Changes

Թող տրված հարաբերություններըԵթե ոչ, արտահայտված նվազագույն թվերովթող E, F, G, H լինեն A-ի և , B-ի, C-ի և , D-իից փոքր, ևլինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ քանի որ A, վերջապեսB, EC, D-ի և ը նույն հարաբերությունն ունեն E, F, G, H-ի հարաբերությունները։ Անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվերըհետ, որոնք շարունակաբար համեմատական են ապա A-ի և , B, C, D-իբազմապատկումը հավասար է E, CF, G, H-ի և բազմապատկմանը։ Հետևաբար, ըստ հավասարության, ինչպես A-ն՝ D-իին, և այնպես էլ E-ի և Fն՝ H-ի հարաբերություններում։ին, ուստի A և D թվերը միմյանց համապատասխան են, և դրանք միմյանց պնդեն։

Թող G-ն լինի նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից [Նախ. 7.34]։ Եվ որքան անգամ B-ն բաժանում է G-ինԱյսպիսով, նույնքան անգամ թող A-ն բաժանի H-ին։ Եվ որքան անգամ C-ն բաժանում չափում է G-ին, նույնքան անգամ թող D-ն բաժանի K-ին։ Եվ E-ն կամ բաժանում է K-ինն՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, կամ չի բաժանում։ Նախ, թող բաժանի (K-ին)։ Եվ որքան անգամ E-ն բաժանում է K-ին, նույնքան անգամ թող F-ն բաժանի L-ին։ Քանի որ A-ն բաժանում է H-ին նույնքան անգամ, որքան B-ն բաժանում է G-ին, հետևում էH թվերը չեն կարող նույն հարաբերությամբ լինել A, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ H-ը G-ի նկատմամբ է [Սահ. 7.20C, Նախ. 7.13]։ Նույն հիմքով, ինչպես C-ն է D-ի նկատմամբհետ։ A, այնպես էլ K-ը L-ի նկատմամբ է։ Այսպիսով, H, G, K, L թվերը շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և , D-իթվերը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։Այսպիսով, մենք դա ապացուցեցինք։

Ես ասում եմ, որ այս == Պնդում 2 == Հարթ թվերը նվազագույն թվերն ենմիմյանց նկատմամբ ունեն հարաբերություն, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ հարաբերություններում։ Եթե Hորը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից:Թող A և B լինեն հարթ թվեր, G, K, L և թող C և D թվերը նվազագույն շարունակաբար համեմատական թվերը չեն լինեն A-ի կողմերը, իսկ E և F (թվերը)՝ B-ի(կողմերը): Ասում եմ, որ A-ն ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված է իրենց կողմերի հարաբերություններից:[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 2.png|center|350px]]Քանի որ տրված են հարաբերությունները, որոնցով C-ն ունի E-ի նկատմամբ, և D-ն (ունի) F-ինկատմամբ, և թող նվազագույն թվերը՝ G, H, K, շարունակաբար համեմատական լինեն CE, DF հարաբերություններում [Հիմք 8.4], այնպես, որ ինչպես C-ն E-ի ին է, այնպես էլ G-ն (լինի) H-ին, և ինչպես D-ն (լինի) F-ի հարաբերություններումին, ապա այնպես էլ H-ն (լինի) K-ին: Եվ թող ND-ն ստեղծի L՝ E-ն բազմապատկելով: Եվ քանի որ D-ն ստեղծել է A-ն՝ C-ն բազմապատկելով, Oև ստեղծել է L-ն՝ E-ն բազմապատկելով, Mուրեմն, P թվերը լինեն այդպիսի նվազագույն թվերը։ ինչպես C-ն E-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին [Հիմք 7.17]: Եվ ինչպես C-ն (լինում է) E-ին, այնպես էլ G-ն (լինում է) H-ին: Ուստի, ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է) L-ին: Կրկին, քանի որ E-ն ստեղծել է L-ն՝ D-ն բազմապատկելով [Հիմք 7.16], բայց իրականում նաև ստեղծել է B-ն՝ F-ն բազմապատկելով, ուրեմն, ինչպես D-ն F-ին է, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.17]: Բայց ինչպես D-ն (լինում է) F-ին, այնպես էլ H-ն (լինում է) K-ին: Ուստի, ինչպես H-ն (լինում է) K-ին, այնպես էլ L-ն (լինում է) B-ին: Եվ արդեն ցույց էր տրվել, որ ինչպես G-ն (լինում է) H-ին, այնպես էլ A-ն (լինում է ) L-ին: Ուստի, հավասարության միջոցով, ինչպես G-ն K-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) B-ին [Հիմք 7.14]: Եվ G-ն ունի K-ի նկատմամբհարաբերություն, այնպես էլ Nորը կազմված է կողմերի (A-ը Oի և B-ի) հարաբերություններից: Ուստի, A-ն նույնպես ունի B-ի նկատմամբ հարաբերություն, որը կազմված էկողմերի (A-ի և B-ի) հարաբերություններից: == Պնդում 3 == Եթե որևէ քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր կան, և առաջինը չի չափում երկրորդին, ապա ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ):[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 3.png|center|350px]]Թող A, B, C, D, E լինեն ցանկացած քանակությամբ շարունակաբար համեմատական թվեր, և թող A-ն և չչափի B-ին: Ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ): Հիմա պարզ է, որ A, B, C, D, E-ն նվազագույն հաջորդաբար չեն չափում միմյանց: Քանի որ A-ն նույնիսկ չի չափում B-ին: Ուստի ասում եմ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի չափի որևէ այլ (թիվ): Եթե հնարավոր է, թող A-ն չափի C-ին: Եվ որքան (թվեր ) որ A, B, C-ն են , թող այդքան նվազագույն թվեր՝ F, G, H, ընտրված լինեն նրանցից (թվերից), որոնք ունեն նույն հարաբերությունը), և նվազագույն թվերը նույն հարաբերությամբ թվերին բաժանում են նույնքան անգամինչ A, ուստի B, C [Հիմք 7.33]: Եվ քանի որ F, G, H-ն բաժանում է O-ին։ Նույն կերպ նաև ունեն նույն հարաբերությունը, ինչ A, B, C-ն բաժանում է O-ին։ Այսպիսով, նվազագույն թիվըև A, որը բաժանվում է թե՛ B, C-իքանակը հավասար է F, թե՛ CG, H-ի կողմիցքանակին, կբաժանի նաև Oուրեմն, հավասարության միջոցով, ինչպես A-ն C-ին է, այնպես էլ F-ը (լինում է) H-ին [Նախ. Հիմք 7.3514]։ : Եվ Gքանի որ ինչպես A-ն նվազագույն թիվն B-ին է, որը բաժանվում այնպես էլ F-ը (լինում է թե՛ ) G-ին, և A-ն չի չափում B-իին, թե՛ ապա F-ը նույնպես չի չափում G-ին [Սահմանում 7.20]: Ուստի F-ը միավոր չէ: Քանի որ միավորը չափում է բոլոր թվերը: Եվ F-ն ու H-ն միմյանց նկատմամբ պարզ թվեր են [Հիմք 8.3], (և, հետևաբար, F-ը չի չափում H-ին): Եվ ինչպես F-ը H-ին է, այնպես էլ A-ն (լինում է) C-ի կողմից։ին: Ուստի A-ն նույնպես չի չափում C-ին [Սահմանում 7.20]: Այսպիսով, նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ ոչ մի այլ (թիվ) չի կարող չափել որևէ այլ (թիվ): (Ինչը) հենց այն է, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ: == Նշումներ ==<references/>