[Պնդում 5.15] հետևաբար Բ-ն հարաբերում է Դ-ին ինչպես Հ-ը Կ-ին։ Բայց Բ-ն հարաբերում է Դ-ին ինչպես Ց-ն Ե-ին։ Եվ հետևաբար Հ-ը հարաբերում Կ-ին ինչպես Ց-ն Ե-ին [Պնդում 5.11]։ Կրկին, քանի որ Լ-ն ու Մ-ը Ց—ի և Ե-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար Ց-ն հարաբերում է Ե-ին այնպես ինչպես Լ-ը Մ-ին [Պնդում 5.15]։ Նաև փոխադարձորեն Հ-ը հարաբերում է Լ-ին այնպես ինչպես Կ-ն Մ-ին [Պնդում 5.16]։ Եվ մենք նույնպես ցույց էինք տվել որ Գ-ն հարաբերում է Հ-ին այնպես ինչպես Մ-ը Ն-ին։ Հետևաբար քանի որ A, B, C երեք մեծություններ են և Կ, Մ, Ն-ը ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությամբ և խանգառված հարաբերություն ունեն, ապա ըստ հավասարման, եթե Գ-ն գերազանցում է Լ-ին, ապա Կ-ն նույնպես գերազանցում է Ն-ին, և եթե Գ-ն հավասար է Լ-ին, ապա Կ-ն նույնպես հավասար է Ն-ին, և եթե Գ-ն փոքր է Լ-ից, ապա Կ-ն նույնպես փոքր է Ն-ից [Պնդում 5.21]։ Եվ Գ-ն ու Կ-ն համապատասխանաբար Ա-ի և Դ-ի հավասար բազմապատիկներ են, և Լ-ն ու Ն-ը համապատասխանաբար Ց-ի և Ֆ-ի։ Հետևաբար, Ա-ն հարաբերում է Ց-ին այնպես ինչպես Դ-ն Ֆ-ին [Սահմանում 5.5]։
Այսպիսով՝ Եթե կան երեք մեծություններ և ուրիշ նրանց քանակով հավասար մեծություններ, որոնք զույգ առ զույգ վերցված ունեն նույն հարաբերությունը, և եթե նրանց հարաբերությունը խանգառված է, ապա նրանք նույնպես կլինեն նույն հարաբերության ըստ հավասարման։ Ինչը պետք էր ցույց տալ:
== Պնդում 24 ==
Եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։
screenshot #24
Թող առաջին մեծություն ԱԲ-մ ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ Ց-ին, ինչն երրորդ ԴԵ-ն ունի չորրորդ Ֆ-ին։ Եվ թող հինգերորդ ԲԳ-ն նույնպես ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ Ց-ին ինչպիսին վեցերորդ ԵՀ-ը ունի չորրորդ
Ֆ-ին։ Ես ասում եմ որ առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված՝ ԱԳ-ն կունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ Ց-ին ինչ կունենան երրորդն ու վեցերորդը գումարված՝ ԴՀ-ը չորրորդ Ֆ-ին։
Քանի որ ԲԳ-ն հարաբերում է Ց-ին այնպես ինչպես ԵՀ-ը Ֆ-ին հետևաբար հակադարձորեն Ց-ն հարաբերում է ԲԳ-ին այնպես ինչպես Ֆ-ը ԵՀ-ին
[Պնդում 5.7-ի հետևանք]։ ՀԵտևաբար քանի որ ԱԲ-ն հարաբերում է Ց-ին այնպես ինչպես ԴԵ-ն Ֆ-ին և Ց-ն հարաբերում է ԲԳ—ին այնպես ինչպես Ֆ-ը ԵՀ-ին, հետևաբար ըստ հավասարման ԱԲ-ն հարաբերում է ԲԳ-ին, ինչպես ԴԵ-ն ԵՀ-ին
[Պնդում 5.22]: Եվ Եթե բաժանված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված [Պնդում 5.18]։ Այդ իսկ պատճառով ԱԳ-ն հարաբերում է ԳԲ-ին այնպես ինչպես ԴՀ-ը ՀԵ-ին։ Եվ նաև ԲԳ-ն հարաբերում է Ց-ին այնպես ինչպես ԵՀ-ը Ֆ-ին։ ՀԵտևաբար ըստ հավասարման ԱԳ-ն հարաբրերում Ց-ին ինչպես ԴՀ-ը Ֆ-ին [Պնդում 5.22]։
Հետևաբար եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։