== Պնդում 23 ==
Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։
screenshot #23
Թող A, B, C մեծությունները և D, E, F ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, որոնք զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությունը ունեն։ Եվ թող նրանց հարաբերությունը խանգառված լինի, այնպես որ A-ն հարաբերում է B-ին ինչպես E-ն F-ին և B-ն C-ին ինչպես D-ն F-ին։ Ես ասում եմ որ A-ն կհարաբերի C-ին ինչպես D-ն F-ին։
Թող հավասար բազմապատիկներ G-ն, H-ը և Կ-ն համապատասխանաբար վերցված լինեն A-ից, Բ-ից և D-ից, և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ Լ-ը Մ-ը ու
Ն-ը համապատասխանաբար Ց-ից, E-ից և F-ից։
Եվ քանի որ հավասար բազմապատիկները G-ն և H-ը վերցված են համապատասխանաբար A-ից և Բ-ից և մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները [Պնդում 5.15], հետևաբար Ա-ն հարաբերում է Բ-ին ինչպես Գ-ն Հ-ին։ Եվ նույն պատճառներով Ե-ն հարաբերում է Մ-ը Ն-ին։ Եվ Ա-ն հարաբերում է Բ-ին այնպես ինչպես Ե-ն Ֆ-ին։ Հետևաբար Գ-ն հարաբերում է Հ-ին Մ-ը Ն-ին [Պնդում 5.11]։ Եվ քանի որ Բ-ն հարաբերում է Ց-ին ինչպես Դ-ն Ե-ին, նաև փոխադարձորոն Բ-ն հարաբերում է Դ-ին ինչպես Ց-ն Ե-ին [Պնդում 5.16]։ Եվ քանի որ Հ-ն ու Կ-ն համապատասխանաբար Բ-ի և Դ-ի հավասար բազմապատիկներ են և մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները
[Պնդում 5.15] հետևաբար Բ-ն հարաբերում է Դ-ին ինչպես Հ-ը Կ-ին։ Բայց Բ-ն հարաբերում է Դ-ին ինչպես Ց-ն Ե-ին։ Եվ հետևաբար Հ-ը հարաբերում Կ-ին ինչպես Ց-ն Ե-ին [Պնդում 5.11]։ Կրկին, քանի որ Լ-ն ու Մ-ը Ց—ի և Ե-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար Ց-ն հարաբերում է Ե-ին այնպես ինչպես Լ-ը Մ-ին [Պնդում 5.15]։ Նաև փոխադարձորեն Հ-ը հարաբերում է Լ-ին այնպես ինչպես Կ-ն Մ-ին [Պնդում 5.16]։ Եվ մենք նույնպես ցույց էինք տվել որ Գ-ն հարաբերում է Հ-ին այնպես ինչպես Մ-ը Ն-ին։ Հետևաբար քանի որ A, B, C երեք մեծություններ են և Կ, Մ, Ն-ը ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությամբ և խանգառված հարաբերություն ունեն, ապա ըստ հավասարման, եթե Գ-ն գերազանցում է Լ-ին, ապա Կ-ն նույնպես գերազանցում է Ն-ին, և եթե Գ-ն հավասար է Լ-ին, ապա Կ-ն նույնպես հավասար է Ն-ին, և եթե Գ-ն փոքր է Լ-ից, ապա Կ-ն նույնպես փոքր է Ն-ից [Պնդում 5.21]։ Եվ Գ-ն ու Կ-ն համապատասխանաբար Ա-ի և Դ-ի հավասար բազմապատիկներ են, և Լ-ն ու Ն-ը համապատասխանաբար Ց-ի և Ֆ-ի։ Հետևաբար, Ա-ն հարաբերում է Ց-ին այնպես ինչպես Դ-ն Ֆ-ին [Սահմանում 5.5]։
Այսպիսով՝ Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։ Ինչը պետք էր ցույց տալ: