Changes
Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
==Պնդում 12==
Եթե հավասարակողմ եռանկյունը ներգծված է շրջանի մեջ, ապա եռանկյան կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։
Թող լինի ABC շրջան, և թող հավասարակողմ եռանկյուն ABC-ն ներգծված լինի դրանում [Պնդում 4.2]։ Ասում եմ, որ եռանկյուն ABC-ի որևէ կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է ABC շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։
Թող գտնված լինի ABC շրջանի կենտրոնը՝ D կետը [Պնդում 3.1]։ Եվ AD (լինելով) միացված, թող անցկացվի E կետի միջով։ Եվ թող BE-ն միացվի։
Եվ քանի որ եռանկյուն ABC-ն հավասարակողմ է, ուստի BEC կամարը, հետևաբար, ABC շրջանի կամարի երրորդ մասն է։ Ուստի, BE կամարը շրջանի կամարի վեցերորդ մասն է։ Ուստի, ուղիղ գիծ BE-ն վեցանկյան կողմն է։ Ուստի, այն հավասար է շառավղի՝ DE-ի [Պնդում 4.15, ուղղում]։ Եվ քանի որ AE-ն կրկնակի է DE-ի, ապա AE-ի վրա կառուցված քառակուսին չորս անգամ մեծ է DE-ի վրա կառուցված քառակուսուց՝ այսինքն՝ BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։
Եվ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է AB-ի և BE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին [Պնդումներ 3.31, 1.47]։ Ուստի, AB-ի և BE-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը չորս անգամ մեծ է BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Ուստի, ըստ բաժանման, AB-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է BE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Եվ BE-ն հավասար է DE-ին։ Ուստի, AB-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է DE-ի վրա կառուցված քառակուսուց։
Ուստի, եռանկյան կողմի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է շրջանի շառավղի վրա կառուցված քառակուսուց։
Սա այն էր, ինչը պահանջվում էր ապացուցել։
==Պնդում 13==
Կառուցել (կանոնավոր) բուրգ (այսինքն՝ տետրահեդրոն), այն ներգծել տրված գնդի մեջ և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է բուրգի կողմի վրա կառուցված քառակուսուց։
Թող տրված գնդի տրամագիծը լինի AB, և այն կետ C-ում բաժանվի այնպես, որ AC-ն կրկնակի լինի CB-ին [Պնդում 6.10]։ Եվ թող AB-ի վրա կառուցվի կեսաշրջագիծ ADB։ Եվ թող C կետից ուղղանկյուն լինի գծված CD ուղիղը AB-ի նկատմամբ։ Եվ թող միացվի DA։ Եվ թող DC շառավղով գծվի շրջան EFG, որի մեջ ներգծված կլինի հավասարակողմ եռանկյուն EFG [Պնդում 4.2]։ Թող գտնվի շրջանի կենտրոնը՝ H կետը [Պնդում 3.1]։ Թող միացվեն EH, HF, և HG։ Թող H կետում ուղղանկյուն լինի գծված HK ուղիղը EFG շրջանի հարթության նկատմամբ [Պնդում 11.12]։ Եվ թող HK ուղիղի վրա կտրվի հատված, որը հավասար կլինի AC ուղիղին։ Թող KE, KF, և KG գծերը միացվեն։
Քանի որ KH ուղիղը ուղղանկյուն է EFG շրջանի հարթության նկատմամբ, այն ուղղանկյուն կլինի նաև իր հետ միացող բոլոր ուղիղների նկատմամբ, որոնք գտնվում են EFG շրջանի հարթությունում [սահմանում 11.3]։ HE, HF, և HG ուղղերը միանում են դրան։ Ուստի, HK-ն ուղղանկյուն է HE-ի, HF-ի և HG-ի նկատմամբ։
Քանի որ AC-ն հավասար է HK-ին, և CD-ն՝ HE-ին, իսկ նրանք պարունակում են ուղղանկյուններ, ապա հիմքը՝ DA-ն, հավասար է հիմքին՝ KE [Պնդում 1.4]։ Նույն պատճառներով KF-ն և KG-ն նույնպես հավասար են DA-ին։ Ուստի, KE, KF և KG երեք ուղիղները հավասար են միմյանց։
Քանի որ AC-ն կրկնակի է CB-ի, ուստի AB-ն եռակի է CB-ին։ Եվ ինչպես AB-ն CB-ի նկատմամբ, այնպես էլ AD-ի վրա կառուցված քառակուսին DC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, ինչպես ցույց կտրվի ստորև [տես լեմմա]։ Ուստի, AD-ի վրա կառուցված քառակուսին երեք անգամ մեծ է DC-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Եվ FE-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես երեք անգամ մեծ է EH-ի վրա կառուցված քառակուսուց [Պնդում 13.12], և DC-ն հավասար է EH-ին։ Ուստի, DA-ն հավասար է EF-ին։
Բայց DA-ն ցույց տրվեց, որ հավասար է KE, KF և KG յուրաքանչյուրին։ Ուստի EF, FG, և GE-ն հավասար են KE, KF, և KG-ին համապատասխանաբար։ Ուստի, EFG, KEF, KFG, և KEG չորս եռանկյունները հավասարակողմ են։
Ուստի, կառուցվել է բուրգ, որի հիմքը եռանկյուն EFG-ն է, իսկ գագաթը՝ K կետը։
Այժմ անհրաժեշտ է այն ներգծել տրված գնդի մեջ և ցույց տալ, որ գնդի տրամագծի վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է բուրգի կողմի վրա կառուցված քառակուսուց։
Թող HL ուղիղը երկարացվի K H ուղղի շարունակությամբ, և HL-ը հավասար լինի CB-ին։ Եվ քանի որ ինչպես AC-ն CD-ի նկատմամբ, այնպես էլ CD-ն CB-ի նկատմամբ [Պնդում 6.8, ուղղում], իսկ AC-ն հավասար է KH-ին, CD-ն՝ HE-ին, և CB-ն՝ HL-ին, ուստի ինչպես KH-ն HE-ի նկատմամբ, այնպես էլ EH-ն HL-ի նկատմամբ։ Ուստի, K H և HL ուղղագծերի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է EH-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Պնդում 6.17]։
Եվ քանի որ AC-ն կրկնակի է CB-ի, ապա AB-ն եռակի է CB-ի։ Ուստի, AB-ն մեկ ու կես անգամ մեծ է AC-ից։ Եվ ինչպես AB-ն AC-ի նկատմամբ, այնպես էլ AB-ի վրա կառուցված քառակուսին AC-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ։ Եվ քանի որ AB-ն գնդի տրամագիծն է, իսկ AD-ն՝ բուրգի կողմը, ապա AB-ի վրա կառուցված քառակուսին մեկ ու կես անգամ մեծ է AD-ի վրա կառուցված քառակուսուց։
Սա էր պահանջվում ցույց տալ։
==Լեմմա==
Ապացուցել, որ ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գծի վրա կառուցված քառակուսին DC գծի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ են հավասար:
Թող կեսաշրջագծի պատկերը կազմվի, և DB գիծը միացվի։ Թող AC-ի վրա կառուցվի EC քառակուսին։ Եվ թող FB զուգահեռագիծը լրացվի։
Քանի որ եռանկյուն DAB-ը համաչափ է եռանկյուն DAC -ին [Պնդումներ 6.8, 6.4], հետևում է, որ ինչպես BA գիծը AD գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գիծը AC գծի նկատմամբ են հավասար։ Ուստի, BA և AC գծերի պարունակած ուղղանկյունը հավասար է AD-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Պնդում 6.17]։
Քանի որ ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ EB ուղղանկյունը BF ուղղանկյունի նկատմամբ են հավասար [Պնդում 6.1], EB-ը հավասար է BA և AC գծերի պարունակած ուղղանկյանին (քանի որ EA = AC), իսկ BF-ը հավասար է AC և CB գծերի պարունակած ուղղանկյանին։
Այսպիսով, ինչպես AB գիծը BC գծի նկատմամբ, այնպես էլ AD գծի վրա կառուցված քառակուսին DC գծի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ են հավասար։
