Տարերք/Գիրք 10

Պնդում 87

Գտնել երրորդ կտրվածքը(ապոտոմեն)։

Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է: Քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ապա հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին HG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ նույնպես չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Ուրեմն, ոչ FG-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն, փոխադարձաբար, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BD-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես K-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի սահմանումը]:

Այսպիսով, գտնվեց երրորդ ապոտոմե (կտրվածք) FH-ն: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 88

Գտնել չորրորդ ապոտոմեն

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և տրված լինի BG-ն, որը երկարությամբ համաչափ է A-ի հետ: Այսպիսով, BG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն լրիվությամբ չունենա DF-ից և FE-ից յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես DE-ն է EF-ի նկատմամբ, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Ուստի BG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն GC-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Հիմա, թող H-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով BG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GC-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես ED-ն DF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GB-ի վրա կառուցված քառակուսին H-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]:

Պնդում 89

Գտնել հինգերորդ ապոտոմեն։

Թող տրված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն, և թող CG-ն լինի երկարությամբ համաչափ A-ի հետ: Այսպիսով, CG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ թող տրված լինեն երկու թվեր՝ DF և FE, այնպես, որ DE-ն կրկին չունենա DF-ի և FE-ի յուրաքանչյուրի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CG-ի վրա կառուցված քառակուսին GB-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Ուստի, GB-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, BG-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ ինչպես DE-ն EF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BG-ի վրա կառուցված քառակուսին GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է: Եվ DE-ն EF-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, BG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես GC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, BG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, BG-ն և GC-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, BC-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Այսպիսով, գտնվեց հինգերորդ ապոտոմե BC-ն: (Սա էր այն, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 90

Թող տրված լինեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ն և երեք թվեր՝ E, BC, և CD, որոնք միմյանց նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ավելին, թող CB-ն նույնպես չունենա BD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Եվ թող սահմանված լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է FG-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է: Ուրեմն, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, A-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, A-ն նույնպես ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ քանի որ BC-ն չունի CD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, FG-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են: Այսպիսով, FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73], ու դա նաև վեցերորդ ապոտոմեն է:

Եվ քանի որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն հավասարության միջոցով, ինչպես E-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.22]: Եվ եթե E-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն, A-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի, A-ն երկարությամբ անհամաչափ է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]. Այսպիսով, ոչ FG-ն, ոչ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ:

Ուստի, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն մակերեսը, որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես CB-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ քանի որ CB-ն չունի BD-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես չի ունենա K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ K-ի վրա կառուցված քառակուսիով: Այսպիսով, FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GH-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ (ինչ-որ ուղղահայաց գծի) վրա կառուցված քառակուսիով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն վեցերորդ ապոտոմե է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.16]:

Ուստի, վեցերորդ ապոտոմեն FH-ն գտնվեց: (Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել):

Պնդում 91

Եթե որևէ մակերես ընդգրկված է ռացիոնալ ուղղագծի և առաջին ապոտոմեի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես ապոտոմե է: Թող AB մակերեսը ընդգրկված լինի ռացիոնալ AC ուղղագծի և առաջին ապոտոմե AD-ի միջոցով: Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմե է: Քանի որ AD-ն առաջին ապոտոմեն է, թող DG-ն լինի դրա կցորդը: Հետևաբար, AG-ն և DG-ն ռացիոնալ ուղղագծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով[Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ ամբողջ AG-ն համաչափ է (երկարությամբ) նախապես տրված ռացիոնալ ուղղագծի՝ AC-ի հետ, իսկ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին՝ (որոշ ուղղագծի վրա կառուցված) քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է AG-ի հետ[Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]:

Թող DG-ն կիսված լինի կետ E-ով: Եվ թող AG-ի վրա կիրառված լինի EG-ի վրա կառուցված քառակուսու հավասար մակերես: Եվ թող այդ մակերեսը լինի AF-ում և FG-ում պարունակվող ուղղանկյունը: Հետևաբար AF-ն համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ: Եվ թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար, զուգահեռ AC-ին: Հետևաբար, եթե AG-ի վրա կիրառված լինի մակերես, որը հավասար է DG-ի վրա կառուցված քառակուսի չորրորդ մասին, պակասելով քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն (մասերի, որոնք) համաչափ են (երկարությամբ) [Տե՛ս «Տարրեր» 10.17]: Թող DG-ն կիսված լինի կետ E-ում: Եվ թող AG-ի վրա կիրառված լինի մակերես, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, պակասելով քառակուսի պատկերով: Եվ թող այն լինի AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը, AF-ն, հետևաբար, համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ:

Թող EH, FI և GK գծված լինեն E, F և G կետերով համապատասխանաբար ու զուգահեռ AC-ին: Եվ քանի որ AF-ը համաչափ է (երկարությամբ) FG-ի հետ, ապա AG-ն նույնպես համաչափ է AF-ի և FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Բայց AG-ն նաև համաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: Այսպիսով, AF-ը և FG-ը նույնպես համաչափ են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.12]: Եվ AC-ը ռացիոնալ (ուղղահայաց-գիծ) է, հետևաբար, AF և FG-ը նույնպես ռացիոնալ (ուղղահայաց-գծեր) են: Ուստի, AI և FK-ը նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են։[Տե՛ս «Տարրեր» 10.19]: Եվ քանի որ DE-ն համաչափ է EG-ի հետ, ապա DG-ն նույնպես համաչափ է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.15]: Սակայն, DG-ն ռացիոնալ է, բայց անհամաչափ է (երկարությամբ) AC-ի հետ: DE-ն և EG-ն, հետևաբար, յուրաքանչյուրը նույնպես ռացիոնալ են, և անհամաչափ AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13]: Ուստի, DH և EK-ը յուրաքանչյուրը ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.21].

Նշանակենք LM քառակուսին, որի մակերեսը հավասար է AI մակերեսին: Եվ թող NO քառակուսին, որը հավասար է FK մակերեսին, հանված լինի LM քառակուսուց, պահպանելով իրենց ընդհանուր անկյունը LPM-ն: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները գտնվում են նույն անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր» 6.26]: Կառուցվենք պատկերի մնացած մասը, որտեղ PR-ն լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը: Ուստի, քանի որ AF-ի և FG-ի կողմից պարփակված ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EG-ը՝ FG-ի [Տե՛ս «Տարրեր» 6.17]: Բայց ինչպես AF-ը՝ EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ AI-ը՝ EK-ի, և ինչպես EG-ը՝ FG-ի, այնպես էլ EK-ը՝ KF-ի [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, EK-ն AI-ի և KF-ի միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.11]: Եվ MN-ն նույնպես LM-ի և NO-ի միջին համեմատականն է, ինչպես ցույց է տրվել ավելի վաղ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.53]: Եվ քանի որ AI-ը հավասար է LM քառակուսուն, իսկ KF-ը՝ NO քառակուսուն, ապա MN-ն նույնպես հավասար է EK-ին: Բայց EK-ն հավասար է DH-ին, իսկ MN-ն՝ LO-ին [Տե՛ս «Տարրեր» 1.43]: Ուստի, DK-ն հավասար է UVW պրոեկցիային և NO-ին: Եվ AK-ն նույնպես հավասար է LM և NO քառակուսիների գումարին: Ուստի, մնացորդը՝ AB-ն, հավասար է ST-ին: Իսկ ST-ն LN-ի վրա կառուցված քառակուսին է: Ուստի, LN-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB մակերեսին: Այսպիսով, LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է:

Ուստի, LN-ն ապոտոմ է:

Քանի որ AI և FK մակերեսները ռացիոնալ են, և հավասար են LM և NO մակերեսներին համապատասխանաբար, ապա LM և NO մակերեսները, այսինքն՝ LP և PN հատվածների վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես ռացիոնալ են: Ուստի, LP և PN հատվածներն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են:

Կրկին, քանի որ DH մակերեսը մեդիալ է և հավասար է LO-ին, ապա LO-ն նույնպես մեդիալ մակերես է: Հետևաբար, քանի որ LO-ն մեդիալ է, իսկ NO-ն ռացիոնալ, հետևաբար LO-ն և NO-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են: Եվ ինչպես LO-ն NO-ի նկատմամբ է, այնպես էլ LP-ն PN-ի նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 6.1]: Ուստի, LP-ն և PN-ն միմյանց երկարությամբ անհամաչափ են [Տե՛ս «Տարրեր» 10.11]: Եվ նրանք երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են: Այսպիսով, LP և PN հատվածները ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով: Ուստի, LN-ն ապոտոմ է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Եվ LN-ն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը ապոտոմ է: Ուստի, եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և առաջին ապոտոմեից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը նույնպես ապոտոմե է:

Պնդում 92

Եթե մակերեսը բաղկացած է ռացիոնալ ուղիղ գծից և երկրորդ ապոտոմից, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը հանդիսանում է միջին ռացիոնալի առաջին ապոտոմ: Թող AB մակերեսը, բաղկացած լինի AC ռացիոնալ ուղիղ գծից, և երկրորդ AD ապոտոմից: Այսպիսով, AB-ի մակերեսի քառակուսի արմատը հանդիսանում է միջին ուղիղ գծի առաջին ապոտոմ։ Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը: Այսպիսով, AG-ն և GD-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], և կցորդ DG-ն համաչափելի է (երկարությամբ) նախապես սահմանված ռացիոնալ (ուղիղ գծի) AC-ի հետ, և ամբողջ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան հավելված GD-ի վրա կառուցված քառակուսին, որոշ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, որը համաչափելի է (երկարությամբ) AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.12]: Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան GD-ի վրա կառուցված քառակուսին որոշ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, եթե GD-ի վրա կառուցված քառակուսու մեկ չորրորդին հավասար մակերես կցվի AG-ին և մնա չլրացված քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն մասերի, որոնք համաչափելի են երկարությամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Թող կետ E-ն բաժանի DG-ն երկու մասի: Եվ թող AG-ին կիրառվի EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն հավասար մակերես, մնալով չլրացված քառակուսի պատկերով: Թող դա լինի AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը: Այսպիսով, AF-ը համաչափելի է FG-ի հետ (երկարությամբ): Այսպիսով, AG-ն նույնպես համաչափելի է AF-ի և FG-ի հետ (երկարությամբ) [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]: AG-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է և անհամաչափելի է AC-ի հետ: AF-ն և FG-ն նույնպես ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են) և անհամաչափելի են AC-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13]: Այսպիսով, AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]: Կրկին, քանի որ DE-ն համաչափելի է EG-ի հետ (երկարությամբ), DG-ն նույնպես համաչափելի է DE-ի և EG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]: Բայց DG-ն համաչափելի է նաև AC-ի հետ, հետևաբար DE-ն և EG-ն նույնպես ռացիոնալ են և համաչափելի են AC-ի հետ: Այսպիսով, DH-ն և EK-ն նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]: Ուստի, թող կառուցվի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին: Եվ թող LM-ից հանվի NO-ն, որը հավասար է FK-ին և ունի նույն LPM անկյունը: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները ունեն ընդհանուր անկյունագիծ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]: Թող PR-ը լինի նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը, և թող գծվի (մնացած) պատկերը: Հետևաբար, քանի որ AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են և հավասար են LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիներին համապատասխանաբար, հետևաբար LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիները նույնպես մեդիալ են: Ուստի, LP-ն և PN-ն նույնպես մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Եվ քանի որ AF-ի և FG-ի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, հետևաբար ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EG-ն է FG-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Բայց ինչպես AF-ն է EG-ի նկատմամբ, այնպես էլ AI-ն է EK-ի նկատմամբ: Եվ ինչպես EG-ն է FG-ի նկատմամբ, այնպես էլ EK-ն՝ FK-ի նկատմամբ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: Ուստի, EK-ն AI-ի և FK-ի միջին համեմատականն է:

Եվ MN-ն նույնպես միջին համեմատական է LM և NO քառակուսիներին [Տե՛ս «Տարրեր», 10.53]: Եվ AI-ն հավասար է LM-ին, և FK-ն՝ NO-ին: Այսպիսով, MN-ն նույնպես հավասար է EK-ին: Նաև DH-ն հավասար է EK-ին, իսկ LO-ն՝ MN-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]: Այսպիսով, ամբողջ DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին: Հետևաբար, քանի որ ամբողջ AK-ն հավասար է LM-ին և NO-ին, որոնցից DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին, մնացյալ AB-ն նույնպես հավասար է TS-ին, որն էլ LN-ի վրա կառուցված քառակուսուն: Այսպիսով, LN-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB մակերեսին: Այսպիսով LN-ն հավասար է AB քառակուսու մակերեսին, ու պնդում ենք, որ LN-ը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմեն է:

Քանի որ EK-ն ռացիոնալ մակերես է և հավասար է LO-ին, ստացվում է, որ LO-ն՝ այսինքն LP և PN ուղիղ գծերի սահմանած ուղղանկյունը, նույնպես ռացիոնալ մակերես է: Միևնույն ժամանակ, արդեն ցույց էր տրված, որ NO-ն մեդիալ մակերես է: Այսպիսով, LO-ն անհամեմատելի է NO-ի հետ: Քանի որ LO-ի և NO-ի հարաբերությունը նույնն է, ինչ LP-ի և PN-ի հարաբերությունը, ապա LP-ն և PN-ն ևս անհամեմատելի են երկարությամբ: Սակայն դրանք երկուսն էլ մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով և սահմանում են ռացիոնալ մակերես: Հետևաբար, LN-ը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմենն է և միևնույն ժամանակ AB մակերեսի քառակուսի արմատը:

Ուստի AB մակերեսի քառակուսի արմատը մեդիալ ուղիղ գծի առաջին ապոտոմենն է, ինչը և պետք էր ապացուցել:

Պնդում 93

Եթե մակերեսը ձևավորվում է բանական (ուղիղ գծի) և երրորդ ապոտոմի միջոցով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը կլինի միջին (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմ։ Թող AB մակերեսը կազմված լինի բանական ուղիղ գծից` AC-ից և երրորդ ապոտոմից` AD-ից։ Ասում եմ, որ AB-ի քառակուսի արմատը երկրորդ ապոտոմն է միջին ուղիղ գծի։

Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդը։ Այսպիսով, AG-ն և GD-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն իրենց քառակուսիներով։ Սակայն ո՛չ AG-ն, ո՛չ GD-ն երկարությամբ չեն համաչափվում նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծին՝ AC-ին։ Այսպիսով, համընթացապես դրված ռացիոնալ ուղիղ AC-ում, AG ամբողջ քառակուսու արժեքը գերազանցում է DG-ի քառակուսին՝ որոշ ուղիղ գծի քառակուսի չափով, որը երկարությամբ համաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13]:Ապա եթե DG-ի քառակուսի չորրորդ մասն ուղղվի AG-ին՝ բայց պակասեցվի քառակուսի պատկերով, ապա այն բաժանում է AG-ն երկարություններով համաչափ մասերի [Տե՛ս «Տարրեր», 10.17]: Հետևաբար, թող DG-ն կիսվի E կետով: Եվ թող EG քառակուսիի չափով մակերեսը կիրառվի AG-ին՝ նման փոքր քառակուսիի տեսքով, ու դա կլինի AF և FG պարունակվող քառանկյունը։ Ուստի, թող LM-ը հավասար լինի AI-ին: Եվ թող NO-ն որը հավասար է FK-ին, ու որը նույն անկյան շուրջ է, հանված լինի (LM-ից): Այսպիսով, LM-ն և NO-ն նույն անկյան շուրջ են։ Թող PR-ը լինի նրանց ընդհանուր անկյունագիծը, և կռուցվի պատկերը։ Հետևաբար, քանի որ AF և FG ուղղանկյունները հավասար են EG-ի քառակուսուն, ապա ինչպես AF-ը EG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EG-ը FG-ի[Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]: Բայց նաև, ինչպես AF-ը EG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ AI-ը EK-ի հետ[Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]: Եվ ինչպես EG-ը FG-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EK-ը FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.11]: Եվ, հետևաբար, ինչպես AI-ը EK-ի հետ է հարաբերակցվում, այնպես էլ EK-ը FK-ի հետ է հարաբերակցում [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]: Հետևաբար, EK-ը միջին համեմատական է AI-ի և FK-ի միջև։ Եվ MN-ն նույնպես միջին համեմատական է LM և NO քառակուսիների միջև [Տե՛ս «Տարրեր», 10.53 լեմմա]:AI-ը հավասար լինի LM-ին, իսկ FK-ն NO-ին: Հետևաբար, EK-ը նույնպես հավասար է MN-ին։ Բայց MN-ը հավասար է LO-ին, իսկ EK-ը՝ DH-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]։ Եվ այդպես DK-ի ամբողջ մասը հավասար է UVW գոմոնին և NO-ին։ Իսկ AK-ն նույնպես հավասար է LM-ին և NO-ին։ Հետևաբար, մնացորդ AB-ն հավասար է ST-ին, այսինքն՝ LN-ի քառակուսուն։ Հետևաբար, LN-ը AB մակերեսի քառակուսային արմատն է։ Այսպիսով, LN-ը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է։ Քանի որ ապացուցվեց, որ AI-ն և FK-ն մեդիալ մակերեսներ են և հավասար են LP-ի և PN-ի քառակուսիներին (համապատասխանաբար), ապա LP-ի և PN-ի յուրաքանչյուր քառակուսին նույնպես մեդիալ է։ Հետևաբար, LP-ն և PN-ը մեդիալ ուղիղ գծեր են։ Եվ քանի որ AI-ն համաչափ է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11], ապա LP-ի քառակուսին նույնպես համաչափ է PN-ի քառակուսու հետ։ Կրկին, քանի որ ապացուցվեց, որ AI-ն անհամաչափ EK-ի հետ, ապա LM-ն նույնպես անհամաչափ է MN-ի հետ, այսինքն՝ LP-ի քառակուսին LP-ի և PN-ի ուղղանկյունի հետ։ Հետևաբար, LP-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափ է PN-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11]։ Այսպիսով, LP-ն և PN-ը մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսով։ Ուստի կպնդենք, որ նրանք նույնպես մեդիալ են։ Քանի որ EK-ն ցույց տրվեց որպես մեդիալ (մակերես), որը հավասար է LP-ի և PN-ի ուղղանկյունին, ապա LP-ի և PN-ի ուղղանկյունները նույնպես մեդիալ են։ Հետևաբար, LP-ն և PN-ը մեդիալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսով և պարունակում են մեդիալ։ Հետևաբար, LN-ը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.75]։ Եվ դա AB մակերեսի քառակուսային արմատն է։

Հետևաբար, AB մակերեսի քառակուսային արմատը մեդիալ (ուղիղ գծի) երկրորդ ապոտոմն է։ Եվ դա հենց այն է, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։

Պնդում 94

Եթե մի մակերես սահմանվում է ռացիոնալ (ուղիղ գծով) և չորրորդ ապոտոմենով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը կլինի երկրորդական (ուղիղ գիծ): Թող AB մակերեսը սահմանված լինի ռացիոնալ (ուղիղ գծով) AC-ով և չորրորդ ապոտոմենով AD-ով։ Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը երկրորդական (ուղիղ գիծ) է։ Թող DG-ն լինի AD ուղիղ գծի կցորդը ։ Այսպիսով, AG և DG ուղիղ գծերը ռացիոնալ են և համաչափելի են միայն քառակուսով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], իսկ AG-ն երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ AC ուղիղ գծին։ Ամբողջ AG ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է DG կցորդի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այնպիսի ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.14]։

Ուստի, քանի որ AG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GD-ի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այնպիսի ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է AG-ի հետ, հետևաբար, եթե AG-ի վրա կրառվի մակերես որը հավասար է DG-ի վրա կառուցված քառակուսու չորրորդ մասին, և պակասի քառակուսի չափով, ապա այն բաժանում է AG-ն երկարությամբ անհամաչափելի մասերի[Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]։

Թող կետ E-ն կիսի DG-ն։ Եվ թող AG-ի վրա կիրառվի այնպիսի մակերես, որը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Թող այդ մակերեսը լինի AF և FG ուղիղ գծերով սահմանված ուղղանկյունը։ Այսպիսով, AF-ն երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ։

Թող E, F և G կետերից անցնող EH, FI և GK ուղիղ գծերը քաշված լինեն՝ զուգահեռ AC և BD ուղիղ գծերին։ Քանի որ AG-ն ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է AC-ի հետ, ամբողջ AK մակերեսն այսպիսով նույնպես ռացիոնալ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]։ Կրկին, քանի որ DG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է AC-ի հետ և երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, DK մակերեսը մեդիալ է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]։ Ու կրկին, քանի որ AF-ն երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ, ապա AI-ն նույնպես անհամաչափելի է FK-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1, 10.11]։ Թող կառուցվի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին։ Թող նաև NO մակերեսը, որը հավասար է FK-ին և նույն անկյուն LPM-ի ներքո է, հանվի LM-ից։ Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները տեղադրված են ընդհանուր անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]։ Թող PR-ը լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը, կկառուցվի ամբողջ պատկեր։

Քանի որ AF և FG ուղիղ գծերի սահմանած ուղղանկյունը հավասար է EG-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա, ինչպես AF-ը EG-ին է հարաբերում, այնպես էլ EG-ը՝ FG-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 6.17]։ Բայց, ինչպես AF-ը EG-ին է հարաբերում, այնպես էլ AI-ն՝ EK-ին է, և ինչպես EG-ը FG-ին, այնպես էլ EK՝ FK-ին է [Տե՛ս «Տարրեր», 6.1]։

Այսպիսով, EK-ն AI-ի և FK-ի միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր», 5.11]։ MN-ն նույնպես LM և NO քառակուսիների միջին համեմատականն է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.13, լեմմա], իսկ AI-ն հավասար է LM-ին, և FK-ն՝ NO-ին։ Ուստի, EK-ն նույնպես հավասար է MN-ին։

Նաև DH-ն հավասար է EK-ին, իսկ LO-ն՝ MN-ին [Տե՛ս «Տարրեր», 1.43]։ Ուստի,ամբողջ DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO-ին։ Քանի որ AK-ն հավասար է LM և NO քառակուսիների գումարին, DK-ն հավասար է UVW գնոմոնին և NO քառակուսուն, ուստի մնացորդ AB-ն հավասար է ST-ին, այսինքն՝ LN-ի վրա կառուցված քառակուսուն։

Ուստի, LN-ը AB մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Այսպիսով, LN-ն իռացիոնալ ուղիղ գիծ է, որը կոչվում է երկրորդական։