջանաձև ճանապարհով գնում են երկու հեծանվորդներ անփոփոխ արագությամբ։ Երբ նրանք գնում են հակադիր ուղղություններով, ապա հանդիպում են յուրաքանչյուր <math>10</math> վայրկյանը մեկ, իսկ երթ գնում են մի ուղղությամբ, ապա մեկը մյուսին հասնում է յուրաքանչյուր <math>170</math> վայրկյանից հետո։ Որքա՞ն է յուրաքանչյուր հեծանվորդի արագությունը, եթե շրջանաձև ճանապարհի երկարությանը <math>170 մ</math> է։

'''''Լուծում'''''

Եթե առաջին հեծանվորդի արագությունը <math>x</math> է, ապա <math>10</math> վայրկյանում նա անցնում է <math>10x</math> մետր, իսկ երկրորդը, շարժվելով նրան ընդառաջ, հանդիպումից մինչև մյուս հանդիպումն անցնում է շրջանի մնացած մասը, այսինքն՝ <math>170-10x</math> մետր։ Եթե երկրորդի արագությունը <math>y</math> է, ապա դա կազմում է <math>10y</math> մետր. այսպիսով,

<math>170-10x=10y</math>։

Իսկ եթե հեծանվորդները գնում են միևնույն ուղղությամբ, ապա <math>170</math> վայրկյանում առաջինը անցնում է <math>170x</math> մետր, իսկ երկրորդը՝ <math>170y</math> մետր։ Եթե առաջինը երկրորդից արագ է գնում, ապա մի հանդիպումից մինչև մյուսը նա անցնում է երկրորդից մի շրջանով ավելի, այսինքն՝

<math>170x-170y \;=\; 170</math>։

Այդ հավասարումները պարզեցնելուց հետո կստանանք՝

<math>x+y=17, \; x-y=1</math>,

որտեղից՝

<math>x=9, \; y=8</math> (մետր վայրկյանում)։

===ՄՈՏՈՑԻԿԼՆԵՐԻ ՄՐՑՈՒՄԸ===

'''''Խնդիր'''''

Մոտոցիկլետային մրցումների դեպքում միաժամանակ ստարտ վերցնող երեք մեքենաներից մեկը, կատարելով ժամում առաջինից <math>13 \; կմ</math>-ով պակաս և երրորդից <math>3 \; կմ</math>-ով ավել վազք, հասավ վերջին վայրը առաջինից <math>12</math> րոպեով ավելի ուշ և երրորդից <math>3</math> րոպեով շուտ։ Ճանապարհին կանգառումներ չեն եղել։

Պահանջվում է որոշել՝

ա) ի՞նչ մեծություն ունի ճանապարհի հատվածը.

բ) ի՞նչ մեծություն ունի յուրաքանչյուր մեքենայի արագությունը.

գ) որքա՞ն է յուրաքանչյուր մեքենայի վազքի տևողությունը։

'''''Լուծում'''''

Թեև պահանջվում է որոշել յոթ անհայտ մեծություններ, բայց խնդիրը լուծելիս մենք կբավարարվենք միայն երկուսով. կազմենք երկու անհայտով երկու հավասարումների սիստեմ։

Երկրորդ մեքենայի ''արագությունը'' նշանակենք <math>x</math>-ով։ Այն ժամանակ առաջինի արագությունը կարտահայտվի <math>x+15</math>-ով, իսկ երրորդինը <math>x-3</math>-ով։

Ճանապարհի հատվածի երկարությունը նշանակենք <math>y</math> տառով։ Այդ դեպքում վազքի տևողությունը կլինի՝

<TR>

<TD>առաջին</TD>

<TD align=center>մեքենայի</TD>

<TD align=center>համար</TD>

</TR>

<TR>

<TD>երկրորդ</TD>

</TR>

<TR>

<TD>երրորդ</TD>

</TR>

</TABLE>

Մեն գիտենք, որ երկրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է առաջինից <math>12</math> րոպեով (այսինքն՝ <math>\frac{1}{5}</math> ժամով) ավելի։ Ուստի՝

<math>\frac{y}{x}-\frac{y}{x+15} \;=\; \frac{1}{5}</math>։

Երրորդ մեքենան ճանապարհին եղել է երկրորդից <math>3</math> րոպեով (այսինքն, <math>\frac{1}{20}</math> ժամով) ավելի։ Հետևաբար՝

<math>\frac{y}{x-3} - \frac{y}{x} \;=\; \frac{1}{20}</math>։

Այդ հավասարումներից երկրորդը բազմապատկենք <math>4</math>-ով և հանենք աոաջինից՝

<math>\frac{y}{x} - \frac{y}{x+15} - 4\left(\frac{3}{x-3} - \frac{y}{x}\right) \;=\; 0</math>։

Այս հավասարման բոլոր անդամները բաժանենք <math>y</math>-ի վրա (այդ մեծությունը, ինչպես մենք գիտենք, զրոյի հավասար չէ) և դրանից հետո ազատվենք հայտարարներից։ Մենք կստանանք՝

կամ փակագծերը բացելուց և նման անդամների միացումից հետո՝

<math>3x-225=0</math>,

որտեղից՝

<math>x=75</math>։

Գիտենալով <math>x</math>-ը, առաջին հավասարումից գտնում ենք <math>y</math>-ը՝

<math>\frac{y}{75}-\frac{y}{90} \;=\; \frac{1}{5}</math>,

որտեղից՝

<math>y=90</math>։

Այսպիսով, մեքենաների արագությունները որոշված են՝ ժամում <math>90, \; 75</math> և <math>72</math> կիլոմետր։

Ամբողջ ճանապարհի երկարությունը <math>=90 կմ</math>։

Ճանապարհի երկարությունը բաժանելով յուրաքանչյուր մեքենայի արագության վրա, գտնում ենք վազքերի տևողությունը՝

առաջին մեքենայինը . . . <math>1</math> ժամ։

երկրորդ մեքենայինը . . . <math>1</math> ժամ <math>12</math> րոպե։

երրորդ մեքենայինը . . . <math>1</math> ժամ <math>15</math> րոպե։

Այսպիսով, բոլոր յոթ անհայտները որոշված են։

===ԸՆԹԱՑՔԻ ՄԻՋԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆԸ===

'''''Խնդիր'''''

Ավտոմեքենան երկու քաղաքների միջև եղած հեռավորությունն անցավ <math>60 կմ/ժամ</math> արագությամբ և վերադարձավ <math>40 կմ/ժամ</math> արագությամբ։ Որքա՞ն է եղել նրա ընթացքի միջին արագությունը։

Լուծում

Խնդրի խաբուսիկ պարզությունը շատերին մոլորության մեջ է գցում։ Խորամուխ չլինելով հարցի պայմանի մեջ, հաշվում են <math>60</math>-ի և <math>40</math>-ի միջին թվաբանականը, այսինքն՝ գտնում են հետևյալ կիսագումարը՝

<math>\frac{60+40}{2} \;=\; 50</math>։

Այդ «պարզ» լուծումը ճիշտ կլիներ, եթե ընթացքը երկու ուղղությամբ էլ հավասար ժամանակ տևեր։ Բայց պարզ է, որ ետ վերադառնալը (փոքր արագությամբ) պետք է խլեր ավելի շատ ժամանակ, քան այնտեղ գնալը։ Նկատի ունենալով այս, մենք գտնում ենք, որ պատասխանը՝ <math>50</math>-ը ճիշտ չէ։

Եվ իրոք, հավասարումը տալիս է այլ պատասխան։ Հավասարում կազմելը դժվար չէ, եթե մտցնենք օժանդակ անհայտ <math>l</math> մեծությունը՝ քաղաքների միջև հղած հեռավորությունը։ Նշանակելով որոնելի միջին արագությունը <math>x</math>-ով, կազմում ենք հավասարում՝

<math>\frac{2l}{x} \;=\; \frac{l}{60}+\frac{l}{40}</math>։

Քանի որ <math>l</math>-ը զրոյի հավասար չէ, կարող ենք հավասարումը բաժանել <math>l</math>-ի վրա. կստանանք՝

<math>\frac{2}{x} \;=\; \frac{1}{60}+\frac{1}{40}</math>,

որտեղից՝

<math>x \;=\; \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} \;=\; 48</math>։

Այսպիսով, ճիշտ պատասխանը ոչ թե <math>50 կմ/ժամ</math> է, այլ՝ <math>48</math>։

Իսկ եթե մենք այդ խնդիրը լուծեինք տառային նշանակումներով (ավտոմեքենան գնում էր <math>a կմ/ժամ</math> արագությամբ և ետ էր վերադառնում <math>b կմ/ժամ</math> արագությամբ), ապա կստացվեր հետևյալ հավասարումը՝

<math>\frac{2l}{x} \;=\; \frac{l}{a}+\frac{l}{b}</math>,

որտեղից <math>x</math>-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքը՝

<math>\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}</math>։

Այդ մեծությունը <math>a</math> և <math>b</math> մեծությունների համար կոչվում է ''միջին հարմոնիկ''։

Այսպիսով, ընթացքի միջին արագությանը շարժման արագությունների համար արտահայտվում է ոչ թե միջին թվաբանականով, այլ միջին հարմոնիկով։ <math>a</math> և <math>b</math> դրական թվերի համար միջին հարմոնիկը միշտ ''փոքր է'' դրանք միջին թվաբանականից՝

<math>\frac{a+b}{2}</math>-ից,

որը և մենք նկատեցինք թվային օրինակի վրա (<math>48</math>-ը փոքր է <math>50</math>-ից)։

===ԱՐԱԳԱԳՈՐԾ ՀԱՇՎԻՉ ՄԵՔԵՆԱՆԵՐ===

Հետաքրքրաշարժ հանրահաշվի» պլանում հավասարումների մասին եղած զրույցը չի կարող հաշվիչ մեքենաներով հավասարումների լուծման կողքով անցնել։ Մենք արդեն խոսել ենք այն մասին, որ հաշվիչ մեքենաները կարող են շախմատ (կամ շաշկի) «խաղալ»։ Մաթեմատիկական մեքենաները կարող են կատարել և այլ առաջադրանքներ, օրինակ, մի լեզվից մյուսին թարգմանելը, երաժշտական մելոդիաները նվագախմբի համար պատրաստելը և այլն։ Հարկավոր է միայն մշակել համապատասխան «ծրագիր», որով մեքենան գործելու է։

Իհարկե, մենք այստեղ չենք դիտարկի «ծրագրեր» մշակելու հարցը շախմատ խաղալու կամ մի լեզվից մյուսին թարգմանելու համար։ Այդ «ծրագրերը» ծայրահեղ բարդ են։ Մենք կվերլուծենք միայն երկու շատ հասարակ «ծրագրեր»։ Սակայն, սկզբում հարկավոր է մի քանի խոսք ասել հաշվիչ մեքենայի կառուցվածքի մասին։

Վերևում (գլ. I) մենք խոսել ենք այն հարմարանքների մասին, որոնք թույլատրում են վայրկյանում հազարավոր և տասը հազարավոր հաշվումներ կատարել։ Մեքենալի այն մասը, որը ծառայում է գործողությունները անմիջականորեն կատարելու համար (մեծ մասամբ թվարկության երկուական սիստեմով), կոչվում է արիֆմոմետր։ Բացի այդ, մեքենան կազմված է ''կառավարող հարմարանքից'' (որ կարգավորում է ամբողջ մեքենայի աշխատանքը) և այսպես կոչված ''հիշողությունից''։ Հիշողությունը կամ, այլ կերպ, հիշող հարմարանքն իրենից ներկայացնում է թվերի և պայմանական ազդանշանների համար պահեստարան։ Վերջապես, մեքենան ունի հատուկ հարմարանքներ նիշավոր նոր տվյալներ մտցնելու և պատրաստի արդյունքներ ստանալու համար։ Այդ պատրաստի արդյունքները մեքենան տպում է (արդեն տասնորդական սիստեմով) հատուկ քարտերի վրա։

Բոլորին լավ հայտնի է, որ ձայնը կարելի է գրի առնել սկավառակի կամ ժապավենի վրա և այնուհետև վերարտադրել։ Բայց ձայնի գրառումը սկավառակի վրա հնարավոր է կատարել միայն մեկ անգամ. նոր գրանցման համար արդեն հարկավոր է նոր սկավառակ։ Փոքր ինչ այլ կերպ է իրականացվում մագնիտաֆոնով ձայնագրումը, որը տեղի է ունենում հատուկ ժապավենի մագնիսացման միջոցով։ Գրված ձայնը կարելի է վերարտադրել ուզածին չափ, իսկ եթե գրառումը հարկավոր չէ, ապա կարելի է ժապավենը «ապամագնիսացնել» և նրա վրա կատարել նոր գրանցում։ Միևնույն ժապավենի վրա կարելի է կատարել հաջորդաբար մի քանի գրանցումներ, ընդ որում յուրաքանչյուր նոր գրանցման դեպքում նախորդը «ջնջվում է»։

Նման սկզբունքի վրա էլ հիմնված է հիշող հարմարանքների գործողությունը։ Թվերը և պայմանական ազդանշանները գրանցվում են (էլեկտրական, մագնիսական կամ մեխանիկական ազդանշանների միջոցով) հատուկ թմբկագլանի, ժապավենի կամ այլ հարմարանքի վրա։ Անհրաժեշտ պահին գրված թիվը հնարավոր է «կարդալ», իսկ եթե այն այլևս հարկավոր չէ, ապա կարելի է ջնջել և նրա տեղը դրել նոր թիվ։ Թվերի կամ պայմանական ազդանշանների «հիշելը» և «կարդալը» ընդամենը տևում է վայրկյանի միլիոներորդ մասը։

«Հիշողությունը» կարող է պարունակել մի քանի հազար բջիջներ, յուրաքանչյուր բջիջ մի քանի տասնյակ էլեմենտներ, օրինակ՝ մագնիսական։ Թվերը երկուական սիստեմով գրելու համար պայմանավորվում ենք հաշվել, որ յուրաքանչյուր մագնիսացված էլեմենտ պատկերում է <math>1</math> թվանշանը, իսկ չմագնիսացվածը՝ <math>0</math> թվանշանը։ Դիցուք, հիշողության յուրաքանչյուր բջիջը պարունակում է <math>25</math> էլեմենտ (կամ, ինչպես ասում են, <math>25</math> «երկուական կարգեր»), ընդ որում բջիջի առանձին էլեմենտը ծառայում է թվի նշանը (+ կամ -) նշանակելու համար, հաջորդ <math>14</math> կարգերը ծառայում են թվի ամբողջ մասը գրելու համար, իսկ վերջին <math>10</math> կարգերը՝ կոտորակային մասը գրելու համար։ 11-րդ նկարում սխեմատիկորեն պատկերված են հիշողության երկու բջիջներ՝ յուրաքանչյուրը <math>25</math> կարգով։ Մագնիսացված էլեմենտները նշանակված են + նշանով, չմագնիսացվածները՝ - նշանով։ Պատկերված բջիջներից դիտարկենք վերևինը (ստորակետը ցույց է տալիս, թե որտեղ է սկսվում թվի կոտորակային մասը, իսկ կետագիծը մնացածներից անջատում է առաջին կարգը, որը ծառայում է նշանը գրելու համար)։ Նրա մեջ գրված է (թվարկության երկուական սիստեմով) <math>+1011,01</math> թիվը կամ մեզ համար սովորական թվարկության տասնորդական սիստեմով՝ <math>11,25</math> թիվը։

Բացի թվերից, հիշողության բշիջներում գրվում են հրամաններ, որոնցից կազմված է ծրագիրը։ Դիտարկենք, թե ինչպիսի տեսք կունենան հրամանները այսպես կոչված երեքհասցեանի մեքենայի համար։ Այդ դեպքում հրամանը գրելիս հիշողության բջիջը բաժանվում է 4 մասի (կետագծերը ներքևի բջիջի վրա, նկ. 11)։ Առաջին մասը ծառայում է օպերացիան նշանակելու համար, ընդ որում օպերացիաները գրվում են թվերով (համարներով)։ Օրինակ,

<TR>

<TD>գումարում</TD>

<TD>օպերացիա</TD>

</TR>

<TR>

<TD>հանում</TD>

<TD>օպերացիա</TD>

</TR>

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

<TD>օպերացիա</TD>

</TR>

</TABLE>

Հրամանները վերծանում են այսպես՝ բջիջի առաջին մասը օպերացիայի համարն է, երկրորդ և երրորդ մասերի բջիջների համարները (հասցեները), որոնցից պետք է վերցնել այդ օպերացիան կատարելու համար թվեր, չորրորդ մասը բջիջի համարն է (հասցեն), որտեղ պետք է ուղարկել ստացված արդյունքը։ Օրինակ, 11-րդ նկարի վրա ներքևի տողում) գրված են երկուական սիստեմով <math>11, \; 11, \; 111, \; 1011</math> կամ տասնորդական սիստեմով՝ <math>3, \; 3, \; 7, \; 11</math> թվերը, որ նշանակում է հետևյալ հրամանը՝ կատարել III օպերացիան (այսինքն բազմապատկում) այն թվերի հետ, որոնք գտնվում են հիշողության ''երրորդ և յոթերորդ'' բջիջներում, իսկ ստացված արդյունքը «հիշել» (այսինքն՝ գրել) ''տասնմեկերորդ'' բջիջում։

Հետագայում մենք թվերը և հրւսմանները կգրենք ոչ թե պայմանական նշաններով, ինչպես 11-րդ նկարում է, այլ ուղղակի թվարկության տասնորդական սիստեմով։ Օրինակ, 11-րդ նկարի ներքևի տողում պատկերված հրամանը գրվում է այսպես՝

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

</TR>

</TABLE>

Այժմ դիտարկենք ծրագրերի երկու հասարակ օրինակներ։

<TR>

<TD colspan=7 align=center>''Ծրագիր 1''</TD>

</TR>

<TR>

<TD>գումարում</TD>

</TR>

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Տեսնենք թե ինչպես կաշխատի մեքենան, որի առաջին հինգ բջիջներում գրված են այդ տվյալները։

''1-ին հրաման''՝ գումարել 4-րդ և 5-րդ բջիջներում գրված թվերը և արդյունքը նորից ուղարկել 4-րդ բջիջը (վաղօրոք այնտեղ գրվածի փոխարեն)։ Այսպիսով, մեքենան 4-րդ բջիջում գրում է <math>0+1=1</math> թիվը։ Առաջին հրամանը կատարելուց հետո 4-րդ և 5-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

''2-րդ հրամանը''. չորրորդ բջիջում եղած թիվը բազմապատկել իրենով (այսինքն՝ այն բարձրացնել քառակուսի) և արդյունքը, այսինքն՝ <math>1^2</math>, գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս պատրաստի արդյունքը)։

''3-րդ հրաման՝ կառավարման փոխանցումը'' 1-ին բջիջին։ Այլ կերպ ասած, կ. փ. հրամանը նշանակում է, որ պետք է նորից կատարել բոլոր հրամանները ըստ կարգի, սկսած 1-ից։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրաման։

''1-ին հրաման''. 4-րդ և 5-րդ բջիջներում եղած թվերը գումարել և արդյունքը նորից գրել 4-րդ բջիջում։ 4-րդ բջիջում արդյունքը կլինի <math>1+1=2</math> թիվը

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

''2-րդ հրաման''. 4-րդ բջիջում եղած թիվը բարձրացնել քառակուսի և ստացված արդյունքը, այսինքն <math>2^2</math>, գրել քարտի վրա (սլաքը ցույց է տալիս արդյունքը)։

''3-րդ հրաման''. կատավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին (այսինքն՝ դարձյալ անցում առաջին հրամանին)։

''1-ին հրաման''. <math>2+1=3</math> թիվը ուղարկել 4-րդ բջիջին.

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

''2-րդ հրաման''. քարտի վրա գրել <math>3^2</math> թիվը։

''3-րդ հրաման''. կառավարման փոխանցումը 1-ին բջիջին և այլն։

Մենք տեսնում ենք, որ մեքենան մեկը մյուսի հետևից հաշվում է ''ամբողջ թվերի քառակուսիները'' և դրանք գրում է քարտի վրա։ Նկատեցեք, որ յուրաքանչյուր անգամ ձեռքով նոր թիվ հավաքելը պետք չէ, մեքենան ինքը իրար հետևից ընտրում է ամբողջ թվեր և դրանց բարձրացնում քառակուսի։ Գործելով այդ ծրագրով՝ մեքենան հաշվում է <math>1</math>-ից մինչև <math>10\;000</math>-ը եղած բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները մի քանի տասնյակ վայրկյանի ընթացքում։

Պետք է նշել, որ իրականում ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու համար ծրագիրը մասամբ ավելի բարդ կլինի, քան այն, որ բերված է վերևում։ Դա ամենից առաջ վերաբերում է 2-րդ հրամանին։ Բանն այն է, որ քարտի վրա պատրաստի արդյունքի գրելը պահանջում է ավելի շատ ժամանակ, քան մեքենայով մեկ օպերացիայի կատարելը։ Ուստի, սկզբից պատրաստի արդյունքները «հիշվում են» «հիշողության» ազատ բջիջներում, իսկ դրանից հետո «առանց շտապելու» արտադրվում են քարտի վրա։ Այսպիսով, առաջին վերջնական արդյունքը պետք է «հիշվի» «հիշողության» 1-ին ազատ բջիջում, երկրորդ արդյունքը՝ 2-րդ ազատ բջիջում, երրորդը՝ 3-րդում և այլն։ Վերը բերված պարզեցված ծրագրում դա ոչ մի կերպ հաշվի չէր առնված։

Բացի այդ, մեքենան չի կարող երկար ժամանակ զբաղվել քառակուսիների հաշվումներով, քանի որ «հիշողության» րջիջները չեն բավարարում, իսկ մենք չենք կարող «գուշակել», թե մեքենան արդեն հաշվե՞լ է մեզ անհրաժեշտ քառակուսիների թիվը, որպեսզի այդ պահին անջատենք այն. (չէ՞ որ մեքենան վայրկյանում կատարում է հազարավոր օպերացիաներ)։ Դրա համար էլ նախատեսված են հատուկ հրամաններ՝ պահանջված պահին մեքենաները կանգնեցնելու համար։ Օրինակ, ծրագիրը կարելի է կազմել այնպես, որ մեքենան հաշվի 1-ից մինչև 10000 բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները և դրանից հետո ավտոմատորեն անջատվի։

Կան և հրամանների ուրիշ, ավելի բարդ տեսակները, որոնց մենք այստեղ չենք անդրադառնա պարզության համար։

Ահա թե ինչ տեսք կունենա <math>1</math>-ից մինչն <math>10\;000</math>-ը բոլոր ամբողջ թվերի քառակուսիները հաշվելու ծրագիրը (ավելի լրիվ տեսքով)։

<TR>

<TD colspan=5 align=center>''Ծրագիր 1ա''</TD>

</TR>

<TR>

<TD>գումարում</TD>

</TR>

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

</TR>

<TR>

<TD>գումարում</TD>

</TR>

<TR>

<TD>կ. պ. փ.<br>(կառավարման<br>պայմանական<br>փոխանցում)</TD>

</TR>

<TR>

<TD>կանգնիր</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Առաջին երկու հրամանները քիչ են տարբերվում այն հրամաններից, որոնք կային նախորդ պարզեցված ծրագրում։ Այդ երկու հրամանների կատարումից հետո 8-րդ, 9-րդ և 10-րդ բջիջներում կլինեն հետևյալ թվերը՝

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Երրորդ հրամանը շատ հետաքրքիր է. պետք է գումարել այն, ինչ կա 2-րդ և 6-րդ բջիջներում, և արդյունքները նորից գրել 2-րդ բջիջում, որից հետո 2-րդ բջիջը կունենա հետևյալ տեսքը՝

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

</TR>

</TABLE>

Ինչպես տեսնում եք, երրորդ հրամանը կատարելուց հետո ''փոխվում է երկրորդ'' հրամանը, ավելի ճիշտ՝ փոխվում է 2-րդ հրամանի հասցեներից մեկը։ Ստորև մենք կպարզաբանենք, թե ինչի համար է դա արվում։

''Չորրորդ հրաման''. կառավարման պայմանական փոխանցումը (ծրագրում վաղօրոք դիտարկված 3-րդ հրամանի փոխարեն)։ Այդ հրամանը կատարվում է այսպես. եթե 8-րդ բջիջում եղած թիվը փոքր է 7-րդ բջիջում եղած թվից, ապա կառավարումն հաղորդվում է 1-ին բջիջին. հակառակ դեպքում կատարվում է հաջորդ (այսինքն՝ 5-րդ) հրամանը։ Մեր դեպքում իրոք <math>1<10000</math>, այնպես որ տեղի կունենա կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։ Այսպիսով, նորից 1-ին հրամանը։

1-ին հրամանը կատարելուց հետո, 8-րդ բջիջում կլինի 2 թիվը.

Երկրորդ հրամանը, որն այժմ ունի հետևյալ տեսքը՝

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

</TR>

</TABLE>

կայանում է նրանում, որ <math>2^2</math> թիվը ուղարկվում է 11-րդ բջիջին։ Այժմ պարզ է, թե ինչու ավելի շուտ կատարվեց 3-րդ հրամանը նոր թիվը, այսինքն <math>2^2</math>, պետք է ընկնի ոչ թե 10-րդ բջիջում, որն արդեն զբաղված է, այլ հաջորդում։ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո մենք կունենանք հետևյալ թվերը

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

3-րդ հրամանը կատարվելուց հետո 2-րդ բջիջը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

<TR>

<TD>բազմապատկում</TD>

</TR>

</TABLE>

Քանի որ 8-րդ բջիջում դեռևս փոքր թիվ է գտնվում, քան 9-րդ բջիջում, ապա 4-րդ հրամանը նշանակում է կրկին կառավարման փոխանցում 1-ին բջիջին։

Այժմ 1-ին և 2-րդ հրամանները կատարվելուց հետո կստանանք՝

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Մինչև ե՞րբ մեքենան այդ ծրագրով կհաշվի քառակուսիները։ Այնքան ժամանակ, մինչև որ 6-րդ բջիջում չի հայտնվել <math>10\;000</math> թիվը, այսինքն՝ քանի դեռ <math>1</math>-ից մինչև <math>10\;000</math> թվերի քառակուսիները չեն հաշվարկվել։ Դրանից հետո 4-րդ հրամանը կառավարումն արդեն չի փոխանցի 1-ին բջիջին (քանի որ 8-րդ բջիջում եղած թիվը ոչ թե փոքր է, այլ հավասար է այն թվին, որը գտնում է 7-րդ բջիջում), այսինքն՝ 4-րդ հրամանից հետո մեքենան կատարում է 5-րդ հրամանը՝ կանգնում է(անջատվում է)։

Այժմ դիտարկենք ավելի բարդ ծրագրի օրինակ՝ հավասարումների սիստեմների լուծումը։ Այդ դեպքում մենք կդիտարկենք պարզեցված ծրագիրը։ Ցանկության դեպքում ընթերցողն ինքը կմտածի այն մասին, թե ինչպես կարտահայտվի այդպիսի ծրագիրը ավելի լրիվ տեսքով։

Դիցու֊ք տրված է հավասարումների հետևյալ սիստեմը՝

<math>

\begin{cases}

ax+by=c, \\

dx+ey=f։

\end{cases}

</math>

Այս սիստեմը դժվար չէ լուծել.

<math>x \;=\; \frac{ce-bf}{ae-bd},\; y \;=\; \frac{af-cd}{ae-bd}</math>։

Այդպիսի սիստեմներ լուծելու համար (a, b, c, d, e, f գործակիցների տրված թվային արժեքներով) հավանաբար, ձեզ անհրաժեշտ է մի քանի տասնյակ վայրկյան։ Իսկ մեքենան կարող է լուծել վայրկյանում հարյուրավոր այդպիսի սիստեմներ։

Դիտարկենք համապատասխան ծրագիրը։ Ասենք թե միանգամից տրված են մի քանի սիստեմներ՝

a, b, c, d, e, f, a՛, b՛,... գործակիցների թվային արժեքներով։

Ահա համապատասխան ծրագիրը՝

<TR>

<TD colspan=22 align=center>''Ծրագիր 2''</TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

''1-ին հրաման''. կազմել 28-րդ և 30-րդ բջիջներում գտնվող թվերի արտադրյալը և արդյունքն ուղարկել 20-րդ բջիջին։ Այլ կերպ աաած, 20-րդ բջիջում կգրվի <math>ce</math> թիվը։

Համանման ձևով կատարվում են 2-րդից 6-րդ հրամանները։ Դրանց անջատումից հետո 20-րդից մինչև 25-րդ բջիջներում կգտնվեն հետևյալ թվերը՝

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

''7-րդ հրաման''. 20-րդ բջիջում գտնվող թվերից հանել 21-րդ բջիջում գտնվող թիվը և արդյունքը (այսինքն՝ <math>(ce-bf)</math> նորից գրել 20-րդ բջիջում։

Համանման ձևով կատարվում են 8-րդ և 9-րդ հրամանները։ 20-րդ, 21-րդ, 22-րդ բջիջներում կառաջանան հետևյալ թվերը

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

''10-րդ և 11-րդ հրամաններ''. կազմվում են

քանորդները և գրվում քարտի վրա (այսինքն՝ տրվում են՝ ինչպես պատրաստի արդյունքներ)։ Դա հենց հավասարումների առաջին սիստեմից ստացված անհայտների արժեքներն են։

Այսպիսով, առաջին սիստեմը լուծված է։ Ինչի՞ համար են հետագա հրամանները։ Ծրագրի հետագա մասը (12-րդից մինչև 19-րդ բջիջները) նշանակված է նրա համար, որպեսզի մեքենային ստիպեն «անցնելու» հավասարումների երկրորդ սիստեմին։ Տեսնենք, թե ինչպես է կատարվում այդ։

10-րդից մինչև 11-րդ հրամանները կայանում են նրանում, որ 1-ից 6-րդ բջիջների պարունակությանն ավելանում է այն գրանցումը, որն ունի 19-րդ բջիջը, իսկ արդյունքում նորից մնում են 1-ից 6-րդ բջիջները։ Այս ձևով 17-րդ հրամանը կատարելուց հետո առաջին վեց բջիջները կունենան հետևյալ տեսքը՝

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

<TR>

<TD><math>\times</math></TD>

</TR>

</TABLE>

''18-րդ հրաման''. կառավարման փոխանցումը առաջին բջիջին։

Առաջին վեց բջիջներում ինչո՞վ են տարբերվում նոր գրանցումները նախկին գրանցումներից։ Նրանով, որ այդ բջիջներում առաջին երկու հասցեներն ունեն ոչ թե 26-ից մինչև 31<ref>Գրքում վրիպակ է՝ 11։— ''Մ.''։</ref> համարները,ինչպես առաջ, այլ 32-ից մինչև 37 համարները։ Այլ կերպ ասած, մեքենան կրկին կկատարի նույն գործողությունները, բայց թվերը կվերցնի ոչ թե 20-րդ, 31-րդ բջիջներից, այլ 32-րդ, 37-րդ բջիջներից, որտեղ գտնվում են հավասարումների երկրորդ սիստեմի գործակիցները։ Այսպիսով, մեքենան լուծում է հավասարումների երկրորդ, սիստեմը։ Երկրորդ սիստեմը լուծելուց հետո մեքենան անցնում է երրորդին և այլն։

Ասածից պարզ է դառնում, թե ինչքան կարևոր է ճիշտ «ծրագիր» կազմել կարողանալը։ Չէ՞ որ մեքենան «ինքը» ոչինչ անել չի «կարող»։ Նա կարող է կատարել միայն իրեն առաջադրված ծրագիրը։ Կան ծրագրեր, արմատներ, լոգարիթմներ, սինուսներ հաշվելու, բարձր աստիճանի հավասարումներ լուծելու համար և այլն։ Մենք արդեն վերևում խոսել ենք այն մասին, որ գոյություն ունեն ծրագրեր շախմատի խաղի, օտար լեզուներից թարգմանություն կատարելու համար,...։ Իհարկե, որքան բարդ է առաջադրանքը, այնքան էլ բարդ է նրան համապատասխանող ծրագիրը։

Վերջում նշենք, որ գոյություն ունեն այսպես կոչված ''ծրագրող ծրագրեր'', այսինքն այնպիսիներ, որոնց օգնությամբ մեքենան ինքը կարող է կազմել խնդրի լուծման համար պահանջվող ծրագիրը։

Այդ զգալիորեն թեթևացնում է ծրագրի կազմելը, որը հաճախ շատ աշխատատար է լինում։

Մանվել

Վստահելի

1396

edits

Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Գրապահարան