Changes
[[Մասնակից:Narek Aghajanyan]]-ի ներդրումը էջ 423 - 430 տեղափոխվում է [[Տարերք/Գիրք 10]]-ից
{{Տարերքի գրքեր}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
== Էջ 423 - 430 ==
==Սահմանումներ==
# Մարմինը (ֆիգուր) է, որն ունի երկարություն, լայնություն և խորություն։
# Մարմնի եզրը (ֆիգուր) մակերևույթն է։
# Ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, երբ այն կազմում է ուղիղ անկյուններ իր հետ միացված բոլոր ուղիղ գծերի հետ, որոնք նույնպես գտնվում են հարթության մեջ։
# Հարթությունը ուղղահայաց է մեկ այլ հարթության, երբ մեկ հարթության մեջ ուղղված բոլոր ուղիղ գծերը, որոնք ուղղահայաց են հարթությունների ընդհանուր հատվածին, ուղղահայաց են մնում մյուս հարթության նկատմամբ։
# Ուղիղ գծի և հարթության միջև անկումը այն անկյունն է, որը պարփակվում է գծված և կանգնած (ուղիղ գծերով), երբ կանգնած ուղիղ գծի ծայրից ուղղահայաց է տարվում դեպի հարթություն, և գծվում է մի ուղիղ գիծ կանգնած ուղիղ գծի ծայրից դեպի ստացված կետ։
# Հարթության և մեկ այլ հարթության միջև անկումը սուր անկյունն է, որը պարփակվում է (ուղիղ գծերով), որոնք գծվում են յուրաքանչյուր հարթությունում և ուղղահայաց են ընդհանուր հատվածին։
# Ասում են, որ հարթությունը հարթությանը նման անկումով է, երբ նշված անկումները հավասար են։
# Զուգահեռ հարթություններն են նրանք, որոնք չեն հատվում։
# Նման մարմնական ֆիգուրներն են նրանք, որոնք պարփակված են հավասար թվով նման հարթություններով (որոնք նման ձևով են դասավորված)։
# Հավասար և նման մարմնական ֆիգուրներն են նրանք, որոնք պարփակված են նման հարթություններով, հավասար թվով և մեծությամբ (նման ձևով դասավորված)։
# Մարմնային անկյունը կազմված է երկուից ավելի գծերի միացումից, որոնք չեն գտնվում նույն մակերեսի վրա։ Կամ՝ մարմնային անկյունը այն է, որը պարփակվում է երկուից ավելի հարթ անկյուններով, որոնք կառուցված են միևնույն կետում, բայց չեն գտնվում նույն հարթությունում։
# Պիրամիդը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է հարթություններով և կառուցված է մեկ հարթությունից դեպի մեկ կետ։
# Պրիզման մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է հարթություններով, որոնց երկու հակառակ (հարթությունները) հավասար են, նման և զուգահեռ, իսկ մնացածները ուղղանկյուններ են։
# Գունդը այն ֆիգուրն է, որը ստացվում է, երբ կիսաշրջանագծի տրամագիծը մնում է ֆիքսված, և կիսաշրջանը պտտվում է։
# Գնդի առանցքը այն ֆիքսված ուղիղ գիծն է, որի շուրջ պտտվում է կիսաշրջանը։
# Գնդի կենտրոնը նույնն է, ինչ կիսաշրջանի կենտրոնը։
# Գնդի տրամագիծը ցանկացած ուղիղ գիծ է, որը անցնում է կենտրոնով և ավարտվում գնդի մակերևույթում։
# Կոնն այն ֆիգուրն է, որը ստացվում է, երբ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերից մեկը մնում է ֆիքսված, և եռանկյունը պտտվում է։ Եթե ֆիքսված ուղիղ գիծը հավասար է եռանկյունի մյուս կողմին, կոնը կլինի ուղղանկյուն։
# Կոնի առանցքը այն ֆիքսված ուղիղ գիծն է, որի շուրջ պտտվում է եռանկյունը։
# Կոնի հիմքը այն շրջանն է, որը գծվում է պտտվող կողմի միջոցով։
# Գլանիկն այն ֆիգուրն է, որը ստացվում է, երբ ուղղանկյուն զուգահեռագծի կողմերից մեկը մնում է ֆիքսված, և զուգահեռագիծը պտտվում է։
# Գլանիկի առանցքը այն ֆիքսված ուղիղ գիծն է, որի շուրջ պտտվում է զուգահեռագիծը։
# Գլանիկի հիմքերը այն շրջաններն են, որոնք գծվում են երկու հակառակ կողմերով։
# Նման կոններն ու գլանիկներն են նրանք, որոնց առանցքները և հիմքերի տրամագծերը համեմատական են։
# Խորանարդը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է վեց հավասար քառակուսիներով։
# Ութանիստը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է ութ հավասար և հավասարակողմ եռանկյուններով։
# Իկոսանիստը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է քսան հավասար և հավասարակողմ եռանկյուններով։
# Դոդեկանիստը մարմնական ֆիգուր է, որը պարփակված է տասներկու հավասար, հավասարակողմ և հավասարանկյուն հնգանկյուններով։
==Պնդում 1==
Ուղիղ գծի մի մասը չի կարող գտնվել հարթության մեջ, իսկ մի մասը՝ ավելի բարձր հարթությունում։
Եթե հնարավոր է, թող ուղիղ գծի AB մասը գտնվի հարթության մեջ, իսկ BC մասը՝ ավելի բարձր հարթությունում։
Հարթության մեջ կլինի մի ուղիղ գիծ, որը շարունակական է AB-ի հետ։ Թող դա լինի BD։ Ուստի, AB-ն ընդհանուր հատված կլինի երկու (տարբեր) ուղիղ գծերի՝ ABC-ի և ABD-ի։ Սա անհնար է, քանի որ եթե գծենք շրջան B կենտրոնով և AB շառավղով, ապա շրջանագծի անիվները, որոնք կտրվեն ABC և ABD տրամագծերով, կլինեն անհավասար։
[[Պատկեր:01.png|center|350px]]
Ուստի, ուղիղ գծի մի մասը չի կարող գտնվել հարթության մեջ, իսկ մի մասը՝ ավելի բարձր հարթությունում։
Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 2==
Եթե երկու ուղիղ գծեր հատում են իրար, ապա դրանք գտնվում են մեկ հարթության մեջ, և այդ գծերով կազմված ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։
[[Պատկեր:2.png|center|350px]]
Թող երկու ուղիղ գծերը AB-ն և CD-ն հատեն իրար E կետում։ Ասում եմ, որ AB-ն և CD-ն գտնվում են մեկ հարթության մեջ, և այդ գծերով կազմված ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։
Թող պատահական F և G կետերը վերցված լինեն EC և EB գծերի վրա (համապատասխանաբար)։ Թող CB-ն և FG-ն միացված լինեն, և թող FH-ն և GK-ն գծվեն։ Ասում եմ, նախ և առաջ, որ եռանկյուն ECB-ն գտնվում է մեկ (հիմնական) հարթության մեջ։ Քանի որ եթե եռանկյուն ECB-ի մի մասը, օրինակ՝ FHC կամ GBK, գտնվում է հիմնական հարթության մեջ, իսկ մնացած մասը՝ այլ հարթությունում, ապա EC կամ EB ուղիղ գծերից մեկի մի մասը նույնպես կլինի հիմնական հարթության մեջ, իսկ մի մասը՝ այլ հարթությունում։ Եվ եթե եռանկյուն ECB-ի FCBG մասը գտնվում է հիմնական հարթության մեջ, իսկ մնացած մասը՝ այլ հարթությունում, ապա EC և EB ուղիղ գծերից երկուսն էլ կունենան մասեր, որոնք կլինեն հիմնական հարթության մեջ, իսկ մասեր՝ այլ հարթությունում։ Սա արդեն ցույց է տրվել որպես անհնարին [Տե՛ս "Տարրեր" 11.1]։ Ուստի, եռանկյուն ECB-ն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։ Եվ այն հարթությունում, որտեղ գտնվում է եռանկյուն ECB-ն, այնտեղ կլինեն EC և EB գծերը։ Եվ այն հարթությունում, որտեղ գտնվում են EC և EB գծերը, այնտեղ կլինեն AB և CD ուղիղ գծերը նույնպես [Տե՛ս "Տարրեր" 11.1]։ Ուստի, AB և CD ուղիղ գծերը գտնվում են մեկ հարթության մեջ, և այդ գծերով կազմված ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 3==
Եթե երկու հարթություններ հատում են իրար, ապա դրանց ընդհանուր հատվածը ուղիղ գիծ է։
[[Պատկեր:3.png|center|350px]]
Թող երկու հարթությունները՝ AB-ն և BC-ն, հատեն իրար, և թող դրանց ընդհանուր հատվածը լինի DB գիծը։ Ասում եմ, որ DB գիծը ուղիղ է։
Եթե ոչ, թող DEB ուղիղ գիծը միացվի D կետից B կետին AB հարթության մեջ, և DF B ուղիղ գիծը՝ BC հարթության մեջ։ Ուստի, DEB և DFB ուղիղ գծերը կունենան նույն ծայրերը և ակնհայտորեն կփակեն տարածք։ Սա անհնար է։ Ուստի, DEB և DFB գծերը չեն կարող լինել ուղիղ գծեր։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ D կետից B կետին հնարավոր չէ միացնել որևէ այլ ուղիղ գիծ, բացի DB-ից, որը AB և BC հարթությունների ընդհանուր հատվածն է։
Ուստի, եթե երկու հարթություններ հատում են իրար, ապա դրանց ընդհանուր հատվածը ուղիղ գիծ է։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 4==
Եթե ուղիղ գիծը տեղադրված է ուղղահայաց երկու ուղիղ գծերին, որոնք հատում են իրար ընդհանուր հատման կետում, ապա այն կլինի նաև ուղղահայաց այդ գծերով անցնող հարթությանը։
[[Պատկեր:4.png|center|350px]]
Թող ուղիղ գիծը՝ EF-ը, տեղադրված լինի ուղղահայաց AB և CD գծերին, որոնք հատում են իրար E կետում։ Ասում եմ, որ EF-ը կլինի նաև ուղղահայաց AB և CD գծերով անցնող հարթությանը։
Թող AE, EB, CE և ED հատվածները կտրված լինեն (այդ երկու գծերից այնպես, որ լինեն) հավասար։ Թող GEH գիծը գծվի պատահականորեն E կետով (AB և CD գծերով անցնող հարթության մեջ)։ Եվ թող AD-ն և CB-ն միացվեն։ Ավելին, թող FA, FG, FD, FC, FH և FB գծերը միացվեն EF գծի պատահական F կետից։
Քանի որ AE և ED հատվածները հավասար են CE և EB հատվածներին, և դրանք պարփակում են հավասար անկյուններ [Տե՛ս "Տարրեր" 1.15], AD հիմքը հավասար է CB հիմքին, և AED եռանկյունը հավասար է CEB եռանկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Ուստի, DAE անկյունը հավասար է EBC անկյունին։ Եվ AEG անկյունը նույնպես հավասար է BEH անկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.15]։ Այսպիսով, AGE և BEH եռանկյունները ունեն երկու անկյուններ, որոնք հավասար են երկու անկյուններին (համապատասխանաբար), և մեկ կողմ, որը հավասար է մեկ կողմին՝ այդ անկյուններով, (այսինքն՝) AE և EB։ Ուստի, դրանք կունենան նաև մնացած կողմերը հավասար [Տե՛ս "Տարրեր" 1.26]։ Ուստի, GE-ն հավասար է EH-ին, իսկ AG-ն՝ BH-ին։ Եվ քանի որ AE-ն հավասար է EB-ին, իսկ FE-ն ընդհանուր է և ուղղահայաց, FA հիմքը նույնպես հավասար է FB հիմքին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Նույն պատճառներով, FC-ն նույնպես հավասար է FD-ին։ Եվ քանի որ AD-ն հավասար է CB-ին, իսկ FA-ն նույնպես հավասար է FB-ին, FA և AD երկու գծերը հավասար են FB և BC երկու գծերին համապատասխանաբար։ Իսկ FD հիմքը ցույց է տրվել, որ հավասար է FC հիմքին։ Ուստի, FAD անկյունը նույնպես հավասար է FBC անկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.8]։ Եվ կրկին, քանի որ AG-ն ցույց է տրվել, որ հավասար է BH-ին, իսկ FA-ն նույնպես հավասար է FB-ին, FA և AG երկու գծերը հավասար են FB և BH երկու գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ FAG անկյունը ցույց է տրվել, որ հավասար է FBH անկյունին։ Ուստի, FG հիմքը հավասար է FH հիմքին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Եվ կրկին, քանի որ GE-ն ցույց է տրվել, որ հավասար է EH-ին, իսկ EF-ը ընդհանուր է, GE և EF երկու գծերը հավասար են HE և EF երկու գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ FG հիմքը հավասար է FH հիմքին։ Ուստի, GEF անկյունը հավասար է HEF անկյունին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.8]։ GEF և HEF անկյուններից յուրաքանչյուրը, հետևաբար, ուղղանկյուններ են [Տե՛ս "Տարրեր" 1.10]։ Ուստի, FE-ն ուղղահայաց է GH գծին, որը պատահականորեն գծվել է E կետով (AB և AC գծերով անցնող հարթության մեջ)։ Նույն կերպ կարելի է ցույց տալ, որ FE-ն ուղղանկյուններ կկազմի բոլոր գծերի հետ, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հարթության մեջ։ Եվ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, երբ այն ուղղանկյուններ է կազմում բոլոր գծերի հետ, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հարթությունում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3 սահմանում]։ Ուստի, FE-ն ուղղահայաց է հիմնական հարթությանը։ Իսկ հիմնական հարթությունը այն հարթությունն է, որը անցնում է AB և CD ուղիղ գծերով։ Ուստի, FE-ն ուղղահայաց է AB և CD գծերով անցնող հարթությանը։
Ուստի, եթե ուղիղ գիծը տեղադրված է ուղղահայաց երկու ուղիղ գծերին, որոնք հատում են իրար ընդհանուր հատման կետում, ապա այն կլինի նաև ուղղահայաց այդ գծերով անցնող հարթությանը։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 5==
Եթե ուղիղ գիծը կանգնեցված է ուղղանկյուն երեք ուղիղ գծերին, որոնք հատում են մեկը մյուսին ընդհանուր հատման կետում, ապա երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։
[[Պատկեր:5.png|center|350px]]
Թող AB ուղիղ գիծը կանգնեցված լինի ուղղանկյուն BC, BD և BE երեք ուղիղ գծերին ընդհանուր հատման կետում՝ B։ Ասում եմ, որ BC, BD և BE ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։
Եթե ոչ, և հնարավոր է, թող BD-ն և BE-ն գտնվեն հենքային հարթության մեջ, իսկ BC-ն՝ ավելի բարձր (հարթության մեջ)։ Եվ թող AB և BC ուղիղ գծերով անցնող հարթությունը շարունակված լինի։ Այսպիսով, այն հենքային հարթության հետ կունենա ուղիղ գիծ որպես ընդհանուր հատում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3-ի սահմանումը]։ Թող այն լինի BF։ Ուստի, AB, BC և BF երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ՝ (այսինքն) AB և BC ուղիղ գծերով անցնող հարթության մեջ։ Եվ քանի որ AB-ն ուղղանկյուն է ինչպես BD-ին, այնպես էլ BE-ին, AB-ն հետևաբար ուղղանկյուն է նաև BD և BE ուղիղ գծերով անցնող հարթությանը [Տե՛ս "Տարրեր" 11.4]։ Եվ BD և BE ուղիղ գծերով անցնող հարթությունը հենքային հարթությունն է։ Ուստի, AB-ն ուղղանկյուն է հենքային հարթությանը։ Հետևաբար, AB-ն ուղղանկյուն կլինի նաև բոլոր այն ուղիղ գծերին, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հենքային հարթությունում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3-ի սահմանումը]։ Եվ BF, որը գտնվում է հենքային հարթությունում, միացված է դրան։ Ուստի, ABF անկյունը ուղղանկյուն է։ Իսկ ABC-ն նույնպես ուղղանկյուն է ենթադրվել։ Ուստի, ABF անկյունը հավասար է ABC անկյանը։ Իսկ դրանք գտնվում են նույն հարթության մեջ։ Սա անհնար է։ Ուստի, BC-ն ավելի բարձր հարթությունում չէ։ Ուստի, BC, BD և BE երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։
Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծը կանգնեցված է ուղղանկյուն երեք ուղիղ գծերին, որոնք հատում են մեկը մյուսին ընդհանուր հատման կետում, ապա երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 6==
Եթե երկու ուղիղ գիծ ուղղանկյուն են նույն հարթությանը, ապա ուղիղ գծերը կլինեն զուգահեռ։
[[Պատկեր:6.png|center|350px]]
Թող AB և CD ուղիղ գծերը ուղղանկյուն լինեն հենքային հարթությանը։ Ասում եմ, որ AB-ն զուգահեռ է CD-ին։
Թող նրանք հատեն հենքային հարթությունը համապատասխանաբար B և D կետերում։ Եվ թող BD ուղիղ գիծը միացված լինի։ Եվ թող DE-ն կառուցված լինի ուղղանկյուն BD-ին հենքային հարթությունում։ Եվ թող DE-ն հավասար լինի AB-ին։ Եվ թող BE, AE և AD ուղիղ գծերը միացված լինեն։
Եվ քանի որ AB-ն ուղղանկյուն է հենքային հարթությանը, այն [հետևաբար] ուղղանկյուն կլինի նաև բոլոր այն ուղիղ գծերին, որոնք միացված են դրան և գտնվում են հենքային հարթությունում [Տե՛ս "Տարրեր" 11.3-ի սահմանումը]։
Եվ BD և BE, որոնք գտնվում են հենքային հարթությունում, յուրաքանչյուրը միացված են AB-ին։ Ուստի, ABD և ABE անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղղանկյուն է։ Ուստի, նույն պատճառներով, CDB և CDE անկյուններից յուրաքանչյուրը նույնպես ուղղանկյուն է։ Եվ քանի որ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ BD-ն ընդհանուր է, AB և BD երկու ուղիղ գծերը հավասար են ED և DB երկու ուղիղ գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ դրանք ընդգրկում են ուղղանկյուններ։ Ուստի, AD հիմքը հավասար է BE հիմքին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.4]։ Եվ քանի որ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ AD-ն նույնպես հավասար է BE-ին, AB և BE երկու ուղիղ գծերը, հետևաբար, հավասար են ED և DA երկու ուղիղ գծերին (համապատասխանաբար)։ Եվ նրանց հիմքը AE-ն ընդհանուր է։ Ուստի, ABE անկյունը հավասար է EDA անկյանը [Տե՛ս "Տարրեր" 1.8]։ Եվ ABE-ն ուղղանկյուն է։ Ուստի, EDA-ն նույնպես ուղղանկյուն է։ ED-ն, հետևաբար, ուղղանկյուն է DA-ին։ Եվ այն նաև ուղղանկյուն է ինչպես BD-ին, այնպես էլ DC-ին։ Ուստի, ED-ն ուղղանկյուն է BD, DA և DC երեք ուղիղ գծերին ընդհանուր հատման կետում։ Ուստի, BD, DA և DC երեք ուղիղ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ [Տե՛ս "Տարրեր" 11.5]։ Եվ որի (հարթության) մեջ BD և DA (գտնվում են), նույն հարթության մեջ AB-ն նույնպես (կգտնվի)։ Քանի որ ցանկացած եռանկյուն գտնվում է մեկ հարթության մեջ [Տե՛ս "Տարրեր" 11.2]։ Եվ ABD և BDC անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղղանկյուն է։ Ուստի, AB-ն զուգահեռ է CD-ին [Տե՛ս "Տարրեր" 1.28]։
Այսպիսով, եթե երկու ուղիղ գիծ ուղղանկյուն են նույն հարթությանը, ապա ուղիղ գծերը կլինեն զուգահեռ։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
== Pages 431 - 455 ==
