Մասնակից:NaneMambreyan

Տեսություն 46

Ռացիոնալ թվի քառակուսային արմատի և միջնականի գումարը կարելի է բաժանել դրան պատկանող հատվածների) միայն մեկ կետում։†

Ենթադրենք ԱԲ-ն ռացիոնալ թվի քառակուսային արմատի և միջնականի գումարն է, որը բաժանվել է Ց կետում, այնպես, որ ԱՑ և ՑԲ հատվածների մակերեսները քառակուսիները) անհամաչափելի են, այնպես, որ ԱՑ և ՑԲ հատվածների քառակուսիների գումարը միջնական է և հավասար է ԱՑ և ՑԲ ռացիոնալ երկարություններով հատվածներով կառուցված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին: Այն է, ԱԲ հատվածը այս կերպ հնարավոր չէ բաժանել այլ կետով: Ենթադրենք, ԱԲ-ն հնարավոր է Դ կետով ևս բաժանել այնպես, որ ԱԴ և ԴԲ-ի քառակուսիները ևս անհամաչափելի են, այսպիսով, ԱԴ և ԴԲ հատվածների երկարությունների քառակուսիների գումարը հավասար է միջնականին և ԱԴ և ԴԲ ռացիոնալ հատվածներով կազմված ուղղանկյան կրկնապատկին: Այսպիսով, քանի որ ինչ որ քանակության և ԱՑ, ՑԲ հատվածները պարունակող ուղղանկյան կրկնակի մակերեսի արտադրյալը հավասար չէ ԴԲ, ԱԴ հատվածնեով կազմված ուղղանկյան մակերեսին, հետևաբար ԱԴ և ԴԲ հատվածների քառակեւսիների գումարը ևս հավասար չէ ԱՑ և ՑԲ հատվածների թառակուսիների գումարին: Եվ ԱՑ, ՑԲ հատվածներով կազմված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկը ինչ-որ ռացիոնալ թվով մեծ է ԱՑ, ՑԲ հատվածներով կազմված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատկից: Հետևաբար, ԱԴ և ԴԲ քառակուսիների գումարը ևս ինչ-որ ռացիոնալ թվով արտահայտվող մակերեսով մեծ է ԱՑ և ՑԲ քառակուսիների գումարից, չնայած որ երկուսն էլ միջնականներ են: Այսպիսի բան անհնարին է: Այսպիսով, ռացիոնալ թվի քառակուսային արմատի և միջնականի գումարը չի կարող բաժանվել բաղկացուցիչ մասերի մեկ այլ կետում: Այն կարող է այդպես բաժանվել միայն մեկ կետում, որն էլ և պահանջվում էր ցույց տալ:

† Այլ կերպ ասած` s, q[1 + k2)1/2 + k]/[2 (1 + k2)] +q[(1 + k2)1/2 − k]/[2 (1 + k2)] = q[(1 + k′2)1/2 + k′]/[2 (1 + k′2)]+q[(1 + k′2)1/2 − k′]/[2 (1 + k′2)] ունի միայն մեկ արմատ, այն է: k′ = k.

Տեսություն 47

Երկու միջնական մակերեսների գումարի քառակուսային արմատը կարող է բաժանվել մասերի միայն մեկ կետով:†

Ենթադրենք ԱԲ-ն երկու միջնական մակերեսների գումարի քառակուսային արմատն է, որը բաժանվել է Ց կետով այնպես, որ ԱՑ և ՑԲ հատվածներով կազմված քառակուսիները անհամաչափելի են, այսպիսով, ԱՑ և ՑԲ քառակուսիների գումարը միջնական է, ԱՑ և ՑԲ կողմերով կազմված ուղղանկյան մակերեսը միջննական է, ավելի, անհամաչափելի է ԱՑ և ՑԲ քառակուսիների գումարի հետ: Այն է, ԱԲ-ն չի կարող որևէ այլ կետով բաժանվել այնպես, որ բավարարի վերոնշյալ պայմաններին: Ենթադրենք այն Դ կետով բաժանվել է հատվածների այնպես, որ ԱՑ-ն կրկին ակնհայտորեն հավասար չէ ԴԲ-ին, բայց ԱՑ-ն ըստ հիպոթեզի ավելի մեծ է: Տանենք ԵՖ ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ գիծը: Ենթադրենք, ԵԳ-ն, (որը հավասր է ԱՑ, ՑԲ հատվածներով կառուցված քառակուսիների գումարին), և ՀԿ-ն, (որը հավասար է ԱՑ, ՑԲ կողմերով ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկին), օգտագործվել են որպես ԵՖ-ի հետ կազմված ուղղանկյունների բարձրություններ: Այսպիսով, ԵԿ-ն հավասար է ԱԲ քառակուսուն: Նաև ենթադրենք, որ ԵԼ-ը, որը հավասար է ԱԴ և ԴԲ քառակուսիների գումարին, օգտագործվել է որպես ԵՖ-ով կազմված ուղղանկյան կողմ: Այսպիսով մնացածը` ԱԴ և ԴԲ հատվածներով կազմված ուղղանկյան մակերեսի կրկնապատիկը, հավասար է ՄԿ-ին: Եվ քանի որ ԱՑ, ՑԲ քառակուսիների գումարը ենթադրաբար միջնական էր, ԵԳ-ն ևս միջնական է և ռացիոնալ ԵՖ երկարությամբ հատվածի հետ կազմում է ուղղանկյուն: Հետևաբար ՀԵ-ն ռացիոնալ է ևերկարությամբ անհամաչափելի է ԵՖ-ի հետ: Նույն պատճառով, ՀՆ-ն ևս ռացիոնալ է և ԵՖ-ի հետ անհամաչափելի: Եվ քանի որ ԱՑ, ՑԲ քառակուսիների գումարը անհամաչափելի է ԱՑ, ՑԲ հատվածներով կազմված ուղղանկյան կրկնակի մակերեսի հետ, ԵԳ-ն ևս անհամաչափելի է ԳՆ-ի հետ: Հետևաբար, ԵՀ-ն նաև անհամաչափելի է ՀՆ-ին: Եվ, դրանք երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են: Այսպիսով, ԵՀ-ն և ՀՆ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, և միայն դրանցով կազմված քառակուսինեն են անհամաչափելի: Այսպիսով, ԵՆ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է, որը Հ կետով բաժանված է դրան պատկանող կետերի: Նման կերպով կարող ենք նաև ցույց տալ, որ այն բաժանված է Մ կետով: Ավելին, ԵՀ-ն հավասար չէ ՄՆ-ին: Այն է, երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը բաժանվում է դրան պատկանող հատվածների տարբեր կետերով: Սա անհեթեթություն է: Հետևաբար, երկու միջնական մակերեսների գումարի քառակուսի արմատը հնարավոր չէ տարբեր կետերով բաժանել դրան պատկանող հատվածների: Այսպիսով, այն կարող է այդպես բաժանվել միայն մեկ կետով:

† Այլ կերպ ասած, k′1/4q[1 + k/(1 + k2)1/2]/2 + k′1/4q[1 − k/(1 + k2)1/2]/2 = k′′′1/4q[1 + k′′/(1 + k′′2)1/2]/2 +k′′′1/4q[1 − k′′/(1 + k′′2)1/2]/2 ունի միայն մեկ արմատ, այն է, k′′ = k և k′′′ = k′.

Սահմանում II

5. Եթե տրված է ռացիոնալ ուղիղ գիծ և երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ, որը բաժանված է իրեն պատկանող մասերի, որոնցից ավելի մեծ մասի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է փոքր մասի վրա կառուցված քառակուսուց, այնպիսի քառակուսու չափով, որը կառուցված է մեծ կողմին համաչափելի է երկարությամբ գծի վրա, ապա եթե մեծ կողմը երկարությամբ համաչափելի է նախապես տարված ուղիղ գծին, ամբողջական ուղիղ գիծը կարող է կոչվել առաջնային երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ: 6. Եվ եթե դրանցից փոքրը երկարությամբ համաչափելի նախապես գծված ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ գծին, ապա այդ ամբողջ ուղիղը կարող ենք անվանել երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ: 7. Եվ եթե դրանցից ոչ մեկը երկարությամբ համաչափելի չէ նախապես տարված ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ գծին, ապա այդ ամբողջ ուղիղը կարող ենք անվանել երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ: 8. Այսպիսով, եթե մեծ կողմի քառակուսին փոքր կողմի քառակուսուց մեծ է ինչ-ոչ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է մեծ կողմին, ապա եթե մեծ կողմը համաչափելի է նախկինում տարված ռացիոնալ ուղիղ գծին, ուրեմն ամբողջ այդ ուղիղը կանվանենք չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ: 9. Եթե փոքր կողմն է համաչափելի` հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ: 10. Եթե դրանցից և ոչ մեկը համաչափելի չեն` վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ:

= Տեսություն 48

Առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը գտնելու համար: Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց ԱԲ գումարը ԲՑ-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ, բայց չունենա CA-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ [Տեսություն 10.28, լեմմա I]: Նաև տանենք ռացիոնալ երկարությամբ Դ ուղիղ գիծը: Բացի այդ, ԵՖ-ն երկարոթյամբ համաչափելի է Դ-ին: Ուստի ԵՖ-ը նույնպես ռացիոնալ է [Սահմանում 10.3]։ Եվ թող սահմանվի, որ այնպես ինչպես ԲԱ-ն է հարաբերվում ԱՑ-ին, նույն կերպ էլ ԵՖ-ի քառակուսին ՖԳ-ի քառակուսուն [Տեսություն 10.6 հետևանք]: ԵՎ ԱԲ-ն ԱՑ-ի հետ ունի այն նույն հարաբերությունը, ինչը ինչ-որ թիվ ունի մեկ այլ թվի հետ: Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին ՖԳ քառակուսու նկատմամբ ունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի թիվ ունի մյուսի նկատմամբ: Հետևաբար ԵՖ-ով կազմված թառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ով կառուցված քառակուսուն [Տեսություն 10.6]։ Նաև ԵՖ-ն ռացիոնալ է: հետևաբար ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ է: Եվ քանի որ ԲԱ-ն ԱՑ-ի նկատմամբ չունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի ունի մյուսի նկատմամբ, հետևաբար ԵՖ քառակուսին չունի ՖԳ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն ինչպես մի քառակուսին մյուսի նկատմամբ ունի ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [Տեսություն 10.9]։ Ստացվում է, որ ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով: Հետևաբար ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.36]։ Այն է, դա նաև առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:

Քանի որ ինչպես ԲԱ-ն ԱՑ-ին է հարաբերվում, այնպես էլ ԵՖ քառակուսին ՖԳ քառակուսուն և ԲԱ-ն մեծ է ԱՑ-ից, հետևաբար ԵՖ քառակուսոին ևս մեծ է ՖԳ-ից [Տեսություն 5.14]։ Այդ իսկ պատճառով ՖԳ քառակուսու և Հ-ի գումարը թող լինի ԵՖ քառակուսուն: Եվ քանի որ ինչպես ԲԱ-ն ԱՑ-ին, այնպես էլ ԵՖ քառակուսին ՖԳ-ին, ապա ենթադրաբար, ինչպես AB-ն ունի հարաբերություն BC-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն H-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն 5.19]։ ԵՎ ԱԲ-ն ԲՑ-ի նկատմամբ ունի այն հարաբերությունը, որը ինչ-որ քառակուսի ունի մեկ այլ քառակուսու նկատմամբ: Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին Հ ով կազմված քառակուսու նկատմամբ ևս ունի նույն հարաբերությունը ինչ ինչ-որ քառակուսի ունի մեկ այլ քառակուսու նկատմամբ: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ համաչափելի է Հ-ին [Տեսություն 10.9]։ Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին Ֆգ քառակուսուց մեծ է մի քառակուսիով որը կառուցված է մի ուղիղ գծից, որը երկարությամբ համաչափելի է ԵՖ-ին: Եվ ԵՖ-ն ու ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են: Եվ ԵՖ-ն երոկարությամբ համաչափելի է Դ-ին: Այսպիսով, ԵԳ-ն առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.5]։ † Որն էլ և պահանջվուն էր ցույց տալ:

†Եթե ռացիոնաI ուղիղն ունի միավոր երկարություն, ապա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k + k√1 − k′ 2: Սա և առաջին ապոտոմեն, որի երկարությունն է k − k√1 − k′ 2 [Տեսություն 10.85], հետևյալ x2 − 2 k x + k2 k′ 2 = 0 հավասարման արմատներն են։

Տեսություն 49

Երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը գտնելու համար:

Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց գումար ԱԲ-ն ԲՑ-ի հետ ունենա հարաբերություն, որը հավասար է ինչ-որ քառակուսու հարաբերությանը մեկ այլ քառակուսուն, և ԱՑ-ի հետ չունենա հաարաբերություն, որը հավասար է ինչ-որ քառակուսու հարաբերությանը մեկ այլ քառակուսուն [Տեսություն 10.28, լեմմա I]: Տանենք ռացիոնալ Դ երկարությամբ ուղիղը: ԵՖ-ը Դ-ի հետ երկարությամբ համաչափելի է: Հետևաբար ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է: Եվ թող սահմանվի, որ այնպես, ինչպես CA-ն ունի հարաբերություն AB-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն 10.6, հետևանք]։ Այսպիսով, ԵՖ-ի քառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ի քառակուսուն [Տեսություն 10.6]: Ստացվուն է, որ ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ ուղի գիծ է: Եվ քանի որ ՑԱ-ն ԱԲ-ի նկատմամբ չունի նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի մյուսի նկատմամբ, ԵՖ քառակուսինՖԳ-ի նկատմամբ չունի նույն հարաբերությունը, ինչ մի քառակուսի մյուսի նկատմամբ ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [Տեսություն 10.9]: Հետևաբար ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի: Այսպիսով, ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.9]: Ստացվում է, որ ԵՖ-ն ու ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ միայն քառակուսով համաչափելի ուղիղ գծեր են:Ուրեմն ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.36]: Այսպիսով մենք պետք է ցույց տանք, որ այն նաև երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է: Քանի որ, հակադարձ հարաբերությամբ, ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն 5.7, հետևանք], և ԲԱ-ն ավելի մեծ է, քան ԱՑ-ն, ապա ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ավելի մեծ է, քան ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսին [Տեսություն 5.14]։ Թող ԵՖ-ի և Հ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար լինի ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, ինչպես ԱԲ-ն ունի հարաբերություն ԲՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն Հ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն 5.19, հետևանք]: Բայց ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ունի Հ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի, ՖԳ-ն երկարությամբ համաչափելի է Հ-ի հետ [Տեսություն 10.9]։ Ուստի, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսուց այն քառակուսի չափով, որը ուղիղ գծի վրա է, համաչափելի երկարությամբ ՖԳ-ի հետ։ Եվ ՖԳ-ն և ՖԵ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Իսկ փոքր հատվածը՝ ՖԵ-ն, երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի՝ Դ-ի հետ։ Ուստի, ԵԳ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն է [Սահմանում 10.6]։† Որն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k/√1 − k′ 2 + k. Սա և երկրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը k/√1 − k′² − k է [Տեսություն 10.86], x² − (2k/√1 − k′²)x + k²[k′²/(1 − k′²)] = 0 հավասարման արմատներն են։

Տեսություն 50

Երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը գտնելու համար:

Թող երկու թվեր՝ ԱՑ և ՑԲ, տրվեն այնպես, որ դրանց գումարը՝ ԱԲ-ն, ունենա ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, բայց չունենա ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Եվ թող տրվի ևս մեկ ոչ քառակուսի թիվ՝ Դ, և թող Դ-ն չունենա ԲԱ-ի կամ ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Եվ թող ինչ-որ ռացիոնալ ուղիղ գիծ՝ Ե, տրվի, և թող սահմանվի, որ ինչպես Դ-ն ունի ԱԲ-ի նկատմամբ, այնպես էլ Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ հարաբերություն [Տեսություն 10.6, հետևանք]։ Ուստի Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տեսություն 10.6]։ Ե-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Ուստի ՖԳ-ն նույնպես ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Եվ քանի որ Դ-ն չունի ԱԲ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին չի կարող ունենալ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի Ե-ն երկարությամբ անհամաչափ է ՖԳ-ի հետ [Տեսություն 10.9]։

Նույն ձևով, թող սահմանվի, որ ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ հարաբերություն [Տեսություն 10.6, հետևանք]։ Ուստի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափելի է ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Եվ ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Ուստի ԳՀ-ն նույնպես ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Եվ քանի որ ԲԱ-ն չունի ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին չի կարող ունենալ ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի ՖԳ-ն երկարությամբ անհամաչափ է ԳՀ-ի հետ։

ՖԳ-ն և ԳՀ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Ուստի ՖՀ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.36]։ Ուստի սա նույնպես երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Քանի որ ինչպես Դ-ն ունի ԱԲ-ի նկատմամբ հարաբերություն, այնպես էլ Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, և ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ հարաբերություն, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, ուստի, ըստ հավասարության, ինչպես Դ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ հարաբերություն, այնպես էլ Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն 5.22]։ Եվ Դ-ն չունի ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի Ե-ն չունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի Ե-ն անհամաչափելի է երկարությամբ ԳՀ-ի հետ [Տեսություն 10.9]։ Եվ քանի որ ԲԱ-ն հարաբերվում է ԱՑ-ին, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ նույն հարաբերությունը։ Ուստի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսին։ Հետևաբար, թող ԳՀ-ի և Կ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար լինի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, ըստ փոխարկման, ինչպես ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի Կ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ հարաբերություն [Տեսություն 5.19 հետևանք]։ Եվ ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ունի Կ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի ՖԳ-ն համաչափելի է երկարությամբ Կ-ի հետ [Տեսություն 10.9]։ Հետևաբար ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսին Կ-ի հետ երկարությամբ համաչափելի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով։ Եվ ՖԳ-ն և ԳՀ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով, և նրանցից ոչ մեկը համաչափելի չէ Ե-ի հետ։

Ուստի ՖՀ-ն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ [Սահմանում 10.7]:†

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k1/2 (1+√1 − k′ 2). Սա և երրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը k1/2 (1 − √1 − k′ 2) [Տեսություն 10.87], f x2 − 2 k1/2 x + k k′ 2 = 0 հավասարման արմատներն են: