'''Կոմպլեքս թվեր։''' Կոմպլեքս թվերի (III, 28 և III, 34) ներմուծումը նույնպես կապված էր խորանարդ հավասարումների լուծման հայտնագործման հետ։
Եվ մինչ այդ հայտնագործումը \(x^2+q=px\) քառակուսի հավասարումը լուծելիս հաճախ հարկ էր լինում հանդիպել այն դեպքին, երբ պահանջվում էր քառակուսի արմատ հանել \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-1q\) արտահայտությունից, որտեղ \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)֊ն փոքր է քան \(q\)֊ն։ Բայց այդպիսի դեպքում եզրակացնում էին, որ հավասարումը լուծումներ չունի։
Նոր (կոմպլեքս) թվերի ներմուծման մասին այն ժամանակ (երբ նույնիսկ բացասական թվերը «սուտ» էին համարվում) խոսք անգամ չէր կարող լինել։ Բայց Տարտալի կանոնով խորանարդ հավասարումները լուծելիս պարզվում է, որ առանց կեղծ թվերի նկատմամբ գործողություններ կատարելու հնարավոր չէ ստանալ ''իրական արմատ''։
Տվյալ հավասարումն այլ իրական արմատներ չունի։
Բայց, ինչպես արդեն Կարդանոն նկատել էր (3֊րդ) սիստեմը կարող է չունենալ իրական լուծումներ, մինչդեռ (1) հավասարումն ունի իրական, այն էլ դրական արմատ։ Այսպես, \(x^3=l5x15x+4\) հավասարումն ունի \(x=4\) արմատը, բայց
<math>