Stex piti screenshot lini #4
eli baner stex piti liniԹող հավասար բազմապատիկներ K-ն ու L-ը վերցված լինեն համապատասխանաբար E-ից և F-ից և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ M-ն ու N-ը համապատասախանաբար G-ից ու H-ից։Եվ քանի որ E-ն ու F-ը համապատասխաբար A-ի ու C-ի հավասար բազմապատիկներ են, և հավասար բազմապատիկներ K-ն ու L-ը վերցված են եղել համապատասխանաբար E-ից ու F-ից, K-ն ու L-ը հետևաբար A-ի և C-ի հավասար բազմապատիկներ են [Պնդում 5.3]: Այսպիսով, նույն պատճառներով M-ն ու N-ը համապատասխանաբար B-ի և D-ի հավասար բազմապատիկներ են։ Եվ քանի որ A-ն հարաբերում է B-ին այնպես ինչպես C-ն D-ին և հավասար բազմապատիկներ K-ն ու L-ը վերցված են եղել համապատասխանաբար A-ից ու C-ից, և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ M N-ը համապատասխանաբար B-ից և D-ից, ապա եթե K-ն գերազանցում է M-ին ապա L-ը նույնպես գերազանցում է N-ին, և եթե K-ն հավասար է M-ին, ապա L-ը նույնպես հավասար է N-ին, և եթե K-ն փոքր է M-ից, ապա L-ը նույնպես փոքր է N-ից [Սահմանում 5.5]: Եվ K-ն ու L-ը համապատասխանաբար E-ի և F-ի հավասար բազմապատիկներ են և M-ն ու N-ը ուրիշ պատահական G-ի և H-ի հավասար բազմապատիկներ։ ՀԵտևաբար E-ն հարաբերում է G-ին ինչպես F-ը H-ին[Սահմանում 5.5]։Այսպիսով՝ Եթե առաջինը (մեծությունը) ունի նույն հարաբերությունը երկրորդի հետ, ինչ երրորդը (ունի) չորրորդի, ապա առաջին (մեծության) և երրորդի հավասար բազմապատիկները նույնպես կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդի և չորրորդի հավասար բազմապատիկներին՝ վերցված համապատասխան հերթականությամբ՝ ըստ ցանկացած բազմապատկման ձևի։
== Պնդում 5 ==
Անհավասար մեծությունների համար, ավելի մեծ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն քան փոքրը նույն հարաբերությանը։
Թող ԱԲAB-ն ու ՑC-ն լինեն անհավասար մեծություններ, և թող ԱԲAB-ն լինի նրանցից մեծը, և ԴD-ն ուրիշ պատահական մեծություն է։ Ես ասում եմ որ, ԱԲAB-ն ունի ունի ավելի մեծ հարաբերություն ԴD-ին քան ՑC-ն ԴD-ին և որ ԴD-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն ՑC-ին քան ԱԲAB-ին։
mekel screenshot #8
Քանի որ ԱԲAB-ն մեծ է ՑC-ից, թող ԲԵBE-ն լինի հավասար ՑC-ին։ Այսպիսով ԱԵAE-ի և ԵԲEB-ից փոքրը , բազմապատկելով երբեմն մեծ կլինի ԴD-ից [Սահմանում 5.4]: Առաջինը, թող ԱԵAE-ն փոքր կլինի քան ԵԲEB-ն և թող ԱԵAE-ն լինի բազմապատկված, և թող ՖԳFG-ն լինի դրա բազմապատիկը, որը ավելի մեծ է քան ԴD-ն։ Եվ քանի անգամ ՖԳFG-ն բաժանվում է ԱԵAE-ի այդքան անգամ էլ թող ԳՀGH-ն բաժանվի ԵԲEB-ին և ԿK-ն ՑC-ին։ Եվ թող ԴD-ի կրկնապատիկ ԼL-ը վերցված լինի և եռակի բազմապատիկ ՄM-ը և ուրիշները՝ յուրաքանչյուրը մեծանալով մեկով ըստ հերթականության, մինչև որ վերցված բազմապատիկը լինում է ԴD-ի առաջին բազմապատիկը, որը մեծ է ԿK-ից։ Թող դա վերցված լինի և թող դա նույնպես լինի ԴD-ի քառակի բազմապատիկ ՆN-ը՝ առաջին բազմապտիկը ԿK-ից մեծ։ Հետևաբար քանի որ ԿK-ն փոքր է ՆN-ից, ապա ԿK-ն փոքր չէ ՄM-ից։ Եվ քանի որ ՖԳFG-ն ու ԳՀGH-ը համապատասխանաբար ԱԵAE-ի և ԵԲEB-ի հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար ՖԳFG-ն ու ՖՀFH-ը ԱԵAE-ի և ԱԲ—ի AB—ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են [Պնդում 5.1]։ Եվ FG-ն ու K-ն AE-ի և C—ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են։ Այդ իսկ պատճառով FH-ն ու K-ն AB-ի և C-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են։ Կրկին, քանի որ GH-ն ու K-ն EB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկներ են և EB-ն հավասար է C-ին, ապա GH-ը նույնպես հավասար է K-ին։ Եվ K-ն փոքր չէ M-ից։ Հետևաբար, GH-ը նույնպես փոքր չէ M-ից նույնպես։ Եվ FG-ն մեծ է D-ից։ Հետևաբար ամբողջ FH-ը քան D-ն և M-ը գումարված իրար։ Բայց D-ն ու M-ը գումարված հավասար են N-ին, այնքանով որ M-ը D-ի եռապատիկն է և M-ն ու D-ն գումարված հավասար է չորս անգամ D-ի և N-ը նույնպես չորս անգամ D-ն է։ Այսպիսով M-ն ու D-ը գումարված հավասար է N-ի։ Բայց FH-ը մեծ է M-ից ու D-ից։ ՀԵտևաբար FH-ը գերազանցում է N-ին։ Եվ K-ն չի գերազանցում N-ին։ Եվ FH-ն ու K-ն AB—ի և AC-ի հավասար բազմապատիկներ են ու N-ը ուրիշ պատահական D-ի բազմապատիկ է։ Հետևաբար AB-ն ունի ավելի մեծ հաևաբերություն քան D—ին քան C-ն D-ին [Սահմանում 5.7]:Այսպիսով՝ ես ասում եմ որ D-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն C-ին քան D-ն ունի AB-ին։Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ, որ N-ը գերազանցում է K-ին ու N-ը չի գերազանցում FH-ին։ Եվ N-ը D-ի բազմապատիկ է ու FH, K-ն համապատասխանաբար AB-ի C—ի ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ են։ Այդ իսկ պատճառով D-ն ունի ավելի մեծ հարաբերություն C-ին քան D-ն AB-ին [Սահմանում 5.5]։Եվ թող AB-ն մեծ լինի EB-ից։ Այսպիսով փոքր EB-ն լինելով բազմապատկված երբեմն կգերազանցի D-ին։ Թող դա լինի բազմապատկված, եվ թող GH-ը լինի EB—ի բազմապատիկ, որը մեծ է D-ից։ Եվ այնքան անգամ որքան GH-ը բաժանվում է EB-ի այնքան ագամ էլ թող FG-ն նույնպես բաժանվի AE-ին, իսկ K-ն C-ին։ Հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ որ FH-ը ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն մենք կարող ենք ցույց տալ որ FH-ն ու K-ն AB-ի և C-ի հավասար բազմապատիկեր են։ Եվ վերոնշյալին հանգունորեն թող N-ն ու D-ն (որը առաջին բազմապատիկն է մեծ քան FG—ն) վերցված են։ Այսպես FG-ն կրկին փոքր չէ քան M-ը։ Եվ GH-ը մեծ է D-ից։ Այդ իսկ պատճառով ամբողջ FH-ը գերազանցում է D-ին և M-ին, որը N-ն է։ Եվ K-ն չի գերազանցում N-ին, աjնքանով որքան FG-ն, որը մեծ է GH-ից։ այսինքն՝ K—ն նույնպես չի գերազանցում է N-ին: Եվ շարունակելով նույն պնդումներով մենք կարող ենք ավարտել ապացույցը։Այսպիսով՝ Անհավասար մեծությունների համար, ավելի մեծ մեծությունը ունի ավելի մեծ հարաբերություն քան փոքրը նույն հարաբերությանը։
screenshot #25
Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն և F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։
Թող AG-ն լինի հավասար E-ին, իսկ CH-ը F-ին։ Քանի որ AB-ն հարաբերում է
CD—ին ինչպես E-ն F-ին ու E-ն հավասար է հավասար է AG-ին և F-ը CH-ին, հետևաբար AB-ն հարաբերում է CD—ին CD-ին ինչպես AG-ն CH-ին։ Եվ քանի որ ամբողջ
AB-ն հարաբերում է ամբողջ CD-ին այնպես ինչպես վերցված մաց AG-ն վերցված մաս CH-ին, ապա մնացորդ GB-ն նույնպես կհարաբերի մնացորդ HD—ին ինչպես ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ին [Պնդում 5.19]: Եվ AB-ն մեծ է CD-ից։ Հետևաբար GB-ն նույնպես մեծ է քան HD-ն։ Եվ քանի որ AG-Ն հավասար է E-ին ու CH-ը F-ին, ապա AG-ն և F-ը հավասար են CH-ին ու E-ին։ Եվ քանի որ հավասար մեծությունները գումարված են անհավասար մեծություններին, ապա ամբողջ մասերը անհավասար են, հետևաբար եթե AG-ն ու F-ը գումարված են GB-ին և CH-ը ու E-ն HD-ին և GB-ն ու HD-ն անհավասար են և GB-ն մեծագույնն է կարող ենք հետևեցնել որ AB-ն ու F-ը մեծ են CD և F-ից։
Այսպիսով՝ եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։ Ինչը պետք էր ցույց տալ: