Տարերք/Գիրք 11

Pages 431 - 455

Պնդում 7

Եթե երկու զուգահեռ ուղիղների վրա վերցրած պատահական կետերից երկուսը միացնենք, ապա ստացված ուղիղը, որը անցնում է այդ կետերով, կլինի նույն հարթության մեջ, ինչ երկու զուգահեռ ուղիղները։

AB և CD երկու զուգահեռ ուղիղներ են, իսկ E և F կամայական կետեր են համապատասխանաբար AB և CD ուղիղներից։ Ուղիղը, որը միացնում է E և F կետերը, գտնվում է նույն հարթության մեջ, ինչ զուգահեռ ուղիղները։ Եթե դա այդպես չէ, և հնարավոր է, որ ուղիղը անցնի ավելի բարձր հարթությամբ, թող դա լինի EGF հարթությունը։ Այսպիսով, այն կունենա ուղիղ հատված EF՝ հենակետային հարթության մեջ [Պնդ. 11.3]։ Հետևաբար, երկու ուղիղներ՝ EGF-ն և EF-ն (նույն E և F կետերով անցնող) կսահմանափակեն ինչ-որ տարածք, ինչը անհնար է։Հանգունորեն, E և F կետերով անցնող ուղիղը գտնվում է նույն հարթության մեջ, ինչ AB և CD զուգահեռ ուղիղները։

Այսպիսով, եթե կա երկու զուգահեռ ուղիղ, և կամայական կետ նրանցից յուրաքանչյուրի վրա, ապա ուղիղը, որը կմիացնի այդ երկու կետերը, կլինի նույն հարթության մեջ, ինչ զուգահեռ ուղիղները։ Որը վերջինիս պահանջվում էր ցույց տալ։

Պնդում 8

Եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և նրանցից մեկը ուղիղ անկյուն է կազմում ինչ որ հարթության հետ, ապա մյուս ուղիղը նույնպես ուղղահայաց կլինի այդ հարթությանը։

AB և CD երկու զուգահեռ ուղիղներ են, և նրանցից մեկը՝ AB, ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը։ Մյուսը՝ CD, նույնպես ուղղահայաց է նույն հարթությանը։ AB-ն և CD-ն հատվում են դիտարկվող հարթության հետ B և Dկետերում համապատասխանաբար, BD ուղիղը միացնում է այդ կետերը։ Հետևաբար, AB, CD և BD գտնվում են նույն հարթության մեջ [Պնդում 11․7]։ DE ուղիղը ուղղահայաց է BD-ին դիտարկվող հարթություն մեջ և DE-ն հավասար է AB-ին։ Միացնենք BE, AE և AD հատվածները։ Քանի որ AB ուղիղը ուղղահայաց է դիտարկվող հարթությանը, այն ուղղահայաց կլինի նաև բոլոր այն ուղիղներին, որոնք գտնվում են դիտարկվող հարթության մեջ [Սահմ 11․3]։ Հետևաբար, անկյուններ՝ ABD և ABE, ուղիղ են։ Եվ քանի որ BD ուղիղը հատում է AB և CD զուգահեռ ուղիղները, ապա ABD և CDB անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։ [Պնդում 1․29] Անկյուն ABD-ն ուղիղ է, հետևում է անկյուն CDB-ն նույնպես ուղիղ է։

Եվ քանի որ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ BD-ն ընդհանուր է, ապա երկու ուղիղներ՝ AB և BE, հավասար են ED և DA ուղիղներին, համապատասխանաբար։ Եվ ABD ուղիղ անկյունը հավասար է EDB անկյանը։ Հետևաբար AD հիմքը հավասար է BE հիմքին [Պնդում 1․4]։ Եվ քանի որ AB հատվածը հավասար է DE-ին, և BE-ն հավասար է AD հատվածին, և AB, BE հատվածները համապատասխանաբար հավասար են ED, DA հատվածներին։ Եվ նրանց հիմքը՝ AE-ն, ընդհանուր է։ Հետևաբար, անկյունը՝ ABE, հավասար է EDAանկյանը ([Պնդում 1․8])։ Քանի որ անկյուն ABE-ն ուղիղ է, ապա անկյուն EDA-ն նույնպես ուղիղ է։ Հետևաբար, ED ուղիղը ուղղահայաց է AD-ին։ Եվ այն նաև ուղղահայաց է DB-ին։ Այսպիսով, ED ուղիղը ուղիղ անկյուն է կազմում BD և DA ուղիղներով անցնող հարթության հետ ([Պնդում 11․4])։ Այդ պատճառով ED ուղիղ անկյուն կկազմի բոլոր այն ուղիղների հետ, որոնք հատվում են իր հետ և ընկած են BDA հարթության մեջ։ DC ուղիղը գտնվում է BDA հարթությունում, քանի որ AB և BD ուղիղները նույնպես գտնվում են BDA հարթությունում ([Պնդում 11․2])։ Հետևաբար, ED ուղիղը ուղղահայաց է DC ուղիղին։ Այսպիսով, CD ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է DE-ին։ CD ուղիղը ուղղահայաց է նաև BD ուղիղին։ Հետևաբար, CD ուղիղը կանգնած է ուղղանկյուն երկու ուղիղների՝ DE և DB-ի հետ, որոնք հատվում են D կետում։ Այսպիսով, CD ուղիղը նաև ուղղահայաց է DE և DB ուղիղներով անցնող հարթությանը ([Պնդում 11․4])։ Եվ քանի որ DE և DB ուղիղներով անցնող հարթությունը դիտարկվող հարթությունն է, CD ուղիղը ուղղահայաց է նաև դիտարկվող հարթությանը։

Հետևաբար, եթե երկու ուղիղներ զուգահեռ են, և դրանցից մեկը ուղղահայաց է որևէ հարթության, ապա մյուսը նույնպես կլինի ուղղահայաց նույն հարթությանը։ Որն էլ անհրաժեշտ էր ցույց տալ։

Պնդում 9

Երկու ուղիղներ զուգահեռ են երրորդ ուղղին որը նրանց հետ նույն հարթության մեջ չի գտնվում, ապա այդ ուղիղները միմյանց նկատմամբ նույնպես զուգահեռ են։

AB և CD ուղիղներից յուրաքանչյուրը զուգահեռ է EF ուղղին, որը նույն հարթության մեջ չէ։ Ցույց տանք, որ AB և CD ուղիղները զուգահեռ են։ Պատահականորեն վերցնենք մի G կետ EF ուղղի վրա։ GH ուղիղը EF ուղղի հետ կազմում է ուղիղ անկյուն EF և AB ուղիղներով անցնող հարթության մեջ։ Եվ EF-ն ուղղահայաց է GK ուղղին՝ FE և CD ուղիղներով անցնող հարթության վրա։

Եվ քանի որ EF ուղիղը ուղղահայաց է GH-ին և GK-ին, ապա EF-ն ուղղաձիգ է նաև GH-ի և GK-ի միջով անցնող հարթությանը [Պնդ․ 11.4]: Եվ EF ուղիղը AB-ին զուգահեռ է։ Ուստի AB-ն նույնպես ուղղահայաց է HGK հարթությանը [Պնդ․ 11.8]: Հանգունորեն CD-ն նույնպես ուղղահայաց է HGK հարթությանը։ Արդյունքում՝ AB և CD ուղիղները ուղղահայաց են HGK հարթությանը։ Իսկ եթե երկու ուղիղներ նույն հարթությանն ուղղահայաց են, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են [Պնդ․ 11․6]: Ուստի AB-ն զուգահեռ է CD-ին։ Ինչ պետք էր ապացուցել։

Պնդում 10

Եթե երկու հատվող ուղիղներ զուգահեռ են այլ հարթության մեջ գտնվող երկու հատվող ուղիղների, ապա հարթությունները պարունակում են հավասար անկյուններ։

Իրար միացած երկու ուղիղները՝ AB և BC, զուգահեռ են (համապատասխանաբար) միմյանց միացած երկու ուղիղների՝ DE և EF որոնք վերջիններս ընկած չեն AB և BC ուղիղներով անցնող հարթությանը։ Ցույց տանք, որ ABC անկյունը հավասար է DEF անկյանին: BA, BC, ED և EF ուղիղները կտրենք (այնպես, որ համապատասխանաբար հավասար լինեն միմյանց): Միացնենք AD, CF, BE, AC և DF հատվածները: Եվ քանի որ BA ուղիղը հավասար և զուգահեռ է ED-ին, Հետևաբար AD ուղիղը, նույնպես հավասար և զուգահեռ է BE ուղղին [Պնդ. 1.33]: Հանգունորեն CF ուղիղը նույնպես հավասար և զուգահեռ է BE-ին: Այսպիսով, AD և CF հատվածներից յուրաքանչյուրը հավասար և զուգահեռ են BE-ին: Նույն ուղղին զուգահեռ ուղիղները, որոնք նրա հետ նույն հարթության մեջ չեն, զուգահեռ են միմյանց [Պնդ. 11.9]։ Այսպիսով, AD հատվածը զուգահեռ է և հավասար է CF-ին: AC և DF միացնենք նրանց: Այսպիսով, AC-ը նույնպես հավասար է և զուգահեռ DF հատվածին [Պնդ. 1.33]: Եվ քանի որ երկու հատվածներ AB-ն և BC-ն հավասար են երկու հատվածներին՝ DE-ին և EF-ին (համապատասխանաբար), իսկ AC հիմքը հավասար է DF հիմքին, այսպիսով ABC անկյունն հավասար է DEF անկյանը [Պնդ. 1.8]:

Հետևաբար, եթե միմյանց միացված երկու ուղիղները (համապատասխանաբար) զուգահեռ են միմյանց միացած երկու ուղիղներին, որոնք ընկած չեն նույն հարթության մեջ ինչ որ սկզբնական երկու ուղիղները, ապա դրանք կպարունակեն հավասար անկյուններ։ Որը անհրաժեշտ էր ցույց տալ։