Changes
Թող ԱԲ-ն լինի ուղիղ գիծ, որը բաժանված է անհավասար մասերի Ց կետում, և թող ԱՑ-ն լինի ավելի մեծ, քան ՑԲ-ն: Կարող ենք պնդել, որ ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը մեծ է ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկից։
Թող ԱԲ գիծը բաժանված լինի երկու հավասար մասերի Դ կետում։ Ուստի, քանի որ ուղիղ գիծը Դ կետում բաժանված է հավասար մասերի, իսկ Ց կետում՝ անհավասար մասերի, ապա ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան գումարը ՑԴ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ հավասար է ԱԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տեսություն 2.5]։ Ուստի, ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյունը փոքր է ԱԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Ուստի, ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկը փոքր է ԱԴ-ի վրա կառուցված քառակուսու կրկնապատիկից։ Բայց ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է ԱԴ-ի և ԴՑ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարի կրկնապատիկից [Տեսություն, 2.9]։ Ուստի, ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը մեծ է ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկից։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
Թող ԱԲ-ն լինի երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ, որը բաժանված է իր բաղադրիչ մասերի Ց-ում, այնպես, որ ԱՑ-ն լինի մեծը: Տանենք ԴԵ-ն այնպես, որ լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ: Եվ թող ԴԵՖԳ ուղղանկոյւնը, որը հավասար է ԱԲ-ի քառակուսուն, տեղադրվի ԴԵ-ի վրա, և դրա լայնությունը լինի ԴԳ-ն: Կարող ենք պնդել, որ ԴԳ-ն առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է: Դրա համար, թող ԴՀ-ն, որը հավասար է ԱՑ-ի քառակուսուն, և ԿԼ-ն, որը հավասար է ԲՑ-ի քառակուսուն, տեղադրվեն ԴԵ-ի վրա: Ուստի մնացածը` ԱՑ և ՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկը, հավասար է ՄՖ-ին [Տեսություն 2.4]: Կիսենք ՄԳ-ն Ն կետով, և թող ՆՕ-ն լինի ՄԼ-ին և ԳՖ-ին զուգահեռ։ ՄՕ-ն և ՆՖ-ն, հետևաբար, յուրաքանչյուրը հավասար է ԱՑԲ-ով կազմված ուղղանկյանը: Եվ քանի որ ԱԲ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է, որը բաժանվել է իր բաղադրիչ անդամներին Ց-ում, ԱՑ-ն և ՑԲ-ն, հետևաբար, ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի [Տեսություն 10.36]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիները ռացիոնալ են և իրար հետ համաչափելի են: Եվ հետևաբար, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է [Տեսություն 10.15], և հավասար է ԴԼ-ին: Ուստի ԴԼ-ն ռացիոնալ է: Եվ այն վերադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ԴԵ-ի վրա: ԴՄ-ն հետևաբար ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն 10.20]: Եվ կրկին, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ն ռացիոնալ են (ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի), ԱՑ և ՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկը, այսինքն՝ ՄՖ-ն, հետևաբար, միջնական է [Տեսություն 10.21]: Եվ այն տեղադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ՄԼ-ի վրա: ՄԳ-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԼ-ի հետ՝ այսինքն՝ ԴԵ-ի հետ նույնպես [Տեսություն 10.22]: Իսկ ՄԴ-ն նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴՄ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն 10.13]: Եվ դրանք ռացիոնալ են: ԴՄ և ՄԳ ուղիղ գծերը, հետևաբար, ռացիոնալ են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի: Ուստի, ԴԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.36]: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
† Այլ կերպ ասած` երկբաղադրիչի քառակուսի արմատը առաջին երկբաղադրիչ է; Տես Տեսություն 10.54:
== Տեսություն 61 ==
Առաջին երկմիջին ուղիղ գծի արմատը ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա վերադրելիա, , որպես երկարություն ատացվում է երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ:†
[[Պատկեր:60-.png]]
Թող ԱԲ-ն լինի առաջին երկմիջին ուղիղ գիծ, որը բաժանված է իր բաղադրիչ միջնական ուղիղ գծերի Ց-ում, որոնցից ԱՑ-ն մեծ է: Տանենք ռացիոնալ ուղիղ գիծ ԴԵ-ն: Թող ԴՖ-ն, որը հավասար է ԱԲ-ի քառակուսուն, տեղադրվի ԴԵ-ի վրա, այնպես, որ ԴԳ-ն դառնա լայնություն: Կարող ենք պնդել, որ ԴԳ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում: Եվ քանի որ ԱԲ-ն առաջին երկմիջին ուղիղ գիծ է, որը բաժանված է Ց-ում, ԱՑ-ն և ՑԲ-ն, հետևաբար, միջնական ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի, և ստեղծում են ռացիոնալ մակերես [Տեսություն 10.37]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիները նույնպես միջնական են [Տեսություն 10.21]: Եվ ԴԼ-ն միջնական է [Տեսություններ 10.15, 10.23 հետևանք]: Եվ այն վերադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ԴԵ-ի վրա: ԴՄ-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն 10.22]: Եվ կրկին, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկը ռացիոնալ է, ՄՖ-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ այն վերադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ՄԼ-ի վրա: Ուստի, ՄԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է ՄԼ-ի հետ՝ այսինքն՝ ԴԵ-ի հետ ևս [Տեսություն 10.20]: ԴՄ-ն, հետևաբար, երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն 10.13]: Եվ դրանք ռացիոնալ են: ԴՄ և ՄԳ ուղիղ գծերը, հետևաբար, ռացիոնալ են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի: ԴԳ-ն, հետևաբար, երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.36]: Ուստի, պետք է ցույց տրվի, որ այն նաև երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
Քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը մեծ է ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկից [Տեսություն 10.59], ԴԼ-ն, հետևաբար, նույնպես մեծ է ՄՖ-ից: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես մեծ է ՄԳ-ից [Տեսություն 6.1]: Եվ քանի որ ԱՑ-ի քառակուսին համաչափելի է ՑԲ-ի քառակուսու հետ, ԴՀ-ն նույնպես համաչափելի է ԿԼ-ի հետ: Ուստի, ԴԿ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԿՄ-ի հետ [Տեսություններ 6.1, 10.11]: Եվ ԴԿՄ-ով կազմված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց այնքանով, որքանով մի ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է ԴՄ-ի հետ [Տեսություն 10.17]: Եվ ՄԳ-ն երկարությամբ համաչափ է ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴԳ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Սահմանում 10.6]:
† Այլ կերպ ասած` առաջին երկբաղադրիչի քառակուսի արմատը երկրորդ երկբաղադրիչ է; Տես Տեսություն 10.55:
== Տեսություն 62 ==
Երկրորդ երկմիջին ուղիղ գծի քառակուսին, որը վերադրվում է ռացիոնալ ուղիղ գծի վրա, ստեղծում է որպես լայնություն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ:†
[[Պատկեր:60-.png]]
Թող ԱԲ-ն լինի երկրորդ երկմիջին ուղիղ գիծ, որը բաժանված է իր բաղադրիչ միջնական ուղիղ գծերի Ց-ում, այնպես, որ ԱՑ-ն լինի մեծ հատվածը: Տանենք ԴԵ ռացիոնալ ուղիղ գիծը: Եվ թող ԴՖ-ն, որը հավասար է ԱԲ-ի քառակուսուն, տեղադրվի ԴԵ-ի վրա, այնպես, որ ԴԳ-ն դառնա լայնություն: Կարող ենք պնդել, որ ԴԳ-ն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում: Քանի որ ԱԲ-ն երկրորդ երկմիջին ուղիղ գիծ է, որը բաժանված է Ց-ում, ԱՑ-ն և ՑԲ-ն, հետևաբար, միջնական ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի և ստեղծում են միջնական մակերես [Տեսություն 10.38]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը նույնպես միջական է [Տեսություն 10.15, 10.23 հետևանք]: Եվ այն հավասար է ԴԼ-ին: Ուստի, ԴԼ-ն նույնպես միջական է: Եվ այն տեղադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի ԴԵ-ի վրա: ԴՄ-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ անհամաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն 10.22]: Այսպես, նույն պատճառով, ՄԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԼ-ի հետ՝ այսինքն՝ ԴԵ-ի հետ նույնպես: Ուստի, ԴՄ-ն և ՄԳ-ն ռացիոնալ են, և երկարությամբ անհամաչափելի են ԴԵ-ի հետ: Եվ քանի որ ԱՑ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՑԲ-ի հետ, և ինչպես ԱՑ-ն է ՑԲ-ի հետ, այնպես էլ ԱՑ-ի քառակուսին՝ ԱՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի հետ [Տեսություն 10.21 հետևանք], ԱՑ-ի քառակուսին նույնպես անհամաչափելի է ԱՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի հետ [Տեսություն 10.11]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը անհամաչափելի է ԱՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյանի կրկնապատիկի հետ, այսինքն՝ ԴԼ-ն ՄՖ-ի հետ ևս [Տեսություն 10.12, 10.13]: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն 6.1, 10.11]: Եվ դրանք ռացիոնալ են: ԴԳ-ն, հետևաբար, երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ) է [Տեսություն 10.36]: Ուրեմն] մենք պետք է ցույց տանք, որ այն նաև երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
Ինչպես նախորդ տեսություններում, այստեղ ևս կարող ենք եզրակացնել, որ ԴՄ-ն մեծ է ՄԳ-ից, և ԴԿ-ն համաչափելի է երկարությամբ ԿՄ-ի հետ: Իսկ ԴԿՄ-ով կառուցված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց՝ ինչ-որ ուղիղ գծի քառակուսով, որը համաչափելի է երկարությամբ ԴՄ-ի հետ [Տեսություն 10.17]: Եվ ոչ ԴՄ-ն, ոչ էլ ՄԳ-ն համաչափելի չեն երկարությամբ ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴԳ-ն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [.Տեսություն10.7]: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
† Այլ կերպ ասած` երկրորդ երկբաղադրիչի քառակուսի արմատը երրորդ երկբաղադրիչ է; Տես Տեսություն 10.56:
== Տեսություն 63 ==
Առանցքային գծի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ գծի վրա վերադրելիս ստացած երկարությունը չորրորդ երկմիջին է:†
[[Պատկեր:60-.png]]
Թող ԱԲ-ն լինի առանցքային ուղիղ գիծ, որը բաժանված է Ց-ում, այնպես, որ ԱՑ-ն մեծ է: ԴԵ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է: Եվ թող ԴՖ-ն, որը հավասար է ԱԲ-ի քառակուսուն, տեղադրվի ԴԵ-ի վրա, այնպես, որ ԴԳ-ն դառնա լայնություն: Կարող ենք պնդել, որ ԴԳ-ն չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում: Եվ քանի որ ԱԲ-ն առանցքային ուղիղ գիծ է, որը բաժանվել է Ց-ում, ԱՑ և ՑԲ ուղիղ գծերը անհամաչափելի են քառակուսիներով, ինչը նշանակում է, որ դրանց քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, և դրանցով կազմված ուղղանկյունը միջնական է [Տեսություն 10.39]: Ուստի, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, ԴԼ-ն ևս ռացիոնալ է: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն 10.20]: Կրկին, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյանի կրկնապատիկը, այսինքն՝ ՄՖ-ն, միջնական է և այն կիրառվում է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ՄԼ-ի վրա, ՄԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ անհամաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն 10.22]: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն 10.13]: ԴՄ-ն և ՄԳ-ն, հետևաբար, ռացիոնալ են, և միայն քառակուսիներով են համաչափելի: Ուստի, ԴԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.36]. Ուրեմն պետք է ցույց տանք, որ այն նաև չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
Ուստի, նախորդ տեսությունների նման, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ ԴՄ-ն մեծ է ՄԳ-ից, և որ ԴԿՄ-ով կազմված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն: Հետևաբար, քանի որ ԱՑ-ի քառակուսին անհամաչափելի է ՑԲ-ի քառակուսու հետ, ԴՀ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԿԼ-ի հետ: Այդպիսով, ԴԿ-ն նույնպես անհամաչափելի է ՔՄ-ի հետ [Տեսություն 6.1, 10.11]: Եվ եթե կան երկու անհավասար ուղիղ գծեր, և ուղղանկյուն, որը հավասար է փոքրագույնի քառակուսու չորրորդ մասին, որը պակասում է քառակուսի պատկերով, վերադրվում է մեծագույնի վրա և բաժանում այն անհամաչափելի մասերի, ապա մեծագույնի քառակուսին կլինի փոքրագույնի քառակուսուց մեծ ավելի քան ինչ-որ ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է մեծագույնի հետ [Տեսություն 10.18]: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին ավելի մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց, ինչ-որ ուղիղ գծի չափով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է ԴՄ-ի հետ: Եվ ԴՄ-ն և ՄԳ-ն ռացիոնալ են (ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի): ԴՄ-ն երկարությամբ համաչափելի է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴԳ-ն չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն. 10.8]: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
† Այլ կերպ ասած`, առանցքային գծի վրա կառուցված քառակուսին չորրորդ երկմիջին է; Տես Տեսություն 10.57.
