Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Ավելացվել է 60 908 բայտ, 13:23, 17 Հունիսի 2017

Այդ զգալիորեն թեթևացնում է ծրագրի կազմելը, որը հաճախ շատ աշխատատար է լինում։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch3.png|800px|frameless|thumb|center]]

==ԳԼՈՒԽ ԵՐՐՈՐԴ։ ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ԹՎԱԲԱՆՈՒԹՅԱՆԸ==

Թվաբանությունը հաճախ ի վիճակի չէ սեփական միջոցներով խստորեն ապացուցել իր պնդումներից մի քանիսի ճշտությունը։ Այդպիսի դեպքերում ստիպված ենք լինում դիմել հանրահաշվի ընդհանրացնող եղանակներին։ Թվաբանության՝ հանրահաշվորեն հիմնավորված նման դրույթներին են պատկանում, օրինակ, գործողությունների կրճատ կատարման բազմաթիվ կանոնները, մի քանի թվերի հետաքրքիր առանձնահատկությունները, բաժանելիության հատկանիշները և այլն Այդպիսի հարցերի դիտարկմանն է նվիրված ներկա գլուխը։

===ԱԿՆԹԱՐԹԱՅԻՆ ԲԱԶՄԱՊԱՏԿՈՒՄ===

Վիրտուոզ հաշվողները բազմաթիվ դեպքերում իրենց հաշվողական աշխատանքը հեշտացնում են՝ դիմելով ոչ բարդ հանրահաշվական ձևափոխությունների։ Օրինակ <math>988^2</math> հաշվումը կատարվում է այսպես՝

<math>988 \times 988 \;=\; (988+12) \times (988-12)+12^2 \;=\; 1000 \times 976 + 144 \;=\; 976\;144։</math>

Հեշտ է հասկանալ, որ հաշվողն այդ դեպքում օգտվում է հետևյալ հանրահաշվական ձևափոխությունից՝

<math>a^2 = a^2-b^2+b^2 = (a+b)(a-b) + b^2</math>։

Բանավոր հաշվումների ժամանակ գործնականում մենք կարող ենք հաջողությամբ օգտվել այդ բանաձևից. օրինակ՝

<math>27^2 = (27+3)(27-3)+3^2=729</math>,

<math>63^2 = 66 \cdot 60+3^2=3969</math>,

<math>18^2 = 20 \cdot 16+22=324</math>,

<math>37^2 = 40 \cdot 34+3^2=1369</math>,

<math>48^2 = 50 \cdot 46+2^2=2304</math>,

<math>54^2 = 58 \cdot 50+4^2=2916</math>։

Այնուհետև, <math>986 \cdot 997</math> բազմապատկումը կատարվում է այսպես՝

<math>986 \cdot 997 - (986-3) \cdot 1000 + 3 \cdot 14 = 983 \; 042</math>։

Ինչի՞ վրա է հիմնված այդ եղանակը։ Արտադրիչները ներկայացնենք հետևյալ տեսքով՝

և այդ երկանդամները բազմապատկենք հանրահաշվի կանոններով՝

<math>1000 \cdot 1000-1000 . 14 - 1000 \cdot 3 + 14 \cdot 3</math>։

Կատարենք ձևափոխությունները՝

<math>1000(1000-14)-1000 \cdot 34+14 \cdot 3 = 1000 \cdot 986 - 1000 \cdot 3+14 \cdot 3 = 1000(986-3)+14 \cdot 3</math>։

Վերջին տողը պատկերում է հենց հաշվողի եղանակը։

Հետաքրքիր է երկու եռանիշ թվերի բազմապատկման եղանակը, որոնց տասնյակների թիվը նույնն է, իսկ միավորների թվանշանների գումարը հավասար է <math>10</math>-ի։ Օրինակ,

<math>783 \cdot 787</math>։

Բազմապատկումը կատարում ենք այսպես՝

<math>78 \cdot 79 = 6162, \; 3 \cdot 7 = 21</math>,

արդյունքը՝

<math>616221</math>։

Եղանակի հիմնավորումը պարզ է հետևյալ ձևափոխություններից՝

<math>(780 + 3)(780+7) = 780 \cdot 780 + 780 \cdot 3 + 780 \cdot 7 + 3 \cdot 7 = 780 \cdot 780 + 780 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 780(780 + 10) + 3 \cdot 7 = 780 \cdot 790 + 21 = 616200 + 21</math>։

Նման բազմապատկումների կատարման համար հետևյալ եղանակն ավելի քան պարզ է՝

<math>783 \cdot 787 = (785-2)(785+2) = 785^2-4 = 616225-4 = 616221</math>։

Այս օրինակում հարկ եղավ <math>785</math> թիվը բարձրացնել քառակուսի։

<math>5</math>-ով վերջացող թվերը արագ աստիճան բարձրացնելու համար շատ հարմար է հետևյալ եղանակը՝

<math>352, \quad 3 \cdot 4 = 12։ \text{ Պատ. } 1225</math>,

<math>652, \quad 6 \cdot 7 = 42։ \text{ Պատ. } 4225</math>,

<math>752, \quad 7 \cdot 8 = 56։ \text{ Պատ. } 5625</math>։

Կանոնը կայանում է նրանում, որ տասնյակների թիվը բազմապատկում են նրանից մեկով մեծ թվով և արտադրյալին կցագրում <math>25</math>։

Եղանակը հիմնավորվում է հետևյալ կերպ։ Եթե տասնավորների թիվը <math>a</math> է, ապա ամբողջ թիվը կարելի է պատկերել այսպես.

<math>10a+5</math>։

Այդ թվի քառակուսին, որպես երկանդամի քառակուսի, հավասար է՝

<math>100a^2 + 100a + 25 \;=\; 100a(a+1)+25</math>։

<math>a(a+1)</math> արտահայտությունը տասնյակների և նրան ամենամոտ մեծ թվի արտադրյալն է։ Թիվը <math>100</math>-ով բազմապատկել և ստացածին <math>25</math> ավելացնել, միևնույնն է, թե նրան <math>25</math> ''կցագրել''։

Նույն եղանակից հետևում է թիվը քատսսկա.սէտ բարձրացնելու պարզ միջոցը, որը կազմված է ամբողջից և <math>\frac{1}{2}</math>-ից։

Օրինակ՝

<math>\left( 3\frac{1}{2}\right)^2 = 3,5^2 = 12,25 = 12\frac{1}{4}</math>,

<math>\left( 7\frac{1}{2} \right)^2 = 7,5^2 = 56,25 = 56\frac{1}{4}</math>,

<math>\left( 8\frac{1}{2} \right)^2 = 8,5^2 = 72,25 = 72\frac{1}{4}</math> և այլն։

===<math>1, \; 5 \text{ ԵՎ } 6</math> ԹՎԱՆՇԱՆՆԵՐԸ===

Հավանաբար բոլորը նկատել են, որ մեկով կամ հինգով վերջացող թվերի բազմապաակումից ստացվող թվերը վերջանում են միևնույն թվանշաններով։ Մինչդեռ, քչերը գիտեն, որ ասվածը վերաբերվում է նաև <math>6</math> թվին։ Վեցով վերջացող թվի յուրաքանչյուր աստիճանը նույնպես վերջանում է վեցով։

Օրինակ՝

<math>46^2=2116, \; 46^3=97336</math>։

<math>1, \; 5 \text{ և } 6</math> թվանշանների այդ հետաքրքիր առանձնահատկությունը կարելի է հիմնավորել հանրահաշվորեն։ Դիտարկենք այն <math>6</math>-ի համար։

Վեցով վերջացող թվերը պատկերվում են այսպես՝

<math>10a+6, \; 10b+6</math> և այլն,

որտեղ <math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն դրական ամբողջ թվեր են։

Երկու այդպիսի թվերի արտադրյալը հավասար է՝

<math>100ab+60b+60a+36=10(10ab+6b+6a)+30+6=10(l0ab+6b+6a+3)+6 </math>։

Ինչպես տեսնում ենք, արտադրյալը կազմված է մի քանի տասնավորներից և <math>6</math> թվանշանից, որն, անշուշտ, պետք է լինի վերջում։

Ապացուցման նույն եղանակը կարելի է կիրառել <math>1</math>-ի և <math>5</math>-ի համար։

<TR>

<TD align=center>վերջանում է</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Ասվածը մեզ իրավունք է տալիս հաստատելու, որ , օրինակ,

===<math>25 \text{ ԵՎ } 76</math> ԹՎԵՐԸ===

Կան երկանիշ թվեր, որոնք ունեն միևնույն հատկությունը, ինչ <math>1, 5 \text { և } 6</math> թվերը։ Այդ թիվը <math>25</math>-ն է, և հավանական է, շատերի համար անսպասելի, <math>76</math> թիվը։ Յուրաքանչյուր երկու թվեր, որոնք վերջանում են <math>76</math>-ով, արտադրյալում տալիս են մի թիվ, որը վերջանում է <math>76</math>-ով։

Ապացուցենք այդ։ Այդպիսի թվերի ընդհանուր արտահայտությունը այսպես է՝

<math>100a + 76, \; 100b+76</math> և այլն։

Բազմապատկելով այդպիսի երկու թվեր՝ կստանանք.

<math>10000ab+7600b+7600a+5776 \;=\; 10000ab+7600b+7600a+5700+76 \;=\; 100(100ab+76b+76a+57)+76</math>։

Դրույթը ապացուցված է, արտադրյալը կվերջանա <math>76</math> թվով։

Այստեղից հետևում է, որ <math>76</math>-ով վերջացող թվի ամեն մի ''աստիճանը'' այնպիսի թիվ է, ինչպիսիք են՝

<math>376^2 = 141376</math>,<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>376^3 = 141376</math>։— ''Մ.''։</ref> <math>576^3 = 191102976</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>576^2 = 191102976</math>։— ''Մ.''։</ref> և այլն։

===ԱՆՎԵՐՋ «ԹՎԵՐ»===

Գոյություն ունեն ավելի մեծ խմբեր այնպիսի թվանշանների, որոնք գտնվելով թվերի վերջում, պահպանվում են նաև դրանց արտադրյալում։ Այդպիսի թվանշանների խմբերի թիվ, ինչպես մենք ցույց կտանք, անվերջ մեծ է։

Մենք գիտենք երկանիշ թվանշանների խմբեր, որոնք ունեն այդ հատկությունը՝ դա <math>25</math>-ն է և <math>76</math>-ը։ Որպեսզի գտնենք եռանիշ խմբեր, պետք է <math>25</math>-ի կամ <math>76</math> թվի առջևից ''կցագրել'' այնպիսի թվանշան, որ ստացված եռանիշ թվանշանների խումբը նույնպես ունենա պահանջված հատկությունը։

Ինչպիսի՞ թվանշան պետք է կցագրել <math>76</math> թվին։ Նշանակենք այն <math>k</math>-ով։ Այդ ժամանակ որոնելի եռանիշ թիվը կպատկերվի այսպես՝

<math>100k+76</math>։

Այդ թվանշանների խմբով վերջացող թվերի համար ընդհանուր արտահայտությունը այսպես է՝

<math>1000a+100k+76, \; 1000b+100k+76</math> և այլն։

Բազմապատկենք այս տեսքի երկու թվեր. կստանանք՝

<math>1000000ab+100000ak+100000bk+76000a+76000b+10000k^2+ 15200k+5776</math>։

Բոլոր գումարելիները, բացի վերջին երկուսից, վերջում ունեն երեք զրոյից ոչ պակաս։ Ուստի՝ արտադրյալը վերջանում է <math>100k+76</math>-ով, եթե

տարբերությունը բաժանվում է <math>1000</math>-ի։ Դա, ակնհայտ է, կլինի միայն այն դեպքում, երբ <math>k=3</math>։

Այսպիսով, որոնելի թվանշանների խումբն ունի <math>376</math> տեսքը։ Ուստի և <math>376</math> թվի ամեն մի աստիճանը վերջանում է <math>376</math>-ով։ Օրինակ՝

<math>376^2=141376</math>։

Եթե մենք այժմ ցանկանանք գտնել թվանշանների քառանիշ խումբ, որն ունենա միևնույն հատկությունը, ապա <math>376</math>-ի առջևից պետք է կցագրենք ես մեկ թվանշան։ Եթե այդ թվանշանը նշանակենք <math>l</math>-ով, ապա կհանգենք հետևյալ խնդրին՝ <math>l</math>-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում

արտադրյալը վերջանում է <math>1000l+376</math>-ով։ Եթե այս արտադրյալի մեջ բացենք փակագծերը և դեն գցենք այն բոլոր գումարելիները, որոնք վերջանում են <math>4</math> և ավելի զրոներով, ապա կմնան հետևյալ անդամները՝

<math>752000l + 141376</math>։

Արտադրյալը վերջանում է <math>1000l+376</math>-ով, եթե

տարբերությունը բաժանվում է <math>10000</math>-ի վրա։ Դա, ակնհայտ է, կլինի միայն այն դեպքում, երբ <math>l=9</math>։

Որոնելի թվանշանների քառանիշ խումբն է <math>9376</math>։

Ստացված թվանշանների քառանիշ խմբին կարելի է ավելացնել ես մեկ թվանշան, որի համար պետք է դատել ճիշտ այնպես, ինչպես և վերևում։ Մենք կստանանք <math>09376</math>։ Կատարելով ես մի քայլ, գտնում ենք <math>109376</math> թվանշանների խումբը, այնուհետև <math>7109376</math> և այլն։

Ձախից թվանշանների այդպիսի գրառումը կարելի է կատարել անսահմանափակորեն։ Արդյունքում մենք կստանանք մի «թիվ», որը կունենա ''անսահման շատ'' թվանշաններ՝

<math>....7109376</math>,

Նման «թվերը» կարելի է գումարել և բազմապատկել սովորական կանոնով, չէ՞ որ դրանք գրվում են աջից ձախ, իսկ գումարումը և բազմապատկումը («սյունակով») նույնպես կատարվում է աջից ձախ, այնպես որ այդպիսի երկու թվերի գումարում, արտադրյալում մեկը մյուսի հետևից կարելի է հաշվել թվանշաններ, որքան պետք է։

Հետաքրքիր է, որ վերը գրված անսահման «թիվը» բավարարում է

հավասարմանը, որքան էլ դա անհավանական չի թվում։

Իրոք, այդ «թվի» քառակուսին (այսինքն՝ բազմապատկումն ինքն իրենով) վերջանում է <math>76</math>-ով, քանի որ արտադրիչներից յուրաքանչյուրը վերջում ունի <math>76</math>. նույն պատճառով, գրված «թվի» քառակուսին վերջանում է <math>376</math>-ով, վերջանում է <math>9376</math>-ով և այլն։ Այլ կերպ ասած, <math>x2</math> «թվի» թվանշանները, հաշվելով մեկը մյուսից հետո, որտեղ <math>x \;=\; ...7109376</math>, մենք կստանանք այն թվանշանները, որոնք կան <math>x</math> թվի մեջ, այնպես որ <math>x^2 \;=\; x</math>։

Մենք դիտարկեցինք թվանշանների խմբեր, որոնք վերջանում են <math>76</math>-ով<ref>Նկատենք, որ <math>76</math> թվանշանների երկանիշ խումբը կարող է գտնվել վերևում արված դատողություններին համանման դատողությունների միջոցով. բավական է հարցը լուծենք այն մասին, թև ինչպիսի թվանշան պետք է կցագրել <math>6</math> թվանշանի առջևից, որպեսզի ստացված թվանշանների երկանիշ խմբերն ունենան դիտարկվող հատկությունը։ Ուստի՝ <math>....7109376</math> «թիվը» կարելի է ստանալ՝ վեցի առջևից իրար հաջորդող թվանշաններ կցագրելու միջոցով։</ref>։ Եթե համանման դատողություններ անենք <math>5</math>-ով վերջացող թվանշանների խմբերի համար։ ապա մենք կստանանք թվանշանների այսպիսի խմբեր՝

<math>5, \; 25, \; 625, 0\;625, \; 90\;625, \; 890\;625, 2\;890\;625</math> և այլն։

Արդյունքում մենք կարող ենք գրել դարձյալ մի անսահման «թիվ».

<math>...2\;890\;625</math>,

որը նույնպես բավարարում է <math>x^2 \;=\; x</math> հավասարմանը։ Կարելի էր ցույց տալ, որ այդ անսահման «թիվը» «հավասար է»

<math>\left(\left(\left(5^2\right)^2\right)^2\right)^{2\cdots}</math>

Ստացված հետաքրքիր արդյունքն անսահման «թվերի» լեզվով ձևակերպվում է այսպես՝ <math>x^2 = x</math> հավասարումը, բացի սովորական <math>x=0 \text{ և } x=1</math> լուծումներից, ունի երկու «անսահման» լուծումներ՝

<math>x = ....7 109 376 \text{ և } x= ...2 890 625</math>,

Իսկ այլ լուծումներ (թվարկության տասնորդական սիստեմում) գոյություն չունեն<ref>Անվերջ «թվեր» կարելի է դիտարկել ոչ միայն տասնորդական, այլև թվարկության ուրիշ սիստեմներում։ Այդպիսի թվերը, որոնք դիտարկվում են <math>p</math> հիմքով թվարկության սիստեմում, կոչվում են <math>p</math>-ական թվեր։ Այդ թվերի մասին որոշ բան կարելի է կարդալ Ե. Բ. Դինկինի ևՎ. Ա. Ուսպենսկու, „Математические беседы” գրքում (Гостехиздат, 1952)։</ref>։

===ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ՎՃԱՐ===

'''''Հինավուրց ժողովրդական խնդիր'''''

Հին ժամանակներում մի անգամ տեղի է ունեցել այսպիսի դեպք։ Երկու անասնավաճառներ վաճառեցին իրենց պատկանող եզների նախիրը, ընդ որում յուրաքանչյուր եզան համար ստացան այնքան ռուբլի, որքան եզներ կալին նախիրում։ Ստացած դրամով գնեցին ոչխարների հոտ, յուրաքանչյուր ոչխարը <math>10</math> ռուբլով և մեկ գառ։ Հավասարապես բաժանելու դեպքում մեկին մնաց մի ավելորդ ոչխար, իսկ մյուսը վերցրեց գառը և ընկերակցից ստացավ համապաmասխան լրացուցիչ վճար։ Ի՞նչքան էր եղել լրացուցիչ վճարը (ենթադրվում է, որ լրացուցիչ վճարը արտահայտվում է ամբողջ ռուբլիներով)։

'''''Լուծում'''''

Խնդիրը ուղղակիորեն, ենթակա չէ «հանրահաշվական լեզվի» թարգմանելուն, նրա համար հավասարումներ չի կարելի կազմել։ Հարկ է լինում այն լուծել հատուկ եղանակով, այսպես ասած մաթեմատիկական ազատ դատողություններով։ Բայց այստեղ ևս հանրահաշիվը թվաբանությանը ցույց է տալիս էական օգնություն։

Հոտի ամբողջ արժեքը ռուբլիներով ճիշտ քառակուսի է, քանի որ հոտը գնված է <math>n</math> եզների վաճառքի դրամով, որոնցից յուրաքանչյուրը վաճառվել է <math>n</math>-ական ռուբլի։ Ընկերակիցներից մեկին մնացել է ավելորդ ոչխար, հետևաբար՝ ոչխարների թիվը կենտ է. նշանակում է՝ <math>n^2</math> թվի մեջ տասնավորների թիվը ևս կենտ է։ Ինչպիսի՞ն է միավորների թվանշանը։

Կարելի է ապացուցել, որ եթե ճիշտ քառակուսու մեջ տասնավորների թիվը կենտ է, ապա նրա միավորների թվանշանը կարող է լինել միայն <math>6</math>-ը։

Իրոք, <math>a</math> տասնավորների և <math>b</math> միավորների յուրաքանչյուր թվի քառակուսին, այսինքն՝ <math>(10a+b)^2</math>-ն հավասար է

<math>100a^2+20ab+b^2 \;=\; (10a^2+2ab) \cdot 10+b^2</math>։

Այս թվի մեջ տասնյակների քանակն է <math>10a^2+2ab</math>, և էլի որոշ թվով տասնյակներ էլ պարունակում է <math>b^2</math>-ին։ <math>10a^2+2ab</math> բաժանվում է <math>2</math>-ի վրա, այս թիվը զույգ է։ Ուստի՝ տասնյակների թիվը, որ պարունակվում է <math>(10a+b)^2</math> մեջ, կլինի կենտ, եթե միայն թվի մեջ լինի կենտ թվով տասնյակներ։ Վերհիշենք, թե <math>b^2</math>-ն ինչ է։ Այն միավորների թվանշանի քառակուսին է, այսինքն՝ հետևյալ <math>10</math> թվերից մեկը

<math>0, \; 1, \; 4, \; 9, \; 16, \; 25, \; 36, \; 49, \; 64, \; 81</math>։

Դրանց միջև կենտ թվով տասնյակներ ունեն միայն <math>16</math>-ը և <math>36</math>-ը։ Երկուսն էլ վերջանում են <math>6</math>-ով։ Նշանակում է ճիշտ քառակուսին՝

<math>100a^2 + 20ab+b^2</math>,

կարող է ունենալ կենտ թվով տասնյակներ միայն այն դեպքում, եթե վերջանում է <math>6</math>-ով։

Այժմ հեշտ է գտնել խնդրի հարցի պատասխանը։ Պարզ է, որ գառը վաճառվել է <math>6</math> ռուբլով։ Հետևաբար ընկերակիցը, որին մնացել է գառը, ստացավ մյուսից <math>4</math> ռուբլով ավելի պակաս։ Մասերը հավասարեցնելու համար գառան տերն ընկերակցից պեատ է ետ ստանար իր <math>2</math> ռուբլին։

Լրացուցիչ վճարը հավասար է <math>2</math> ռուբլու։

===<math>11</math>-Ի ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ===

Հանրահաշիվը խիստ հեշտացնում է այն հատկանիշների որոնումը, որոնցով կարելի է նախօրոք, չկատարելով բաժանում, որոշել, թե տվյալ թիվը բաժանվո՞ւմ է արդյոք այս կամ այն բաժանարարի վրա։ <math>2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6, \; 8, \; 9, \; 10</math>-ի բաժանելիության հատկանիշները հանրածանոթ են։ Արտածենք <math>11</math>-ի բաժանելիության հատկանիշը. այն բավականին պարզ է և գործնական։

Դիցուք, <math>N</math> բազմանիշ թիվն ունի միավորների <math>a</math> թվանշանը, տասնավորների <math>b</math> թվանշանը, հարյուրավորների <math>c</math> թվանշանը, հազարավորների <math>d</math> թվանշանը և այլն, այսինքն՝

<math>N \;=\; a+10b+100c+1000d+ ... \;=\; a+10(b+10c+100d+ ...)</math>.

որտեղ բազմակետը նշանակում է հետագա կարգերի գումարը։ <math>N</math>-ից հանենք <math>11(b+10c+100d+...)</math> թիվը, տասնմեկի բազմապատիկը։ Այդ ժամանակ ստացված տարբերությունը, ինչպես հեշտ է նկատել, հավասար է՝

<math>a-b-10(c+10d+ ...)</math>,

որը կունենա <math>11</math>-ի վրա բաժանումից ստացված այն նույն մնացորդը, ինչ որ <math>N</math> թիվը։ Այդ տարբերությանը ավելացնենք <math>11(c+10d+...)</math> թիվը՝ տասնմեկի բազմապատիկը, մենք կստանանք՝

թիվը, որը նույնպես կունենա <math>11</math>-ի վրա բաժանումից ստացված այն նույն մնացորդը, ինչ որ <math>N</math> թիվը։ Նրանից հանենք <math>11(d+...)</math> թիվը, տասնմեկի բազմապատիկը և այլն։

Արդյունքում մենք կստանանք՝

թիվը, որն ունի է <math>11</math>-ի վրա բաժանումից ստացված այն նույն մնացորդը, ինչ որ սկզբնական <math>N</math> թիվը։

Այստեղից բխում է <math>11</math>-ի բաժանելիության հետևյալ հատկանիշը՝ պետք է կենտ տեղերում գրված բոլոր թվանշանների գումարից հանել այն բոլոր թվանշանների գումարը, որոնք զբաղեցնում են զույգ տեղերը։ Եթե տարբերությունում ստացվում է <math>0 կամ 11</math>-ի բազմապատիկ թիվ (դրական կամ բացասական), ապա և փորձարկվող թիվը <math>11</math>-ի բազմապատիկն է, հակառակ դեպքում մեր թիվը առանց մնացորդի չի բաժանվի <math>11</math>-ի վրա։

Փորձենք, օրինակ, <math>87\;635\;064</math> թիվը՝

<math>8+6+5+6=25</math>,

<math>7+3+0+4=14</math>,

<math>25-14=11</math>։

Նշանակում է, տրված թիվը բաժանվում է <math>11</math>-ի վրա։ Գոյություն ունի <math>11</math>-ի բաժանելիության և այլ հատկանիշ, որը հարմար է կարճ թվերի համար։ Այն կայանում է նրանում, որ փորձարկվող թիվը աջից ձախ բաժանում են խմբերի՝ յուրաքանչյուրում երկուական թվանշան և այդ խմբերը գումարում են։ Եթե ստացված գումարը առանց բաժանվի <math>11</math>-ի վրա, ապա և փորձարկվող թիվը <math>11</math>-ի բազմապատիկն է, հակառակ դեպքում՝ ոչ։ Դիցուք պահանջվում է փորձարկել <math>528</math> թիվը։ Թիվը բաժանենք խմբերի <math>(5/28)</math> և գումարենք երկու խմբերը՝

<math>5+28=33</math>։

Քանի որ <math>33</math>-ը բաժանվում է <math>11</math>-ի վրա առանց մնացորդի, ապա <math>528</math> թիվը <math>11</math>-ի բազմապատիկն է՝

<math>528 : 11 = 48</math>։

Ապացուցենք բաժանելիության այդ հատկանիշը։ <math>N</math> բազմանիշ թիվը վերլուծենք խմբերի։ Այդ դեպքում մենք կստանանք երկանիշ (կամ միանիշ<ref>Եթե <math>N</math> թիվը ունենար կենտ թվով թվանշաններ, ապա վերջին (ամենաձախ) խումբը կլիներ միանիշ, բացի այդ, <math>03</math> տեսքի խումբը նույնպես պետք է դիտարկել որպես միանիշ թիվ՝ <math>3</math>։</ref>) թվեր, որոնք նշանակենք (աջից ձախ) <math>a , \; b, \; c</math> և այլն, այնպես որ <math>N</math> թիվը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

<math>N \;=\; a+100b+10000c+ ... = a+100(b+100c+ ...)</math>։

<math>N</math> թվից հանենք <math>99(b+100c+ ...)</math> թիվը՝ տասնմեկի բազմապատիկը։ Ստացված թիվը՝

<math>11</math>-ի վրա բաժանումից կունենա այն նույն մնացորդը, ինչ որ <math>N</math> թիվը։ Այդ թվից հանենք <math>99(c+ ...)</math> թիվը՝ տասնմեկի բազմապատիկը և այլն։ Արդյունքում մենք կգտնենք, որ <math>N</math> թիվը <math>11</math>-ի վրա բաժանումից կունենա այն մնացորդը, ինչ որ

թիվը։

===ԱՎՏՈՄԵՔԵՆԱՅԻ ՀԱՄԱՐԸ===

'''''Խնդիր'''''

Քաղաքում շրջագայելիս երեք ուսանող-մաթեմատիկոսներ նկատեցին, որ ավտոմեքենայի վարորդը կոպիտ կերպով խախտեց փողոցի երթևեկության կանոնները։ Մեքենայի համարը (քառանիշ) ուսանողներից և ոչ մեկը չէր հիշում, բայց քանի որ նրանք մաթեմատիկոսներ էին, նրանցից յուրաքանչյուրը նկատել էր այդ քառանիշ թվի մի որևէ առանձնահատկություն։ Ուսանողներից մեկը վերհիշել է, որ թվի առաջին երկու թվանշանները միատեսակ էին։ Երկրորդը վերհիշել էլ որ վերջին երկու թվանշանները նույնպես համընկել են միմյանց։ Վերջապես, երրորդը հաստատել է, որ այդ ամբողջ քառանիշ թիվը ճիշտ քառակուսի է։ Հնարավո՞ր է արդյոք այդ տվյալներով իմանալ մեքենայի համարը։

'''''Լուծում'''''

Որոնելի թվի առաջին (և երկրորդ) թվանշանը նշանակենք <math>a</math>-ով, իսկ երրորդը (և չորրորդը) <math>b</math>-ով։ Այդ դեպքում ամբողջ թիվը հավասար կլինի՝

<math>1000a+100a+10b+b \;=\; 1100a+11 \;=\; 11(100a+b)</math>։

Այդ թիվը բաժանվում է <math>11</math>-ի վրա, և այդ պատճառով (լինելով ճիշտ քառակուսի) նա բաժանվում է նաև <math>11^2</math>-ու վրա։ Այլ կերպ ասած, <math>100a+b</math> թիվը բաժանվում է <math>11</math>-ի վրա։ Կիրառելով <math>11</math>-ի բաժանելիության վերը բերված երկու հատկանիշներից ցանկացածը, գտնում ենք, որ <math>a+b</math> թիվը բաժանվում է <math>11</math>-ի վրա։ Բայց այդ նշանակում է, որ

<math>a+b \;=\; 11</math>,

քանի որ <math>a, \; b</math> թվանշաններից յուրաքանչյուրը փոքր է տասից։

<math>b</math> թվի վերջին թվանշանը, որը ճիշտ քառակուսի է, կարող է ընդունել միայն հետևյալ արժեքները՝

<math>0, \; 1, \; 4, \; 5, \; 6, \; 9</math>։

Ուստի, <math>a</math> թվանշանի համար, որը հավասար է <math>11-b</math>, կգտնենք այսպիսի հնարավոր արժեքներ՝

<math>11, \; 10, \; 7, \; 6, \; 5, \; 2</math>։

Առաջին երկու արժեքները պիտանի չեն, մնում են հետևյալ հնարավորությունները՝

<math>b=4, \; a=7</math>,

<math>b=5, \; a=6</math>,

<math>b=6, \; a=5</math>,

<math>b=9, \; a=2</math>։

Մենք տեսնում ենք, որ ավտոմեքենայի համարը պետք է փնտրել հետևյալ չորս թվերի մեջ՝

<math>7744, \; 6655, \; 5566, \; 2299</math>։

Բայց այդ թվերից վերջին երեքը չեն հանդիսանում ճիշտ քառակուսիներ՝ <math>6655</math> թիվը բաժանվում է <math>5</math>-ի վրա, բայց չի բաժանվում <math>25</math>-ի. <math>5566</math> թիվը բաժանվում է <math>2</math>-ի, բայց չի բաժանվում <math>4</math>-ի. <math>2299</math> = 121 \cdot 19</math> թիվը նույնպես չի հանդիսանում քառակուսի։ Մնում է միայն մեկ թիվ՝ <math>7744 = 88^2</math>, որը և տալիս է խնդրի լուծումը։

===<math>19</math>-Ի ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ===

Հիմնավորենք <math>19</math>-ի բաժանելիության հետևյալ հատկանիշը։ Թիվը <math>19</math>-ի վրա առանց մնացորդի բաժանվում է միայն այն ժամանակ, երբ նրա տասնավորների թիվը՝ գումարելով միավորների կրկնապատիկ թվի հետ տալիս է <math>19</math>-ի բազմապատիկը։

'''''Լուծում'''''

Ամեն մի <math>N</math> թիվ կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

<math>N \;=\; 10x+y</math>,

որտեղ <math>x</math>-ը տասնավորների թիվն է (ոչ թե տասնավորների կարգի թվանշանը, այլ ամբողջ թվում ամբողջական տասնավորների ընդհանուր թիվը), <math>y</math>-ը միավորների թվանշանն է։ Մեզ հարկավոր է ցույց տալ, որ <math>N</math>-ը բազմապատիկ է <math>19</math>-ին միայն այն ժամանակ, երբ

բազմապատիկ է <math>19</math>-ին։ Դրա Տամար <math>N'</math>-ը բազմապատկենք <math>10</math>-ով և այդ արտադրյալից հանենք <math>N</math>-ը. կստանանք՝

<math>10N'-N \;=\; 10(x+2y)6(10x+y) \;=\; 19y</math>։

Այստեղից երևում է, որ եթե <math>N</math>-ը <math>19</math>-ի բազմապատիկ է, ապա

ևս <math>19</math>-ի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի. և հակառակն, եթե <math>N</math>-ը <math>19</math>-ի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա

<math>19</math>-ի բազմապատիկ է, իսկ այդ դեպքում, ակնհայտ է, <math>N'</math>-ը ևս <math>19</math>-ի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի։

Դիցուք պահանջվում է որոշել, թե <math>47\;045\;881</math> թիվը բաժանվո՞ւմ է արդյոք <math>19</math>-ի վրա։

Հաջորդաբար կիրառենք բաժանելիության մեր հատկանիշը.

<math>

\arraycolsep=0.01em

\begin{array}{rrrrrrrr}

4&7&0&4&5&8&8&/1 \\

&&&&&&+2 \\

\cline{1-7}

4&7&0&4&5&/9&0 \\

&&&+1&8 \\

\cline{1-5}

4&7&0&6&/3 \\

&&&+6 \\

\cline{1-4}

4&7&1&/2 \\

&&+4 \\

\cline{1-3}

4&7&/5 \\

+1&0 \\

\cline{1-2}

5&/7 \\

+14 \\

\cline{1-1}

\end{array}

</math>

Քանի որ <math>19</math>-ը բաժանվում է <math>19</math>-ի վրա առանց մնացորդի, ապա <math>19</math>-ի բազմապատիկներն են նաև <math>57, \; 475, \; 4 \; 712, \; 47 \; 063, \; 470 \; 459, 4 \; 704 \; 590, 47 \; 045 \; 881</math> թվերը։

Այսպիսով, մեր թիվը բաժանվում է <math>19</math>-ի վրա։

===ՍՈՖՅԱ ԺԵՐՄԵՆԻ ԹԵՈՐԵՄԱՆ===

Ահա մի խնդիր, որն առաջարկել է ֆրանսիական հայտնի մաթեմատիկոս Սոֆյա Ժերմենը՝

Ապացուցել, որ <math>a^4+4</math> տիպի յուրաքանչյուր թիվ բարդ թիվ է (եթե <math>a</math>-ն հավասար չէ <math>1</math>-ի)։

'''''Լուծում'''''

Ապացույցը բխում է հետևյալ ձևափոխությունից՝

<math>a^4+4 \;=\; a^4+4a^2+4-4a^2 \;=\; (a^2+2)^2-4a^2 \;=\; (a^2+2)^2-(2a)^2 \;=\; (a^2+2-2a)(a^2+2+2a)</math>։

Ինչպես մենք համոզվում ենք, <math>a^4+4</math> թիվը կարող է պատկերվել երկու արտադրիչների արտադրյալի տեսքով, որոնցից մեկը հավասար չէ այդ թվին, իսկ մյուսը՝ մեկի<ref>Վերջինս այն պատճառով, որ<br><math>a^2+2-2a \;=\; (a^2-2a+1)+1 \;=\; (a-1)^2 + 1 \neq 1</math>։</ref>, այլ խոսքով, այդ թիվը բարդ է։

===ԲԱՐԴ ԹՎԵՐ===

Պարզ թվերի քանակը անվերջ մեծ է։ (Պարզ թվերը մեկից մեծ այն ամբողջ թվերն են որոնք առանց մնացորդի ոչ մի ամբողջ թվի վրա չեն բաժանվում, բացի մեկից և իրենցից)։

Սկսվելով <math>2, \; 3, \; 5, \; 7, \; 13, \; 17, \; 19, \; 23, \; 29, \; 31, \:...</math> թվերով, պարզ թվերի շարքը ձգվում է անվերջ։ Գտնվելով բարդ թվերի միջև, դրանք բնական թվերի շարքը տրոհում են բարդ թվերի քիչ թե շատ երկար մասերի։ Ինչպիսի՞ երկարություն են ունենում այդ մասերը։ Որևէ տեղ հաշորդո՞ւմ են արդյոք միմյանց, օրինակ, հազար բարդ թվեր, չընդհատվելով ոչ մի պարզ թվով։

Կարելի է ապացուցել (չնայած այդ կարող է թվալ անհավատալի), որ պարզ թվերի միջև եղած բարդ թվերի մասերը լինում են ''ցանկացած երկարությամբ''։ Այդպիսի մասերի երկարության համար չկա սահման. դրանք կարող են բաղկացած լինել հազարավոր, միլիոնավոր, միլիարդավոր և այլն թվերից։

Հարմարության համար կօգտվենք <math>n!</math> պայմանական սիմվոլից, որը նշանակում է <math>1</math>-ից մինչև <math>n</math> ներառյալ բոլոր թվերի արտադրյալը։ Օրինակ <math>5! \;=\; 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5</math>։ Մենք այժմ կապացուցենք, որ

շարքը կազմված է <math>n</math> հաջորդական բարդ թվերից։

Բնական շարքում այդ թվերը անմիջականորեն ընթանում են մեկը մյուսի ետևից, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդը <math>1</math>-ով մեծ է նախորդից։ Մնում է ապացուցել, որ այդ բոլոր թվերը բարդ են։

Առաջին թիվը՝

զույգ է, քանի որ նրա երկու գումարելիներն էլ պարունակում են <math>2</math> արտադրիչը։ Իսկ <math>2</math>-ից մեծ ամեն մի զույգ թիվ բարդ թիվ է։

Երկրորդ թիվը

կազմված է երկու գումարելիներից, որոնցից յուրաքանչյուրը <math>3</math>-ի բազմապատիկն է։ Նշանակում է այգ թիվը ևս բարդ է։

Երրորդ թիվը

առանց մնացորդի բաժանվում է <math>4</math>-ի, քանի որ կազմված է այնպիսի գումարելիներից, որոնք <math>4</math>-ի բազմապատիկն են։

Նույն ձևով կհաստատենք, որ հետևյալ թիվը՝

<math>(ո+1)!+5</math>-ը,

<math>5</math>-ի բազմապատիկն է և այլն։ Այլ կերպ ասած, մեր շարքի յուրաքանչյուր թիվը պարունակում է մի արտադրիչ, որը տարբերվում է մեկից և ինքն իրենից, հետևաբար այն հանդիսանում է բարդ թիվ։

Եթե դուք ցանկանում եք գրել, օրինակ, հինգ հաջորդական բարդ թվեր, ձեզ բավական է վերը բերված շարքում

<math>n</math>-ի փոխարեն տեղադրել <math>5</math> թիվը։ Դուք կստանաք հետևյալ շարքը՝

<math>722, \; 723, \; 724, \; 725, \; 726</math>։

Բայց դա հինգ հաջորդական բարդ թվերից միակ շարքը չէ։ Կան և ուրիշները, օրինակ՝

<math>62, \; 63, \; 64, 6\; 5</math>։

Կամ դարձյալ ավելի փոքր թվեր՝

<math>24, \; 25, \; 26, \; 27, \; 28</math>։

Այժմ փորձենք լուծել հետևյալ խնդիրը.

Գրել ''տասը'' հաջորդական բարդ թվեր։

'''''Լուծում'''''

Քիչ առաջ ասվածի հիման վրա որոնելի տասը թվերից որպես առաջին թիվ կարելի է վերցնել

<math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 . . . 10 \cdot 11+2 \;=\; 39 \; 816 \; 802</math>։

Թվերի որոնելի սերիան, հետևաբար, կլինի այսպես՝

<math>39 \; 816 \; 802, \; 39 \; 816 \; 803, \; 39 \; 816 \; 804</math> և այլն։

Սակայն գոյություն ունեն անհամեմատ ավելի փոքր տասը հաջորդական բարդ թվերի սերիաներ։ Այսպես, կարելի է ցույց տալ ոչ միայն տասը, այլ նաև տասներեք հաջորդական բարդ թվերի սերիաներ արդեն երկրորդ հարյուրյակում՝

<math>114, \; 115, \; 116, \; 117</math> և այլն մինչև <math>126</math>-ը ներառյալ։

===ՊԱՐԶ ԹՎԵՐԻ ՔԱՆԱԿԸ===

Միմյանց հաջորդող բարդ թվերի՝ ցանկացածին չափ երկար սերիաների գոյությունը կարող է կասկածանքի տեղիք տալ, թե արդյո՞ք պարզ թվերի շարքը վերջ չունի։ Դրա համար, ավելորդ չի լինի այստեղ բերել պարզ թվերի շարքի անսահմանության ապացույցը։

Այդ «սպացույցր պատկանում է հին հունական մաթեմատիկոս Էվկլիդին և շարադրված է նրա հռչակավոր «Սկզբունքներ» գրքի մեջ։ Այն վերաբերում է «հակասող ընդունելությամբ» ապացույցների կարգին։ Ենթադրենք, որ պարզ թվերի շարքը վերջավոր է և այդ շարքի վերջին պարզ թիվը նշանակենք <math>N</math> տառով։ Կազմենք հետևյալ արտադրյալը

և նրան ավելացնենք <math>1</math>։ Կստանանք՝

<math>n!+1</math>։

Այս թիվը լինելով ամբողջ՝ կպարունակի գոնե մեկ պարզ արտադրիչ, այսինքն՝ կբաժանվի գոնե մեկ պարզ թվի վրա։ Բայց բոլոր պարզ թվերը, ըստ ենթադրության, չեն գերազանցում <math>N</math>-ը, իսկ <math>N!+1</math> թիվը առանց մնացորդի չի բաժանվում <math>N</math>-ից փոքր կամ նրան հավասար թվերից և ոչ մեկի վրա՝ ամեն անգամ ստացվում է <math>1</math> մնացորդ։

Այսպիսով, չի կարելի ընդունել, որ պարզ թվերի շարքը վերջավոր է. այդ ենթադրությունը բերում է հակասության։ Նշանակում է՝ բնական թվերի շարքում հաջորդական բարդ թվերիին ինչպիսի երկար սերիալի էլ հանդիպենք, մենք համոզված կլինենք, որ նրանից հետո էլի կգտնվեն անվերջ բազմությամբ պարզ թվեր։

===ՀԱՅՏՆԻ ԱՄԵՆԱՄԵԾ ՊԱՐԶ ԹԻՎԸ===

Այլ բան է համոզված լինել, որ ''գոյություն ունեն'' որքան հնարավոր է մեծ պարզ թվեր, իսկ այլ բան է ''գիտենալ'', թե որ թվերն են հանդիսանում պարզ թվեր։ Որքան մեծ է բնական թիվը, այնքան մեծ հաշվումներ պետք է կատարել, իմանալու համար՝ նա հանդիսանո՞ւմ է պարզ թիվ, թե ոչ։ Ահա մի մեծագույն թիվ, որի մասին ներկայումս հայտնի է, որ ալն պարզ է՝

<math>2^{2281}-1</math>։

Այս թիվն ունի մոտ յոթ հարյուր տասնորդական նիշ։ Հաշվումները, որոնց օգնությամբ սահմանվել է, որ այդ թիվը հանդիսանում է պարզ թիվ, կատարվել են ժամանակակից հաշվիչ մեքենաներով (տե՛ս գլ. I, II)։

===ՊԱՏԱՍԽԱՆԱՏՈՒ ՀԱՇՎԱՐԿ===

Հաշվողական պրակտիկայում հանդիպում են այնպիսի զուտ թվաբանական հաշվումներ, որոնց կատարումը առանց հանրահաշվի հեշտացնող մեթոդների օգնության՝ արտակարգ դժվար է։ Դիցուք, պահանջվում է գտնել այսպիսի գործողությունների արդյունքը՝

(Այս հաշվարկն անհրաժեշտ է նրա համար, որպեսզի հաստատվի, թե իրավացի՞ է այն տեխնիկան, որը գործ ունի էլեկարամագնիսական ալիքների տարածման արագության համեմատ փոքր արագությամբ շարժվող մարմինների հետ, որպեսզի կարելի լինի օգտվել արագությունների գումարման նախկին օրենքից՝ հաշվի չառնելով այն փոփոխությունները, որոնք ներմուծված են մեխանիկայի մեջ հարաբերականության<ref>Գրքում վրիպակ է՝ հավանականության։— ''Մ.''։</ref> տեսության կողմից։ Համաձայն հին մեխանիկայի, այն մարմինը, որը մասնակցում է վայրկյանում <math>v_1 և v_2</math> կիլոմետր արագություններով միատեսակ ուղղված երկու շարժումների, վայրկյանում ունի <math>(v_1+v_2)</math> կիլոմետր արագություն։ Մինչդեռ նոր գիտությունը մարմնի արագության համար տալիս է հետևյալ արտահայտությունը.

<math>\frac{v_1+v_2}{1 + \frac{v_1v_2}{c^2}}</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{v_1+v_2}{1 + \frac{v_1v_2}{c_2}}</math>։— ''Մ.''։</ref> կիլոմետր վայրկյանում,

որտեղ <math>c</math>-ն լույսի տարածման արագությունն է դատարկության մեջ, որը վայրկյանում մոտավորապես հավասար է <math>300 000</math> կիլոմետրի։ Մասնավորապես, մարմնի արագությունը, որը մասնակցում է միատեսակ ուղղված երկու շարժումների, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի <math>1 կմ/վրկ</math> արագություն, ըստ հին մեխանիկայի հավասար է <math>2 կմ/վրկ</math>, իսկ ըստ նորի՝

Իսկ այդ արդյունքները որքանո՞վ են տարբերվում միմյանցից։ Որսո՞ւմ է արդյոք ամենանուրբ չափողական գործիքն այս տարբերությունը։ Այդ կարևոր հարցը պարզաբանելու համար էլ հենց հարկ է լինում կատարել վերոհիշյալ հաշվարկը)։

Այդ հաշվարկը կատար ենք երկու կերպ. նախ թվաբանական սովորական ճանապարհով, և ապա հանրահաշվի կիրառմամբ։ Սակայն բավական է մի հայացք գցենք ստորև բերված թվանշանների շարքի վրա և կհամոզվենք հանրահաշվական եղանակի առավելության անվիճելիության մեջ։

Նախ և առաջ ձևափոխենք մեր «բազմահարկ» կոտորակը

<math>\frac{2}{1+\frac{1}{90 \; 000 \; 000 \; 000}} \;=\; \frac{180 \; 000 \; 000 \; 000}{90 \; 000 \; 000 \; 001}</math>։

Այժմ կատարենք համարիչի բաժանումը հայտարարի վրա։

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

<TD colspan=11><ref>Գրքում վրիպակ է՝ 810000000008— ''Մ.''։</ref></TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

<TD colspan=9><ref>Գրքում վրիպակ է՝ 899999998001— ''Մ.''։</ref></TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Հաշվարկը, ինչպես տեսնում ենք, հոգնեցուցիչ է, մանրակրկիտ, նրանում հեշտ է շփոթվել և սխալվել։ Մինչդեռ, խնդիրը լուծելու համար կարևոր է ճշտությամբ իմանալ որտեղ է հատկապես ընդհատվում ինների շարքը և սկսվում մյուս թվանշանների սերիան։

Այժմ համեմատեցեք, թե հանրահաշիվը որքան կարճ է կատարում այդ հաշվարկը։ Այն օգտվում է հետևյալ մոտավոր հավասարությունից՝ եթե <math>a</math>-ն շատ փոքր կոտորակ է, ապա

<math>\frac{1}{1+a} \approx 1-a</math>,

որտեղ <math>\approx</math> նշանը նշանակում է «մոտավորապես հավասար է»։ Այս պնդման իրավացիության մեջ համոզվելը շատ հեշտ է՝ <math>1</math> բաժանելին բաղդատենք այն արտադրյալի հետ, որն ստացվում է բաժանարարը քանորդով բազմապատկելուց՝

<math>1 \;=\; (1+a)(1-a)</math>,

այսինքն՝

<math>1 \;=\; 1-a^2</math>,

Քանի որ <math>a</math>-ն շատ փոքր կոտորակ է (օրինակ, <math>0,001</math>), ապա <math>a^2</math>-ն ավելի քան փոքր կոտորակ է (<math>0,000001</math>) և այն կարելի է անտեսել։

Ասվածը կիրառենք մեր հաշվարկի համար<ref>Այնուհետև մենք կօգտվենք հետևյալ մոտավոր հավասարությունից<br><math>\frac{A}{1+a} \approx A(1-a)</math>։</ref>

<math>\frac{2}{1 + \frac{1}{90 000 000 000}} \;=\; \frac{2}{1 + \frac{1}{9 \cdot 10^{10}}} \approx 2(1-0,111... \times 10^{-10}) \;=\; 2-0,000 \; 000 \; 000 \; 0222... \;=\; 1,999 \; 999 \; 999 \; 9777...</math>

Մենք ստացանք միևնույն արդյունքը, ինչ որ առաջ, բայց անհամեմատ ավելի կարճ ճանապարհով։

(Հավանաբար ընթերցողին հետաքրքիր է իմանալ, թե մեխանիկայի բնագավառից բերված մեր խնդրում ստացված արդյունքն ի՛նչ արժեք ունի) Այդ արդյունքը ցույց է տալիս,որ լույսի արագության համեմատությամբ դիտարկվող արագությունները փոքր լինելու պատճառով արագությունների գումարման հին օրենքից շեղվելը պրակտիկորեն չի հայտնաբերվում՝ այն հայտնվում է որոշված թվի տասնմեկերորդ թվանշանի վրա, իսկ երկարության ամենաճշգրիտ չափումների ժամանակ էլ չեն վերցնում ինը թվանշանից ավելի. նույնիսկ սովորական տեխնիկայի մեջ սահմանափակվում են անգամ 3-4 թվանշաններով։ Դրա համար մենք, առանց որևէ վերապահության, իրավունք ունենք հաստատելու, որ էյնշտեյնյան նոր մեխանիկան գործնականորեն ոչինչ չի փոխում տեխնիկական հաշվումների մեջ, որը վերաբերում է (լույսի տարածման համեմատությամբ) «դանդաղ» շարժվող մարմիններին)։

===ԵՐԲ ԱՌԱՆՑ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԱՎԵԼԻ ՊԱՐԶ Է===

Այն դեպքերին զուգընթաց, երբ հանրահաշիվը թվաբանությանը ցnւյց է տալիս էական ծառայություններ, լինում են և այնպիսի դեպքեր, երբ հանրահաշվի միջամտությունը բերում է միայն անտեղի բարդացումներ։ Մաթեմատիկայի իրական արժեքը մաթեմատիկան միջոցներից հմտորեն օգտվելու մեջ է, որպեսզի ընտրենք միշտ ամենաուղիղ և հարմարավետ ճանապարհը՝ հաշվի առնելով այն, թե խնդրի լուծման մեթոդը վերաբերո՞ւմ է արդյոք թվաբանությանը, հանրահաշվին, երկրաչափությանը և այլն։ Այդ պատճառով օգտակար կլինի դիտարկել այն դեպքը, երբ հանրահաշվի ներմուծումը կարող է միայն շփոթեցնել լուծողին։ Ուսանելի օրինակ կարող է ծառայել հետևյալ խնդիրը։

Գտնել այն բոլոր թվերից ամենափոքրը, որոնք բաժանելիս

<TR>

<TD align=center>տալիս են</TD>

<TD align=center>մնացորդ,</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

'''''Լուծում'''''

Այս խնդիրն ինձ առաջարկել են հետևյալ բառերով՝ «Դուք ինչպե՞ս կլուծեիք այսպիսի խնդիրը։ Այստեղ չափազանց շատ հավասարումներ կան, դրանցից գլուխ հանել չի լինի»։

Գաղտնիքը հեշտ է բացվում. այս խնդրի լուծման համար ոչ մի հավասարում, ոչ մի հանրահաշիվ չի պահանջվում՝ այն լուծվում է պարզ թվաբանական դատողությամբ։

Որոնելի թվին ավելացնենք մեկ։ Այդ դեպքում ի՞նչ մնացորդ կտա այն <math>2</math>-ի բաժանելիս։

Մնացորդը <math>1+1=2</math>. այլ խոսքով, թիվը բաժանվում է <math>2</math>-ի առանց մնացորդի։

Ճիշտ նույնպես այն բաժանվում է առանց մնացորդի և <math>3</math>-ի, <math>4</math>-ի, <math>5</math>-ի, <math>6</math>-ի, <math>7</math>-ի, <math>8</math>-ի, <math>9</math>-ի։ Այդ թվերից ամենափոքրը <math>9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 = 2520</math>, և որոնելի թիվը հավասար է <math>2519</math>, որը դժվար չէ ստուգել փորձելով։

Մանվել

Վստահելի

1396

edits

Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Գրապահարան