Դիցուք A-ն բաղադրյալ թիվ է։ Կարելի է պնդել, որ A-ն չափվում է ինչ-որ պարզ թվով։
Քանի որ A-ն բաղադրյալ է, ինչ-որ թիվ այն կչափի։ Թող այդ թիվը լինի B։ Եվ եթե B-ն պարզ է, ապա այն, ինչ ուզում էինք, ապացուցված է։
Իսկ եթե B-ն բաղադրյալ է, ապա ինչ-որ թիվ կչափի այն։ Թող այդ թիվը լինի C։ Եվ քանի որ C-ն չափում է B-ն, իսկ B-ն չափում է A-ն, ապա C-ն նույնպես կչափի A-ն։
Եվ եթե C-ն պարզ է, ապա այն, ինչ նախատեսված էր, կատարվում է։ Իսկ եթե C-ն բաղադրյալ է, ապա ինչ-որ թիվ կչափի այն։ Այս շարունակական հետազոտությունների մեջ, որևէ պարզ թիվ կգտնվի, որը կչափի այն։
Եթե այդպիսի թիվ չի գտնվի, ապա մի քանի անսահման թվեր, որոնք մեկմեկից փոքր են, կչափեն A-ն։ Բայց դա անհնար է թվերի մեջ։
Ուստի, ամեն բաղադրյալ թիվը չափվում է ինչ-որ պարզ թվով։ Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:
== Պնդում 32 ==
Ամեն թիվ կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվովթվով։
Դիցուք A թիվ է: Կարելի է պնդել, որ A-ն կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով:
Եվ քանի որ A-ը ստացավ C և D՝ բազմապատկելով E և G համապատասխանաբար, ապա ինչպես E-ն է G-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին [Prop. 7.17]: Եվ E-ն հարաբերում է G: Այսպիսով, C-ն նույնպես հարաբերում է D՝ մեծը հարաբերում է փոքրին: Դա անհնար է: Այսպիսով, A և B չեն հարաբերում մի թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Հետևաբար, C-ն այն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում են A-ն և B-ն: Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ:
== Պնդում 35 ==
«Եթէ երկու թվերին հարաբերեն ինչ-որ թիվ, ապա դրանցից ամենափոքրը, որն իրենով հարաբերում է այդ թիվը, նույնպես կհարաբերի նույն թվին:
== Պնդում 36 ==
Այսպես, A, B և C երեք տրված թվեր են։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է նրանց բոլորին:
Դիցուք A, B և C թվեր են, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի հարաբերություն։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է բոլոր երեք թվերին։
Եկեք ընդունենք, որ A և B ի համար այդ թիվը՝ Dն է ։ Եվ եթե C-ն հարաբերում է D-ին, ապա այն կլինի փաստը թր ուզում էինք ապացուցել։ Եթե ոչ, ապա A, B և C պետք է որոշեն E-ը, որը կլինի ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է D-ին։
Եթե E-ն ավելի փոքր է, քան D, ապա ստացվում է, որ E-ն չպետք է լինի ավելի փոքր։ Բայց այս փաստը հնարավոր չէ։ Այնպես որ, մենք պետք է հաստատենք, որ E-ն իսկապես ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում է A, B և C թվերին։
Այսպիսով, մենք ցույց տալիք խնդիրը, որ E-ն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում է A, B և C թվերին։