== Պնդում 11 ==
Եթե երկու շրջանները շոշափվում են մեկը մյուսին ներսից և նրանց կենտրոնները հայտնի են, ապա նրանց կենտրոնները միացնող ուղիղ գիծը կընկնի շրջանների հատման կետի վրա։ Դիցուք, երկու շրջանները, ABC-ն և ADE-ն ներսից հարում են մեկը մյուսին A կետում և ABC շրջանի կենտրոն F-ը և ADE շրջանի կենտրոն G-ն հայտնի են [Պնդում 3.1]։ Ես ասում եմ, որ G-ն F-ին միացնող ուղիղ գիծը ընկնելու է A կետի վրա։ Դիցուք այն կընկնի ինչպես FGH-ը (պատկերում) և AF-ը և AG-ն կմիացվեն։ Հետևաբար, քանզի AG-ն և GF-ը ավելի երկար են, քան FA-ն կամ FH-ը [Պնդում 1.20], թող FG-ն վերցված լինի երկուսից։ Հետևաբար, մնացորդ AG-ն ավելի երկար է քան մնացորդ GH-ը և AG-ն հավասար է GD-ին։ Հետևում է, որ GD-ն նույնպես ավելի երկար է քան GH-ը։ Տակավին բան անհնարին է։ Հետևաբար, ուղիղ գիծը, որը միացնում է F-ը G-ին չի ընկնի մեկ շրջանից դուրս, այլ կընկնի մյուս շրջանի ներսում։ Հետևաբար, այն կընկնի շրջանների միավորման կետի վրա՝ A կետում։
[[Պատկեր:Շոշափող_շրջաններ.png]]
Հետևում է, որ եթե երկու շրջան շաշափում են իրար ներքին կողմից [և նրանց կենտրոնները գտնված են], ապա նրանց կենտրոնները միացնող ուղիղ գիծը, [լինելով առաջացված], կընկնի շրջանների միավորման կետում։ Ինչն էլ հենց այն էր, որ պահանջվում էր ցույց տալ։
== Պնդում 12 ==
