Changes
Քանի որ ABCG շրջանը հավասար է AEDG շրջանում, որի ABC-ն հավասար է AED-ին, մնացած շրջանը CG-ը այդպես էլ հավասար է մնացած GD շրջանին։ Եվ CD-ը (հնգանկյան կողմն է)։ CG-ը այդպես էլ (տասանկյանի կողմն է)։ Եվ քանի որ F A հավասար է F B-ին, և F H ուղղահայաց է (AB-ին), ապա անկյուն AFK-ը նույնպես հավասար է KFB-ին [Պնդում. 1.5, 1.26]։ Հետևաբար, AK շրջանը հավասար է KB-ի [Պնդում. 3.26]։ Այսպիսով, AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից։ Այսպիսով, ուղիղ գիծը AK տասանկյան կողմն է։ Այսպես, նույն պատճառներով, AK շրջանը կրկնակի է KM-ից։ Եվ քանի որ AB շրջանը կրկնակի է BK շրջանից, և CD շրջանը հավասար է AB շրջանին, ապա CD շրջանը նույնպես կրկնակի է BK շրջանից։ Եվ CD շրջանը նույնպես կրկնակի է CG-ից։ Այսպիսով, CG շրջանը հավասար է BK շրջանին։ Բայց, BK-ը կրկնակի է KM-ից, քանի որ KA-ը նույնպես (կրկնակի է KM-ից)։ Այսպես, CG շրջանը նույնպես կրկնակի է KM-ից։ Բայց, իսկապես, CB շրջանը նույնպես կրկնակի է BK-ից։ Քանի որ CB շրջանը հավասար է BA-ին։ Այսպիսով, ամբողջ GB շրջանը նույնպես կրկնակի է BM-ից։ Հետևաբար, անկյուն GFB [է] նույնպես կրկնակի անկյուն BF M [Պնդում. 6.33]։
==Պնդում 11==
Եթե հավասարակողմ հնգանկյունը ներգծված է շրջանի մեջ, որի տրամագիծը ռացիոնալ է, ապա հնգանկյան կողմը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։
Թող հավասարակողմ հնգանկյուն ABCDE-ն ներգծված լինի ABCDE շրջանի մեջ, որի տրամագիծը ռացիոնալ է։ Ասում եմ, որ հնգանկյան [ABCDE] կողմը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։
Թող գտնված լինի շրջանի կենտրոնը՝ F կետը [Պնդում 3.1]։ Եվ թող միացվեն AF-ն և FB-ն։ Եվ թող դրանք քաշվեն G և H կետերին (համապատասխանաբար)։ Եվ թող միացվի AC-ն։ Եվ թող FK-ն հավասար լինի AF-ի չորրորդ մասին։ AF-ն ռացիոնալ է։ Ուստի, FK-ն նույնպես ռացիոնալ է։ FB-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Ուստի, ամբողջ BK-ն ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ ACG աղեղն հավասար է ADG աղեղին, որոնցից ABC աղեղն հավասար է AED աղեղին, մնացորդային CG աղեղն, հետևաբար, հավասար է GD մնացորդային աղեղին։
Եվ եթե միացնենք AD-ն, ապա L կետում գտնվող անկյունները դառնում են ուղիղ անկյուններ, իսկ CD-ն հավասար է CL-ի կրկնակիին [Պնդում 1.4]։ Հետևաբար, նույն տրամաբանությամբ, M կետում անկյունները նույնպես ուղիղ են, իսկ AC-ն կրկնակի է CM-ի։ Ուստի, քանի որ ALC անկյունն հավասար է AMF անկյունին, և LAC անկյունն ընդհանուր է ACL և AMF եռանկյունների համար, ապա մնացորդային ACL անկյունն, հետևաբար, հավասար է MF A մնացորդային անկյունին [Պնդում 1.32]։ Ուստի, ACL եռանկյունն հավասանկյուն է AMF եռանկյան հետ։ Ուստի, համեմատաբար, ինչպես LC-ն է CA-ի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FA-ի նկատմամբ [Պնդում 6.4]։
Եվ (կարող ենք վերցնել) առաջատար մեծությունների կրկնակի արժեքները։ Ուստի, ինչպես LC-ի կրկնակին է CA-ի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FA-ի կեսի նկատմամբ։ Եվ, ուստի, ինչպես LC-ի կրկնակին է CA-ի կեսի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FA-ի չորրորդ մասի նկատմամբ։ Եվ DC-ն LC-ի կրկնակի է, իսկ CM-ն CA-ի կեսն է, իսկ FK-ն FA-ի չորրորդ մասը։ Ուստի, ինչպես DC-ն է CM-ի նկատմամբ, այնպես էլ MF-ն է FK-ի նկատմամբ։
Սկզբունքով, ինչպես DCM գումարը (այսինքն՝ DC և CM) CM-ի նկատմամբ, այնպես էլ MK-ն է KF-ի նկատմամբ [Պնդում 5.18]։ Եվ, ուստի, ինչպես DCM գումարի վրա կառուցված քառակուսին է CM-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ MK-ի վրա կառուցված քառակուսին է KF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ։
Եվ քանի որ հնգանկյան երկու կողմերը սահմանող մեծ հատվածը, ինչպես AC-ն, որը բաժանված է ծայրագույն և միջին հարաբերությամբ, հավասար է հնգանկյան կողմին [Պնդում 13.8]՝ այսինքն DC-ին, և ամբողջի կեսին ավելացված մեծ հատվածի վրա կառուցված քառակուսին հնգապատիկ է ամբողջի կեսի վրա կառուցված քառակուսու, իսկ CM-ն AC-ի կեսն է։ Ուստի, DCM-ի վրա կառուցված քառակուսին, որպես ամբողջություն, հնգապատիկ է CM-ի վրա կառուցված քառակուսու։
Եվ DCM-ի վրա կառուցված քառակուսին, որպես ամբողջություն, CM-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպես է, ինչպես MK-ի վրա կառուցված քառակուսին KF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ։ Ուստի, MK-ի վրա կառուցված քառակուսին հնգապատիկ է KF-ի վրա կառուցված քառակուսու։ Եվ KF-ի վրա կառուցված քառակուսին ռացիոնալ է։ Քանի որ տրամագիծն ռացիոնալ է։ Ուստի, MK-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ռացիոնալ է։
Ուստի, MK-ն ռացիոնալ է [քառակուսու միայն]։ Եվ քանի որ BF-ն FK-ի չորս անգամն է, BK-ն, ուստի, FK-ի հինգ անգամն է։ Ուստի, BK-ի վրա կառուցված քառակուսին FK-ի վրա կառուցված քառակուսու քսանհինգ անգամն է։ Եվ MK-ի վրա կառուցված քառակուսին FK-ի վրա կառուցված քառակուսու հնգապատիկն է։ Ուստի, BK-ի վրա կառուցված քառակուսին MK-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ չունի այն հարաբերությունը, որ քառակուսի թվերը ունեն քառակուսի թվերի նկատմամբ։ Ուստի, BK-ն անհամաչափ է երկարությամբ MK-ի հետ [Պնդում 10.9]։
Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ (ուղիղ գծեր) են։ Ուստի, BK-ն և MK-ն ռացիոնալ (ուղիղ գծեր են), որոնք համաչափ են քառակուսու միայն։ Եվ եթե ռացիոնալ (ուղիղ գծից) հանենք ռացիոնալ (ուղիղ գիծ), որը քառակուսու միայն համաչափ է առաջինի հետ, ապա ստացվում է անհամաչափ (ուղիղ գիծ)։
Եվ քանի որ KF-ն համաչափ է երկարությամբ BF-ի հետ, ապա, ըստ կազմի, BK-ն նույնպես համաչափ է երկարությամբ BF-ի հետ [Պնդում 10.15]։ Բայց BF-ն համաչափ է երկարությամբ BH-ի հետ։ Հետևաբար, BK-ն նույնպես համաչափ է երկարությամբ BH-ի հետ [Պնդում 10.12]։ Եվ քանի որ BK-ի վրա կառուցված քառակուսին հնգապատիկ է MK-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ապա BK-ի վրա կառուցված քառակուսին, հետևաբար, ունի MK-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այն հարաբերությունը, որը 5-ն ունի 1-ի նկատմամբ։
Հետևաբար, հակադարձմամբ՝ BK-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի \( N \)-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այն հարաբերությունը, որը 5-ն ունի 4-ի նկատմամբ [Պնդում 5.19՝ ուղղում], ինչը չի համապատասխանում քառակուսի թվի և քառակուսի թվի հարաբերությանը։
BK-ն, հետևաբար, անհամաչափ է երկարությամբ \( N \)-ի հետ [Պնդում 10.9]։ Հետևաբար, քանի որ BK-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է MK-ի վրա կառուցված քառակուսուց \( N \)-ի վրա կառուցված անհամաչափ (ուղիղ գծի) վրա կառուցված քառակուսու չափով, և ամբողջը՝ BK-ն, համաչափ է նախկինում տրված ռացիոնալ (ուղիղ գծի)՝ BH-ի հետ, MB-ն, հետևաբար, չորրորդ ափոտոմ է [Սահմանում 10.14]։
Եվ ռացիոնալ (ուղիղ գծի) և չորրորդ ափոտոմի միջև պարունակվող ուղղանկյունը անհամաչափ է, և դրա քառակուսի արմատը այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր» [Պնդում 10.94]։ Եվ AB-ի վրա կառուցված քառակուսին ուղղանկյունն է, որը պարունակում է HBM-ը, հաշվի առնելով, որ AH-ի միացման դեպքում եռանկյուն ABH-ը դառնում է հավասանկյուն եռանկյուն ABM-ի հետ [Պնդում 6.8], և (համեմատաբար) ինչպես HB-ն է BA-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ն է BM-ի նկատմամբ։
Հետևաբար, հնգանկյան կողմ AB-ն այն անհամաչափ (ուղիղ գիծն) է, որը կոչվում է «փոքր»։
Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
