Changes
Դիտարկենք նույն բարձրության բուրգեր, որոնց հիմքերն են ABCDE և FGHKL բազմանկյունները, իսկ գագաթները՝ M և N կետերը (համապատասխանաբար): Ինչպես ABCDE հիմքը նման/հարաբերվում է է FGHKL-ին է, այնպես էլ ABCDEM բուրգը նման է FGHKLN բուրգին:
Թող AC, AD, FH և FK հատվածները միացված լինեն: Հետևաբար, քանի որ ABCM-ը և ACDM-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյունաձև հիմքեր և հավասար բարձրություն, դրանք միմյանց նկատմամբ համեմատելի են իրենց հիմքերի չափերով [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, ինչպես ΑΒC հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCM-ն է հարաբերվում ACDM բուրգին: Եվ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCD հիմքն է հարաբերվում ACD հիմքին, այնպես էլ բուրգը ABCDM է հարաբերվում ACDM բուրգին [PropՊնդ. 5.18]: Բայց, քանի որ ACD հիմքն է ահրաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ նաև ACDM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 12.5]։ Այսպիսով, հավասարության միջոցով, ABCD հիմքի հարաբերությաւոնը ADE հիմքին հավասար է ABCDM բուրգի հարաբորուտըանը ADEM բուրգին [Պնդ. 5.22]: Եվ, դարձյալ, կոմպոզիցիայի միջոցով, ինչպես ABCDE հիմքն է հարաբերվում ADE հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգն է հարաբերվում ADEM բուրգին [Պնդ. 5.18]: Այսպիսով, նման կերպով կարելի է նաև ցույց տալ, որ ինչպես FGHKL հիմքն է հարաբերվում FGH հիմքին, այնպես էլ FGHKLN բուրգն է հարաբերվում FGHN բուրգին: Եվ քանի որ ADEM-ը և FGHN-ը երկու բուրգեր են, որոնք ունեն եռանկյուն հիմքեր և հավասար բարձրություն, հետևաբար, ADE և FGH հիմքերի հարաբերությունը հավասար է ADEM և FGHN բուրգերի հարաբերությանը [Պնդ. 12.5]։ Բայց, ինչպես ADE հիմքն է հարաբերվում ABCDE հիմքին, այնպես էլ ADEM բուրգն է հարաբերվում ABCDEM բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGH հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Բայց, ավելին, ինչպես FGH հիմքն է հարաբերվում FGHKL հիմքինին, այնպես էլ FGHN բուրգն է նույնպես հարաբերվում FGHKLN բուրգին: Այսպիսով, հավասարության միջոցով, քանի որ ABCDE հիմքը հարաբերվում է FGHKL հիմքին, այնպես էլ ABCDEM բուրգը հարաբերվում է նաև FGHKLN բուրգին [Պնդ. 5.22]: Ինչը հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:
== Պնդում 7 ==
Այսպիսով, նման կոներն ու գլանները գտնվում են իրենց հիմքերի տրամագծերի խորացված հարաբերակցությունում: Եվ սա է այն, ինչը պետք էր ապացուցել:
== Պնդում 13 ==
Եթե գլանը կտրվի մի հարթությամբ, որը զուգահեռ է գլանի հակառակ մակերեսներին, ապա ինչպես գլանն է հարաբերվում գլանին, այնպես էլ առանցքը՝ առանցքին:
[[Պատկեր:Պնդ13.png|200px|thumb|left|]]
Թող գլանը AD կտրվի GH հարթությամբ, որը զուգահեռ է գլանի հակառակ մակերեսներին՝ AB և CD: Եվ թող GH հարթությունը հանդիպի առանցքին K’ կետում: Ասում եմ, որ ինչպես գլանն է BG-ին, այնպես էլ առանցքը EK-ն է՝ առանցքին KF:
Եվ թող առանցքը EF շարունակվի յուրաքանչյուր ուղղությամբ դեպի L և M կետերը։ Եվ թող որևէ թիվ, որ ուղղության վրա EN և NL, հավասար լինի առանցք EK-ին, նշված լինի առանցք EL-ի վրա, և որևէ թիվ, որ ուղղության վրա FO և OM, հավասար լինի առանցք FK-ին, նշված լինի առանցք KM-ի վրա։ Եվ թող գլան PW-ն, որի հիմքերը լինեն շրջանակները PQ և VW, կազմավորվի առանցք LM-ի վրա։ Եվ թող հարթություններ, որոնք զուգահեռ են AB-ին, CD-ին և գլան PW-ի հիմքերին, անցնեն N և O կետերից, և թող դրանք կազմեն շրջանակներ RS և TU, համապատասխանաբար, կենտրոններում N և O։ Եվ քանի որ առանցքները LN, NE և EK հավասար են միմյանց, գլանները QR, RB և BG միմյանց հետ կապված են իրենց հիմքերի հարաբերակցությամբ [Պնդ. 12.11]։ Բայց հիմքերը հավասար են։ Այսպես, գլանները QR, RB և BG նույնպես հավասար են միմյանց։ Այնպես որ, քանի որ առանցքները LN, NE և EK հավասար են միմյանց, և գլանները QR, RB և BG նույնպես հավասար են միմյանց, և նրանց թիվը հավասար է միմյանց, ապա ինչպես շատ բազմապատիկներ, որքան առանցք KL-ն է առանցք EK-ի, այնքան շատ բազմապատիկներ է գլան QG-ն նաև գլան GB-ի։ Եվ այդպես, նույն (պատճառներով), ինչպես շատ բազմապատիկներ, որքան առանցք MK-ն է առանցք KF-ի, այնքան շատ բազմապատիկներ է գլան WG-ն նույնպես գլան GD-ի։ Եվ եթե առանցք KL-ն հավասար է առանցք KM-ին, ապա գլան QG-ն նույնպես հավասար կլինի գլան GW-ի, և եթե առանցքը մեծ է քան առանցքը, ապա գլանը նույնպես մեծ կլինի քան գլանը, և եթե (առանցքը) փոքր է, ապա (գլանը) նույնպես փոքր կլինի։ Ուստի, կան չորս չափեր՝ առանցքներ EK և KF, և գլաններ BG և GD, և հավասար բազմապատիկներ են վերցվել առանցք EK-ից և գլան BG-ից՝ (պատրաստված) առանցք LK և գլան QG՝ և առանցք KF-ից և գլան GD-ից՝ (պատրաստված) առանցք KM և գլան GW։ Եվ ցույց է տրվել, որ եթե առանցք KL-ն մեծ է քան առանցք KM-ը, ապա գլան QG-ն նույնպես մեծ է քան գլան GW-ն, և եթե (առանցքները) հավասար են, ապա (գլանները) հավասար են, և եթե (KL-ն) փոքր է, ապա (QG-ն) փոքր է։ Ավելին, ինչպես առանցք EK-ն է՝ առանցք KF-ի, այնպես էլ գլան BG-ն է՝ գլան GD-ի [Անշ. 5.5]։ Այսինքն, սա հենց այն, ինչը պետք էր ցույց տալ։
== Պնդում 14 ==
Կոները և գլանները, որոնք ունեն հավասար հիմքեր, միմյանց նկատմամբ են, ինչպես իրենց բարձրությունները։
[[Պատկեր:Պնդ14.png|200px|thumb|left|]]
Թող EB և FD լինեն գլաններ հավասար հիմքերով՝ namely՝ շրջաններ AB և CD (համապատասխանաբար): Ես ասում եմ, որ ինչպես գլանը FB է գլանին F'D, այնպես էլ առանցքը GH է առանցքին KL:
Թող առանցքը KL ձգվի դեպի N կետը: Եվ թող LN-ը հավասար լինի առանցք GH-ի: Եվ թող գլան CM գծվի LN առանցքի շուրջ: Դրա համար, քանի որ գլանները EB և C'M ունեն նույն բարձրությունը, նրանք միմյանց համապատասխան են որպես իրենց հիմքեր [Պնդ. 12.11]: Եվ հիմքերը հավասար են միմյանց: Ապա, գլաններ EB և CM նույնպես հավասար են միմյանց: Եվ քանի որ գլանը F'M կտրվել է C'D հարթությամբ, որը զուգահեռ է նրա հակառակ հարթություններին, ապա ինչպես գլանը CM է գլանին FD, այնպես էլ առանցքը LN է առանցքին KL [Պնդ. 12.13]: Եվ գլանը C'M հավասար է գլանին EB, և առանցքը LN հավասար է առանցք GH-ին: Դրա համար, ինչպես գլանը EB է գլանին F'D, այնպես էլ առանցքը GH է առանցքին KL: Եվ ինչպես գլանը FB է գլանին F'D, այնպես էլ կոնը ABG է կոնին CDK [Պնդ. 12.10]: Ապա, նաև, ինչպես առանցքը GH է առանցքին KL, այնպես էլ կոնը ABG է կոնին CDK, և գլանը EB գլանին FD: Սա այն ամենն է, ինչը պահանջվում էր ապացուցել:
== Պնդում 15 ==
Հավասար կոների և գլանների հիմքերը փոխադարձաբար համամասն են իրենց բարձրություններին: Եվ նրանք, ում կոները և գլանները հիմքերը փոխադարձաբար համամասն են իրենց բարձրություններին, հավասար են:
[[Պատկեր:Պնդ15.png|200px|thumb|left|]]
Թող լինեն հավասար կոներ և գլաններ, որոնց հիմքերը ABCD և EFGH շրջաններն են, և դրանց հիմքերի տրամագծերը AC և EG, իսկ առանցքները KL և MN են, որոնք նույնպես են կոների և գլանների բարձրությունները (հարգերով): Եվ թող գլանները AO և EP կառուցվեն: Ես ասում եմ, որ գլանների AO և EP հիմքերը փոխադարձաբար համամասն են նրանց բարձրություններին, և այնպես, ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH, այնպես էլ բարձրությունը MN՝ բարձրությանը KL:
Թող բարձրությունը LK կամ հավասար լինի բարձրությանը MN, կամ ոչ: Առաջին հերթին թող այն հավասար լինի: Եվ գլան AO-ն նույնպես հավասար է գլան EP-ին: Եվ այն կոներն ու գլանները, որոնք ունեն նույն բարձրությունը, միմյանց համեմատվում են իրենց հիմքերին ըստ [Պնդ. 12.11]: Այդպես, հիմք ABCD-ն նույնպես հավասար է հիմք EFGH-ին: Եվ հետևաբար, փոխադարձաբար, ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH, այնպես էլ բարձրությունը MN՝ բարձրությանը KL: Եվ հիմա թող բարձրությունը LK չհավասարվի MN-ին, սակայն թող WN-ն ավելի մեծ լինի: Եվ թող QN, որը հավասար է KL-ին, կտրի բարձրությունից MN: Եվ թող գլան EP-ն կտրի, Q կետից, TUS հարթությամբ (որը) զուգահեռ է EFGH և RP շրջանների հարթությունների հետ: Եվ թող գլան ES-ն կառուցվի, որի հիմքը EFGH շրջանն է, և բարձրությունը NQ: Եվ քանի որ գլան AO-ն հավասար է գլան EP-ին, ապա ինչպես գլան AO-ն է գլան ES-ին, այնպես էլ գլան EP-ն է գլան E'S-ին [Պնդ. 5.7]: Իսկ քանի որ ինչպես գլան AO-ն է գլան E'S-ին, այնպես էլ հիմքը ABCD-ն է հիմքին EFGH: Որովհետև գլան AO-ն և ES-ն ունեն նույն բարձրությունը [Պնդ. 12.11]: Եվ ինչպես գլան EP-ն է գլան E'S-ին, այնպես էլ բարձրությունը MN-ն է բարձրությանը QN: Որովհետև գլան EP-ն կտրել է հարթությամբ, որը զուգահեռ է իր հակառակ հարթություններին [Պնդ. 12.13]: Եվ այսպես, ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH, այնպես էլ բարձրությունը MN-ն է բարձրությանը QN [Պնդ. 5.11]: Եվ բարձրությունը QN-ն հավասար է բարձրությանը KL: Այսպիսով, ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH, այնպես էլ բարձրությունը MN-ն է բարձրությանը KL: Այսպիսով, գլան AO-ի և EP-ի հիմքերը փոխադարձաբար համեմատելի են նրանց բարձրություններին:
Եվ այսպես, թող գլան AO-ի և EP-ի հիմքերը փոխադարձաբար համեմատելի լինեն նրանց բարձրություններին, և (այսպիսով) թող հիմքը ABCD լինի հիմքի EFGH-ի նկատմամբ, ինչպես բարձրությունը MN-ն է բարձրությանը AL: Ասում եմ, որ գլան AO-ն հավասար է գլան EP-ին:
Քանի որ նույն կառուցվածքով, քանի որ ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH-ի, այնպես էլ բարձրությունը MN-ը՝ բարձրությանը KL, և բարձրությունը KL-ը հավասար է բարձրությանը QN, ապա ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH-ի, այնպես էլ բարձրությունը MN-ը կլինի բարձրությանը QN: Բայց ինչպես հիմքը ABCD է հիմքին EFGH-ի, այնպես էլ գլան AO-ն է գլան E'S-ին: Քանի որ դրանք նույն բարձրությունն ունեն [Պնդ. 12.11]: Եվ ինչպես բարձրությունը MN-ը՝ [բարձրություն] QN-ին, այնպես էլ գլան EP-ն է գլան E'S-ին [Պնդ. 12.13]: Այսպիսով, ինչպես գլան AO-ն է գլան E'S-ին, այնպես էլ գլան EP-ն է (գլան) E'S-ին [Պնդ. 5.11]: Այսպիսով, գլան AO-ն հավասար է գլան EP-ին [Պնդ. 5.9]: Նույն կերպ, (առարկան) նույնպես (կարող է) ցույց տրվել կոների համար: Դա է այն, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:
== Պնդում 16 ==
Իրավիճակում, որտեղ երկու շրջաններ կան նույն կենտրոնի շուրջ, ավելի մեծ շրջանում ներբեռնել հավասարաչափ և զույգ կողմերով բազմակողմանիություն, որը չի շոշափում փոքր շրջանը:
[[Պատկեր:Պնդ16.png|200px|thumb|left|]]
Թող ABCD և EFGH լինեն տրված երկու շրջաններ, որոնք ունեն նույն K կենտրոնը։ Ուրեմն, անհրաժեշտ է ներբեռնել հավասարաչափ և զույգ կողմերով բազմակողմանիություն ավելի մեծ ABCD շրջանում, որը չի շոշափում EFGH շրջանը։
Թող ուղղաձիգ BD ուղղությամբ անցնի ուղիղ գիծ BK Դ, K կենտրոնով։ Եվ թող GA գիծը տրվել լինի, որը դրված է BD ուղղությանը զուգահեռ՝ G կետով, և թող այն գիծը լինի C կետին ուղղված։ Ուրեմն, AC-ն շոշափում է EFGH շրջան։ Եվ, եթե կտրենք BAD շրջանի շրջագիծը կեսով, իսկ հետո կեսը՝ նորից կեսի, և շարունակենք այսպես, մենք, վերջապես, կթողնենք մի շրջագիծ, որը պակաս է AD-ից [Պնդ. 10.1]։ Թող այսպիսով մնա, և թող այն լինի LD։ Եվ թող LM գիծը լինի, որը L-ից ուղղահայաց է BD-ին, և թող այն անցնի NV կետով։ Եվ թող LD և DN համախառնվեն։ Ուրեմն, LD-ը հավասար է DN-ին [Պնդ. 3.3, 1.4]։ Եվ քանի որ LN-ը զուգահեռ է AC-ին [Պնդ. 1.28], և AC-ն շոշափում է EFGH շրջան, ապա LN-ն նույնպես չի շոշափում EFGH շրջանը։ Ուրեմն, առավել ևս, LD-ն և DN-ը չեն շոշափում EFGH շրջան։ Եվ եթե շարունակաբար տեղադրենք LD-ի երկարությամբ ուղիղ գծեր ABCD շրջանում [Պնդ. 4.1], ապա հավասարաչափ և զույգ կողմերով բազմակողմանիություն, որը չի շոշափում փոքր EFGH շրջանը, կտեղադրվի ABCD շրջանի մեջ։ (Այսինքն) այն բանն է, որ պահանջվում էր անել։
== Պնդում 17 ==
Ուրեմն լինելով երկու գնդեր նույն կենտրոնով, որպեսզի մեծ գնդի մեջ տեղադրվի բազմանիստ պինդ մարմին, որը չի շոշափում փոքր գնդի մակերեսը։
[[Պատկեր:Պնդ17.png|200px|thumb|left|]]
Թող, երկու գնդեր գծված լինեն նույն կենտրոն A-ով: Ուստի, անհրաժեշտ է ներգծել բազմանիստ մարմին մեծ գնդի մեջ, որը չի շոշափում փոքր գնդի մակերեսը:
Թող գնդերը կտրվեն ինչ-որ հարթությամբ, որը անցնում է կենտրոնից։ Ուստի, հատումները կլինեն շրջաններ, քանի որ գունդը ձևավորվում է մնացած տրամագծով, և կիսաշրջանը շրջվում է [Նիշ. 11.14]։ Եվ հետևաբար, որևիցե դիրք, որը կմտածենք կիսաշրջանի համար, հարթությունը, որը դրա վրայով անցկացվում է, կկազմի շրջան գնդի մակերեսի վրա։ Եվ ակնհայտ է, որ դա նույնպես մեծ (շրջան է), քանի որ գնդի տրամագիծը, որն ակնհայտորեն նաև կիսաշրջանի և շրջանի տրամագիծն է, ավելի մեծ է, քան բոլոր մյուս (ուղղահայացները), որոնք անցնում են շրջանում կամ գնդի մեջ [Պնդ. 3.15]։ Ուստի, թող BCDE լինի շրջան մեծ գնդում, իսկ FGH՝ շրջան փոքր գնդում։ Եվ թող նրանցից երկու տրամագիծներ քաղված լինեն իրարահակառակ ուղղությամբ, (հատկապես), BD և CE։ Եվ լինելով երկու շրջաններ նույն կենտրոնով՝ (այսինքն) BCDE և FGH՝ թող լինի հավասարաչափ և զույգ կողմերով պոլիգոն, որը գտնվել է մեծ շրջանի BCDE մեջ, առանց շփվելու փոքր շրջանի FGH-ի հետ [Պնդ. 12.16], որի կողմերը չորրորդանկյունում BE կլինեն BK, KL, LM և ME։ Եվ երբ KA միացվի, թող այն անցնի մինչև N։ Եվ թող AO-ն լիներ կանգնեցված A կետում, շրջանի BCDE-ի հարթության հետ ուղղահայաց։ Եվ թող այն հատեր (մեծ) գնդի մակերեսը O կետում։ Եվ թող հարթություններ լինեն անցկացված AO-ի և յուրաքանչյուր BD և KN-ի միջոցով։ Ուստի, ըստ վերոնշյալ քննարկման, դրանք կկազմեն մեծ շրջաններ (մեծ) գնդի մակերեսի վրա։ Թող նրանք կազմեն (մեծ շրջաններ), որոնցից BOD և KON կիսաշրջաններ կլինեն BD և KN տրամագծերի վրա (համապատասխանաբար)։ Եվ քանի որ OA-ն ուղղահայաց է BCDE շրջանի հարթությանը, բոլոր այն հարթությունները, որոնք անցնում են OA-ով, նույնպես կլինեն ուղղահայաց BCDE շրջանի հարթությանը [Պնդ. 11.18]։ Եվ այդպիսով, կիսաշրջանները BOD և KON նույնպես ուղղահայաց կլինեն BCDE շրջանի հարթությանը։ Եվ քանի որ կիսաշրջանները BED, BOD և KON հավասար են՝ քանի որ դրանք գտնվում են հավասար տրամագծերի BD և KN վրա [Պար. 3.1]՝ չորրորդանկյունները BE, BO և KO նույնպես հավասար են միմյանց։ Այդպիսով, որքան շատ կողմեր կան պոլիգոնում, որոնք գտնվում են BE չորրորդանկյունում, նույնքան էլ կան BO և KO չորրորդանկյուններում հավասար դեպի ուղիղ գծեր BK, KL, LM և ME։ Թող դրանք լինեն ներմուծված, և թող դրանք լինեն BP, PQ, QR, RO, KS, ST, TU և UO։ Եվ թող SP, TQ և UR միացվեն։ Եվ թող ուղղահայացներ լինեն անցկացված P և S կետերից դեպի BCDE շրջանի հարթություն [Պնդ. 11.11]։ Այնպես որ, նրանք կընկնեն BD և KN հարթությունների համատեղ հատվածների վրա (BCDE-ի հետ), քանի որ BOD և KON հարթությունները նույնպես ուղղահայաց են BCDE շրջանի հարթությանը [Պար. 11.4]։ Թող նրանք ընկնեն, և թող դրանք լինեն PV և SW։ Եվ թող WV-ը միացվի։ Եվ քանի որ BP և KS հավասար են (շրջաններ), որոնք կտրվել են հավասար կիսաշրջաններում BOD և KON [Պար. 3.28], և PV և SW-ը ուղղահայացներ են, որոնք անցկացվել են (նրանցից), PV-ն [այդպիսով] հավասար է SW-ին, և BV-ն՝ KW-ին [Պնդ. 3.27, 1.26]։ Եվ ամբողջ BA-ն նույնպես հավասար է ամբողջ KA-ին։ Եվ այդպիսով, ինչպես BV-ն է VA-ի նկատմամբ, այնպես էլ KW-ն՝ WA-ի նկատմամբ։ WV-ն այդպիսով զուգահեռ է KB-ին [Պնդ. 6.2]։ Եվ քանի որ PV և SW-ը յուրաքանչյուրն ուղղահայաց են BCDE շրջանի հարթությանը, PV-ն այդպիսով զուգահեռ է SW-ին [Պնդ. 11.6]։ Եվ նաև ցույց տրվել է (որ դրանք) հավասար են։ Եվ այդպիսով, WV և SP հավասար և զուգահեռ են [Պնդ. 1.33]։ Եվ քանի որ WV-ն զուգահեռ է SP-ին, բայց WV-ն զուգահեռ է KB-ին, SP-ն այդպիսով նաև զուգահեռ է KB-ին [Պնդ. 11.1]։ Եվ BP-ն և KS-ն միացնում են դրանք։ Այսպիսով, KBPS քառանկյունը գտնվում է մեկ հարթության մեջ, քանի որ եթե երկու զուգահեռ ուղղաձիգներ լինեն, և յուրաքանչյուրում վերցվի մի պատահական կետ, ապա այդ կետերը միացնող ուղղահայացը կլինի նույն հարթության մեջ, որտեղ գտնվում են զուգահեռ ուղղաձիգները [Պար. 11.7]։ Այդպես, նույն (պատճառներով), SPQT և TQRU քառանկյունները նույնպես գտնվում են մեկ հարթության մեջ։ Եվ URO եռանկյունը նույնպես գտնվում է մեկ հարթության մեջ [Պար. 11.2]։ Հետևաբար, եթե մենք պատկերացնենք ուղղահայացներ, որոնք միացնում են P, S, Q, T, R և U կետերը A կետին, ապա որոշ բազմանիստ մարմին կկառուցվի BO և KO շրջանների միջև, կազմված պիրամիդներից, որոնց հիմքերն են KBPS, SPQT, TQRU քառանկյունները և URO եռանկյունը, իսկ գագաթը՝ A կետը։ Եվ եթե մենք նույն կառուցվածքը անենք նաև KL, LM և ME կողմերի վրա, ինչպես BK-ի վրա, և ավելին, (կրկնենք կառուցվածքը) մնացած երեք քառորդներում, ապա մի բազմանիստ մարմին, որը պարփակված է esfera մեջ, կկառուցվի, կազմված պիրամիդներից, որոնց հիմքերն են նշված քառանկյունները և եռանկյունը, ինչպես նաև դրանց նման կազմակերպված քառանկյունները և եռանկյունները, և գագաթը՝ A կետը։
Ուստի, ես ասում եմ, որ վերոնշյալ բազմանիստը չի շոշափում փոքր գնդիի մակերեսին, որտեղ գտնվում է FGH շրջանը։
Թող ուղղանկյուն AX ուղիղ գիծը տրվի A կետից դեպի K BPS հարթություն, և թող այն հանդիպի հարթությանը X կետում [Պնդ. 11.11]: Եվ թող XB և XK գծերը միանան: Իսկ քանի որ AX-ն ուղղանկյուն է K BPS քառանկյունի հարթության նկատմամբ, այն նաև ուղղանկյուն է իր հետ միացված բոլոր ուղիղ գծերի նկատմամբ, որոնք նույնպես գտնվում են քառանկյունի հարթությունում [Թիմ. 11.3]: Ուստի, AX-ն ուղղանկյուն է նաև BX և XK ուղիղ գծերի նկատմամբ: Եվ քանի որ AB-ը հավասար է AK-ին, ապա AB-ի քառամեծությունը նույնպես հավասար է AK-ի քառամեծությանը: Եվ AX և XB-ի քառամեծությունների գումարը հավասար է AB-ի քառամեծությանը: Քանի որ X-ում անկյունը ուղղանկյուն է [Պնդ. 1.47]: Եվ AX և XK-ի քառամեծությունների գումարը հավասար է AK-ի քառամեծությանը [Պնդ. 1.47]: Ուստի, AX և XB-ի քառամեծությունների գումարը հավասար է AX և XK-ի քառամեծությունների գումարին: Թող AX-ի քառամեծությունը հանվի երկուսից: Ուստի, մնացած BX-ի քառամեծությունը հավասար է մնացած XK-ի քառամեծությանը: Ուստի, BX-ը հավասար է XK-ին: Այնպես որ, համապատասխանաբար, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ X-ից դեպի P և S միացված ուղիղ գծերը հավասար են BX և XK-ի հետ:
Ուստի, քառանկյունի հարթության մեջ X կենտրոնով և XB կամ XK ճառագայթով նկարագրված շրջանը նույնպես կանցնի P և S կետերի միջով, և KBPS քառանկյունը կլինի շրջանի ներսում։
Եվ քանի որ KB-ն մեծ է WV-ից, և WV-ը հավասար է SP-ին, ապա KB-ն մեծ է SP-ից։ Եվ քանի որ KB-ն հավասար է KS-ին և BP-ին, ապա KS-ը և BP-ն միմյանցից մեծ են SP-ից։ Եվ քանի որ KBPS քառանկյունը գտնվում է շրջանի մեջ, և KB-ն, BP-ն և KS-ը հավասար են միմյանց, իսկ PS-ը փոքր է նրանցից, և BX-ը շրջանի ճառագայթն է, ապա KB-ի քառակուսին մեծ է քան կրկնակի BX-ի քառակուսիի։ Թող KY ուղղահայացը գծվի K-ից դեպի BV։ Եվ քանի որ BD-ն փոքր է քան կրկնակի DY-ն, և քանի որ BD-ն հարաբերակցված է DY-ի, ապա DB և BY կողմից պարունակվող անկյունագիծը համեմատվում է DY և YB-ի կողմից պարունակվող անկյունագծին՝ BY վրա նկարագրված քառակուսիով, և YD-ի վրա կատարված զուգահեռանկյունային պարալելոգրամով՝ YB-ն հավասար է BY-ի կարճ կողմին։ Այսպիսով, DB և BY կողմից պարունակվող անկյունագիծը նույնպես փոքր է քան DY և YB-ի կողմից պարունակվող անկյունագիծը։ Եվ քանի որ KD-ը միացված է, DB և BY կողմից պարունակվող անկյունագիծը հավասար է BK-ի քառակուսուն, իսկ DY և YB կողմից պարունակվող անկյունագիծը հավասար է KY-ի քառակուսուն [Պնդ. 3.31, 6.8 ճշտ.]. Այսպիսով, KB-ի քառակուսին փոքր է քան կրկնակի KY-ի քառակուսին։ Բայց KB-ի քառակուսին մեծ է քան կրկնակի BX-ի քառակուսին։ Այսպիսով, KY-ի քառակուսին մեծ է քան BX-ի քառակուսին։ Եվ քանի որ BA-ն հավասար է KA-ին, BA-ի քառակուսին հավասար է AK-ի քառակուսուն։ Եվ BX և XA-ի քառակուսիների գումարը հավասար է BA-ի քառակուսուն, իսկ KY և YA-ի քառակուսիների գումարը հավասար է KA-ի քառակուսուն [Պնդ. 1.47]։ Այսպիսով, BX և XA-ի քառակուսիների գումարը հավասար է KY և YA-ի քառակուսիների գումարին, որոնցից KY-ի քառակուսին մեծ է քան BX-ի քառակուսին։ Այսպիսով, մնացած YA-ի քառակուսին փոքր է XA-ի քառակուսից։ Այսպիսով, AX-ը մեծ է քան AY։ Այսպիսով, AX-ը շատ ավելի մեծ է քան AG։ Եվ AX-ը ուղղահայաց է բազմանիստի հիմներից մեկի վրա, իսկ AG-ն ուղղահայաց է փոքր գնդի մակերեսի վրա։ Ուստի, բազմանիստը չի շոշափում փոքր գնդի մակերեսը։
Այսպիսով, երկու գնդեր, որոնք գտնվում են նույն կենտրոնում, մեծ գնդի մեջ ներգծվել է բազմանիստ մարմին, որը չի շոշափում փոքր գնդի մակերեսը: (Այս է) այն, ինչ պահանջվում էր անել:
'' Եզրակացություն ''
''Եվ նաև, եթե BCDE գնդի մեջ այդպիսի բազմանիստ մարմինն ինքդեն ներգծվի մեկ այլ գնդի մեջ, ապա BCDE գնդի մեջ գտնվող բազմանիստ մարմինը պետք է ունենա մեկ այլ գնդի մեջ գտնվող բազմանիստ մարմնին այդ գնդի տրամագծի և BCDE գնդի տրամագծի խորացված հարաբերակցությունը։ Որովհետև եթե մարմինները բաժանվեն նմանապես թվարկված և նմանապես տեղադրված պիրամիդների մեջ, ապա պիրամիդները կլինեն նման։ Եվ նման պիրամիդները գտնվում են համապատասխան կողմերի խորացված հարաբերակցությունում [Պնդ. 12.8 կորէկցիա]։ Ուստի, այն պիրամիդը, որի հիմքը քառանկյուն KBPS է, և վերևում A կետն է, կունենա մեկ այլ գնդում համապատասխան տեղադրված պիրամիդին խորացված հարաբերակցություն, որը կապված է համապատասխան կողմի և համապատասխան կողմի հարաբերակցությանը։ Դա նշանակում է, որ A կենտրոնի շուրջ գտնվող գնդի AB ճառագայթը կապահովի այն ճառագայթին, որն ունի մեկ այլ գնդի համար։ Եվ նույն կերպ, A կենտրոնի շուրջ գտնվող յուրաքանչյուր պիրամիդը կապահովի մեկ այլ գնդում համապատասխան տեղադրված յուրաքանչյուր պիրամիդի համար խորացված հարաբերակցություն, որը կապված է AB-ի և մեկ այլ գնդի ճառագայթի միջև։ Եվ ինչպես մեկի հիմնական (մեծություն) համապատասխան է մեկի հետևյալից (երկու համեմատական մեծությունների շարքում), այնպես էլ (ամեն ինչի գումարը) հիմնականների բոլորի հետ կապված կլինի (հետևյալների գումարի հետ) [Պնդ. 5.12]։ Հետևաբար, ամբողջ բազմանիստ մարմինը A կենտրոնի շուրջ գտնվող գնդում պետք է լինի ամբողջ բազմանիստ մարմնին մեկ այլ գնդում խորացված հարաբերակցություն, որը կապված է AB ճառագայթի և մեկ այլ գնդի ճառագայթի հարաբերակցությանը։ Դա նշանակում է, որ BD տրամագիծը կապված է մեկ այլ գնդի տրամագծի հետ։ (Այս է) այն, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։''
== Պնդում 18 ==
Գնդերը միմյանց գտնվում են իրենց համապատասխան տրամագծերի խորանարդ հարաբերակցությամբ։
[[Պատկեր:Պնդ18.png|200px|thumb|left|]]
Թող, գնդերը ABC և DEF գծված լինեն, և նրանց տրամագծերը լինեն համապատասխանաբար BC և EF: Ես ասում եմ, որ գունդ ABC-ը ունի գունդ DEF-ի նկատմամբ այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը ունի BC-ն՝ EF-ի նկատմամբ:
Իսկ եթե գունդ ABC-ը չունի գունդ DEF-ի նկատմամբ այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը ունի BC-ն՝ EF-ի նկատմամբ, ապա գունդ ABC-ը կունենա որևէ այլ գնդի նկատմամբ, որը կամ փոքր է, կամ մեծ է գունդ DEF-ից, այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը ունի BC-ն՝ EF-ի նկատմամբ: Թող, առաջին հերթին, այն ունենա այդպիսի հարաբերակցություն փոքր գնդի՝ GHK-ի նկատմամբ: Եվ թող DEF-ը գծված լինի նույն կենտրոնով, ինչ GHK-ն: Եվ թող բազմանիստ մարմին ներգծվի մեծ գնդի՝ DEF-ի մեջ, որը չի շոշափում փոքր գնդի՝ GHK-ի մակերեսը [Պնդ. 12.17]: Եվ թող բազմանիստ մարմին, որը նման է DEF-ի գնդում գտնվող բազմանիստին, նույնպես ներգծվի ABC գնդում: Ուստի, բազմանիստ մարմինը ABC գնդում ունի DEF գնդի նկատմամբ այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը ունի BC-ն՝ EF-ի նկատմամբ [Պնդ. 12.17, համընթաց]: Եվ ABC գունդը նույնպես ունի GHK գնդի նկատմամբ այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը ունի BC-ն՝ EF-ի նկատմամբ: Ուստի, ինչպես ABC գունդը է GHK գնդի նկատմամբ, այնպես էլ բազմանիստ մարմինը ABC գնդում է DEF գնդի բազմանիստ մարմնի նկատմամբ: Ուստի, փոխադարձաբար, ինչպես գունդ ABC-ն է բազմանիստի նկատմամբ, այնպես էլ գունդ GHK-ն է բազմանիստի նկատմամբ գունդ DEF-ում [Պնդ. 5.16]: Եվ գունդ ABC-ն ավելի մեծ է, քան դրա ներսում գտնվող բազմանիստը: Ուստի, գունդ GHK-ն նույնպես ավելի մեծ է, քան գունդ DEF-ի ներսում գտնվող բազմանիստը [Պնդ. 5.14]: Բայց այն նաև փոքր է, որովհետև այն շրջապատված է դրա կողմից: Ուստի, գունդ ABC-ը չի ունենում գնդի նկատմամբ, որը ավելի փոքր է, քան գունդ DEF, այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը BC-ի տրամագիծը ունի՝ EF-ի նկատմամբ: Հետևաբար, նմանապես, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ գունդ DEF-ը նույնպես չի ունենում գնդի նկատմամբ, որը ավելի փոքր է, քան գունդ ABC, այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը EF-ն ունի՝ BC-ի նկատմամբ:
Ուստի, ես ասում եմ, որ գունդ ABC-ը չի ունենում գնդի նկատմամբ, որը ավելի մեծ է, քան գունդ DEF, այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը BC-ն ունի՝ EF-ի նկատմամբ:
Որպեսզի հնարավոր լինի, թող դա ունենա (խորանարդ հարաբերակցություն) ավելի մեծ (գնդի) հետ՝ LMN։ Ուստի, հակառակ ուղղությամբ, գունդ LMN-ը ունի գունդ ABC-ի նկատմամբ այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը տրամագիծը EF-ն ունի՝ տրամագիծ BC-ի նկատմամբ [Պնդ. 5.7 տես.։] Եվ ինչպես գունդ LMN-ը գտնվում է գունդ ABC-ի նկատմամբ, այնպես էլ գունդ DEF-ը գտնվում է այնպիսի (գնդի) նկատմամբ, որը փոքր է, քան գունդ ABC, քանի որ LMN-ը ավելի մեծ է, քան DEF-ը, ինչպես արդեն ցույց տրվեց [Պնդ. 12.2 լեմ.։] Եվ ուստի, գունդ DEF-ը ունի այնպիսի (գնդի) նկատմամբ, որը փոքր է, քան գունդ ABC, այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը EF-ն ունի՝ BC-ի նկատմամբ։ Վերոնշյալը անհնար է եղել։ Ուստի, գունդ ABC-ը չի ունենում այնպիսի (գնդի) նկատմամբ, որը ավելի մեծ է, քան գունդ DEF, այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը BC-ն ունի՝ EF-ի նկատմամբ։ Եվ ցույց տրվեց, որ դա չի լինի նաև փոքր (գնդի) նկատմամբ։ Ուստի, գունդ ABC-ը ունի գունդ DEF-ի նկատմամբ այն խորանարդ հարաբերակցությունը, որը BC-ն ունի՝ EF-ի նկատմամբ։ Դա հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ։
