Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Ավելացվել է 66 338 բայտ, 13:38, 5 Հուլիսի 2017

===ՉՈՐՍ ԵՂԲԱՅՐՆԵՐ===

'''''Խնդիր'''''

Չորս եղբայրներ ունեին <math>43</math> ռուբլի։ Եթե առաջինի փողը ավելացնենք <math>2</math> ռուբլով, երկրորդի փողը պակասեցնենք <math>2</math> ռուբլով, երրորդի փողն ավելացնենք երկու անգամ, իսկ չորրորդի փողը պակասեցնենք երկու անգամ, ապա բոլորն էլ կունենան հավասարապես։ Որքա՞ն փող ուներ յուրաքանչյուրը։

Ճիշտ նույնպես այն բաժանվում է առանց մնացորդի և <math>3</math>-ի, <math>4</math>-ի, <math>5</math>-ի, <math>6</math>-ի, <math>7</math>-ի, <math>8</math>-ի, <math>9</math>-ի։ Այդ թվերից ամենափոքրը <math>9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 = 2520</math>, և որոնելի թիվը հավասար է <math>2519</math>, որը դժվար չէ ստուգել փորձելով։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch4.png|800px|frameless|thumb|center]]

==ԳԼՈՒԽ ՉՈՐՐՈՐԴ։ ԴԻՈՖԱՆՏՅԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ==

===ՓՈՂԿԱՊ ԳՆԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

Խանութում գնված փողկապի համար դուք պետք է վճարեք <math>19</math> ռուբ.։

Ձեր ունեցածը միայն երեք ռուբլիանոցներ են, գանձապահինը՝ միայն հինգ ռուբլիանոցներ։ Դուք կարո՞ղ եք արդյոք այդպիսի փողերի առկայության դեպքում գանձապահի հետ հաշիվները փակել և ինչպե՞ս։

Խնդրի հարցը պահանջում է իմանալ որքան երեք ռուբլիանոց պետք է դուք տաք գանձապահին, որպեսզի վճարելով <math>19</math> ռուբլի, ստանաք հինգ ռուբլիանոցներով մանր դրամ։ Խնդրի անհայտները երկուսն են՝ երեք ռուբլիանոցների թիվը (<math>x</math>) և հինգ ռուբլիանոցների թիվը (<math>y</math>)։ Բայց կարելի է կազմել մի այն մեկ հավասարում՝

<math>3x-5y=19</math>։

Թեև երկու անհայտով մի հավասարումն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ, բայց բնավ դեռ ակներև չէ, որ նրանց մեջ <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար գտնվի թեկուզ մեկ լուծում ամբողջ դրական թվերով (հիշենք, որ այն թղթադրամների թիվն է)։

Ահա թե ինչու հանրահաշիվը մշակել է նման «անորոշ» հավասարումների լուծման մեթոդ։ Դրանց հանրահաշվի մեջ ներմուծելու ծառայությունը պատկանում է այդ գիտության առաջին եվրոպական ներկայացուցչին, հեռավոր անցյալի հռչակավոր մաթեմատիկոս Դիոֆանտին, որի պատճառով այդպիսի հավասարումները հաճախ կոչվում են «դիոֆանտյան» հավասարումներ։

'''''Լուծում'''''

Բերված օրինակի վրա ցույց տանք, թե ինչպես պետք է լուծել նման հավասարումները։

հավասարման միջոցով պետք է գտնել <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի արժեքները, ընդ որում գիտենալով, որ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ''ամբողջ և դրական'' թվեր են։

Մեկուսացնենք այն անհայտը, որի գործակիցը փոքր է այսինքն՝ <math>3x</math> անդամը, կստանանք՝

<math>3x \;=\; 19+5y</math>,

որտեղից՝

<math>x \;=\; \frac{19+5y}{3} \;=\; 6+y+ \frac{1+2y}{3}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը, <math>6</math>-ը և <math>y</math>-ը ամբողջ թվեր են, ապա հավասարությունը կարող է ճիշտ լինել միայն այն պայմանի դեպքում, երբ <math>\frac{1+2y}{3}</math>-ը նույնպես ամբողջ թիվ է։ Նշանակենք այն <math>t</math> տառով։ Այդ դեպքում

<math>x \;=\; 6+y+t</math>,

որտեղ

<math>t \;=\; \frac{1+2y}{3}</math>,

և, նշանակում է՝

<math>3t=1+2y, \; 2y=3t-1</math>։

Վերջին հավասարումից որոշենք <math>y</math>-ը՝

<math>y \;=\; \frac{3t-1}{2} \;=\; t + \frac{t-1}{2}</math>։

Քանի որ <math>y</math>-ը և <math>t</math>-ն ամբողջ թվեր են, ապա և <math>\frac{t-1}{2}</math> պետք է

լինի մի որոշ <math>t_1</math> ամբողջ թիվ։ Հետևաբար,

<math>y \;=\; t+t_1</math>,

ընդ որում

<math>t_1 \;=\; \frac{t-1}{2}</math>,

որտեղից

<math>2t_1 \;=\; t-1 \text{ և } t \;=\; 2t_1+1</math>։

<math>t \;=\;2t_1+1</math> արժեքը տեղադրենք նախորդ հավասարման մեջ՝

<math>y \;=\; t+t_1 \;=\; (2t_1+1)+t_1 \;=\; 3t_1+1</math>,

<math>x \;=\; 6+y+t \;=\; 6+(3t_1+l)+(2t_1+l) \;=\; 8+5t_1</math>։

Այսպիսով, <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար մենք գտանք հետևյալ արտահայտությունները<ref>Խիստ ասած, մենք ապացուցեցինք միայն այն, որ <math>3x-5y \;=\; 15</math> հավասարման ամեն մի ամբողջ թվով լուծում ունի <math>x \;=\; 8+5t_1, y \;=\; 1+3t_1</math> տեսքը, որտեղ <math>t_1</math>-ը որևէ ամբողջ թիվ է։ Հակադարձը (այսինքն՝ այն, որ ցանկացած <math>t1</math> ամբողջի դեպքում մենք կստանանք մեզ տրված հավասարման մի քանի ամբողջ թվով լուծում) չի ապացուցվել։ Սակայն դրանում հեշտությամբ կարելի է համոզվել՝ տանելով հակադարձ կարգով դատողություններ կամ <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի գտնված արժեքները տեղադրելով սկզբնական հավասարման մեջ։</ref>

<math>x \text{ և } y</math> թվերը, ինչպես գիտենք, ոչ միայն ամբողջ են, այլև դրական, այսինքն մեծ են <math>0</math>-ից։ Հետևաբար,

<math>8+5t_1 > 0</math>,

<math>1+3t_1 > 0</math>։

Այս անհավասարությունից կստանանք՝

<math>5t1>-8 \text{ և } t_1 > -\frac{8}{5}</math>,

<math>3t1>-1 \text{ և } t1 > - \frac{1}{3}</math>։

Դրանով էլ մեծությունը սահմանափակվում է. այն մեծ է, քան <math>-\frac{1}{3}</math>-ը<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{1}{3}</math>։— ''Մ.''։</ref> <math>\left( \text{ և, նշանակում է, առավել ևս մեծ է, քան } -\frac{8}{5} \right) </math>։ Բայց քանի որ <math>t_1</math>-ը ամբողջ թիվ է, ապա եզրակացնում ենք, որ նրա համար հնարավոր են միայն հետևյալ արժեքները՝

<math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար համապատասխան արժեքները կլինեն

Այժմ մենք որոշեցինք, թե ինչպես պետք է կատարել վճարումը։

Դուք կամ կվճարեք <math>8</math> երեք ռուբլիանոցներ՝ ստանալով մի հինգ ռուբլիանոց մանր դրամ՝

<math>8 \cdot 3-5=19</math>,

կամ կվճարեք <math>13</math> երեք ռուբլիանոցներ՝ ստանալով <math>4</math> հինգ ռուբլիանոց մանր դրամ՝

և այլն։

Տեսականորեն խնդիրն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ, իսկ գործնականում լուծումների թիվը սահմանափակ է, քանի որ ո՛չ գնորդի և ո՛չ էլ գանձապահի մոտ չկա անթիվ բազմությամբ թղթադրամ։ Եթե, օրինակ, յուրաքանչյուրի մոտ կա ընդամենը <math>10</math>-ական թղթադրամ, ապա վճարումը հնարավոր է կատարել միայն մեկ եղանակով՝ <math>8</math> երեք ռուբլիանոցներ վճարելով և <math>3</math> ռուբլի մանր դրամ ստանալով։ Ինչպես տեսնում ենք, անորոշ հավասարումները գործնականում կարող են տալ միանգամայն որոշակի, զույգ լուծումներ։

Անդրադառնալով մեր խնդրին՝ առաջարկում ենք ընթերցողին որպես վարժություն ինքնուրույնաբար լուծել միայն այն վարիանտը, երբ գնորդն ունի միայն հինգ ռուբլիանոցներ, իսկ գանձապահը՝ միայն երեք ռուբլիանոցներ։ Արդյունքում ստացվում է լուծումների այսպիսի շարք՝

Իրոք,

<math>5 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 19</math>,

<math>8 \cdot 5 - 7 \cdot 3 = 19</math>,

<math>11 \cdot 5 -12 \cdot 3 = 19</math>,

..........................

Մենք այս արդյունքները կարող էինք ստանալ նաև հիմնական խնդրի արդեն պատրաստի լուծումներից՝ օգտվելով հանրահաշվական պարզ եղանակից։ Քանի որ ''տալ'' հինգ ռուբլիանոցներ և ''ստանալ'' երեք ռուբլիանոցներ միևնույնն է, թե «''ստանալ'' բացասական հինգ ռուբլիանոցներ» և «''տալ'' բացասական երեք ռուբլիանոցներ», ապա խնդրի նոր վարիանտը լուծվում է այն նույն հավասարմամբ, որը մենք կազմեցինք հիմնական խնդրի համար.

<math>3x-5y \;=\; l9</math>,

բայց այն պայմանով, որ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ''բացասական'' թվեր են։ Ուստի՝

հավասարություններից գիտենալով, որ <math>x<0 \text{ և } y<0</math>, եզրակացնում ենք՝

<math>8+5t_1<0</math>,

և, հետևաբար,

<math>t_1 < -\frac{8}{5}</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>t_1 < -\frac{3}{5}</math>։— ''Մ.''։</ref>

Ընդունելով <math>t_1 \;=\; -2, \; -3, \; -4</math> և այլն, նախորդ բանաձևերից կստանանք <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի համար հետևյալ արժեքները։

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Լուծումների առաջին զույգը՝ <math>x=-2, \; y=-5</math> նշանակում է, որ գնորդը «վճարում է մինուս <math>2</math> երեք ռուբլիանոցներ» և ստանում է մինուս <math>5</math> հինգ ռուբլիանոցներ», այսինքն՝ սովորական լեզվով ասած, վճարում է <math>5</math> հատ հինգ ռուբլիանոց և ստանում է <math>2</math> հատ երեք ռուբլիանոց մանր դրամ։

Նման ձևով կմեկնաբանենք և մյուս լուծումները։

===ՎԵՐՍՏՈՒԳՈՒՄ ԽԱՆՈՒԹՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

Խանութի առետրամատյանների ստուգման ժամանակ պարզվեց, որ գրանցումներից մեկը ծածկված է թանաքով, ունի այսպիսի տեսք՝

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_11b.png|400px|frameless|thumb|center]]

Հնարավոր չէր վերծանել վաճառված մետրերի թիվը, բայց կասկած չկար, որ այդ թիվը կոտորակային չէ. ստացված գումարում կարելի էր տարբերել միայն վերջին երեք թվանշանները, և դարձյալ հաստատել, որ դրանցից առաջ եղել են ինչ-որ երեք այլ թվանշաններ։

Կարո՞ղ է արդյոք վերստուգիչ հանձնաժողովը այդ հետքերով որոշել գրանցումը։

'''''Լուծում'''''

Մետրերի թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով։ Վաճառքից ստացված մուտքը արտահայտված կոպեկներով կլինի

<math>4936x</math>։

Գրանցման դրամական գումարի երեք ծածկված թվանշաններով արտահայտված թիվը նշանակենք <math>y</math>-ով։ Հավանորեն այդ թիվը հազար կոպեկների թիվ է, իսկ ամբողջ գումարը կոպեկներով կարտահայտվի այսպես՝

<math>1000y+728</math>։

Կունենանք հետևյալ հավասարումը՝

<math>4936x \; =\; 1000y+728</math>,

կամ, <math>8</math>-ով կրճատելուց հետո,

<math>617x-125y \;=\; 91</math>։

Այս հավասարման մեջ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը ամբողջ թվեր են և ընդսմին <math>y</math>-ը մեծ չէ <math>999</math>-ից, քանի որ երեքից ավելի թվանշաններով այն կազմվել չի կարող։ Լուծենք այդ հավասարումը, ինչպես ցույց էր տրված առաջ՝

<math>125y \;=\; 617x-91</math>,

<math>y \;=\; 5x-1+ \frac{34-8x}{125} \;=\; 5x-1+ \frac{2(17-4x)}{125} = 5x-1 + 2t</math>։

(Այստեղ մենք ընդունեցինք <math>\frac{617}{125} = 5 - \frac{8}{125}</math>, քանի որ մեզ ձեռնտու է ունենալ հնարավորին չափ ավելի փոքր մնացորդներ։

կոտորակը ամբողջ թիվ է, իսկ քանի որ <math>2</math>-ը չի բաժանվում <math>125</math>-ի, ապա <math>\frac{17-4x}{125}</math> կոտորակը պետք է լինի ամբողջ թիվ, որը և մենք նշանակել ենք <math>t</math>-ով)։

Այնուհետև

հավասարումից ունենք`

<math>17-4x \;=\; 125t</math>,

<math>x \;=\; 4-31t + \frac{1-t}{4} \;=\; 4-31t+t_1</math>,

որտեղ

և, հետևաբար,

<math>4t_1 \;=\; 1-t, \; t \;=\; 1-4t_1</math>,

<math>x \;=\; 125t_1-27, y \;=\; 617t_1-134</math>։<ref>Ուշադրություն դարձրեք այն բանին, որ <math>t_1</math>-ի դեպքում գործակիցները հավասար են <math>6017x-125y \;=\; 91</math> սկզբնական հավասարման <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի գործակիցներին, ընդ որում <math>t_1</math>-ի գործակիցներից մեկի մոտ նշանը հակառակ է։ Այդ պատահականություն չէ, կարելի է ապացուցել, որ միշտ այդպես կարող է լինել, եթե <math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի գործակիցները փոխադարձ պարզ են։</ref>

Մենք գիտենք, որ

<math>100 \leq y < 1000</math>։

Հետևաբար,

<math>100<=617t_1-134 < 1000</math>,

որտեղից

<math>t_1 \geq \frac{234}{617} \text{ և } t_1 < \frac{1134}{617}</math>։

Ակնհայտ է, որ <math>t_1</math>-ի համար գոյություն ունի միայն մեկ ամբողջ արժեք՝

<math>t_1=l</math>,

և այդ ժամանակ <math>x=91, \; y=483</math>, այսինքն՝ վաճառված էր <math>98</math> մետր կտոր <math>4837</math> ռ. <math>28</math> կ. գումարով։ Գրանցումը վերականգնված է։

===ՆԱՄԱԿԱՆԻՇԵՐԻ ԳՆՈՒՄ===

'''''Խնդիր'''''

Պահանջվում է <math>5</math> ռուբլով գնել <math>20</math> հատ նամականիշ՝ <math>40</math>-կոպեկանոց, <math>25</math>-կոպեկանոց և <math>5</math> կոպեկանոց։ Յուրաքանչյուր արժողության քանի՞ նամականիշ կարելի է գնել։

'''''Լուծում'''''

Այս դեպքում մենք ունենք երեք անհայտով երկու հավասարում՝

<math>40x+25y+5z \;=\; 500</math>,

<math>x+y+z \;=\; 20</math>,

որտեղ <math>x</math>-ը <math>40</math>-կոպեկանոց նամականիշերի թիվն է, <math>y</math>-ը՝ <math>25</math>-կոպեկանոց, <math>z</math>-ը՝ <math>5</math>-կոպեկանոց։ Առաջին հավասարումը բաժանելով <math>5</math>-ի և նրանից հանելով երկրորդը, կստանանք երկու անհայտով մեկ հավասարում՝

<math>7x + 4y \;=\; 80</math>։

Գտնենք <math>y</math>-ը՝

<math>y=20 - \frac{7 \cdot x}{4}</math>։

Հավանորեն, <math>\frac{x}{4} </math>-ը ամբողջ թիվ է։ Այն նշանակենք <math>t</math>-ով։ Կունենանք՝

<math>y \;=\; 20-7t, \; x \;=\; 4t</math>։

<math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի արտահայտությունները տեղադրենք սկզբնական հավասարումներից երկրորդի մեջ՝

<math>4t+20-7t+z \;=\; 20</math>,

կստանանք՝

<math>z=3t</math>։

Քանի որ <math>x>0, \; y>0 \text{ և } z>0</math>, ապա դժվար չէ որոշել <math>t</math>-ի սահմանները

<math>0 < t < 2 \frac{6}{7}</math>,

որտեղից եզրակացնում ենք, որ <math>t</math>-ի համար հնարավոր են միայն երկու ամբողջ արժեքներ՝

<math>t=1 \text{ և } t=2</math>։

<math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի և <math>z</math>-ի համապատասխան արժեքները կլինեն այսպես՝

<TR>

<TD align=center>''Ստուգում''</TD>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

<TR>

</TR>

</TABLE>

Այսպիսով, նամականիշերի, գնումը հնարավոր է կատարել միայն երկու եղանակով։

Հաջորդ խնդիրը միևնույն կարգի է։

===ՄՐԳԵՐ ԳՆԵԼԸ===

'''''Խնդիր'''''

<math>50</math> ռուբլով գնված է <math>100</math> հատ տարբեր տեսակի մրգեր, որոնց գները այսպիսին են՝

<TR>

<TD>ձմերուկ,</TD>

<TD align=center>ռուբ.<ref>Գները թողնված են հին մասշտաբի՝ խնդիրների տվյալները պահպանելու համար։ ''Թարգմ. խմբ.։''</ref></TD>

</TR>

<TR>

<TD>խնձոր</TD>

</TR>

<TR>

<TD>սալոր</TD>

</TR>

</TABLE>

Որքա՞ն միրգ էր գնված յուրաքանչյուր տեսակից։

'''''Լուծում'''''

Ձմերուկների թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով խնձորներինը՝ <math>y</math>-ով և սալորներինը՝ <math>z</math>-ով. կազմենք երկու հավասարումներ՝

<math>500x+100y+10z \;=\; 5000</math>,

<math>x+y+z \;=\; 100</math>։

Առաջին հավասարումը բաժանելով <math>10</math>-ի և նրանից հանելով երկրորդը, կստանանք երկու անհայտով մեկ հավասարում՝

<math>49x+9y \;=\; 400</math>։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_12.png|400px|frameless|thumb|center]]

Լուծման հետագա ընթացքը այսպիսին է՝

<math>y \;=\; \frac{400-49y}{9} \;=\; 44-5x + \frac{4(1-x)}{9} \;=\; 44-5x+4t</math>,

<math>t \;=\; \frac{1-x}{9}, \; x \;=\; 1-9t</math>,

<math>y \;=\; 44-5(1-9t) + 4t \;=\; 39+49t</math>։

անհավասարություններից գտնում ենք, որ

և հետևաբար <math>t=0</math>։ Ուստի`

<math>x=1, \; y=39</math>։

<math>x</math>-ի և <math>y</math>-ի այս արժեքները տեղադրելով երկրորդ հավասարման մեջ, կստանանք <math>z=60</math>։

Այսպիսով, գնված էր <math>1</math> ձմերուկ, <math>39</math> խնձոր և <math>60</math> սալոր։

Այլ կոմբինացիաներ հնարավոր չեն։

===ԾՆՆԴՅԱՆ ՕՐՎԱ ԳՈՒՇԱԿՈՒՄԸ===

'''''Խնդիր'''''

Անորոշ հավասարումներ լուծել կարողանալը հնարավորություն է տալիս կատարելու մաթեմատիկական հետևյալ ֆոկուսը։

Դուք առաջարկում եք ձեր ընկերոջը իր ծննդյան ամսաթիվը բազմապատկել <math>12</math>-ով, իսկ ամսվա համարը՝ <math>31</math>-ով։ Նա հաղորդում է ձեզ երկու արտադրյալների գումարը, և դուք այդ թվով գտնում եք նրա ծննդյան ամիսը և ամսաթիվը։

Եթե, օրինակ, ձեր ընկերը ծնվել է փետրվարի <math>9</math>-ին, ապա նա կատարում է հետևյալ հաշվումները՝

<math>108+62=170</math>։

Այդ վերջին թիվը՝ <math>170</math>-ը, նա հաղորդում է ձեզ, և դուք որոշում եք նրա մտածած ամսաթիվը։ Ինչպե՞ս։

'''''Լուծում'''''

Խնդիրը հանգում է ամբողջ և դրական թվերով՝

անորոշ հավասարման լուծմանը, ընդ որում <math>x</math> ամսաթիվը մեծ չէ <math>31</math>-ից, իսկ ամսվա <math>y</math> համարը մեծ չէ <math>12</math>-ից։

<math>x \;=\; \frac{170-31y}{12} \;=\; 14-3y + \frac{2+5y}{12} \;=\; 14-3y+t</math>,

<math>2+5y \;=\; 12t</math>,

<math>y \;=\; \frac{-2+12t}{5} \;=\; 2t - 2 \cdot \frac{1-t}{5} \;=\; 2t-2t_1</math>,

<math>1-t \;=\; 5t_1, \; t \;=\; 1-5t_1</math>,

<math>y \;=\; 2(1-5t_1)-2t_1 \;=\; 2-12t_1</math>,

<math>x \;=\; 14-3(2-12t_1)+1-5t_1 \;=\; 9+31t_1</math>։

Գիտենալով, որ <math>31 \geq x>0 \text{ և } 12 \geq y > 0</math>, գտնում ենք <math>t_1</math>-ի համար հետևյալ սահմանները՝

<math>-\frac{9}{31} < t_1 < \frac{1}{6}</math>։

Հետևաբար՝

<math>t_1=0, \; x=9, \; y=2</math>։

Ծննդյան ամսաթիվը երկրորդ ամսվա <math>9</math>-րդ թիվն է, այսինքն՝ փետրվարի <math>9</math>-ը։

Ապացուցենք, որ ֆոկուսը միշտ հաջողվում է, այսինքն՝ հավասարումը միշտ ունի դրական ամբողջ մեկ լուծում։ Այն թիվը, որ հաղորդեց ձեր ընկերը, նշանակենք <math>a</math>-ով, այդ դեպքում նրա ծննդյան ամսաթվի գտնելը հանգում է

հավասարման լուծմանը։

Դատենք «հակառակը»։ Ենթադրենք, որ այդ հավասարումն ունի երկու տարբեր դրական ամբողջ լուծումներ, այն է՝ <math>x_1, \; y_1 \text{ և } x_2, \; y_2</math>, ընդ որում <math>x_1</math>-ը և <math>x_2</math>-ը չեն գերազանցում <math>31</math>-ին, իսկ <math>y_1</math>-ը և <math>y_2</math>-ը չեն գերազանցում <math>12</math>-ին։

Մենք ունենք՝

<math>12x_1+31y_1 \;=\; a</math>,

<math>12x_2+31y_2 \;=\; a</math>։

Առաջին հավասարությունից հանելով երկրորդը, կստանանք՝

<math>12(x_1-x_2)+31(y_1-y_2) \;=\; 0</math>։

Այս հավասարությունից հետևում է, որ <math>12(x_1-x_2)</math> թիվը բաժանվում է <math>31</math>-ի։ Քանի որ <math>x_1 \text{ և } x_2</math> թվերը դրական են և չեն գերազանցում <math>31</math>-ին, ապա դրանց <math>x_1-x_2</math> տարբերությունը փոքր է <math>31</math>-ից։ Ուստի՝ <math>12(x_1-x_2)</math> թիվը կբաժանվի <math>31</math>-ի միայն այն դեպքում, երբ <math>x_1=x_2</math>, այսինքն՝ երբ առաջին լուծումը համընկնում է երկրորդի հետ։ Այսպիսով, երկու տարբեր լուծումների գոյության մասին ենթադրությունը բերում է հակասության։

===ՃՏԵՐԻ ՎԱՃԱՌՔ===

'''''Հինավուրց խնդիր'''''

Երեք քույրեր շուկա եկան ճտեր վաճառելու։ Վաճառքի համար մեկը բերեց <math>10</math> ճուտ, մյուսը՝ <math>16</math>, երրորդը՝ <math>26</math>։ Մինչև կեսօր նրանք իրենց Ճտերի մի մասը վաճառեցին միևնույն գնով։ Կեսօրից հետո, վախենալով, որ բոլոր ճտերը չեն վաճառվի, նրանք իջեցրին գինը և մնացած բոլոր ճտերը նորից վաճառեցին միևնույն գնով։ Երեքն էլ տուն վերադարձան հավասար դրամով՝ յուրաքանչյուր քույրը վաճառքից ստացավ <math>33</math> ռուբլի։

Նրանք ի՞նչ գնով վաճառեցին ճտերը կեսօրից առաջ և հետո։

'''''Լուծում'''''

Մինչև կեսօր յուրաքանչյուր քրոջ վաճառած ճտերի թիվը նշանակենք <math>x, \; y, \; z</math>։ Օրվա երկրորդ կեսին նրանք վաճառեցին <math>10-x, \; 16-y, \; 26-z</math> ճուտ։ Մինչև կեսօր գինը նշանակենք <math>m</math>-ով, կեսօրից հետո՝ <math>n</math>-ով։ Պարզության համար զուգադրենք այդ նշանակումները.

<TR>

<TD colspan=5 align=center style='border-top:solid windowtext 1.0pt;border-left:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt;'>Վաճառված ճտերի թիվը</TD>

</TR>

<TR>

<TD style='border-left:solid windowtext 1.0pt;'>Մինչև կեսօր</TD>

</TR>

<TR>

<TD align=center style='border-left:solid windowtext 1.0pt;border-bottom:solid windowtext 1.0pt;'>Կեսօրից հետո</TD>

</TR>

</TABLE>

Առաջին քույրը վաճառքից ստացավ՝

<math>mx+n(10-x)</math>, հետևաբար՝ <math>mx+n(10-x) \;=\; 35</math>,

երկրորդը՝

<math>my+n(16-y)</math>, հետևաբար՝ <math>my+n(16-y) \;=\; 35</math>,

երրորդը՝

<math>mz+n(26-z)</math>, հետևաբար՝ <math>mz+n(26-z) \;=\; 35</math>։

Ձևափոխենք այս երեք հավասարումները.

<math>

\begin{cases}

(m-n)x+10n \;=\; 35, \\

(m-n)y+16n \;=\; 35, \\

(m-n)z+26n \;=\; 35։

\end{cases}

</math>

Երրորդ հավասարումից հանելով առաջինը, այնուհետև երկրորդը, հաջորդաբար կստանանք՝

<math>

\begin{cases}

(m-n)(z-x)+16n \;=\; 0, \\

(m-n)(z-y)+10n \;=\; 0։

\end{cases}

</math>

կամ

<math>

\begin{cases}

(m-n)(x-z) \;=\; 16n, \\

(m-n)(y-z) \;=\; 10n։

\end{cases}

</math>

Այս հավասարումներից առաջինը բաժանենք երկրորդի վրա՝

<math>\frac{x-z}{y-z} \;=\; \frac{8}{5} \text{ կամ } \frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{5}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը, <math>y</math>-ը, <math>z</math>-ը ամբողջ թվեր են, ապա և <math>x-z, y-z</math> տարբերությունները նույնպես ամբողջ թվեր են։ Ոստի

<math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{5}</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>\frac{x-z}{8} \;=\; \frac{y-z}{8}</math>։— ''Մ.''։</ref>

հավասարման գոյության համար անհրաժեշտ է, որ <math>x-z</math>-ը բաժանվի <math>8</math>-ի, իսկ <math>y-z</math>-ը՝ <math>5</math>-ի։

Հետևաբար՝

<math>\frac{x-z}{8} \;=\; t \;=\; \frac{y-x}{5}</math>,

որտեղից

<math>x \;=\; z+8t</math>,

<math>y \;=\; z+5t</math>։

Նկատենք, որ <math>t</math> թիվը ոչ միայն ամբողջ է, այլև դրական, քանի որ <math>x > z</math> (հակառակ դեպքում առաջին քույրը չէր կարող վաստակել այնքան, որ քան երրորդը)։

Քանի որ <math>x<10</math>, ապա <math>z+8t<10</math>։

Ամբողջ և դրական <math>z</math>-ի ու <math>t</math>-ի դեպքում վերջին անհավասարությունը բավարարվում է միայն մեկ դեպքում՝ երբ <math>z=1 \text{ և } t=1</math>։ Տեղադրելով այդ արժեքները

հավասարումների մեջ, գտնում ենք՝ <math>x=9, \; y=6</math>։

Այժմ անդրադառնանք հետևյալ հավասարումներին՝

<math>mx+n(10-x) \;=\; 35</math>,

<math>my+n(16-y) \;=\; 35</math>,

և դրանց մեջ տեղադրենք <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի գտնված արժեքները. կիմանանք այն գները, որոնցով վաճառվեցին ճտերը՝

<math>m=3 \frac{3}{4}</math> ռուբ., <math>n=1 \frac{1}{4}</math> ռուբ.։

Այսպիսով, մինչև կեսօր վաճառվել են <math>3</math> ռուբ. <math>75</math> կոպ.-ով, կեսօրից հետո՝ <math>1</math> ռուբ. <math>25</math> կոպ.-ով։

===ԵՐԿՈՒ ԹՎԵՐ ԵՎ ՉՈՐՍ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ===

'''''Խնդիր'''''

Նախորդ խնդիրը, որը հանգեցրեց հինգ անհայտով երեք հավասարման, մենք լուծեցինք ոչ ընդհանուր ձևով, այլ մաթեմատիկական ազատ կշռադատությամբ։ Ճիշտ այդպես էլ կլուծենք երկրորդ աստիճանի անորոշ հավասարումների բերվող հետևյալ խնդիրները։

Ահա դրանցից առաջինը։

Երկու ամբողջ դրական թվերով կատարել են հետևյալ չորս գործողությունները՝

1) դրանք գումարել են.

2) մեծից հանել են փոքրը.

3) բազմապատկել են.

4) մեծը բաժանել են փոքրի վրա։

Ստացված արդյունքները գումարել են, որը կազմել է <math>243</math>։ Գտնել այդ թվերը։

Լուծում

Եթե մեծ թիվը <math>x</math> է, փոքրը՝ <math>y</math>, ապա

<math>(x+y)+(x-y)+xy+ \frac{x}{y} \;=\; 243</math>։

Եթե այս հավասարումը բազմապատկենք <math>y</math>-ով, այնուհետև բացենք փակագծերը և կատարենք նման անդամների միացում, ապա կստանանք՝

<math>x(2y+y2+1) \;=\; 243</math>։

Բայց

<math>2y+y^2+1 \;=\; (y+1)^2</math>։

Ուստի՝

<math>x \;=\; \frac{243y}{(y+1)^2}</math>։

Որպեսզի <math>x</math>-ը լինի ամբողջ թիվ, <math>(y+1)^2</math> հայտարարը պետք է լինի <math>243</math>-ի բաժանարարներից մեկը (որովհետև <math>y</math>-ը <math>y+1</math>-ի հետ չի կարող ունենալ ընդհանուր արտադրիչներ)։ Գիտենալով, որ <math>243=3^5</math>–ի, եզրակացնում ենք, որ <math>243</math>-ը բաժանվում է միայն հետևյալ թվերի վրա, որոնք հանդիսանում են ճիշտ քառակուսիներ՝ <math>1, \; 3^2, \; 9^2</math>։ Այսպիսով՝ <math>(y+1)^2</math>-ն պետք է հավասար լինի <math>1, \; 3^2 \text{ կամ } 9^2</math>, որտեղից(հիշելով, որ <math>y</math>-ը պետք է լինի դրական) գտնում ենք, որ <math>y</math>-ը հավասար է <math>8 \text{ կամ } 2</math>։

Այդ դեպքում <math>x</math>-ը հավասար է

<math>\frac{243 \cdot 8}{81} \text{ կամ } \frac{243 \cdot 2}{9}</math>։

Այսպիսով, որոնելի թվերն են՝ <math>24 \text{ և } 8 \text{ կամ } 54 \text{ և } 2</math>։

===ԻՆՉՊԻՍԻ՞ ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ Է===

'''''Խնդիր'''''

Ուղղանկյան կողմերը արտահայտվում են ամբողջ թվերով։ Ի՞նչ երկարություններ պետք է ունենան դրանք, որպեսզի ուղղանկյան պարագիծը թվապես հավասարվի նրա մակերեսին։

'''''Լուծում'''''

Ուղղանկյան կողմերը նշանակելով <math>x</math>-ով և <math>y</math>-ով, կազմենք հետևյալ հավասարումը՝

<math>2x+2y \;=\; xy</math>,

որտեղից

<math>x \;=\; frac{2y}{y-2}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը և <math>y</math>-ը պետք է լինեն դրական, ապա դրական պետք է լինի նաև <math>y-2</math> թիվը, այսինքն՝ <math>y</math>-ը պետք է լինի <math>2</math>-ից մեծ։

Նկատենք այժմ, որ

<math>x \;=\; \frac{2y}{y-2} \;=\; 2(y-2) + \frac{4}{y-2} \;=\; 2 + \frac{4}{y-2}</math>։

Քանի որ <math>x</math>-ը պետք է լինի ամբողջ թիվ, ապա <math>\frac{4}{y-2}</math> արտահայտությունը պետք է լինի ամբողջ թիվ։ Բայց <math>y>2</math> դեպքում այդ հնարավոր է, եթե միայն <math>y</math> հավասար է <math>3, \; 4 \text{ կամ } 6</math>։ <math>x</math>-ի համապատասխան արժեքները կլինեն <math>6, \; 4, \; 3</math>։

Այսպիսով, որոնելի պատկերը կա՛մ ուղղանկյուն է <math>3 \text{ և } 6</math> կողմերով, կա՛մ քառակուսի՝ <math>4</math> կողմով։

===ԵՐԿՈՒ ԵՐԿԱՆԻՇ ԹՎԵՐ===

'''''Խնդիր'''''

<math>46 \text{ և } 96</math> թվերն ունեն հետաքրքիր առանձնահատկություն՝ դրանց արտադրյալը չի փոխվում, եթե տեղափոխենք այդ թվերի թվանշանները։

Իրոք,

<math>46 \cdot 96 = 4416 = 64 \cdot 69</math>։

Պահանջվում է որոշել՝ գոյություն ունե՞ն արդյոք երկանիշ թվերի այլ զույգեր՝ միևնույն հատկությամբ։ Ի՞նչպեսդրանց գտնել։

Լուծnւմ

Որոնելի թվերի թվանշանները նշանակելով <math>x \text{ և } y, \; z \cdot { և } t</math>, կազմենք հավասարում՝

<math>(10x+y)(10z+t) \;=\; (10y+x)(10t+z)</math>։

Բացելով փակագծերը և պարզեցնելով, կստանանք՝

<math>xz \;=\; yt</math>,

որտեղ <math>x</math>-ը, <math>y</math>-ը, <math>z</math>-ը, <math>t</math>-ն ամբողջ թվեր են և փոքր են <math>10</math>-ից։ Լուծումները փնտրելու համար <math>9</math> թվանշաններից կազմենք հավասար արտադրյալներով բոլոր զույգերը՝

Բոլոր հավասարությունները <math>9</math> հատ են։ Յուրաքանչյուրից կարելի է կազմել թվերի մեկ կամ երկու որոնելի խումբ։ Օրինակ՝ <math>1 . 4 = 2 . 2</math> հավասարությունից գտնում ենք մի լուծում՝

<math>12 \cdot 42=21 \cdot 24</math>։

<math>1 \cdot 6 = 2 \cdot 3</math> հավասարությունից գտնում ենք երկու լուծումներ՝

<math>12 \cdot 63 = 21 \cdot 36, \;\; 13 \cdot 62 = 31 \cdot 26</math>։

Այս ձևով որոնում ենք հետևյալ <math>14</math> լուծումները՝

===ՊՅՈՒԹԱԳՈՐՅԱՆ ԹՎԵՐ===

Տեղանքում ուղղահայաց գծեր անցկացնելու համար հողաչափերի կողմից գործածվող շատ ճիշտ և հարմար միջոցը կայանում է հետևյալում։ Դիցուք, պահանջվում է. <math>A \text{ կետով } MN</math> ուղղին տանել ուղղահայաց (գծ. 13)։ <math>A \text{ կետից } AM</math> ուղղությամբ երեք անգամ տեղադրում են մի որևէ <math>a</math> հեռավորություն։ Այնուհետև լարի վրա կապում են երեք հանգույց, որոնց միջև եղած հեռավորությունները հավասար են <math>4a \text{ և } 5a</math>. Ծայրերի հանգույցները կցելով <math>A \text{ և } B</math> կետերին, լարը ձգում են միջին հանգույցի կողմը։ Լարը ստանում է եռանկյան ձև, որի մեջ <math>A</math> անկյունը ուղիղ է։

Այդ հնադարյան եղանակը, որ կիրառում էին եգիպտական բուրգերի շինարարները դեռ հազարամյակներ սրանից առաջ, հիմնված էր այն բանի վրա, որ յուրաքանչյուր եռանկյան, եթե նրա կողմերը հարաբերում են՝ ինչպես <math>3 : 4 : 5</math>, համաձայն Պյութագորի հանրածանոթ թեորեմայի, ուղղանկյուն է, քանի որ

<math>3^2+4^2=5^2</math>։

Բացի <math>3, \; 4, \; 5</math> թվերից, ինչպես հայտնի է, գոյություն անեն անթիվ բազմությամբ ամբողջ դրական <math>a, \; b, \; c</math> թվեր, որոնք բավարարում են հետևյալ առնչությանը՝

<math>a^2+b^2=c^2</math>։

Դրանք կոչվում են ''Պյութագորյան'' թվեր։ Պյութագորի թեորեմայի համաձայն այդպիսի թվերը կարող են ծառայել որպես որոշ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի երկարություններ. դրա համար էլ <math>a</math>-ն և <math>b</math>-ն կոչվում են «էջեր», իսկ <math>c</math>-ն՝ «ներքնաձիգ»։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_13.png|200px|frameless|thumb|right]]

Պարզ է, որ եթե <math>a, \; b, \; c</math> թվերը Պյութագորյան թվերի եռյակ են, ապա <math>pa, \; pb, \; pc</math> (որտեղ <math>p</math>-ն ամբողջ արտադրիչ է) թվերը ևս պյութագորյան թվեր են։ Հակադարձաբար, եթե պյութագորյան թվերն ունեն ընդհանուր արտադրիչ, ապա այդ ընդհանուր արտադրիչով կարելի է դրանք բոլորը կրճատել, և նորից ստանալ պյութագորյան թվերի եռյակ։ Ուստի՝ սկզբում կհետազոտենք պյութադորյան թվերի միայն փոխադարձ պարզ եռյակները (մնացածները ստացվում են դրանցից՝ բազմապատկելով p ամբողջ արտադրիչով)։

Ցույց տանք, որ <math>a, \; b, \; c</math> տիպի եռյակներից յուրաքանչյուրի մեջ «էջեր»-ից մեկը պետք է լինի զույգ, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Դատենք «հակառակը»։ Եթե <math>a \text{ և } b</math> երկու «էջերն» էլ զույգ են, ապա զույգ կլինի <math>a^2+b^2</math> թիվը. նշանակում է զույգ է նաև «ներքնաձիգը»։ Սակայն, այդ հակասում է այն բանին, որ <math>a, \; b, \; c</math> թվերը չունեն ընդհանուր արտադրիչներ, քանի որ երեք զույգ թվերը ունեն <math>2</math> ընդհանուր արտադրիչը։ Այսպիսով, <math>a \text{ և } b</math> «էջեր»-ից թեկուզ մեկը կենտ է։

Մնում է դարձյալ մի հնարավորություն։ Երկու «էջերն» էլ կենտ են, իսկ «ներքնաձիգը» զույգ է։ Դժվար չէ ապացուցել, որ այդ հնարավոր չէ։ Իրոք, եթե «էջերն» ունեն հետևյալ տեսքը՝

<math>2x+1 \text{ և } 2y+1</math>,

ապա դրանց քառակուսիների գումարը հավասար է

<math>4x^2+4x+l+4y^2+4y+l \;=\; 4(x^2+x+y^2+y)+2</math>,

այսինքն` իրենից ներկայացնում է մի թիվ, որը <math>4</math>-ի բաժանելիս մնացորդում տալիս է <math>2</math>։ Այնինչ, ամեն մի զույգ թվի քառակուսին կբաժանվի <math>4</math>-ի վրա առանց մնացորդի։ Նշանակում է՝ երկու կենտ թվերի քառակուսիների գումարը չի կարող լինել զույգ թվի քառակուսի. այլ կերպ ասած, մեր երեք թվերը՝ պյութագորյան չեն։

Այսպիսով, <math>a, \; b</math> «էջեր»-ից մեկը զույգ է, իսկ մյուսը՝ կենտ։ Ուստի՝ <math>a^2 + b^2</math> թիվը կենտ է, իսկ այս նշանակում է, որ կենտ է նաև <math>c</math> «ներքնաձիգը»։

Պարզության համար, ենթադրենք, որ <math>a</math> «էջը» հանդիսանում է կենտ, իսկ <math>b</math>-ն՝ զույգ։

հավասարությունից մենք հեշտությամբ կստանանք՝

<math>a^2 \;=\; c^2-b^2 \;=\; (c+b)(c-b)</math>։

Աջ մասում գրված <math>c+b \text{ և } c-b</math> արտադրիչները փոխադարձ պարզ են։ Իրոք, եթե այդ թվերն ոնենային մեկից տարբեր ընդհանուր պարզ արտադրիչ, ապա այդ արտադրիչի վրա կբաժանվեր և՛ գումարը՝

<math>(c+b)+(c-b) \;=\; 2c</math>,

և՛ տարբերությունը՝

<math>(c+b)-(c-b) \;=\; 2b</math>,

և՛ արտադրյալը

<math>(c+b)(c-b) \;=\; a^2</math>,

այսինքն` <math>2c 2b \text{ և } a</math> թվերը կունենային ընղհանուր արտադրիչ։ Քանի որ <math>a</math>-ն կենտ է, ապա այդ արտադրիչը երկուսից տարբեր է, և այս պատճառով էլ <math>a, \; b, \; c</math> թվերն ունեն հենց այդ ընդհանուր արտադրիչը, որը, սակայն, հնարավոր չէ։

Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ <math>c+b \text{ և } c-b</math> թվերը փոխադարձ պարզ են։

Բայց եթե փոխադարձ պարզ թվերի արտադրյալը ճիշտ քառակուսի է, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է քառակուսի, այսինքն՝

<math>

\begin{cases}

c+b \;=\; m^2, \\

c-b \;=\; n^2։

\end{cases}

</math>

Լուծելով այս սիստեմը, գտնում ենք՝

<math>c \;=\; \frac{m^2+n^2}{2}, \;\; b \;=\; \frac{m^2-n^2}{2}</math>,

<math>a^2 \;=\; (c+b)(c-b) \;=\; m^2n^2, a \;=\; mn</math>։

Այսպիսով, դիտարկված պյութագորյան թվերն ունեն հետևյալ տեսքը՝

<math>a \;=\; mn, \; b \;=\; \frac{m^2-n^2}{2}, \; c \;=\; \frac{m^2+n^2}{2}</math>,

որտեղ <math>m</math>-ը և <math>n</math>-ը որոշ փոխադարձ պարզ, կենտ թվեր են։ Ընթերցողը կարող է հեշտությամբ. համոզվել և հակադարձի մեջ՝ ցանկացած կենտ <math>m</math>-ի և <math>n</math>-ի դեպքում գրված բանաձևերը տալիս են պյութագորյան <math>a, \; b, \; c</math> երեք թվեր։

Ահա պյութագորյան թվերի մի քանի եռյակներ, որոնք ստացվում են <math>m</math>-ի և <math>n</math>-ի տարբեր արժե քների դեպքում՝

<math>

\begin{array}{ll}

\text{երբ } \; m=3, \; & n=1 \;\;\;\; 3^2+4^2=5^2 \\

\text{երբ } \; m=5, \; & n=1 \;\;\;\; 5^2+12^2=13^2 \\

\text{երբ } \; m=7, \; & n=1 \;\;\;\; 7^2+24^2=25^2 \\

\text{երբ } \; m=9, \; & n=l \;\;\;\; 9^2+40^2=41^2 \\

\text{երբ } \; m=11, \; & n=1 \;\;\;\; 11^2+60^2=61^2 \\

\text{երբ } \; m=13, \; & n=1 \;\;\;\; 13^2+84^2=85^2 \\

\text{երբ } \; m=5, \; & n=3 \;\;\;\; 15^2+8^2=17^2 \\

\text{երբ } \; m=7, \; & n=3 \;\;\;\; 21^2+20^2=29^2 \\

\text{երբ } \; m=11, \; & n=3 \;\;\;\; 33^2+56^2=65^2 \\

\text{երբ } \; m=13, \; & n=3 \;\;\;\; 39^2+80^2=89^2 \\

\text{երբ } \; m=7, \; & n=3 \;\;\;\; 35^2+12^2=37^2 \\

\text{երբ } \; m=9, \; & n=5 \;\;\;\; 45^2+28^2=53^2 \\

\text{երբ } \; m=11, \; & n=5 \;\;\;\; 55^2+48^2=73^2 \\

\text{երբ } \; m=13, \; & n=5 \;\;\;\; 65^2+72^2=97^2 \\

\text{երբ } \; m=9, \; & n=7 \;\;\;\; 63^2+16^2=65^2 \\

\text{երբ } \; m=11, \; & n=7 \;\;\;\; 77^2+36^2=85^2

\end{array}

</math>։

(Պյութագորյան թվերի մնացած բոլոր եռյակները կա՛մ ունեն ընդհանուր արտադրիչներ, կա՛մ պարունակում են թվեր, որ մեծ են հարյուրից)։

Պյութագորյան թվերն ընդհանրապես մի շարք հետաքրքիր առանձնահատկություններ ունեն, որոնք մենք ստորև կթվարկենք առանց ապացուցումների։

1) «էջեր»-ից մեկը պետք է ''երեքի'' բազմապատիկը լինի։

2) «էջեր»-ից մեկը պետք է ''չորսի'' բազմապատիկը լինի։

3) Պյութագորյան թվերից մեկը պետք է ''հինգի'' բազմապատիկը լինի։

Ընթերցողը կարող է համոզվել այդ հատկությունների առկայության մեջ՝ նայելով պյութագորյան թվերի խմբերի վերը բերված օրինակները։

===ԵՐՐՈՐԴ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ԱՆՈՐՈՇ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ===

Երեք ամբողջ թվերի խորանարդների գումարը կարող է լինել չորրորդ թվի խորանարդը։ Օրինակ՝

<math>3^3+4^3+5^3 \;=\; 6^3</math>։

Այդ նշանակում է, ի միջի այլոց, որ խորանարդը, որի կողը հավասար է <math>6 սմ</math>-ի, հավասարամեծ է երեք այնպիսի խորանարդների գումարին, որոնց կողերը հավասար են՝ <math>3 \; սմ, \; 4 \; սմ \text{ և } 5 \; սմ</math> (նկ. 14). այս առնչությունը, ըստ ավանդության, Պլատոնին չափազանց զբաղեցրել է։

[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_14.png|300px|frameless|thumb|center]]

Փորձենք գտնել այդպիսի տեսքի այլ առնչություններ, այսինքն՝ մեր առջև դնենք այսպիսի խնդիր՝ գտնել <math>x^3+y^3+z^3 \;=\; u^3</math> հավասարման լուծուքմները։ Հարմար է, սակայն, <math>u</math> անհայտը նշանակել <math>-t</math>-ով։ Այդ դեպքում հավասարումը կունենա ավելի պարզ տեսք

<math>x^3+y^3+z^3+t^3 \;=\; 0</math>։

Դիտարկենք այն եղանակը, որը թույլ է տալիս գտնել այդ հավասարման անթիվ բազմությամբ ամբողջական լուծումները (դրական և բացասական)։ Դիցուք <math>a, \; b, \; c, \; d \text{ և } α, \; β, \; γ, \; δ</math> երկու քառյակ թվեր են, որոնք բավարարում են հավասարմանը։ Առաջին քառյակի թվերին ավելացնենք երկրորդ քառյակի թվերը՝ նախապես դրանք բազմապատկելռվ մի որոշ <math>k</math> թվով, և աշխատենք <math>k</math> թիվն ընտրել այնպես, որ ստացված

թվերը նույնպես բավարարեն մեր հավասարմանը։ Այլ կերպ ասած, <math>k</math>-ն ընտրենք այն ձևով, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը՝

<math>(a+kα)^3+(b+kβ)^3+(c+kγ)^3+(d+kδ)^3 \;=\; 0</math>։

Բացելով փակագծերը և վերհիշելովդ որ <math>a, \; b, \; c, \; d \text{ և } α, β, γ, δ</math> քառյակ թվերը բավարարում են մեր հավասարմանը, այսինքն՝ տեղի կունենան

<math>a^3+b^3+c^3+d^3 \;=\; 0, \; α^3+β^3+γ^3+δ^3 \;=\; 0</math>,

հավասարությունները, մենք կստանանք՝

կամ

<math>3k[(a^2α+b^2β+c^2γ+d^2δ)+k(aα^2+bβ^2+cγ^2+dδ^2)] \;=\; 0</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>3k[(a^2α+b^3β+c^2γ+d^2δ)+ k(aα^2+bβ^2+cγ^2+dδ^2)] \;=\; 0</math>։— ''Մ.''։</ref>

Արտադրյալը կարող է դառնալ զրո միայն այն դեպքում, երբ նրա արտադրիչներից գոնե մեկը դառնում է զրո։ Արտադրիչներից յուրաքանչյուրը հավասարեցնելով զրոյի, <math>k</math>-ի համար մենք կստանանք երկու արժեքներ։ Առաջին արժեքը <math>k=0</math>, մեզ չի հետաքրքրում. այն նշանակում է, որ եթե <math>a, \; b, \; c, \; d</math> թվերին ոչինչ չավելացնենք, ապա ստացված թվերը բավարարում են մեր հավասարմանը։ Ուստի՝ մենք <math>k</math>-ի համար վերցնում ենք միայն երկրորդ արժեքը՝

<math>k \;=\; -\frac{a^2α+b^2β+c^2γ+d^2δ} {aα^2+bβ^2+cγ^2+dδ^2}</math>։

Այսպիսով, գիտենալով թվերի երկու քառյակներ, որոնք բավարարում են սկզբնական հավասարմանը, հնարավոր է գտնել նոր քառյակ. դրա համար պետք է առաջին քառյակի թվերին ավելացնել երկրորդ քառյակի թվերը՝ դրանք նախապես բազմապատկելով <math>k</math>-ով, որտեղ <math>k</math>-ն ունի վերը գրված արժեքը։

Այդ եղանակը կիրառելու համար պետք է գիտենալ թվերի երկու քառյակներ, որոնք բավարարում են սկզբնական հավասարմանը։ Այդպիսի մի քառյակ <math>(3, \; 4, \; 5, \; 6)</math> մենք արդեն գիտենք։ Որտեղի՞ց վերցնել ևս մեկ քառյակ։ Այդ դրությունից դուրս գալը շատ հեշտ է՝ որպես երկրորդ քառյակ կարելի է վերցնել <math>r, \; -r, \; s, \; -s</math> թվերը, որոնք, ակնհայտորեն, բավարարում են սկզբնական հավասարմանը։ Այլ կերպ ասած, ընդունենք

<math>a=3, \; b=4, \; c=5, \; d=6</math>,

<math>α=r, \; β=-r, \; γ=s, \; δ=-s</math>։

Այդ դեպքում, ինչպես հեշտ է նկատել, <math>k</math>-ի համար մենք կստանանք հետևյալ արժեքը՝

<math>k \;=\; -\frac{-7r-11s}{7r^2-s^2} \;=\; \frac{7r+11s}{7r^2-s^2}</math>,

իսկ <math>a+kα, \; b+kβ, \; c+kγ, \; d+kδ</math> թվերը համապատասխանորեն հավասար կլինեն

<math>\frac{28r^2+11rs-3m^2}{7r^2-s^2}, \;\; \frac{21r^2-11rs-4s^2}{7r^2-s^2}, \;\; \frac{35r^2+7rs+6s^2}{7r^2-s^2}, \;\; \frac{-42r^2-7rs-5s^2}{7r^2-s^2}</math>։

Համաձայն վերը ասվածի, այդ չորս արտահայտությունները բավարարում են

<math>x^3+y^3+z^3+t^3 \;=\; 0</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>x^3+y^3+z^3-t^3 \;=\; 0</math>։— ''Մ.''։</ref>

սկզբնական հավասարմանը։

Քանի որ այդ բոլոր արտահայտություններն ունեն միատեսակ հայտարար, ապա այն կարելի է դեն գցել (այսինքն՝ այդ կոտորակների համարիչները նույնպես բավարարում են դիտարկվող հավասարմանը)։ Այսպիսով, գրված հավասարմանը բավարարում են (ցանկացած <math>r</math>-ի և <math>s</math>-ի դեպքում) հետևյալ թվերը՝

<math>x \;=\; 28r^2+11rs-3m^2</math>,

<math>y \;=\; 21r^2-11rs-4s^2</math>,

<math>z \;=\; 35r^2+7rs+6s^2</math>,

<math>t \;=\; -42r^2-7rs-5s^2</math>,

այդ բանում, իհարկե, կարելի է համոզվել և անմիջականորեն՝ այդ արտահայտությունները խորանարդ բարձրացնելով և գումարելով։ <math>r</math>-ին և <math>s</math>-ին տալով տարբեր, ամբողջ արժեքներ՝ մենք կարող ենք ստանալ մեր հավասարման ամբողջական լուծումների մի ամբողջ շարք։ Եթե այդ դեպքում ստացված թվերը կունենան ընդհանուր արտադրիչ, ապա նրա վրա կարելի է այդ թվերը բաժանել։ Օրինակ, երբ <math>r=l, \; s=1</math>, <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի, <math>t</math>-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքները՝ <math>36, \;6, \; 48, \; -54</math> կամ <math>6</math>-ով կրճատելուց հետո՝ <math>6, \; 1, \; 8, \; -9</math> արժեքները։ Այսպիսով՝

<math>6^3+1^3+8^3=9^3</math>։

Ահա ևս նույն տիպի հավասարությունների մի ամբողջ շարք (որոնք ստացվում են ընդհանուր արտադրիչով կրճատելուց հետո).

երբ <math>r=l, \; s=2 \;\; 38^3+73^3=17^3+76^3</math>,

երբ <math>r=l, \; s=3 \;\; 17^3+55^3=24^3+54^3</math>,

երբ <math>r=l, \; s=5 \;\; 4^3+110^3=67^3+101^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=4 \;\; 8^3+53^3=29^3+50^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=-1 \;\; 7^3+14^3+17^3=20^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=-2 \;\; 2^3+16^3=9^3+15^3</math>,

երբ <math>r=2, \; s=-1 \;\; 29^3+34^3+44^3=53^3</math>։

. . . . . . . . . . .

Նկատենք, որ եթե <math>3, \; 4, \; 5, \; -6</math> սկզբնական քառյակի մեջ կամ հենց նոր ստացված քառյակներից մեկի մեջ թվերի տեղերը փոխենք և կիրառենք նույն եղանակը, ապա կստանանք լուծումների նոր սերիա։ Օրինակ՝ վերցնելով <math>3, \; 5, \; 4, \; -6</math> քառյակը (այսինքն՝ ենթադրելով <math>a=3, \; b=5, \; c=4, \; d=-6</math>), մենք <math>x</math>-ի, <math>y</math>-ի, <math>z</math>-ի, <math>t</math>-ի համար կստանանք հետևյալ արժեքները՝

<math>x \;=\; 20r^2+10rs-3s^2</math>,

<math>y \;=\; 12r^2-10rs-5s^2</math>,

<math>z \;=\; 16r^2+8rs+6s^2</math>,

<math>t \;=\; -24r^2-8rs-4s^2</math>։

Այստեղից <math>r</math>-ի և <math>s</math>-ի տարբեր արժեքների դեպքում կստանանք նոր առնչություններ՝

երբ <math>r=1, \; s=1 \;\; 9^3+10^3=1^3+12^3</math>,

երբ <math>r=l, \; s=3 \;\; 23^3+94^3=63^3+84^3</math>,

երբ <math>r=1, \; s=5 \;\; 5^3+163^3+164^3=206^3</math>,

երբ <math>r=l, \; s=6 \;\; 7^3+54^3+57^3=70^3</math>,

երբ <math>r=2, \; s=1 \;\; 23^3+97^3+86^3=116^3</math>,

երբ <math>r=l, \; s=-3 \;\; 3^3+36^3+37^3=46^3</math>

և այլն։

Այս ճանապարհով կարելի է ստանալ դիտարկվող հավասարման համար անթիվ բազմությամբ լուծումներ։

===ՀԱՐՅՈՒՐ ՀԱԶԱՐ՝ ԹԵՈՐԵՄԱՅԻ ԱՊԱՑՈՒՑՄԱՆ ՀԱՄԱՐ===

Անորոշ հավասարումներից մի խնդիր մեծ ճանաչում էր գտել, քանի որ այն ճիշտ լուծելու համար կտակված էր մի ամբողջ հարստություն՝ <math>100000</math> գերմանական մարկ։

Խնդիրը կայանում է նրանում, որպեսզի ապացուցվի Ֆերմայի թեորեմա կամ «մեծ առաջադրություն» կոչվող հետևյալ դրույթը։

Երկու ամբողջ թվերի միատեսակ աստիճանների գումարը չի կարող լինել որևէ երրորդ ամբողջ թվի նույն աստիճանը։ Բացառություն է կազմում միայն երկրորդ աստիճանը, որի համար այդ հնարավոր է։

Այլ կերպ ասած, պետք է ապացուցել, որ

հավասարումը լուծելի չէ <math>n>2</math> ամբողջ թվերի համար։

Պարզաբանենք ասվածը։ Մենք տեսանք, որ

<math>x^2+y^2 \;=\; z^2</math>,

հավասարումները ունեն ցանկացածին չափ ամբողջական լուծումներ։ Բայց փորձեցեք գտնել երեք ամբողջ դրական թվեր, որոնց համար տեղի ունենա <math>x^3+y^3 \;=\; z^3</math> հավասարությունը. ձեր որոնումները կմնան ապարդյուն։

Նույն անհաջողությանը կմատնվեք դուք նաև չորրորդ, հինգերորդ, վեցերորդ և այլն աստիճանների համար օրինակներ փնտրելիս։ Հենց դա է հաստատում «Ֆերմայի մեծ առաջադրությունը»։

Իսկ ի՞նչ է պահանջվում նվիրատվություն փնտրողներից։ Նրանք պետք է ապացուցեն այդ դրույթը բոլոր այն աստիճանների համար, որոնց համար այն ճիշտ է։ Բանն այն է, որ Ֆերմայի թեորեման դեռ ապացուցված չէ և կախված է, այսպես ասած, օդում։<ref>Ֆերմայի թեորեմն ապացուցել է Անդրյու Ուայլսը (Andrew Wiles) 1995 թ.։— ''Մ.''։</ref>

Այն ժամանակից, երբ առաջարկվել է այդ թեորեման, անցել է երեք հարյուր տարի, սակայն մաթեմատիկոսներին չի հաջողվել մինչև այժմ էլ գտնել նրա ապացույցը։ Մեծագույն մաթեմատիկոսները ջանք են թափել այդ պրոբլեմի վրա, սակայն լավագույն դեպքում նրանց հաջողվել է ապացուցել թեորեման միայն այս կամ այն առանձին ցուցիչի համար կամ ցուցիչների խմբերի համար, անհրաժեշտ է գտնել ''ընդհանուր'' ապացույց ''ամեն մի'' ամբողջ ցուցիչի համար։

Զարմանալի է, որ Ֆերմայի թեորեմայի անըմբռնելի ապացույցը, ըստ երևույթին, մի անգամ արդեն գտնվել է, բայց այնուհետև նորից կորել է։ Թեորեմայի հեղինակը՝ 17-րդ դարի հանճարեղ մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերման<ref>Ֆերման (1603—1660) մասնագետ-մաթեմատիկոս չէր։ Կրթությամբ իրավաբան, պառլամենտի խորհրդատու, նա զբաղվել է մաթեմատիկական հետազոտումներով միայն աշխատանքի ժամանակ։ Այդ նրան չխանգարեց անել արտակարգ կարևոր հայտնագործումներ, որոնք նա, այնուամենայնիվ, չհրապարակեց և ըստ իր դարաշրջանի սովորության, նամակներով իրազեկ դարձրեց իր գիտնական բարեկամներին՝ Պասկալին, Դեկարտին, Հյուգենսին, Ռոբերվալին և մյուսներին։</ref> պնդում էր, որ նրա ապացույցը իրեն հայտնի է։ Իր «Մեծ առաջադրությունը» (ինչպես և մի շարք այլ թեորեմաներ թվերի տեսությունից) դիտողության տեսքով գրեց Դիոֆանտի երկերի լուսանցքներում, այն ուղեկցելով այսպիսի լրացումով՝

«Ես գտա այդ առադրության իսկապես զարմանալի ապացույցը, բայց այստեղ տեղը փոքր է, որպեսզի այն մեջ բերեմ»։

Մեծ մաթեմատիկոսի ո՛չ թղթերում, ո՛չ գրագրություններում և ընդհանրապես ոչ մի տեղ այդ ապացույցի հետքերը գտնել չհաջողվեց։

Ֆերմայի հետևորդները ստիպված էին գնալ ինքնուրույն ճանապարհով։ Ահա այդ ջանքերի արդյունքները. Էյլերը (1797) ապացուցեց Ֆերմայի թեորեման երրորդ և չորրորդ աստիճանների համար, հինգերորդ աստիճանի համար այն ապացուցեց Լեժանդրը (1823), յոթերորդի<ref>Բարդ ցուցիչների համար (բացի <math>4</math>-ից) հատուկ ապացույցներ չեն պահանջվում՝ այդ դեպքերը հանգում են պարզ ցուցիչներով դեպքերի։</ref> համար՝ Լամեն և Լեբեգը (1840)։ 1849 թվականին Կումերը թեորեման ապացուցեց աստիճանների ընդհանուր խմբի համար և, ի միջի այլոց, հարյուրից փոքր բոլոր ցուցիչների համար։ Այդ վերջին աշխատանքները հեռանում են մաթեմատիկայի բնագավառի այն սահմաններից, որ ծանոթ էր Ֆերմային) և դառնում է հանելուկային, թե ինչպես վերջինս կարող էր իր «Մեծ առաջադրության» ընդհանուր ապացույց փնտրել։

Ֆերմայի խնդրի պատմությամբ և նրա ժամանակակից վիճակով հետաքրքրվողներին կարելի էր հանձնարարել Ա. Յա. Խինչինի «Ֆերմայի մեծ թեորեման» բրոշյուրը։ Մասնագետի կողմից գրված այս բրոշյուրը նախատեսված է մաթեմատիկայից տարրական գիտելիքներ ունեցող ընթերցողի համար։

Մանվել

Վստահելի

1396

edits

Changes

Հետաքրքրաշարժ Հանրահաշիվ

Նավիգացիոն ցանկ

Անձնական գործիքներ

Անվանատարածքներ

Տարբերակներ

Դիտումները

Ավելին

Որոնում

Շրջել կայքում

Բաժիններ

Ժանրեր

ըստ երկրների

այլ էջեր

Գործիքներ