'''
== Պնդում 4 1 ==
Ամեն տեսակ տրված հարաբերությունների համարԵթե կա շարունակաբար համեմատվող թվերի որևէ խումբ, որոնք արտահայտված են նվազագույն թվերովև այդ խմբի արտաքնապես թվերը միմյանց համապատասխան չեն, անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվերապա այս թվերը կլինենամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք շարունակաբար համեմատական են նույն հարաբերությունն ունեն:[[Պատկեր:Euclid Elements Book 8 Proposition 1.png|center|250px]]Թող A, B, C, D լինեն շարունակաբարհամեմատվող թվերի ցանկացած խումբ։ Եվ թող այդ տրված հարաբերություններում։խումբիարտաքնապես թվերը՝ A և D, միմյանց համապատասխան չեն: Ես ասում եմ, որ A,B, C, D-ը կլինեն ամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք նույն հարաբերությունն ունեն։
Թող տրված հարաբերություններըԵթե ոչ, արտահայտված նվազագույն թվերովթող E, F, G, H լինեն A-ի և , B-ի, C-ի և , D-իից փոքր, ևլինելով նույն հարաբերության մեջ նրանց հետ։ Եվ քանի որ A, վերջապեսB, EC, D-ի և ը նույն հարաբերությունն ունեն E, F, G, H-ի հարաբերությունները։ Անհրաժեշտ է գտնել նվազագույն թվերըհետ, որոնք շարունակաբար համեմատական են ապա A-ի և , B, C, D-իբազմապատկումը հավասար է E, CF, G, H-ի և բազմապատկմանը։ Հետևաբար, ըստ հավասարության, ինչպես A-ն՝ D-իին, և այնպես էլ E-ի և Fն՝ H-ի հարաբերություններում։ին, ուստի A և D թվերը միմյանց համապատասխան են, և դրանք միմյանց պնդեն։
Թող G-ն լինի նվազագույն թիվըԱյսպիսով, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից [Նախ. 7.34]։ Եվ որքան անգամ B-ն բաժանում է G-ին, նույնքան անգամ թող A-ն բաժանի H-ին։ Եվ որքան անգամ C-ն բաժանում չափում է G-ին, նույնքան անգամ թող D-ն բաժանի K-ին։ Եվ E-ն կամ բաժանում է K-ինն՝ մեծը՝ փոքրին։ Սա անհնար է։ Հետևաբար, կամ չի բաժանում։ Նախ, թող բաժանի (K-ին)։ Եվ որքան անգամ E-ն բաժանում է K-ին, նույնքան անգամ թող F-ն բաժանի L-ին։ Քանի որ A-ն բաժանում է H-ին նույնքան անգամ, որքան B-ն բաժանում է G-ին, հետևում է, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ H-ը G-ի նկատմամբ է [Սահ. 7.20, Նախ. 7.13]։ Նույն հիմքով, ինչպես C-ն է D-ի նկատմամբ, այնպես էլ K-ը L-ի նկատմամբ է։ Այսպիսով, H, G, K, L թվերը շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում։ Այս թվերը նվազագույն թվերն են, որոնք շարունակաբար համեմատական են այդ հարաբերություններում։ Եթե H, G, K, L թվերը նվազագույն շարունակաբար համեմատական թվերը չեն A-ի և B-ի, C-ի և D-ի, և E-ի և F-ի հարաբերություններում, ապա թող N, O, M, P թվերը լինեն այդպիսի նվազագույն թվերը։ Եվ քանի որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ N-ը O-ի նկատմամբ է, և A-ն և B-ն նվազագույն թվեր են (որոնք ունեն նույն հարաբերությունը), և նվազագույն թվերը կարող նույն հարաբերությամբ թվերին բաժանում են նույնքան անգամլինել A, ուստի B-ն բաժանում է O-ին։ Նույն կերպ նաև C-ն բաժանում է O-ին։ Այսպիսով, նվազագույն թիվը, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից, կբաժանի նաև O-ին [Նախ. 7.35]։ Եվ G-ն նվազագույն թիվն է, որը բաժանվում է թե՛ B-ի, թե՛ C-ի կողմից։ Հետևաբար, եթե G բաժանում է O-ն, ինչքան մեծ է բաժանումը, այնքան կքչանա։ Բանն ինքնին անհնար է։ Հետևաբար, չեն կարող լինել թվեր, որոնք փոքր են H, G, K, L-ից և որոնք, շարունակական են և համաչափ to A-ն B-ի, և C-ն D-ի և հետագայում Е և F-ի հանդեպ։հետ։ Այժմ թող E-ն չչափի K-ն: Եվ թող նվազագույն թիվը, M-ը, որը չափվում է (և) E-ով և K-ով, ընտրված լինի [Հիմք 7.34]: Եվ քանի անգամ K-ն չափում է M-ը, նույնքան անգամ թող H-ն, G-ն նույնպես չափեն N-ն և O-ն համապատասխանաբար: Եվ քանի անգամ E-ն չափում է M-ը, նույնքան անգամ թող F-ն նույնպես չափի P-ն: Քանի որ H-ն չափում է N-ը նույնքան անգամ, որքան G-ն (չափում է) O-ն, ուրեմն, ինչպես H-ն G-ին է, այնպես էլ N-ը՝ O-ին [Սահմանում 7.20, Հիմք 7.13]: Եվ ինչպես H-ն (կապակցվում է) G-ի հետ, այնպես էլ A-ն (կապակցվում է) B-ին: Ուստի, ինչպես A-ն (կապակցվում է) B-ին, այնպես էլ N-ը՝ O-ին: Եվ այսպիսով, նույն պատճառներով, ինչպես C-ն (կապակցվում է) D-ին, այնպես էլ O-ն (կապակցվում է) M-ին: Դարձյալ, քանի որ E-ն չափում է M-ը նույնքան անգամ, որքան F-ն (չափում է) P-ն, ուրեմն, ինչպես E-ն (կապակցվում է) F-ին, այնպես էլ M-ը՝ P-ին [Սահմանում 7.20, Հիմք 7.13]: Ուստի, N, O, M, P-ն շարունակաբար համեմատական են A-ի և B-ի, ինչպես նաև C-ի և D-ի, և վերջապես E-ի և F-ի հարաբերությամբ: Ասում եմ, որ դրանք նաև ամենափոքր (թվերն) են A B, C D, E F հարաբերություններում: Քանի որ եթե ոչ, ապա թվերը կլինեն որոշ թվերամենափոքրները նրանց մեջ, որոնք փոքր են N, O, M, P-ից (որոնք) շարունակաբար համեմատական են A B, C D, E F հարաբերություններով: Թող դրանք լինեն Q, R, S, T: Եվ քանի որ ինչպես Q-ն R-ին է, այնպես էլ A-ն (կապակցվում է) B-ին, և A-ն և B-ն ամենափոքրն են (որոնք ունեն նույն հարաբերությունը նրանց հետ), և ամենափոքրները չափում են նույն հարաբերությունն ունեցող թվերը հավասար թվով, առաջնայինը՝ առաջնայինին, և հետևորդը՝ հետևորդին [Հիմք 7.20], B-ն, ուրեմն, չափում է R-ը: Ուստի, նույն (պատճառներով), C-ն նույնպես չափում է R-ը: ունեն։Այսպիսով, B-ն և C-ն (երկուսն էլ) չափում են R-ը: Այսպիսով, ամենափոքր թիվը, որը չափվում է (և) B-ով և C-ով, նույնպես կչափի R-ը [Հիմք 7.35]: Իսկ G-ն ամենափոքր թիվն է, որը չափվում է (և) B-ով և C-ով: Ուստի G-ն չափում է R-ը: Եվ ինչպես G-ն R-ին է, այնպես էլ K-ն՝ S-ին: Ուստի, K-ն նույնպես չափում է S-ը [Սահմանում 7.20]: Եվ E-ն նույնպես չափում է S-ը [Հիմք 7.20]: Ուստի, E-ն և K-ն (երկուսն էլ) չափում են S-ը: Այսպիսով, ամենափոքր թիվը, որը չափվում է (և) E-ով և K-ով, նույնպես կչափի S-ը [Հիմք 7.35]: Իսկ M-ը ամենափոքր (թիվն է), որը չափվում է (և) E-ով և K-ով: Ուստի, M-ը չափում է S-ը՝ մեծը (չափելով) փոքրին: Սա հակասական է: Ուստի չեն կարող լինել որևէ թվեր, որոնք փոքր են N, O, M, P-ից (որոնք) շարունակաբար համեմատական են A B, C D, E F հարաբերություններում: Ուստի, N, O, M, P-ն ամենափոքր (թվերն) են, որոնք շարունակաբար համեմատական են A B, C D, E F հարաբերություններում: (Ինչը) հենց այն էր, ինչ պահանջվում էր ցույց տալ:մենք դա ապացուցեցինք։
== Պնդում 5 ==
