Changes
ՈՒնեքն այն փաստը, որ E-ն հավասար է F-ին: Կարելի է պնդել, որ ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է D-ի հանդեպ:
Քանի որ նույն կառուցվածքով E-ն հավասար է F-ին, ուրեմն ինչպես G-ն է E-ի հետ համեմատում, այնպես էլ G-ն է F-ի հետ համեմատում: Ինչպես G-ն է հարաբերում E-ին, այնպես էլ C-ն է հարաբերում D-ին: Եվ ինչպես G-ն է F-ի հանդեպ, այնպես էլ A-ն է B-ի հանդեպ: Այսպիսով, ինչպես A-ն է B-ի հանդեպ, այնպես էլ C-ն է D-ի հանդեպ:
== Պնդում 19 ==
Եթե չորս թվերը համեմատական են, ապա թվերը, որոնք առաջանում են առաջինի և չորրորդի բազմապատկման արդյունքում, հավասար կլինեն այն թվի հետ, որը առաջանում է երկրորդի և երրորդի բազմապատկման արդյունքում։ Եվ եթե թվերը, որոնք առաջանում են առաջինի և չորրորդի բազմապատկման արդյունքում, հավասար են երկրորդի և երրորդի բազմապատկման արդյունքին, ապա այդ չորս թվերը համեմատական կլինեն։
[[Պատկեր:Euclid Elements Book 7 Proposition 19.png|center|350px]]
Թող A, B, C, D լինեն չորս համեմատական թվեր։ Այնպես, ինչպես A-ն կապված է B-ի հետ, այնպես էլ C-ն կապված է D-ի հետ։A բազմապատկելով D-ով, կստացվի ստանա E, իսկ B բազմապատկելով C-ով, կստանանք F։ Եվ ես ասում եմ, որ E-ն հավասար է F-ի:
A բազմապատկի C-ով՝ ստեղծելով G։ Այնպես, որ A ստեղծեց G, բազմապատկելով C-ով, և նույնպես ստեղծեց E, բազմապատկելով D-ով։ Հետևաբար, քանի որ A-ն ստեղծեց G և E՝ բազմապատկելով համապատասխանաբար C և D թվերով,ուրեմն ինչպես C-ն կապված է D-ի հետ, այնպես էլ G-ն կապված է E-ի հետ։
Այսպիսով, ինչպես C-ն կապված է D-ի հետ, այնպես էլ A-ն կապված է B-ի հետ։ Եվ այսպես, ինչպես A-ն կապված է B-ի հետ, այնպես էլ G-ն կապված է E-ի հետ։Քանի որ A-ն ստեղծեց G՝ բազմապատկելով C-ով, իսկ B-ն նույնպես ստեղծեց F՝ բազմապատկելով C-ով, ապա A-ն և B-ն ստեղծեցին համապատասխանաբար G և F՝ բազմապատկելով C։ Հետևաբար, ինչպես A-ն կապված է B-ի հետ, այնպես էլ G-ն կապված է F-ի հետ։
Այլ կերպ ասած, ինչպես G-ն կապված է E-ի հետ, այնպես էլ G-ն կապված է F-ի հետ։ Այնպես որ, G-ն ունի նույն հարաբերությունը թե E-ի, թե F-ի հետ։ Հետևաբար, E-ն հավասար է F-ին։
Այժմ, թող E-ն հավասար լինի F-ին։ Ես ասում եմ, որ ինչպես A-ն կապված է B-ի հետ, այնպես էլ C-ն կապված է D-ի հետ։ Վերջապես, նույն կառուցվածքով, քանի որ E-ն հավասար է F-ին, ինչպես G-ն կապված է E-ի հետ, այնպես էլ G-ն կապված է F-ի հետ։ Բայց ինչպես G-ն կապված է F-ի հետ, այնպես էլ ինչպես A-ն կապված է B-ի հետ։ Եվ այսպես, ինչպես A-ն է կապված B-ի հետ, այնպես էլ C-ն է կապված D-ի հետ:
Թեորեմն ապացուցված է:
== Պնդում 20 ==
