Changes

Թող հավասար բազմապատիկներ G-ն, H-ը և ԿK-ն համապատասխանաբար վերցված լինեն A-ից, Բ-ից և D-ից, և ուրիշ պատահական հավասար բազմապատիկներ ԼL-ը ՄM-ը ու ՆN-ը համապատասխանաբար ՑC-ից, E-ից և F-ից։Եվ քանի որ հավասար բազմապատիկները G-ն և H-ը վերցված են համապատասխանաբար A-ից և ԲB-ից և մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները [Պնդում 5.15], հետևաբար ԱA-ն հարաբերում է ԲB-ին ինչպես ԳG-ն ՀH-ին։ Եվ նույն պատճառներով ԵE-ն հարաբերում է ՄM-ը ՆN-ին։ Եվ ԱA-ն հարաբերում է ԲB-ին այնպես ինչպես ԵE-ն ՖF-ին։ Հետևաբար ԳG-ն հարաբերում է ՀH-ին ՄM-ը ՆN-ին [Պնդում 5.11]։ Եվ քանի որ ԲB-ն հարաբերում է ՑC-ին ինչպես ԴD-ն ԵE-ին, նաև փոխադարձորոն ԲB-ն հարաբերում է ԴD-ին ինչպես ՑC-ն ԵE-ին [Պնդում 5.16]։ Եվ քանի որ ՀH-ն ու ԿK-ն համապատասխանաբար ԲB-ի և ԴD-ի հավասար բազմապատիկներ են և մասերը ունեն նույն հարաբերությունը ինչպես նման բազմապատիկները [Պնդում 5.15] հետևաբար ԲB-ն հարաբերում է ԴD-ին ինչպես ՀH-ը ԿK-ին։ Բայց ԲB-ն հարաբերում է ԴD-ին ինչպես ՑC-ն ԵE-ին։ Եվ հետևաբար ՀH-ը հարաբերում ԿK-ին ինչպես ՑC-ն ԵE-ին [Պնդում 5.11]։ Կրկին, քանի որ ԼL-ն ու ՄM-ը Ց—ի C—ի և ԵE-ի համապատասխանաբար հավասար բազմապատիկներ են, հետևաբար ՑC-ն հարաբերում է ԵE-ին այնպես ինչպես ԼL-ը ՄM-ին [Պնդում 5.15]։ Նաև փոխադարձորեն ՀH-ը հարաբերում է ԼL-ին այնպես ինչպես ԿK-ն ՄM-ին [Պնդում 5.16]։ Եվ մենք նույնպես ցույց էինք տվել որ ԳG-ն հարաբերում է ՀH-ին այնպես ինչպես ՄM-ը ՆN-ին։ Հետևաբար քանի որ A, B, C երեք մեծություններ են և ԿK, ՄM, ՆN-ը ուրիշ մեծությունները նրանց քանակով հավասար, զույգ առ զույգ վերցված նույն հարաբերությամբ և խանգառված հարաբերություն ունեն, ապա ըստ հավասարման, եթե ԳG-ն գերազանցում է ԼL-ին, ապա ԿK-ն նույնպես գերազանցում է ՆN-ին, և եթե ԳG-ն հավասար է ԼL-ին, ապա ԿK-ն նույնպես հավասար է ՆN-ին, և եթե ԳG-ն փոքր է ԼL-ից, ապա ԿK-ն նույնպես փոքր է ՆN-ից [Պնդում 5.21]։ Եվ ԳG-ն ու ԿK-ն համապատասխանաբար ԱA-ի և ԴD-ի հավասար բազմապատիկներ են, և ԼL-ն ու ՆN-ը համապատասխանաբար ՑC-ի և ՖF-ի։ Հետևաբար, ԱA-ն հարաբերում է ՑC-ին այնպես ինչպես ԴD-ն ՖF-ին [Սահմանում 5.5]։

Թող առաջին մեծություն ԱԲ-մ ն ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ ՑC-ին, ինչն երրորդ ԴԵDE-ն ունի չորրորդ ՖF-ին։ Եվ թող հինգերորդ ԲԳBG-ն նույնպես ունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ ՑC-ին ինչպիսին վեցերորդ ԵՀEH-ը ունի չորրորդ ՖF-ին։ Ես ասում եմ որ առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված՝ ԱԳAG-ն կունենա նույն հարաբերությունը երկրորդ ՑC-ին ինչ կունենան երրորդն ու վեցերորդը գումարված՝ ԴՀDH-ը չորրորդ ՖF-ին։Քանի որ ԲԳBG-ն հարաբերում է ՑC-ին այնպես ինչպես ԵՀEH-ը ՖF-ին հետևաբար հակադարձորեն ՑC-ն հարաբերում է ԲԳBG-ին այնպես ինչպես ՖF-ը ԵՀEH-ին [Պնդում 5.7-ի հետևանք]։ ՀԵտևաբար քանի որ ԱԲAB-ն հարաբերում է ՑC-ին այնպես ինչպես ԴԵDE-ն ՖF-ին և ՑC-ն հարաբերում է ԲԳ—ին BG—ին այնպես ինչպես ՖF-ը ԵՀEH-ին, հետևաբար ըստ հավասարման ԱԲAB-ն հարաբերում է ԲԳBG-ին, ինչպես ԴԵDE-ն ԵՀEH-ին [Պնդում 5.22]: Եվ Եթե բաժանված մեծությունները համաչափ են, ապա նրանք նույնպես համաչափ կլինեն համադրված [Պնդում 5.18]։ Այդ իսկ պատճառով ԱԳAG-ն հարաբերում է ԳԲGB-ին այնպես ինչպես ԴՀDH-ը ՀԵHE-ին։ Եվ նաև ԲԳBG-ն հարաբերում է ՑC-ին այնպես ինչպես ԵՀEH-ը ՖF-ին։ ՀԵտևաբար ըստ հավասարման ԱԳAG-ն հարաբրերում ՑC-ին ինչպես ԴՀDH-ը ՖF-ին [Պնդում 5.22]։Հետևաբար եթե առաջին մեծությունը ունի նույն հարաբերությունը երկրորդին, ինչն ունի երրորդը չորրորդին և հինգերորդը նույնպես ունի նույն հարաբերություն երկրորդին ինչպիսին վեցերորդը ունի չորրորդին, ապա առաջին և հինգերորդ մեծությունները գումարված կունենան նույն հարաբերությունը երկրորդին ինչ երրորդն ու վեցերորդը գումարված չորրորդին։Ինչը պետք էր ցույց տալ: == Պնդում 25 == Եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։ screenshot #25 Թող AB-ն, CD-ն, E-ն F-ը լինեն չորս համաչափ մեծություններ, այնպես որ AB-ն հարաբերում է CD-ին այնպես ինչպես E-ն F-ին։ Եվ թող AB-ն լինի նրանցից մեծագույնը, իսկ F-ը փոքրագույնը։ Ես ասում եմ որ, AB-ն F-ը մեծ են քան CD-ն և E-ն։Թող AG-ն լինի հավասար E-ին, իսկ CH-ը F-ին։ Քանի որ AB-ն հարաբերում է CD—ին ինչպես E-ն F-ին ու E-ն հավասար է հավասար է AG-ին և F-ը CH-ին, հետևաբար AB-ն հարաբերում է CD—ին ինչպես AG-ն CH-ին։ Եվ քանի որ ամբողջ AB-ն հարաբերում է ամբողջ CD-ին այնպես ինչպես վերցված մաց AG-ն վերցված մաս CH-ին, ապա մնացորդ GB-ն նույնպես կհարաբերի մնացորդ HD—ին ինչպես ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ին [Պնդում 5.19]: Եվ AB-ն մեծ է CD-ից։ Հետևաբար GB-ն նույնպես մեծ է քան HD-ն։ Եվ քանի որ AG-Ն հավասար է E-ին ու CH-ը F-ին, ապա AG-ն և F-ը հավասար են CH-ին ու E-ին։ Եվ քանի որ հավասար մեծությունները գումարված են անհավասար մեծություններին, ապա ամբողջ մասերը անհավասար են, հետևաբար եթե AG-ն ու F-ը գումարված են GB-ին և CH-ը ու E-ն HD-ին և GB-ն ու HD-ն անհավասար են և GB-ն մեծագույնն է կարող ենք հետևեցնել որ AB-ն ու F-ը մեծ են CD և F-ից։Այսպիսով՝ եթե չորս մեծություններ համաչափ են, ապա նրանցից մեծագույնի և փոքրագույնի գումարը մեծ կլինի մնացած երկուսի գումարից։ Ինչը պետք էր ցույց տալ: