Changes
/* Պնդում 94 */
Ուստի, LN-ը AB մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Այսպիսով, LN-ն իռացիոնալ ուղիղ գիծ է, որը կոչվում է երկրորդական։
Քանի որ AK-ն ռացիոնալ է և հավասար է LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին, ապա LP-ի և PN-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը նույնպես ռացիոնալ է։ Կրկին, քանի որ DK-ն մեդիալ է և հավասար է LP-ի և PN-ի սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկին, ապա LP-ի և PN-ի սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկը մեդիալ է։
Եվ քանի որ արդեն ցույց է տրված, որ AI-ն անհամաչափելի է FK-ի հետ, ապա LP-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես անհամաչափելի է PN-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Այսպիսով, LP-ն և PN-ն այնպիսի ուղիղ գծեր են, որոնք անհամաչափելի են քառակուսիներով, ինչն ապահովում է, որ դրանց վրա կառուցված քառակուսիների գումարը լինի ռացիոնալ, իսկ դրանց սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկը՝ մեդիալ։
LN-ն, հետևաբար, այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է երկրորդական [Տե՛ս «Տարրեր», 10.76]։ Եվ այն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Ուստի AB մակերեսի քառակուսի արմատը երկրորդական ուղիղ գիծն է։ Սա այն էր, ինչ պահանջվում էր ապացուցել։
==Պնդում 95==
Եթե որևէ մակերես սահմանվում է ռացիոնալ (ուղիղ գծով) և հինգերորդ ապոտոմով, ապա այդ մակերեսի քառակուսի արմատը այն (ուղիղ գիծն) է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է ամբողջ մեդիալ։
Թող AB մակերեսը սահմանված լինի ռացիոնալ AC-ով և հինգերորդ ապոտոմով՝ AD-ով: Ասում եմ, որ AB մակերեսի քառակուսի արմատը այն ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է ամբողջ մեդիալ:
Թող DG-ն լինի AD-ի կցորդ: Ուստի AG-ն և DG-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս «Տարրեր», 10.73], և DG կցորդը ուղիղ գծի երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ՝ AC-ին: Եվ ամբողջ AG-ի քառակուսին գերազանցում է DG հավելվածի քառակուսուն մի ուղիղ գծի քառակուսով, որը անհամաչափելի է AG-ի երկարության հետ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.15]:
Ուստի, եթե DG-ի քառակուսի չորրորդ մասին հավասար մակերես կիրառվի AG-ի վրա, ապա այն բաժանում է AG-ն մասերի, որոնք անհամաչափելի են [Տե՛ս «Տարրեր», 10.18]: Թող կետ E-ն բաժանի DG-ն երկու մասի , և թող EG-ի քառակուսուն հավասար մակերես կիրառված լինի AG-ի վրա: Թող դա լինի AF և FG ուղիղ գծերով սահմանված ուղղանկյունը: Ուստի, AF-ն անհամաչափելի է երկարությամբ FG-ի հետ։
Եվ քանի որ AG-ն անհամաչափելի է CA-ի հետ երկարությամբ, և երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), AK-ն, հետևաբար, մեդիալ մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.21]: Կրկին, քանի որ DG-ն ռացիոնալ է և համաչափելի է երկարությամբ AC-ի հետ, ապա DK-ն ռացիոնալ մակերես է [Տե՛ս «Տարրեր», 10.19]:
Ուստի թող կառուցված լինի LM քառակուսին, որը հավասար է AI-ին: Եվ թող կառուցված լինի NO քառակուսին, որը հավասար է FK-ին, և որը հանվել է NO-ից LPM անկյան շուրջ: Այսպիսով, LM և NO քառակուսիները հենվում են նույն անկյունագծի վրա [Տե՛ս «Տարրեր», 6.26]: Թող PR-ը լինի դրանց ընդհանուր անկյունագիծը, և մնացած պատկերը կամբողջացվի:
Ուստի, ինչպես նախորդ դրույթներում, կարելի է ցույց տալ, որ LN-ը AB մակերեսի քառակուսի արմատն է: Ասում եմ, որ LN-ը այն ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է մեդիալ:
Քանի որ ցույց տրվել էր, որ AK-ն մեդիալ մակերես է և հավասար է LP-ի և PN-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարին, ապա LP-ի և PN-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարը մեդիալ է: Եվ նորից, քանի որ DK-ն ռացիոնալ է և հավասար է LP-ի և PN-ի սահմանած ուղղանկյան կրկնապատիկին, վերջինս ևս ռացիոնալ է: Եվ քանի որ AI-ն անհամաչափելի է FK-ի հետ, ապա LP-ի վրա գտնվող քառակուսին ևս անհամաչափելի է PN-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ: Ուստի, LP-ն և PN-ը ուղիղ գծեր են, որոնք անհամաչափելի են քառակուսիներով, ինչի հետևանքով դրանց վրա գտնվող քառակուսիների գումարը մեդիալ է, և դրանց սահմանած ուղղանկյան կրկնակիի արժեքը ռացիոնալ է: Ուստի, LN մնացորդը այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է մեդիալ ամբողջ [Տե՛ս «Տարրեր», 10.77]: Եվ այն AB մակերեսի քառակուսի արմատն է:
Ուստի, AB մակերեսի քառակուսի արմատը այն ուղիղ գիծն է, որը ռացիոնալ մակերեսի հետ միասին սահմանում է մեդիալ ամբողջ: Եվ սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել:
