Տարերք/Գիրք 7

հեղինակ՝ էվկլիդես աղբյուր՝ Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick

Տարերքի գրքեր

Պնդում 13

Եթե Չորս թվեր իրար հարաբերական են, ապա նրանք հարաբերական կլինեն նաև միմյանց.

Օրինակ վերցնենք A, B, C, D թվերը: Եթե A հարաբերում է B-ին ին ինչպես C-ն է հարաբերում D-ին, ապա կարող ենք պնդել, որ A-ն հարաբերում է C -ին, ինչպես B-ն հարաբերում է D-ին: Եթե A-ն կազմում է B-ի մի մասը, ապա C-ն նույնպես կազմում է D-ի նույն մասը: Այսպիսով, որերորդ մասը որ A-ն կազմում է C-ի մեջ, նույքան մաս B-ն կազմում է D-ի մեջ: Այսինքն ինչպես A-ն C-ին, այնպես էլ B-ն D-ին: Որը և մեզ անհրաժեշտ էր ցույց տալ:

Պնդում 14

Եթե կա որևէ թվերի բազմություն, և մեկ այլ թվերի բազմություն նրանց հավասար, որոնք հարաբերում են միմյանց ինչպես նշվաց է Պնդում 13-ում, ապա ապա նրանք նույնպես հավասար կհարաբերեն միմյանց:

Օրնակ, վերցնենք A,B,C թվերի բազմությունը և դրան համարժեք D,E,F թվերի բազմությունը: Եթե պնդում 13 գործում է, այսինքն A հարաբերում է B-ին ին ինչպես D -ն է հարաբերում E-ին, ապա նույն ձև B-ն հարաբերում է C-ին, ինչպես E-ն հարաբերում է F-ին: Ունենալով այս պնդումը, մենք կարող ենք պնդել նաև, որ A-ն հարաբերում է D-ին, ինչպես B-ն հարաբերում է E-ին, ինչպես C-ն հարաբերում է F-ին, որը և անհրաժեշտ էր ցույց տալ:

Սկզբունք 15 Եթե ունենք մեկ չափանիշ որը հավասար է որևէ թվի, և ունենք մեկ այլ թիվ որը մի քանի անգամ մեծ է և հավասար է մի քանի անգամ մեծ չափանիշի, ապա կարող ենք ասել որ, առաջինը թիվը հարաբերում է երկրորդ թվին այնպես, ինչպես առաջին չափանիշը երկրորդ չափանիշին:

Oրինակ, համարենք, որ A -ն համարժեք է BC չափին, և D-ն որը մի քանի անգամ մեծ է A-ից համարժեք լինի EF- ին, որը նույնքան անգամ մեծ է BC-ից: Քանի որ A -ն համարժեք է BC չափին, և D-ն որը մի քանի անգամ մեծ է A-ից համարժեք է EF- ին, ապա կարող ենք ասել, որ որքան չափ կա BC-ում, նույնքան կա EF-ում, որը հավասար է D ին: Եթե BC-ն բաժանենք BG, GH և HC, իսկ EF-ը EK, KL, LF մասերի, ապա կարող ենք նկատել, որ նրանք միմյանց համարժեքորեն հարաբերում են: Այսինքն, BG հարաբերում է EKին, ինչպես GH KL-ին, ինչպես HC-ն LF-ին: Այսպիսով, կարող ենք եզրակացնել, որ այն թվերը որը համապատասխանորեն համարժեք են այդ թվերին նույնպես հարաբերում են: Այսպիսով, A-ն հարաբերում է D-ին, ինչպես BG-ն EK-ին, ինչպես GH-ն KL-ին, ինչպես HC-ն LF-ին, որը և պետք էր ապացուցել:

Սկզբունք 16 Եթե երկու թվեր բազմապատկենք միմյանցով և ստանանք մի քանի թվեր, ապա այդ մի քանի թվերը միմյանց հավասար կլինեն:

Թող A և B լինեն երկու թվեր: Ենթադրենք, A-ն ստեղծում է C-ն՝ բազմապատկելով B-ով, և B-ն ստեղծում է D-ն՝ բազմապատկելով A-ով: Կարող ենք պնդել,, որ C-ն հավասար է D-ին: Քանի որ A-ն ստեղծել է C-ն՝ բազմապատկելով B-ով, ուրեմն B-ն չափում է C-ն ըստ A-ի միավորների: Եվ E միավորը նույնպես չափում է A թիվը՝ ըստ նրա մեջ գտնվող միավորների: Ուրեմն E միավորը չափում է A թիվը նույնքան անգամ, որքան B-ն չափում է C-ն: Ուրեմն փոխադարձաբար, E միավորը չափում է B թիվը նույնքան անգամ, որքան A-ն չափում է C-ն: Քանի որ B-ն ստեղծել է D-ն՝ բազմապատկելով A-ով, ուրեմն A-ն չափում է D-ն՝ ըստ B-ի միավորների: Եվ E միավորը նույնպես չափում է B-ն՝ ըստ նրա մեջ գտնվող միավորների: Ուրեմն E միավորը չափում է B թիվը նույնքան անգամ, որքան A-ն չափում է D-ն: Եվ E միավորը չափում է B թիվը նույնքան անգամ, որքան A-ն չափում է C-ն: Ուրեմն A-ն նույնքան անգամ չափում է C-ն և D-ն: Հետևաբար, C-ն հավասար է D-ին, Ինչը և պետք էր ապացուցել:

Սկզբունք 17 Եթե մի թիվ բազմապատկելով երկու թվերով ստանանք այլ թվեր, ապա նրանցից առաջացած թվերը կունենան նույն հարաբերությունը, ինչ բազմապատկվող թվերը : Քանի որ D և E թվերը ստացել ենք բազմապատկելով երկու թվերը՝ B և C (համապատասխանաբար), կարելի է պնդել, որ ինչպես B-ն է հարաբերում C-ին, այնպես էլ D-ն կհարաբերի E-ին: Քանի որ D թիվը ստացվել է A բազմապատկելով B-ն, ուրեմն B-ն չափում է D-ն՝ ըստ A-ի միավորների: Եվ F միավորը նույնպես չափում է A-ն՝ ըստ նրա մեջ գտնվող միավորների: Ուրեմն F միավորը չափում է A-ն նույնքան անգամ, որքան B-ն չափում է D-ն: Այսպիսով, ինչպես F ն է հարաբերում Aին, այնպես էլ B-ն է հարաբերում D-ին: Եվ նույն պատճառով, ինչպես Fն է A թվի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է E-ի հանդեպ: Կարելի է պնդել, որ ինչպես B-ն է D-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է E-ի հանդեպ: Ուրեմն փոխադարձաբար, ինչպես B-ն է C-ի հանդեպ, այնպես էլ D-ն է E-ի հանդեպ, Ինչը և պետք էր ապացուցել:

Սկզբունք 19

Եթե չորս թվեր համեմատական են միմյանց, ապա առաջին և չորրորդ թվերի բազմապատկումից ստացված թիվը կլինի հավասար երկրորդի և երրորդի բազմապատկումից ստացված թվին: Եվ եթե առաջինի և չորրորդի բազմապատկումից ստացված թիվը հավասար է երկրորդի և երրորդի բազմապատկումից ստացված թվին, ապա այդ չորս թվերը կլինեն համեմատական: Օրինակ, A, B, C և D համեմատական թվեր են: Ենթադրենք ինչպես A-ն է հարաբերում B-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին: A-ն բազմապատկելով D-ն կստանք E թիվը, իսկ B-ն բազմապատկելով C- թվին կստանանք F թիվը: Կարելի է պնդել, որ E-ն հավասար է F-ին:

Դիցուք, A-ն C-ով բազմապատկելով ստացվում է G թիվը: Քանի որ A-ից ստացվել է G թիվը C-ով բազմապատկելո և E թիվը D-ով բազմապատկելո, ապա A-ից ստացվել են է G և E թվերը համապատասխանաբար բազմապատկվելով C և D թվերի հետ: Ուրեմն ինչպես C-ն է հարաբերում D ին այնպես էլ G-ն է հարաբերում E-ին: Ինչպես C-ն է հարաբերում D-ին , այնպես էլ A-ն է հարաբերում B-ին :Ինչպես A-ն է B-ի հետ հարաբերում, այնպես էլ G-ն է E-ի հետ հարաբերում: Պետք է նշել, որ ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ G-ն է E-ի հանդեպ: Ուրեմն, ինչպես G-ն է E-ի հանդեպ, այնպես էլ G-ն է F-ի հանդեպ: Ուրեմն G-ն ունի նույն հարաբերությունը թե E-ի, թե F-ի հետ: Ուրեմն E-ն հավասար է F-ին: ՈՒնեքն այն փաստը, որ E-ն հավասար է F-ին: Կարելի է պնդել, որ ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է D-ի հանդեպ: Քանի որ նույն կառուցվածքով E-ն հավասար է F-ին, ուրեմն ինչպես G-ն է E-ի հետ համեմատում, այնպես էլ G-ն է F-ի հետ համեմատում: Ինչպես G-ն է հարաբերում E-ին, այնպես էլ C-ն է հարաբերում D-ին: Եվ ինչպես G-ն է F-ի հանդեպ, այնպես էլ A-ն է B-ի հանդեպ: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է D-ի հանդեպ:

ՍԿզբունք 20 Թող լինեն ամենափոքր թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը՝ ինչպես A-ն և B-ն: Ասում եմ, որ CD-ն չափում է A-ն այնքան անգամ, որքան և EF-ն չափում է B-ն՝ մեծը՝ մեծին, և փոքրն՝ փոքրին: Այնպես որ, թող CD և EF լինեն ամենափոքր թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը՝ A-ի և B-ի հետ համապատասխանաբար: Ես ասում եմ, որ CD-ն չափում է A-ն նույն քանակությամբ անգամ, որքան EF-ն չափում է B-ն։

Եթե հնարավոր է, Դիցուք, CD-ն չլինի A-ի մաս: Եվ եթե EF-ն իսկապես այն նույն մասերն ունի B-ի, որոնք CD-ն ունի A-ի մասերից, ապա այն հնարավոր է։ Ինչքան որ մասեր կան CD-ում, նույնքան մասեր կան EF-ում՝ B-ի մասերից։ Let CD բաժանվի A-ի մասերի՝ CG և GD, իսկ EF բաժանվի B-ի մասերի՝ EH և HF։ Եվ այդ դեպքում, CG և GD բաժանումների թվաքանակը հավասար կլինի EH և HF բաժանումների թվաքանակին։ Եվ քանի որ CG և GD թվերը հավասար են միմյանց, նույնպես EH և HF թվերը հավասար են միմյանց, և հարաբերությունը CG-ի և EH-ի միջև նույնն է, ինչ հարաբերությունը GD-ի և HF-ի միջև։ Հետևաբար, ինչպես CG-ն է հարաբերակցվում EH-ի հետ, այնպես էլ GD-ն է հարաբերակցվում HF-ի հետ։ Դրանից հետո, որպես հետևանք, ինչպես յուրաքանչյուր առաջատար մաս՝ ΓΗ միանում է հետագային ΕΘ, այնպես էլ այն մագլցած մասերը ΓΔ և ΕΖ՝ նույն հարաբերությամբ՝ լինում են համարժեք։

Սկզբունք 21

Դիցուք, A եւ B թվերը պարզ թվեր ենէ : Կարելի է պնդել, , որ A եւ B թվերը, նրանց պես հարաբերություն ունեցող թվերից ամենափոքր թվերն են: Եթե դա այդպես չէ, ապա կլինեն ինչ-որ թվեր, որոնք A եւ B-ից փոքր կլինեն և նրանք կհարաբերեն նույնպես, ինչպես A եւ B-: Թող դրանք լինեն C եւ D:

Ասպիսով, քանի որ այս թվերը նվազագույններն են, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն, և մեծ հարաբերությունը չափում է մեծին, և փոքրն այնքանն է, որքան փոքրին՝ այսինքն, ավելի մեծը հարաբերում է ավելի մեծին, իսկ ավելի փոքրը ՝ փոքրին։ Այսպիսով, որքան որ C հարաբերում է Aին, այնքան անգամեր թող լինեն E-ում։ Եվ D-ը, ամփոփելով B-ը, E-ում չափում է ըստ նույն միավորների։ Այսպես, քանի որ C-ը հարաբերում է Aին ըստ E-ում առկա միավորների, E-ն էլ, ըստ C-ի, հարաբերում է Aին նույնչափ ։ Հետևաբար E-ն և B-ը չափում են D-ում առկա միավորներով։ Այնպես որ, հնարավոր չէ, որպեսզի A-ի և B-ից ավելի փոքր թվեր լինեն, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն A և B թվերի հետ։ Հետեւաբար, A և B-ն են այդ թվերը, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ Սա հենց այն բանն է, որը պետք էր ապացուցել:

Սկզբունք 22

Այն նվազագույն թվերը, որոնք ունեն նույնպիսի հարաբերություն, միմյանց նկատմամբ ունեն ընդհանուր բազմապատիկ և նրանք պարզ թվեր են:

Դիցուք A և B լինեն ամենափոքր թվերը նրանցից, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը, ինչ նրանք։ Կարելի է պնդել, որ A-ն և B-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Քանի որ, եթե A-ն և B-ն փոխադարձաբար պարզ չեն, ապա ինչ-որ թիվ կբաժանի նրանց։ Թող այդ թիվը լինի C : Եվ որքան անգամ C-ն բաժանի A-ին, այնքան միավոր թող լինի D-ում։ Եվ որքան անգամ C-ն բաժանի B-ին, այնքան միավոր թող լինի E-ում։ Քանի որ C-ն բաժանում է A-ն՝ համաձայն D-ի մեջ եղած միավորների, C-ն D-ն բազմապատկելով ստեղծել է A-ն։ Նույն պատճառներով C-ն E-ն բազմապատկելով ստացել ենք B-ն։ Այսպիսով, թիվ C-ն D-ն և E-ն բազմապատկելով ստացվել է է A-ն և B-ն։ Այսպիսով, ինչպես D-ն է վերաբերվում E-ին, այնպես էլ A-ն է վերաբերվում B-ին։ Այսպիսով, D-ն և E-ն ունեն նույն հարաբերակցությունը, ինչ A-ն և B-ն, բայց լինելով ավելի փոքր։ Սա անհնար է։ Ուստի, ոչ մի թիվ չի բաժանում A-ն և B-ն։ Այսպիսով, A-ն և B-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Թեորեմն ապացուցված է:

Սկզբունք 23 Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են, ապա դրանցից մեկը բաժանող թիվը կմնա փոխադարձաբար պարզ մյուս թվի հետ։

Դիցուք A և B լինեն փոխադարձաբար պարզ թվեր, և թող մի թիվ C բաժանի A-ին։ Ասում եմ, որ C-ն և B-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Եթե C-ն և B-ն փոխադարձաբար պարզ չեն, ապա մի թիվ կբաժանի C-ն և B-ն։ Թող այդ թիվը լինի D։ Քանի որ D-ն բաժանում է C-ն, իսկ C-ն բաժանում է A-ն, ապա D-ն նաև բաժանում է A-ն։ Եվ D-ն բաժանում է նաև B-ն։ Այսպիսով, D-ն բաժանում է A-ն և B-ն, որոնք փոխադարձաբար պարզ են։ Սա անհնար է։ Ուստի, ոչ մի թիվ չի բաժանում C-ն և B-ն։ Այսպիսով, C-ն և B-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Սա է այն, ինչ պետք էր ապացուցել:

Սկզբունք24 Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են որևէ թվի հետ, ապա դրանցից բազմապատկված, ստեղծված թիվը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինի նույն թվի հետ։

Դիցուք, A և B լինեն երկու թվեր, որոնք երկուսն էլ փոխադարձաբար պարզ են C-ի հետ։ Թող A-ն B-ն բազմապատկելով ստեղծի D-ն։ Կարելի է պնդել, որ C-ն և D-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Եթե C-ն և D-ն փոխադարձաբար պարզ չեն, ապա ինչ-որ թիվ կբաժանի C-ն և D-ն։ Թող այդ թիվը լինի E։ Եվ քանի որ C-ն և A-ն փոխադարձաբար պարզ են, իսկ E-ն բաժանում է C-ին, ապա A-ն և E-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Քանի անգամ E-ն բաժանում է D-ն, այնքան միավոր թող լինի F-ում։ Ուստի, F-ն նույնպես բաժանում է D-ն՝ ըստ E-ի մեջ եղած միավորների։ E-ն F-ն բազմապատկելով ստեղծել է D-ն։ Սակայն A-ն նույնպես B-ն բազմապատկելով ստեղծել է D-ն։ Ուստի E-ի և F-ի բազմապատկումը հավասար է A-ի և B-ի բազմապատկմանը։ Եթե ծայրամասային թվերի (բազմապատկումը) հավասար է միջնամասային թվերի (բազմապատկմանը), ապա թվերը համեմատական են։ Ուստի, ինչպես EEE-ն է վերաբերվում A-ին, այնպես էլ B-ն է վերաբերվում F-ին։ A-ն և E-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Եվ A-ն և E-ն լինելով փոխադարձաբար պարզ՝ նաև նվազագույն թվերն են։ Նվազագույն թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը, կբաժանեն նույն հարաբերակցությամբ ունեցող թվերը՝ հավասար քանակով։ Առավել մեծը բաժանում է առավել մեծին, իսկ փոքրն՝ փոքրին։ Այսպիսով, E-ն բաժանում է B-ն։ Եվ E-ն նաև բաժանում է C-ն։ Ուստի E-ն բաժանում է B-ն և C-ն, որոնք փոխադարձաբար պարզ են։ Սա անհնար է։ Ուստի, ոչ մի թիվ չի կարող բաժանել C-ն և D-ն։ Այսպիսով, C-ն և D-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Սա է այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։

Սկզբունք 25 Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են, ապա դրանցից մեկի քառակուսիով ստեղծված թիվը փոխադարձաբար պարզ կլինի մյուսի հետ։ Դիցուք A և B երկու պարզ թվեր են, որոնք փոխադարձաբար պարզ են։ Թող A-ն ինքն իրեն բազմապատկելով ստեղծի C-ն։ Կարելի է պնդել , որ B-ն և C-ն փոխադարձաբար պարզ են։

Դիցուք D լինի հավասար A-ին։ Քանի որ A և B փոխադարձաբար պարզ են, իսկ A հավասար է D-ին, ապա D-ն և B-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Այսպիսով, D-ն և A-ն երկուսն էլ փոխադարձաբար պարզ են B-ի հետ։ Այլ կերպ ասած, D-ից և A-ից ստացված թիվը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինի B-ի հետ։ Եվ C-ն է այն թիվը, որը ստացվում է D-ի և A-ի բազմապատկումով։ Այսպիսով, C-ն և B-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Սա է այն, ինչ պետք էր ցույց տալ։

Սկզբունք 26 Եթե երկու թվերն էլ փոխադարձաբար պարզ են երկու թվերի հետ, ապա դրանցից բազմապատկված, ստացված թվերը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինեն իրար հետ։

Դիցուք A և B երկու թվեր լինեն, որոնք երկուսն էլ փոխադարձաբար պարզ են երկու այլ թվերի՝ C-ի և D-ի հետ։ Դիցուք, A-ն B-ի հետ բազմապատկելով ստանանք E-ն, և թող C-ն D-ի հետ բազմապատկելով ստանանք F-ն։ Ասում եմ, որ E և F փոխադարձաբար պարզ են։ Քանի որ A-ն և B-ն երկուսն էլ փոխադարձաբար պարզ են C-ի հետ, ապա A-ի և B-ի բազմապատկմամբ ստացված թիվը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինի C-ի հետ։ Այսպիսով, E-ն և C-ն փոխադարձաբար պարզ են։ Դրա համար նույն պատճառներով E-ն և D-ն նույնպես փոխադարձաբար պարզ են։ Այսպիսով, C-ն և D-ն երկուսն էլ փոխադարձաբար պարզ են E-ի հետ։ Եվ C-ի և D-ի բազմապատկմամբ ստացված թիվը նույնպես փոխադարձաբար պարզ կլինի E-ի հետ։ Իսկ FFF-ն է այն թիվը, որը ստացվում է C-ի և D-ի բազմապատկումով։ Այսպիսով, E-ն և F-ն փոխադարձաբար պարզ են։

Սկզբունք 27 Եթե երկու թվեր փոխադարձաբար պարզ են իրարից, և յուրաքանչյուրը նրանցից որոշ թիվ է ստեղծում՝ ինքն իրեն բազմապատկելով, ապա դրանցից ստացված թվերը նույնպես կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Եվ եթե սկզբնական թվերը ստեղծեն որոշ թվեր՝ ստեղծված թվերը բազմապատկելով, ապա դրանք ևս կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Սա միշտ տեղի է ունենում ծայրամասերի վերաբերյալ։

Դիցուք A և B երկու թվեր են, որոնք փոխադարձապես պարզ են, և թող A ստեղծի C՝ ինքն իրեն բազմապատկելով, իսկ B՝ E՝ ինքն իրեն բազմապատկելով։ Եվ թող A բազմապատկի C՝ ստանալով D, իսկ B բազմապատկի E՝ ստանալով F։ Կարելի է պնդել, որ C և E, և D և F կլինեն փոխադարձաբար պարզ։ Որովհետև A և B փոխադարձապես պարզ են, և A ինքն իրեն բազմապատկելով ստեղծել է C, ապա C և B նույնպես կլինեն փոխադարձապես պարզ։ Այնպես որ, C և B փոխադարձապես պարզ են, և B ինքն իրեն բազմապատկելով ստեղծել է E, ուստի C և E նույնպես փոխադարձապես պարզ են։ Նորից, քանի որ A և B փոխադարձապես պարզ են, և B ինքն իրեն բազմապատկելով ստեղծել է E, ապա A և E նույնպես փոխադարձապես պարզ են։ Այնպես որ, քանի որ երկու թիվ՝ A և C, երկուսն էլ փոխադարձաբար պարզ են երկու թվերից՝ B և E, A և C բազմապատկելով ստացած թիվը (D) կլինի B և E բազմապատկելով ստացված թվից (F) փոխադարձապես պարզ։ Այնպես որ, D և F փոխադարձապես պարզ են։ Սա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

Սկզբունք 28 Եթե երկու թիվեր պարզ են, ապա նրանց գումարը նույնպես կլինի պարզ յուրաքանչյուրին։ Եվ եթե այդ գումարը պարզ է ինչ-որ մեկի հետ, ապա սկզբնական թվերը նույնպես պարզ կլինեն

Դիցուք երկու թվերը՝ AB և BC, որոնք պարզ են, տրված են: Կարելի է պնդել, որ նրանց գումարը՝ AC, նույնպես պարզ կլինի յուրաքանչյուրի համար՝ AB և BC: Եթե քաղված AC և AB միմյանց պարզ չեն չեն, ապա կգտնվի ինչ-որ թիվ, որը չափում է AC և AB: Թող այդ թիվը լինի D: Ենթադրենք, որ D չափում է AC և AB, ապա այն նույնպես պետք է չափի BC: Բայց քանի որ AB և BC միմյանց պարզ են, դա անհնար է: Հետևաբար, AC և AB պետք է միմյանց պարզ լինեն: Անհրաժեշտության դեպքում, եթե AB և BC միմյանց պարզ չեն, ապա թիվ D կմատչի AB և BC, ինչը էլ ավելի անհավանական է, քանի որ D չափում է նաև AC ամբողջությամբ: Եվ քանի որ AB և BC միմյանց պարզ են, դա նույնպես անհնար է: Հետևաբար, AB և BC պետք է միմյանց պարզ լինեն: Այսպիսով, ապացուցվեց, որ երկու թիվ, որոնք միմյանց պարզ են, նրանց գումարը նույնպես պարզ կլինի միմյանց

Սկզբունք 29 Յուրաքանչյուր պարզ թիվ առաջին է բոլոր այն թվերի հետ, որոնք ինքը չի չափում

Դիցուք, A-ն պարզ թիվ է, և B-ն այնպիսի թիվ է, որ A-ն չի չափում։ Կարելի է, որ B-ն և A-ն միմյանց նկատմամբ պարզ են։ Որպեսզի եթե B-ն և A-ն միմյանց նկատմամբ պարզ չեն, ապա մի թիվ կլինի, որը նրանց չափում է։ Թող C-ն չափի նրանց։ Քանի որ C-ն չափում է B-ն, իսկ A-ն չի չափում B-ն, ապա C-ն պետք է տարբեր լինի A-ից։ Եվ քանի որ C-ն չափում է B-ն և A-ն, ապա C-ն պետք է չափի նաև A-ն՝ չնայած նրան, որ չի համընկնում նրա հետ։ Բայց սա անհնար է։ Այնպես որ, չի կարող լինել որևէ թիվ, որը կչափի B-ն և A-ն։ Այդպիսով, A-ն և B-ն միմյանց նկատմամբ պետք է լինեն պարզ։

Սկզբունք 30

Եթե երկու թիվը իրար բազմապատկելով ստանում են ինչ-որ թիվ, և այդ թվից մեկը չափվում է մի պարզ թվով, ապա սկզբնական թվերից մեկը նույնպես պետք է չափվի

Թող երկու թիվ A և B ստեղծեն C՝ իրար բազմապատկելով, և թող ինչ-որ պարզ թիվ D հավասար լինի C-ին: Ես ասում եմ, որ D-ը պետք է հավասար լինի A կամ B: Թող D-ն չհավասար է A, և քանի որ D-ը պարզ է, ապա A և D թվերը միմյանց նկատմամբ պարզ են: Եվ քանի որ D-ն հավասար է C-ին, ապա այն պետք է հավասար է E-ին այնքան անգամ, որքան D-ն հավասար է C-ին: Իսկ քանի որ D-ն հավասար է C-ին ըստ E-ի, ապա D-ն ստեղծում է C՝ բազմապատկելով E: Բայց իսկապես, նաև A-ն ստեղծում է C՝ B-ի հետ բազմապատկելով: Այսպիսով, ստեղծված թիվը D և E թվերից հավասար է A և B թվերի բազմապատկմանը: Դրանով, ինչպես D-ն A-ին հավասար է, այնպես էլ B-ն E-ին հավասար է: Եվ D-ն ու A թվերը պարզ են միմյանց հետ, ինչպես նաև B-ն ու E-ն:

Սկզբունք 31

Ամեն բաղադրյալ թիվը չափվում է ինչ-որ պարզ թվով:

Դիցուք A-ն բաղադրյալ թիվ է։ Կարելի է պնդել, որ A-ն չափվում է ինչ-որ պարզ թվով։ Քանի որ A-ն բաղադրյալ է, ինչ-որ թիվ այն կչափի։ Թող այդ թիվը լինի B։ Եվ եթե B-ն պարզ է, ապա այն, ինչ ուզում էինք, ապացուցված է։ Իսկ եթե B-ն բաղադրյալ է, ապա ինչ-որ թիվ կչափի այն։ Թող այդ թիվը լինի C։ Եվ քանի որ C-ն չափում է B-ն, իսկ B-ն չափում է A-ն, ապա C-ն նույնպես կչափի A-ն։ Եվ եթե C-ն պարզ է, ապա այն, ինչ նախատեսված էր, կատարվում է։ Իսկ եթե C-ն բաղադրյալ է, ապա ինչ-որ թիվ կչափի այն։ Այս շարունակական հետազոտությունների մեջ, որևէ պարզ թիվ կգտնվի, որը կչափի այն։ Եթե այդպիսի թիվ չի գտնվի, ապա մի քանի անսահման թվեր, որոնք մեկմեկից փոքր են, կչափեն A-ն։ Բայց դա անհնար է թվերի մեջ։ Ուստի, ինչ-որ պարզ թիվ կգտնվի, որը կչափի նախորդը, և որը նույնպես կչափի A-ն։

Ուստի, ամեն բաղադրյալ թիվը չափվում է ինչ-որ պարզ թվով։ Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

    Սկզբունք 32

Ամեն թիվ կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով

Դիցուք A թիվ է: Կարելի է պնդել, որ A-ն կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով: Եթե A-ն պարզ է, ապա այն, ինչ նախատեսված էր, տեղի է ունենում: Իսկ եթե այն բաղադրյալ է, ապա ինչ-որ պարզ թիվ կչափի այն: Ուստի, ամեն թիվը կամ պարզ է, կամ չափվում է ինչ-որ պարզ թվով: Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

  Սկզբունք 33

Թող A, B, և C լինեն ցանկացած տրված թվեր: Պետք է գտնենք նրանցից ամենափոքրին, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B, և C: Իրականում, եթե A, B և C իրար հետ պարզ են, ապա նրանք կլինեն ամենափոքրն այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես տրված թվերն են:

Դիցուք ունենք A, B և C թվերի առավելագույն ընդհանուր չափը՝ D, և որքանով D չափում է A, B և C, այնքան ամեն մի թիվ՝ E, F և G, համապատասխանաբար չափում է A, B և C ըստ D-ի միավորների:

Այդպիսով, E, F և G չափում են A, B և C ըստ նույն հարաբերակցությամբ: Ուստի, E, F և G ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C: Եթե E, F և G չեն ամենափոքր թվերը, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C, ապա կլինեն այլ թվեր, որոնք փոքր կլինեն E, F և G և կկարողանան լինել նույն հարաբերակցությամբ՝ ինչպես A, B և C: Ներկայացնենք այդ թվերը՝ H, K, L: Ուստի, H չափում է A, ինչպես K և L՝ B և C: Այնուհետև, քանի որ H չափում է A, M նույնպես կչափի A, ինչպես K և L՝ B և C: Եվ քանի որ H չափում է A, M նույնպես չափելու է B և C՝ ըստ նույն միավորների: Եվ քանի որ H չափում է A՝ ըստ M-ի միավորների, այնուհետև M նաև կչափի B և C՝ ըստ K և L-ի միավորների: Այդպիսով, M չափում է A, B և C: Բայց այս հնարավորությունը անհնար է, քանի որ D՝ A, B և C թվերի առավելագույն ընդհանուր չափն է: Ուստի, հնարավոր չէ որևէ թիվ, որը փոքր է E, F և G և ունի նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C: Այսպիսով, E, F և G կլինեն ամենափոքրը՝ այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերակցությունը՝ ինչպես A, B և C: Դա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

        Սկզբունք 34

      Դիցուք A և B թվերը տրված են։ Պետք է գտնենք այն ամենափոքր թիվը, որը կչափեն երկու տրված թվերը:
                                

Դիցուք, A և B լինի միմյանցից անկախ թվեր են:թող A C ստանա՝ բազմապատկելով B: Այսպիսով, B նույնպես C ստացրեց՝ բազմապատկելով A Այսպիսով, A և B երկուսն էլ չափում են C: Ես ասում եմ, որ C-ն նույնպես ամենափոքրն է թիվ, որը նրանք երկուսն էլ չափում են: Եթե ոչ, A և B երկուսն էլ կչափեն մի այլ թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Թող նրանք երկուսն էլ հավասար լինեն D (որը ավելի փոքր է քան C): Եվ որքան անգամ A հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն E-ում: Եվ որքան անգամ B հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն F-ում: Այսպիսով, A ստացրեց D՝ բազմապատկելով E, իսկ B ստացրեց D՝ բազմապատկելով F: Այսպիսով, A և E-ից ստացված թիվը հավասար է B և F-ից ստացված թվին: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ին, այնպես էլ F-ն է E-ին: Եվ քանի որ A և B-ն անկախ են միմյանցից, իսկ անկախ թվերը ամենափոքրն են (այսինքն՝ այդ նույն հարաբերությունը ունեցող թվերը), ապա ավելի մեծը չափում է ավելի մեծը, իսկ փոքրն՝ ավելի փոքրին: Այսպիսով, B-ն չափում է E, ինչպես հետևյալ (համարների չափման) միջոցով: Եվ քանի որ A-ը ստացավ C և D՝ բազմապատկելով B և E համապատասխանաբար, ապա ինչպես B-ն է E-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին : Եվ B-ն չափում է E: Այսպիսով, C-ն նույնպես չափում է D, ավելի մեծը՝ չափելով ավելի փոքրին: Հետևաբար, դա անհնար է: Այսպիսով, A և B-ն չեն չափում մի թիվ, որը ավելի փոքր է քան C: Հետևաբար, C-ն այն ամենափոքր թիվն է, որը չափում են A-ն և B-ն:

A և B անկախ թվեր չեն: Եվ թող նախ ի հայտ գան ամենափոքր թվերը՝ F և E, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը A-ի և B-ի հետ (համապատասխանաբար Այնպես որ, A-ի և E-ի բազմապատկմամբ ստացված թիվը հավասար է B-ի և F-ի բազմապատկմամբ ստացված թվին [Prop. 7.19]: Եվ թող A-ը ստանա C՝ բազմապատկելով E: Այսպիսով, B-ն նույնպես ստանում է C՝ բազմապատկելով F: Ուրեմն,, A և B երկուսն էլ հարաբերում են C: Ես ասում եմ, որ C-ն նույնպես ամենափոքրն է (թիվը, որը նրանք երկուսն էլ հարաբերում են): Եթե ոչ, A և B երկուսն էլ կհարաբերեն մի թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Թող նրանք երկուսն էլ հարաբերեն D (որը ավելի փոքր է, քան C): Եվ որքան անգամ A հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն G-ում: Եվ որքան անգամ B հարաբերում է D, նույնքան միավորներ թող լինեն H-ում: Այսպիսով, A ստացրեց D՝ բազմապատկելով G, իսկ B ստացրեց D՝ բազմապատկելով H: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ին, այնպես էլ H-ն է G-ին [Prop. 7.19]: Եվ քանի որ A-ը ստացավ C և D՝ բազմապատկելով E և G համապատասխանաբար, ապա ինչպես E-ն է G-ին, այնպես էլ C-ն է D-ին [Prop. 7.17]: Եվ E-ն հարաբերում է G: Այսպիսով, C-ն նույնպես հարաբերում է D՝ մեծը հարաբերում է փոքրին: Դա անհնար է: Այսպիսով, A և B չեն հարաբերում մի թիվ, որը ավելի փոքր է, քան C: Հետևաբար, C-ն այն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում են A-ն և B-ն: Սա հենց այն է, ինչ պետք էր ցույց տալ:

    Սկզբունք 35

«Եթէ երկու թվերին հարաբերեն ինչ-որ թիվ, ապա դրանցից ամենափոքրը, որն իրենով հարաբերում է այդ թիվը, նույնպես կհարաբերի նույն թվին:

Եվ այո, Դիցուք, A և B, հարաբերում են ինչ-որ թիվ CD, և թող E լինի ամենափոքրը, որն հարաբերում է ինչպես A-ն, այնպես էլ B-ն: Ես ասում եմ, որ E նույնպես հարաբերում է CD: Եթե E չի հարաբերում CD, թող E թողնի CF, որը փոքր է իրենից (հարաբերելով DF): Եվ քանի որ A-ն և B-ն հարաբերում են E-ին, իսկ E-ն հարաբերում է DF, ապա A-ն և B-ն նույնպես կհարաբերեն DF: Եվ (A-ն և B-ն) նույնպես հարաբերում են ամբողջ CD-ն: Այնպես որ, նրանք նույնպես կհարաբերեն մնացորդը՝ ΓΔ, որը փոքր է E-ից: Ինչպես տեսնում ենք, դա անհնար է: Այնպես որ, E չի կարող չհարաբերում CD-ին: Նշանակում է, որ (E) հարաբերում է CD: Այդ ամենը հենց այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

     Սկզբունք 36

Այսպես, A, B և C երեք տրված թվեր են։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է նրանց բոլորին:

Դիցուք A, B և C թվեր են, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի հարաբերություն։ Պետք է գտնել այն ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է բոլոր երեք թվերին։ Եկեք ընդունենք, որ A և B ի համար այդ թիվը՝ Dն է ։ Եվ եթե C-ն հարաբերում է D-ին, ապա այն կլինի փաստը թր ուզում էինք ապացուցել։ Եթե ոչ, ապա A, B և C պետք է որոշեն E-ը, որը կլինի ամենափոքր թիվը, որը հարաբերում է D-ին։ Եթե E-ն ավելի փոքր է, քան D, ապա ստացվում է, որ E-ն չպետք է լինի ավելի փոքր։ Բայց այս փաստը հնարավոր չէ։ Այնպես որ, մենք պետք է հաստատենք, որ E-ն իսկապես ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում է A, B և C թվերին։ Այսպիսով, մենք ցույց տալիք խնդիրը, որ E-ն ամենափոքր թիվն է, որը հարաբերում է A, B և C թվերին։

      Սկզբունք 37

Եթե մի թիվ չափվում է մեկ այլ թվով, ապա այդ թիվը կունենա մաս, որն անվանվում է նույն անունով, ինչ մյուս թիվը:

Դիցուք A թիվը չափվում է B թվով։ Ես ասում եմ, որ A-ն ունի մաս, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B-ն։ Քանի անգամ B-ն հարաբերում է A-ին, այդքան շատ միավորներ լինեն C-ում։ Քանի որ B-ն չափում է A-ն ըստ C-ի միավորների, և D միավորը նույնպես չափում է C թիվը ըստ նրա մեջ եղած միավորների, ապա D միավորը այնքան անգամ կչափի C թիվը, որքան B-ն՝ A-ն։ Հետևաբար, D միավորը չափում է B թիվը, ինչպես C-ն՝ A-ն։ Եվ այսպես, ամեն մի մասնաբառ, որը D միավորը B թվի մաս է, նույն անունով մասն է նաև C-ի A թվի համար։ Հետևաբար, A-ն ունի C մասը, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B-ն։ Դա հենց այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

     Սկզբունք 38

Եթե թիվը բաժանվում է որոշակի մասերի (մասնիկների), ապա այդ մասերից յուրաքանչյուրն ունի համապատասխան թվային նշանակություն, որը կոչվում է այդ մասի անվանումը

Տրված լինի, որ թիվ A-ն ունի որևէ մաս, օրինակ՝ B։ Եվ թող C-ը լինի այն թիվը, որը կոչվում է նույն անունով, ինչ B (ինչպես՝ B-ն A-ի C-րդ մասը է): Ես ասում եմ, որ C-ն չափում է A-ն։ Քանի որ B-ն A-ի մի մասն է, որն ունի նույն անունը, ինչ C, ապա նաև D միավորը C-ի մաս է, որն ունի նույն անունը՝ այն է՝ D-ն C-ի C-րդ մասն է։ Եվ հետևաբար, ինչպես D-ն C-ն է չափում, այնպես էլ B-ն չափում է A-ն։ Այսպես, ի վերջո, D-ն B-ն է չափում նույնքան անգամ, ինչքան C-ն չափում է A-ն։ Ուստի, C-ն չափում է A-ն։ Եվ սա այն է, ինչ պետք է ապացուցվի Սկզբունք 39

Ենթադրենք, որ տրված մասերն են A, B և C։ Պետք է գտնվի նվազագույն թիվը, որը կունենա A, B և C մասերը։ Լավ, ենթադրենք, որ A, B և C մասերի համար գոյություն ունեն համանուն թվեր, որոնց անունները կհամապատասխանեն համապատասխան մասերին (A-ին՝ D, B-ին՝ E, C-ին՝ F)։ Այնպես որ, նվազագույն թիվը՝ G, որն ունի A, B և C մասերը, չափվում է D, E և F թվերով։ Եվ G-ն իր հերթին կունենա մասեր, որոնք համանուն են D, E և F թվերին։ Ուստի, G-ն կունենա նաև A, B և C մասերը։ Ապա ես ասում եմ, որ G-ն, լինելով նվազագույնը, եթե ոչ, ապա լինի մի թիվ՝ H, որը կլինի G-ից փոքր, բայց կունենա A, B և C մասերը։ Այս դեպքում, եթե H-ն ունի A, B և C մասերը, ապա այն կչափվի D, E և F թվերով։ Բայց քանի որ H-ն փոքր է G-ից, դա անհնար է։ Այսպիսով, չի կարող լինել մի թիվ, որը փոքր լինի G-ից և ունենա A, B և C մասերը։ Սա հենց այն է, ինչը պետք էր ապացուցել։

      Սկզբունք 1

Եթե կա շարունակաբար համեմատվող թվերի որևէ խումբ, և այդ խմբի արտաքնապես թվերը միմյանց համապատասխան չեն, ապա այս թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն

Թող A, B, C, D լինեն շարունակաբար համեմատվող թվերի ցանկացած խումբ։ Եվ թող այդ խումբի արտաքնապես թվերը՝ A և D, միմյանց համապատասխան չեն։ Ես ասում եմ, որ A, B, C, D-ը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ Եթե ոչ, թող E, F, G, H լինեն A, B, C, D-ից փոքր, լինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ քանի որ A, B, C, D-ը նույն հարաբերությունն ունեն E, F, G, H-ի հետ, ապա A, B, C, D-ի բազմապատկումը հավասար է E, F, G, H-ի բազմապատկմանը։ Հետևաբար, ըստ հավասարության, ինչպես A-ն՝ D-ին, այնպես էլ E-ն՝ H-ին, ուստի A և D թվերը միմյանց համապատասխան են, և դրանք միմյանց պնդեն։ Այսպիսով, A-ն չափում է E-ն՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, E, F, G, H թվերը չեն կարող նույն հարաբերությամբ լինել A, B, C, D-ի հետ։ Այսպիսով, A, B, C, D թվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։ Այսպիսով, մենք դա ապացուցեցինք։

      Սկզբունք 2

Լավ, տրված հարաբերությունը A և B թվերի միջև, լինի արտահայտված ամենափոքր թվերով։ Այնուհետև անհրաժեշտ է գտնել այն ամենափոքր թվերը, որքան պահանջվի, որոնք համարժեք են A և B-ի հարաբերությանը։ Տրված են չորս թիվ։ Եվ թող A-ն ինքն իրեն բազմապատկելով C ստանա, B-ն էլ ինքն իրեն բազմապատկելով D ստանա։ Եվ կրկին, թող B-ն ինքն իրեն բազմապատկելով E ստանա։ Եվ ավելի ևս, թող A-ն C-ն, D-ն, E-ն բազմապատկելով F-ը, G-ը, H-ը ստանա։ Եվ թող B-ն E-ն բազմապատկելով K ստանա։

Եվ քանի որ A-ն Cն ստացել է ինքն իրեն բազմապատկելով, և B-ն D-ն ստացել է B-ն բազմապատկելով, ապա ինչպես A-ն B-ին, այնպես էլ C-ն D-ին համարժեք են ։ Շարունակաբար, քանի որ A-ն D-ն ստացել է B-ն բազմապատկելով, և B-ն E-ն ստացել է ինքն իրեն բազմապատկելով, ապա ինչպես A-ն B-ին, այնպես էլ D-ն E-ին համարժեք են։ Եվ քանի որ A-ն F, G-ն ստացել է C, D-ն բազմապատկելով, ապա ինչպես C-ն D-ին, այնպես էլ F-ն G-ին համարժեք են ։ Եվ ինչպես C-ն D-ին, այնպես էլ F-ն G-ին։ Եվ քանի որ A-ն G, H-ն ստացել է D, E-ն բազմապատկելով, ապա ինչպես D-ն E-ին, այնպես էլ G-ն H-ին համարժեք են ]։ Իսկ ինչպես D-ն E-ին, այնպես էլ A-ն B-ին։ Եվ այդպես, ինչպես A-ն B-ին, այնպես էլ H-ն K-ին։ Բայց քանի որ A և B-ն են արել F և K, բազմապատկելով C և E, ապա ինչպես F-ն G-ին, այնպես էլ G-ն H-ին։ Եվ այդպես, C, D, E, F, G, H, K համաժամանակ են համարժեք A-ի և B-ի հարաբերությանը։ Եվ քանի որ A և B-ն ամենափոքր թվերն են այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը նրանց հետ, և ամենափոքր թվերն են, որոնք միմյանց միմյանցից քանակով փոքր են, ապա A-ն և B-ն միասին ստեղծել են C և E, և C, E և F, K թվերը միմյանցից փոքր են։ Եզրակացություն Այնպես որ, սա հստակ է, որ եթե երեք շարունակաբար համամասն թվերը լինեն ամենափոքրերը այդ (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ապա դրանց եզրային թվերը քառակուսիներ կլինեն, իսկ եթե չորս (թվեր), ապա քառակուսիներ:

    Սկզբունք 3

Եթե կան շարունակաբար համամասն թվեր, որոնք ամենափոքրն են այդ (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ապա դրանց եզրային թվերը միմյանց հետ համընդհանուր նշանակություն ունեն:

A, B, C, D լինեն որևե բազմություն շարունակաբար համամասն թվերի (որոնք) ամենափոքրն են այն թվերից, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ասեմ, որ նրանց եզրային թվերը՝ A և D, միմյանց հետ համընդհանուր նշանակություն ունեն: Թող վերցվեն երկու ամենափոքր թվեր՝ E և Z (որոնք) նույն հարաբերությունը ունեն A, B, C, D-ի հետ։ Ապա վերցվում են երեք ամենափոքր թվեր՝ H, Θ, K, և շարունակաբար ավելացվում են մեկով ավելին, մինչև որ վերցված բազմությունը հավասարվի A, B, C, D-ի բազմությանը: Եվ երբ E և Z ամենափոքր թվերն են նրանց (որոնք) ունեն նույն հարաբերությունը, նրանք միմյանց հետ համընդհանուր նշանակություն ունեն: Եվ երբ E և Z իջեցնում են յուրաքանչյուրին, նրանք G, K են դարձնում, ապա նրանք L, Ξ շարունակում են, և բոլոր թվերը միմյանց հետ համընդհանուր նշանակություն ունեն: Եվ քանի որ A, B, C, D ամենափոքր թվերն են, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, ապա L, M, N, O նույնպես ամենափոքր թվերն են, որոնք ունեն նույն հարաբերությունը, այսինքն՝ նույն հարաբերությամբ A, B, C, D-ի հետ: Դա այն է, ինչ պետք է ապացուցվի։