Changes

Թող տրված լինի ուղիղ գիծ A-ն:Նաև տրված լինեն երեք թվեր՝ E, BC և CD, որոնք մեկը մյուսի նկատմամբ չունեն այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Բայց, CB-ն BD-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ: Թող հայտնի լինի, որ ինչպես E-ն BC-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ A-ն FG-ի նկատմամբ կառուցված լինի, և ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է կառուցված, այնպես էլ FG-ն GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ լինի [«Տարրեր» 10.6]։ Եվ եթե A-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, FG-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ E-ն BC-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն A-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս FG-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, A-ն ունի երկարությամբ անհամաչափելի է FG-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Նորից, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ է, հետևաբար FG-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տե՛ս «Տարրեր» 10.6]: Եվ եթե FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է, ուրեմն GH-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս ռացիոնալ է: Հետևաբար, GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) է: Եվ քանի որ BC-ն CD-ի նկատմամբ չունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին ևս GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այդպիսի հարաբերություն: Այսպիսով, FG-ն երկարությամբ անհամաչափելի է GH-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ եթե երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, Ուրեմն FG-ն և GH-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով: Այսպիսով, FH-ն ապոտոմե(կտրվածք) է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.73]: Ուրեմն կարող ենք ասել, որ դա նաև երրորդ կտրվածքն (ապոտոմե) է:

Ուրեմն, ոչ FG-ն և ոչ էլ GH-ն համաչափ չեն երկարությամբ նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Հետևաբար, թող K-ի վրա կառուցված քառակուսին լինի այն (մակերեսը), որով FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի լեմմա]: Հետևաբար, քանի որ ինչպես BC-ն CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին GH-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է, ուրեմն, փոխադարձաբար, ինչպես BC-ն BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին K-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ է [Տե՛ս «Տարրեր» 5.19]: Եվ եթե BC-ն BD-ի նկատմամբ ունի այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ,ուրեմն FG-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես K-ի վրա կառուցված քառակուսիի նկատմամբ ունի այդպիսի հարաբերություն: Ուստի, FG-ն երկարությամբ համաչափ է K-ի հետ [Տե՛ս «Տարրեր» 10.9]: Եվ FG-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է GH-ի վրա կառուցված քառակուսուց, այն որոշակի ուղիղ գծի վրա գտնվող քառակուսու չափով, որը երկարությամբ համաչափ է FG-ի հետ: Եվ ոչ FG-ն, ոչ էլ GH-ն երկարությամբ համաչափ չեն նախապես տրված ռացիոնալ (ուղիղ գիծ) A-ի հետ: Ուստի, FH-ն երրորդ ապոտոմն է [Տե՛ս «Տարրեր» 10.13-ի սահմանումը]: