Changes
== Պնդում 15 ==
Եթե ունենք մեկ չափանիշ որը հավասար է որևէ թվի, և ունենք մեկ այլ թիվ որը մի քանի անգամ մեծ է և հավասար է մի քանի անգամ մեծ չափանիշի, ապա կարող ենք ասել որ, առաջինը թիվը հարաբերում է երկրորդ թվին այնպես, ինչպես առաջին չափանիշը երկրորդ չափանիշին:
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 15.png|300 center|px300px]]
Oրինակ, համարենք, որ A -ն համարժեք է BC չափին, և D-ն որը մի քանի անգամ մեծ է A-ից համարժեք լինի EF- ին, որը նույնքան անգամ մեծ է BC-ից:
Եթե երկու թվեր բազմապատկենք միմյանցով և ստանանք մի քանի թվեր, ապա այդ մի քանի թվերը միմյանց հավասար կլինեն:
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 16.png|center|300px]]
Թող A և B լինեն երկու թվեր: Ենթադրենք, A-ն ստեղծում է C-ն՝ բազմապատկելով B-ով, և B-ն ստեղծում է D-ն՝ բազմապատկելով A-ով: Կարող ենք պնդել,, որ C-ն հավասար է D-ին:
Քանի որ A-ն ստեղծել է C-ն՝ բազմապատկելով B-ով, ուրեմն B-ն չափում է C-ն ըստ A-ի միավորների: Եվ E միավորը նույնպես չափում է A թիվը՝ ըստ նրա մեջ գտնվող միավորների: Ուրեմն E միավորը չափում է A թիվը նույնքան անգամ, որքան B-ն չափում է C-ն:
