K-ին։ Հետևաբար M-ը նույպես գերազանցում է N-ին։ Եվ M-ն ու H-ը համապատասխանաբար A-ի և E-ի հավասար բազմապատիկներ են ու N-ը ու L-ը համապատասխանաբար B-ի և F-ի ուրիշ հավասար բազմապատիկներ են։ Հետևաբար, A-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան E-ն F-ին [Սահմանում 5.7] ։
Այսպիսով եթե առաջին մեծությունն ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչպիսին ունի երրորդը չորրորդին և երրորդ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն չորրորդին քան հինգերորրդը վեցերորդին, ապա առաջին մեծությունը կունենա ավելի մեծ հարաբերություն երկրորդին քան հինգերորդը վեցերորդին։ Ինչը պետք էր ցույց տալ:
== Պնդում 14 ==
Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդը չորրորդին և առաջին մեծությունը մեծ է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես մեծ կլինի չորրորդից։ Եվ եթե առաջին մեծությունը հավասար է երրորդին, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես հավասար կլինի չորրորդին։ Եվ եթե առաջին մեծությունը փոքր է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես փոքր կլինի չորրորդից։
screenshot # 14
Թող առաջին մեծություն A-ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ B-ին ինչ երրորդ C-ն ունի չորրորդ D-ին և A-ն մեծ է C-ից։ Ես ասում եմ որ B-ն նույնպես մեծ է D-ից։
Քանի որ A-ն մեծ է C-ից և B-ն ուրիշ պատահական մեծություն է, A-ն հետևաբար ունի ավելի մեծ հարաբերություն B-ին քան C-ն B-ին [Պնդում 5.8]։ Եվ ինչպես A-ն հարաբերում է B-ին, այնպես էլ C-ն հարաբերում է D-ին։ Հետևաբար, C-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն D-ին քան C-ն B-ին։ Եվ այն մեծությունը, որին նույն մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն փոքրն է [Պնդում 5.10]։ Հետևաբար D-ն փոքր է B-ից։ Հետևաբար, B-ն մեծ է D-ից։
Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ, որ նույնիսկ եթե A-ն հավասար է C-ին, ապա B-ն նույնպես հավասար կլինի D-ին և նույնիսկ եթե A-ն փոքր է C-ից, ապա B-ն նույնպես փոքր կլինի D-ից։
Այսպիսով եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդը չորրորդին և առաջին մեծությունը մեծ է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես մեծ կլինի չորրորդից։ Եվ եթե առաջին մեծությունը հավասար է երրորդին, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես հավասար կլինի չորրորդին։ Եվ եթե առաջին մեծությունը փոքր է երրորդից, ապա երկրորդ մեծությունը նույնպես փոքր կլինի չորրորդից։
== Պնդում 15 ==
Մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները, վերցված համապատասխանաբար հերթականությամբ։
screenshot #15
Թող AB-ն և DE-ն լինեն C-ի և F-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ։ Ես ասում եմ որ C-ն հարաբերում է F-ին ինչպես AB-ն DE—ին։
Քանի որ AB-ն և DE-ն C-ի և F-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ, հետևաբար այնքան մեծություններ որքան AB-ում հավասար են C-ին, այնքան էլ կան DE-ում հավասար F-ին։ Թող AB-ն բաժանված լինի մեծությունների ՝ AG, GH, HB հավասար C-ին և DE-ն, DK, KL, LE-ին հավասար F-ի։ Այսպիսով AG, GH, HB մեծությունների քանակը հավասար կլինի DK, KL, LE մեծությունների քանակին։ Եվ քանի որ AG, GH, HB-ն հավասար են իրար և DK, KL, LE-ն հավասար նույնպես հավասար են իրար։ Հետևաբար AG-ն հարաբերում է DK-ին ինչպես GH-ը KL-ին և HB-ն LE-ին [Պնդում]։ Եվ համաչափ մեծությունների համար, ինչպես առաջնային մեծություններից մեկը հարաբերում է իր հետևողին, այդպես էլ կհարաբերեն բոլոր մնացած առաջնային մեծությունները իրենց հետևողներին [Պնդում]։ ՀԵտևաբար AG-ն հարաբերում է DK-ին ինչպես AB—ն DE-ին։ Եվ AG-ն հավասար է C-ին և DK-ն F-ին։ Հետևաբար C-ն հարաբերում է F-ին ինչպես AB-ն DE-ին։
Այսպիսով մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները, վերցված համապատասխանաբար հերթականությամբ։ Ինչը պետք էր ցույց տալ: