Changes
Այս կոմիկական դեպքերը սակավափորձ մաթեմատիկոսին պետք է նախազգուշացնեն արմատանշանի տակ անհայտ պարունակող հավասարումների հետ անզգույշ օպերացիաներ կատարելուց։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Ch6.png|800px|frameless|thumb|center]]
==ԳԼՈՒԽ ՎԵՑԵՐՈՐԴ։ ԵՐԿՐՈՐԴ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ==
===ՁԵՌՔ ՍԵՂՄՈՒՄՆԵՐ===
'''''Խնդիր'''''
Նիստի մասնակիցները միմյանց ձեռք սեղմեցին. մեկը հաշվեց, որ բոլոր ձեռքսեղմումները եղել են 66։ Քանի՞ մարդ է ներկայացել նիստին։
'''''Լուծում'''''
Խնդիրը լուծվում է հանրահաշվորեն միանգամայն պարզ կերպով։ <math>x</math> մասնակիցներից յուրաքանչյուրը սեղմեց <math>x-1</math> ձեռք։ Նշանակում է բոլոր ձեռք սեղմողները պետք է լինեին <math>x(x-1)</math>. բայց պետք է ուշադրություն դարձնել, որ երբ Իվանովը սեղմում է Պետրովի ձեռքը, ապա և Պետրովը սեղմում է Իվանովի ձեռքը. այդ երկու ձեռքսեղմումները պետք է հաշվել որպես մեկ։ Ուստի հաշված ձեռքսեղմումների թիվը երկու անգամ փոքր է, քան թե <math>x(x-1)</math>։ Ու նենք հետևյալ հավասարումը՝
<math>\frac{x(x-1)}{2} \;=\; 66</math>
կամ ձևափոխություններից հետո՝
<math>x^2-x-132 \;=\; 0</math>,
որտեղից
<math>x \;=\; \frac{1 \pm \sqrt{1+528}}{2}</math>
<math>x_1=12, x_2=-11</math>։
Քանի որ բացառական լուծումը (<math>-11</math> մարդ) տվյալ դեպքում ռեալ իմաստից զուրկ է, մենք այն անտեսում ենք և պահպանում ենք միայն առաջին արմատը. նիստին մասնակցել են <math>12</math> մարդ։
===ՄԵՂՎԱԽՈՒՄԲԸ===
'''''Խնդիր'''''
Հնադարյան Հնդկաստանում տարածված էր սպորտի յուրատեսակ ձև, գլուխկոտրուկ խնդիրների լուծման հրապարակային մրցում։ Հնդկական մաթեմատիկական ուղեցույցները մասամբ նպատակ ունեին ծառայելու որպես ձեռնարկներ մտավոր սպորտի նման մրցումների առաջնության համար։ «Այստեղ շարադրված կանոնների համաձայն,— գրում է այդպիսի դասագրքերից մեկի կազմողը,— իմաստունը կարող էր մտածել հազար այլ խնդիրներ։ Ինչպես արևն է իր փայլով ստվերի մեջ թողնում աստղերին, այնպես էլ գիտնականը մթագնում է մյուսի փառքը ժողովրդական հավաքներում՝ առաջարկելով և լուծելով հանրահաշվական խնդիրներ»։ Բնագրում դա արտահայտված է բանաստեղծորեն, քանի որ ամբողջ գիրքը գրված է չափածո։ Խնդիրներին նույնպես տրված է չափածո տեսք։ Բերենք դրանցից մեկը՝ արձակի վերածած։
Մեղուները, որ թվով հավասար են նրանց ողջ խմբի կեսի քառակուսի արմատին, նստեցին հասմիկի թփին՝ իրենց ետևը թողնելով խմբի <math>^8/_9</math>-ը։ Եվ նույն խմբից միայն մի մեղու, հրապուրված ընկերուհիների բզզոցով՝ պտույտ է գալիս լոտոսի շուրջը, անզգուշորեն ընկնելով բուրումնավետ, ծաղկի ծուղակը։ Ընդամենը քանի՞ մեղու կար խմբում։
Լուծում
Եթե խմբի որոնելի թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝
<math>\sqrt{\frac{x}{2}} + \frac{8}{9}x+2 \;=\; x</math>։
Մենք կարող ենք սրան տալ ավելի պարզ տեսք՝ մտցնելով օժանդակ անհայտ
<math>y \;=\; \sqrt{\frac{x}{2}}</math>։
Այդ ժամանակ <math>x=2y^2</math>, և հավասարումը կլինի՝
<math>y+\frac{16y^2}{9}+2 \;=\; y^2 \text{ կամ } 2y^2-9y-18 \;=\; 0</math>։
Լուծելով այն, <math>y</math>-ի համար կստանանք երկու արժեքներ՝
<math>y_1=6, \; y_2=-\frac{3}{2}</math>։
<math>x</math>-ի համապատասխան արժեքները կլինեն՝
<math>x_1=72, \; x_2=4,5</math>։
Քանի որ մեղուների թիվը պետք է լինի ամբողջ և դրական, ապա խնդրին բավարարում է միայն առաջին արմատը, խումբը բաղկացած էր <math>72</math> մեղուներից։ Ստուգենք՝
<math>\sqrt{\frac{72}{2}}+\frac{8}{9} \cdot 72+2 \;=\; 6+64+2 \;=\; 72</math>։
===ԿԱՊԻԿՆԵՐԻ ԽՈՒՄԲԸ===
'''''Խնդիր'''''
Հնդկական մյուս խնդիրը ես հնարավորություն ունեմ չափածոյի վերածած հաղորդել այնպես, ինչպես այն թարգմանել է «Ո՞վ է հայտնաագործել հանրահաշիվը» հիանալի գրքի հեղինակ Վ. Ի. Լեբեդևը.
<poem>
Երկու խմբի բաժանվելով,
Զվարճանում են կապիկները։
Ութերորդի քառակուսին
Զվարթ խայտում է պուրակում,
Ուրախ ճիչով տասներկուսը
Թնդացնում են օդը մաքուր։
Ասա՛ դու ինձ, ընդամենը
Քանի՞ կապիկ կար պուրակում։
</poem>
'''''Լուծում'''''
Եթե խմբի ընդհանուր թիվը <math>x</math> է, ապա
<math>\left(\frac{x}{8}\right)^2+12 \;=\; x</math>,
որտեղից
<math>x_1=48, \; x_2=16</math>։
Խնդիրն ունի երկու դրական լուծում` խմբում կարող էին լինել <math>48</math> կապիկ կամ <math>16</math>։ Երկու պատասխաներն էլ լրիվ բավարարում են խնդրին։
===ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԿԱՆԽԱՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆԸ===
Դիտարկված դեպքերում հավասարումների ստացված երկու լուծումների հետ մենք վարվեցինք տարբեր ձևով՝ ելնելով խնդրի պայմաններից։ Առաջին դեպքում մենք դեն գցեցինք բացասական արմատը, որպես խնդրի բովանդակությանը չհամապատասխանող, երկրորդում՝ հրաժարվեցինք կոտորակային և բացասական արմատներից, երրորդ խնդրում, հակառակը, օգտվեցինք երկու արմատներից էլ։ Երկրորդ լուծման գոյությունը երբեմն անսպասելի է լինում ոչ միայն խնդիրը լուծողի համար, այլև այն հորինողի համար։ Բերենք օրինակ, երբ հավասարումն ավելի կանխատեսող է, քան նա ով կազմել է այն։
Գնդակը նետված է դեպի վեր <math>25 \; մ/վրկ</math> արագությամբ։ Քանի՞ վայրկյանից հետո այն կգտնվի երկրից <math>20 \; մ</math> բարձրության վրա։
'''''Լուծում'''''
Վեր նետված մարմնի համար, օդի դիմադրության բացակայության դեպքում, երկրի վրա մարմնի վերելքի բարձրության (<math>h</math>), սկզբնական արագության (<math>v</math>), ձգողականության արագացման (<math>g</math>) և ժամանակի (<math>t</math>) միջև մեխանիկան սահմանում է հետևյալ առնչությունը,
<math>h \;=\; vt-\frac{gt^2}{2}</math>։
Օդի դիմադրությունը տվյալ դեպքում մենք կարող ենք արհամարհել, քանի որ աննշան արագության դեպքում նա այնքան մեծ չէ։ Հաշվումները պարզեցնելու համար ընդունենք <math>g</math>-ն ոչ թե հավասար <math>9,8 \; մ/վրկ^2</math>, այլ <math>10 \; մ/վրկ^2</math><ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>g</math>-ն ոչ թե հավասար <math>9,8 \; մ</math>, այլ <math>10 \; մ</math>։— ''Մ.''։</ref> (սխալը ընդամենը 2% է)։ Բերված բանաձևի մեջ տեղադրելով <math>h</math>-ի, <math>v</math>-ի և <math>g</math>-ի արժեքները կստանանք հետևյալ հավասարումը՝
<math>20 \;=\; 25t-\frac{10t^2}{2}</math>,
իսկ պարզեցնելուց հետո
<math>t^2-5t+4 \;=\; 0</math>։
Լուծելով հավասարումը, կունենանք՝
<math>t_1=1 \text{ և } t_2=4</math>։
Գնդակը կլինի <math>20 մ</math> բարձրության վրա երկու անգամ՝ <math>1</math> վայրկյան հետո և <math>4</math> վայրկյան հետո։
Այդ կարող է, թերևս, թվալ անհավանական, և չմտածելով՝ մենք պատրաստ ենք երկրորդ լուծումն անտեսել։ Սակայն այդպես վարվելը սխալ կլիներ։ Երկրորդ լուծումը լրիվ իմաստ ունի. գնդակը պետք է իրոք երկու անգամ գտնվի <math>20 մ</math> բարձրության վրա՝ մեկ անգամ վերելքի դեպքում և երկրորդ անգամ հետադարձ անկման դեպքում։ Հեշտ է հաշվել, որ վայրկյանում <math>25 մ</math> սկզբնական արագության դեպքում գնդակը կթռչեր դեպի վեր <math>2,5</math> վայրկյան՝ հասնելով <math>31,25 մ</math> բարձրության։ <math>1</math> վայրկյան հետո հասնելով <math>20 մ</math> բարձրության, գնդակը կբարձրանա ևս <math>1,5</math> վայրկյան, այնուհետև այդքան ժամանակ էլ ցած կիջնի մինչև <math>20 մ</math> մակարդակը, և մի վայրկյան հետո կհասնի երկրին։
===ԷՅԼԵՐԻ ԽՆԴԻՐԸ===
Ստենդալը «Ինքնակենսագրության» մեջ իր ուսման տարիների մասին պատմում է հետևյալը.
«Ես նրա մոտ (մաթեմատիկայի ուսուցչի) գտա Էյլերին և նրա խնդիրը ձվերի թվի մասին, որոնք գեղչկուհին տանում էր շուկա... «Դա ինձ համար նորություն էր։ Ես հասկացա, թե ինչ է նշանակում օգտվել մի զենքից, որ կոչվում է հանրահաշիվ։ Բայց սատանան տանի, ոչ ոք ինձ այդ մասին ոչինչ չէր ասել»։
Ահա այդ խնդիրը Էյլերի «Հանրահաշվի ներածություն»-ից, որ երիտասարդ Ստենդալի վրա թողել էր այնքան ուժեղ տպավորություն։
Երկու գեղջկուհի միասին շուկա բերեցին <math>100</math> ձու, մեկը ավելի շատ, քան մյուսը. երկուսն էլ վաստակեցին հավասար
գումարներ։ Այդ ժամանակ առաջինը երկրորդին ասաց՝ «Եթե քո ձվերը իմը լինեին, ես կվաստակեի <math>15</math> կրեյցեր։Երկրորդը պատասխանում է՝ «Իսկ եթե քո ձվերը իմը լինեին, ես դրանց դիմաց կվաստակեի <math>6\frac{2}{3}</math> կրեյցեր։ Քանի՞ ձու ուներ յուրաքանչյուրը։
'''''Լուծում'''''
Դիցուք առաջին գեղջկուհին ուներ <math>x</math> ձու. այդ ժամանակ երկրորդը կունենա՝ <math>100-x</math>։ Իսկ եթե առաջինը ունենար <math>100-x</math> ձու, ապա նա կստանար, ինչպես գիտենք, <math>13</math> կրեյցեր։ Նշանակում է, առաջին գեղջկուհին ձվերը կվաճառեր հատը
<math>\frac{15}{160-x}</math>-ով։
Այս ձևով դանում ենք, որ երկրորդ գեղջկուհին ձվերը վաճառել է հատը
<math>6\frac{2}{3} \;:\; x \;=\; \frac{20}{3x}</math>-ով։
Այժմ որոշենք յուրաքանչյուր գեղջկուհու իրականում ստացածը՝
առաջինը՝ <math>x \cdot \frac{15}{100-x} \;=\; \frac{15x}{100-x}</math>,
երկրորդը՝ <math>(100-x) \cdot \frac{20}{3x} \;=\; \frac{20(100-x)}{3x}</math>։
Քանի որ երկուսի մոտ էլ վաճառքից ստացած գումարները հավասար են, ապա
<math>\frac{15x}{100-x} \;=\; \frac{20(100-x)}{3x}</math>։
Ձևափոխությունից հետո կունենանք
<math>x^2+160x-8000 \;=\; 0</math>,
որտեղից
<math>x_1=40, \; x_2=-200</math>։
Տվյալ դեպքում բացասական արմատը իմաստ չունի. խնդիրն ունի միայն մեկ լուծում. առաջին գեղջկուհին բերել էր <math>40</math> ձու և ուրեմն երկրորդը՝ <math>60</math>։
Խնդիրը հնարավոր է լուծել այլ ավելի կարճ, ձևով։ Այդ ձևը անհամեմատ սրամիտ է, բայց դրա փոխարեն այն որոնելը զգալիորեն դժվար է։
Ենթադրենք, որ երկրորդ գեղջկուհին ուներ <math>k</math> անգամ ավելի շատ ձու, քան առաջինը։ Նրանք ստացել են միահավասար գումարներ. այդ նշանակում է, որ առաջին գեղջկուհին իր ձվերը վաճառել է k անգամ թանկ, քան երկրորդը։ Իսկ եթե նրանք վաճառելուց առաջ փոխանակեին ձվերը, ապա առաջին գեղջկուհին կունենար <math>k</math> անգամ ավելի շատ ձու, քան երկրորդը, և դրանց կվաճառեր <math>k</math> անգամ ավելի թանկ։ Այդ նշանակում է, որ նա կստանար <math>k^2</math>-ով ավելի փող, քան երկրորդը։ Հետևաբար, կունենանք՝
<math>k^2 \;=\; 15 \;:\; 6\frac{2}{3} \;=\; \frac{45}{20} \;=\; \frac{9}{4}</math>,
այստեղից
<math>k=\frac{3}{2}</math>։
Այժմ մնում է <math>100</math> ձուն բաժանել <math>3 \;:\; 2</math> հարաբերությամբ։ Հեշտությամբ կգտնենք, որ առաջին գեղջկուհին ուներ <math>40</math>, իսկ երկրորդը՝ <math>60</math> ձու։
===ԲԱՐՁՐԱԽՈՍՆԵՐԸ===
'''''Խնդիր'''''
Հրապարակում տեղակայված է <math>5</math> բարձրախոս, որոնք բաժանված են երկու խմբի՝ մեկում <math>2</math>, մյուսում <math>3</math> ապարատ։
Խմբերի միջև հեռավորությունը <math>50 մ</math> է։ Որտե՞ղ պետք է կանգնել, որպեսզի երկու խմբերի ձայներն էլ հասնեն հավասար ուժով։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_16.png|400px|frameless|thumb|center]]
'''''Լուծում'''''
Եթե փոքր խմբից որոնելի կետի հեռավորությունը նշանակենք <math>x</math>-ով, ապա մեծ խմբից այն կլինի <math>50-x</math> (նկ. 16)։ Գիտենալով, որ ձայնի ուժը թուլանում է հեռավորության քառակուսուն համեմատական, կունենանք հետևյալ հավասարումը՝
<math>\frac{2}{3} \;=\; \frac{x^2}{(50-x)^2}</math>,
որը պարզեցնելուց հետո բերվում է հետևյալ տեսքի՝
<math>x^2+200x-5000 \;=\; 0</math>։
Լուծելով այն, կստանանք երկու արմատներ՝
<math>x_1=22,5</math>,
<math>x_2=-222,5</math>։
Դրական արմատը հենց պատասխանում է խնդրի հարցին՝ հավասար լսելիության կետը երկու բարձրախոսների խմբից հեռացված է <math>22,5 \; մ</math>-ով, իսկ երեք ապարատների խմբից՝ <math>27,5 \; մ</math>-ով։
Բայց ի՞նչ է նշանակում հավասարման բացասական արմատը։ Ունի՞ նա որևէ իմաստ։
Անպայման։ Մինուս նշանը նշանակում է, որ հավասար լսելիության երկրորդ կետը ընկած է հակադիր այն ուղղությանը, որը ընդունված էր որպես դրական՝ հավասարումները կազմելիս։ Երկու ապարատների գտնվելու տեղից պահանջված ուղղությամբ անջատելով <math>222,5 \; մ</math>, գտնենք այն կետը, որտեղ երկու խմբերի բարձրախոսների ձայները հասնում են հավասար ուժով։ Երեք ապարատների խմբից այգ կետը հեռացած կլինի <math>222,5 \; մ + 50 \; մ \;=\; 272 \; մ</math>։
Այսպիսով, մենք գտանք հավասար լսելիության երկու կետերը, այն կետերը, որոնք ընկած են ձայնի աղբյուրները միացնող ուղիղի վրա։ Ուրիշ այդպիսի կետեր այդ գծի վրա չկան, բայց նրանք կան այդ գծից դուրս։ Կարելի է ապացուցել, որ այն կետերը երկրաչափական տեղը, որ բավարարում է մեր խնդրի պահանջներին, շրջանագիծ է, որը տարված է հենց նոր գտնված երկու կետերով որպես տրամագծի ծայրեր։ Այդ շրջանագիծը, ինչպես տեսնում ենք, սահմանափակում է բավականին ընդարձակ հատված (գծագրում ստվերագծված), որի ներսում երկու բարձրախոսների խմբի լսելիությանը հաղթահարում է երեք ապարատների խմբի լսելիությանը, իսկ այդ շրջանի սահմաններից դուրս նկատվում է հակառակ երևույթը։
===ԼՈՒՍՆԱՅԻՆ ԹՌԻՉՔԻ ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎԸ===
Բարձրախոսների մասին հենց նոր դիտարկված խնդիրը անսպասելիորեն զուգադիպում է հրթիռանավով Լուսնին թռչելու պրոբլեմին։ Շատերը կասկածանքով են արտահայտվում այն մասին, թե երկնքում այդ փոքրիկ թիրախի վրա դիպուկ ընկնելը չի՞ հանդիսանում արդյոք չափազանց դժվարին գործ։ Չէ՞ որ Լուսնի տրամագիծը մեզ երևում է ընդամենը կես աստիճանի անկյան տակ։ Հարցի մանրամասն քննարկումից պարզվում է, որ ձեռնարկման նպատակին կարելի է հասնել, եթե հրթիռին հաջողվի թռչելով անցնել Երկրի և Լուսնի հավասար ձգողականության կետից, այնուհետև՝ հրթիռանավն արդեն անխուսափելիորեն կշարժվի դեպի Լուսինը նրա ձգողականության ուժի ներգործությաբ։ Որոնենք հավասար ձգողականության այդ կետը։
Ըստ Նյուտոնի օրենքի, երկու մարմինների փոխադարձ ձգողականությունը ուղիղ համեմատական է ձգող մասսաների արտադրյալին և հակադարձ համեմատական նրանց միջև եղած հեռավորության քառակուսուն։ Եթե Երկրի մասսան <math>M</math> է, իսկ հրթիռի հեռավորությունը նրանից՝ <math>x</math>, ապա այն ուժը, որով երկիրը ձգում է հրթիռի մասսայի յուրաքանչյուր գրամը, արտահայտվում է
<math>\frac{Mk}{x^2}</math>
բանաձևով, որտեղ <math>k</math>-ն <math>1 \; սմ</math> հեռավորության վրա գտնվող երկու՝ մեկական գրամների փոխադարձ ձգողականության ուժն է։ Այն ուժը, որով Լուսինր ձգում է հրթիռի լուրաքանէլուր դրամը նուլն կետում, հավասար է
<math>\frac{mk}{(l-x)^2}</math>,
որտեղ <math>m</math>-ը Լուսնի մասսան է, իսկ <math>l</math>-ը՝ նրա հեռավորությունը Երկրից (ենթադրվում է, որ հրթիռը գտնվում է Երկրի և Լուսնի միջև՝ ղրանց կենտրոնները միացնող ուղիղ գծի վրա)։ Խննդիրը պահանջում է, որ տեղի ունենա
<math>\frac{Mk}{x^2} \;=\; \frac{mk}{(l-x)^2}</math>
կամ
<math>\frac{M}{m} \;=\; \frac{x^2}{l^2-2lx+x^2}</math>։
<math>\frac{M}{m}</math> հարաբերությունը, ինչպես հայտնի է աստղագիտությունից, մոտավորապես հավասար է <math>81,5</math>. տեղագրելով, կունենաք՝
<math>\frac{x^2}{l^2-2lx+x^2}=81,5</math>,
որտեղից
<math>80,5x^2-163,0lx + 81,5l^2 \;=\; 0</math>։
Լուծելով հավասարումը <math>x</math>-ի նկատմամբ, կստանանք
<math>x_1=0,9l, \; x_2=1,12l</math>։
Ինչպես բարձրախոսների մասին խնդրում, այնպես էլ այստեղ մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ Երկիր-Լուսին գծի վրա գոյություն ունեն երկու որոնելի կետեր. երկու այնպիսի կետեր, որոնցից հրթիռը պետք է միատեսակ ձգվի երկու լուսատուներից։ Մեկը նրանց հեռավորության <math>0,9</math>-ից է, հաշված Երկրի կենտրոնից, մյուսը՝ նույն հեռավորության <math>1,12</math>-ից։ Քանի որ Երկրի և Լուսնի կենտրոնների միջև <math>l</math> հեռավորությունը <math>\approx 384000 \; կմ</math>-ի, ապա որոնելի կետերից մեկը գտնվում է Երկրի կենտրոնից <math>346000 \; կմ</math>-ի վրա, իսկ մյուսը <math>430000 \; կմ</math>-ի վրա։
Բայց մենք գիտենք (տե՛ս նախորդ խնդիրը), որ շրջանագծի բոլոր կետերը միևնույն հատկությունն ունեն, և նրա բոլոր կետերն անցնում են գտնված երկու կետերով որպես տրամագծի ծայրեր։ Եթե այդ շրջանագիծն սկսենք պտտել Երկրի և Լուսնի կենտրոնները միացնող գծի շուրջը, ապա այն կգծի գնդային մակերևույթ, որի բոլոր կետերը կբավարարեն խնդրի պահանջներին։
Այդ գնդի տրամագիծը հավասար է
<math>1,12l-0,9l=0,22l \approx 8400 \; կմ</math>։
Եթե հրթիռը հայտնվի այդ գնդի ներսը (ունենալով ոչ չափազանց մեծ արագություն), նա անխուսափելիորեն կընկնի Լուսնի մակերևույթի վրա, քանի որ Լուսնի ձգողականության ուժը այդ շրջանում հաղթահարում է Երկրի ձգողականության ուժը (նկ. 17)։
Այն թիրախը, որի վրա ընկնում է հրթիռը մենք տեսնում ենք անհամեմատ մեծ, քան կարելի է պատկերացնել։ Նա երկնքում զբաղեցնում է ոչ թե կես աստիճան, այլ, ինչպես ցույց է տալիս երկրաչափական ոչ բարդ հաշվարկը, մոտ 12°։ Դա զգալիորեն թեթևացնում է տիեզերագնացների<ref>Լուսնային թռիչքների նախագծերի մանրամասնությունների վրա մենք այստեղ, իհարկե, կանգ առնել չենք կարող։ Այդ պրոբլեմով հետաքրքրվողները կարող են նրա շարադրանքը և նրա հետ կապված մաթեմատիկական հարցերի վերլուծությունը գտնել իմ «Միջմոլորակային ճանապարհորդություններ» գրքում, 9-րդ հրատ., 1934 թ.։</ref> խնդիրը։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_17.png|400px|frameless|thumb|center]]
Այս անգամ հավասարումը ավելի կանխատեսող եղավ, քան նա, ով կազմել էր։ Ձեռնամուխ լինելով խնդրին, դուք մտածե՞լ եք արդյոք, որ երկրային ձգողականությունը ավելի մեծ է, քան Լուսնի ձգողականությունը ոչ միայն Լուսնի առջևից, այլև նրա ետևից։ Հանրահաշվական անալիզը անսպասելիորեն ձեր առջև բացեց այդ հանգամանքը և օգնեց ճշտությամբ սահմանազատել երկու լուսատուների ազդեցությունների սֆերաները։
===ԴԺՎԱՐ ԽՆԴԻՐ===
Բոգդանով-Բելսկու «Դժվար խնդիր» նկարը շատերին է հայտնի, բայց այդ նկարը դիտողներից քչերն են խորամուխ եղել այն «դժվար խնդրի» բովանդակության մեջ, որը պատկերված է նրա վրա։
[[Պատկեր:Interesting_Algebra_Pic_18.png|400px|frameless|thumb|center]]
Այն կայանում է նրանում, որպեսզի բանավոր հաշվով արագ գտնվի հետևյալ հաշվարկման արդյունքը՝
<math>\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}</math>։
Իրոք խնդիրը հեշտ չէ։ Սակայն, նրանից լավ գլուխ հանեցին այն ուսուցչի աշակերտները, որը դեմքի նմանությամբ պատկերված է նկարում, դա հենց ինքը՝ բնական գիտությունների պրոֆեսոր Ս. Ա. Ռաչինսկին է, որը թողեց համալսարանի ամբիոնը գյուղական դպրոցի շարքային ուսուցիչ դառնալու համար։ Տաղանդավոր մանկավարժը իր դպրոցում մշակեց բանավոր հաշիվ, որ հիմնված էր թվերի հատկությունների վիրտուոզային օգտագործման վրա։ <math>10, \; 11, \; 12, \; 13 \text{ և } 14</math> թվերն ունեն հետաքրքիր առանձնահատկություն.
<math>10^2+11^2+12^2=13^2+14^2</math>։
Բանի որ <math>100+121+144=365</math>, ապա հեշտ է մտքում հաշվել, որ նկարում վերարտադրված արտահայտությունը հավասար է <math>2</math>-ի։
Հանրահաշիվը մեզ հնարավորություն է տալիս թվերի այդ շարքի հետաքրքիր առանձնահատկության մասին հարցը ավելի լայն կերպով դնելու՝ միա՞կն է արդյոք հինգ հաջորդական թվերից կազմված այդ շարքը, որի առաջին երեք թվերի քառակուսիների գումարը հավասար է վերջին երկուսի քառակուսիների գումարին։
'''''Լուծում'''''
Նշանակելով որոնելի թվերից առաջինը <math>x</math>-ով, կունենանք հետևյալ հավասարումը՝
<math>x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 \;=\; (x+3)^2+(x+4)^2</math>։
Սակայն հարմար է նշանակել <math>x</math>-ով ոչ թե առաջին, այլ որոնելի թվերից ''երկրորդը''։ Այդ ժամանակ հավասարումը կունենա ավելի պարզ տեսք՝
<math>(x-1)^2+x^2+(x+1)^2 \;=\; (x+2)^2+(x+3)^2</math>։<ref>Գրքում վրիպակ է՝ <math>(x-1)^2+x^2+(x+1)^2 \;=\; (x+2)^2+(x+3^2)</math>։— ''Մ.''։</ref>
Բացելով փակագծերը և կատարելով պարզեցումներ, կստանանք`
<math>x^2-10x-11=0</math>,
որտեղից
<math>x=5 \pm\sqrt{25+11}, \; x_1=11, \; x_2=-1</math>։
Հետևաբար՝ գոյություն ունեն թվերի երկու շարք, որոնք ունեն պահանջվող հատկությունը՝
Ռաչինսկու շարքը՝
<math>10, \; 11, \; 12, \; 13, \; 14</math>,
և հետևյալ շարքը՝
<math>-2, \; -1, \; 0, \; 1, \; 2</math>։
Իրոք՝
<math>(-2)^2+(-1)^2+0^2 = 1^2+2^2</math>։
===ԱՅԴ Ո՞Ր ԹՎԵՐՆ ԵՆ===
'''''Խնդիր'''''
Գտնել երեք հաջորդական այնպիսի թվեր, որոնք տարբերվում են այն հատկությամբ, որ միջին թվի քառակուսին <math>1</math>-ով մեծ է մնացած երկուսի արտադրյալից։
'''''Լուծում'''''
Եթե որոնելի թվերից առաջինը <math>x</math> է, ապա հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝
<math>(x+1)^2 \;=\; x(x+2)+1</math>։
Բացելով փակագծերը, կստանանք հավասարությունը՝
<math>x^2+2x+1 \;=\; x^2+2x+1</math>,
որից չի կարելի որոշել <math>x</math>-ի մեծությունը։ Այդ ցույց է տալիս, որ մեր կազմած հավասարությունը նույնություն է. այն իրավացի է նրա մեջ մտնող տառի ցանկացած արժեքի դեպքում, այլ ոչ միայն որոշ արժեքների դեպքում ինչպես հավասարման ժամանակ։ Նշանակում է՝ ամեն մի երեք հաջորդական թվեր ունեն պահանջվող հատկությունը։ Իրոք, վերցնենք պատահական <math>17, \; 18, \; 19</math> թվերը։
Մենք համոզվում ենք, որ
<math>18^2-17 \cdot 19 = 324-323 = 1</math>։
Այդպիսի առնչության անհրաժեշտությունը դառնում է ակնառու, եթե երկրորդ թիվը նշանակենք <math>x</math>-ով։ Այն ժամանակ կստանանք հետևյալ հավասարությունը՝
<math>x^2-1 \;=\; (x+1)(x-1)</math>,
այսինքն՝ հայտնի նույնությունը։
