[[Պատկեր:Շրջանագիծը_վերջնականացնող_հատված.png]]
Թող ABC-ն լինի շրջանագծի տրված հատվածը։ Այսպիսով պահանջվում է վերջնականացնել շրջանը ABC հատվածի համար, հենց այն որի մի հատվածն է։ Թող AC-ն բաժանված լինի երկու կեսի D կետում [Պնդում 1․10], և թող DB-ն տարված լինի D կետից ուղիղ անկյունների մոտ դեպի AC [Պնդում 1․11]։ Եվ թող AB-ն միացված լինի։ Հետևաբար անկյուն ABD-ն հաստատ կամ ավելի մեծ է քան կամ հավասար է կամ ավելի փոքր է քան անկյուն BAD-ին։ Սկզբի համար, թող այն լինի ավելի մեծ։ Եվ թող անկյուն BAE-ն հավասար լինի անկյուն ABD-ին և կառուցված լինի BA ուղիղ գծի վրա՝ A կետում [Պնդում 1․23]։ Եվ թող DB-ն տարված լինի E-ի միջով, և թող EC-ն միացված լինի։ Հետևաբար քանի որ անկյուն ABE-ն հավասար է անկյուն BAE-ին, ուղիղ գիծ EB-ն նույնպես հավասար է EA-ին [Պնդում 1․6]։ Եվ քանի որ AD-ն հավասար է DC-ին և DE-ն ընդհանուր է, երկու ուղիղ գծեր AD-ն և DE-ն հավասար են երկու ուղիղ գծեր CD-ին և DE-ին համապատասխանաբար։ Եվ անկյուն ADE-ն հավասար է անկյուն CDE-ին, քանի որ ամեն մեկը ուղիղ անկյուն է։ Հետևում է, որ AE հիմքը հավասար է CE հիմքին [Պնդում 1․4]։ Բայց ցույց էր տրված, որ AE-ն հավասար էր BE-ին։ Հետևաբար BE-ն նույնպես հավասար է CE-ին։ Հետևում է, որ երեք ուղիղ գծեր AE-ն, EB-ն և EC-ն հավասար են մեկը մյուսին։ Հետևում է, որ եթե շրջանը տարված է E կենտրոնով և AE, EB կամ EC շառավիղներից մեկով, ապա այն նաև կանցնի հատվածի մնացած կետերով և պատկերացրած շրջանը վերջնականացված կլինի [Պնդում 3․9]։ Հետևաբար շրջանը վերջնականացված էր շրջանի տրված հատվածից։ Եվ պարզ է, որ ABC հատվածը ավելի քիչ է քան կիսաշրջան, որովհետև կենտրոն E-ն դրանից դուրս է գտնվում։ Եվ նմանապես նույնիսկ եթե անկյուն ABD-ն հավասար է BAD-ին, քանի որ AD-ն դառնում է ամեն BD-ի [Պնդում 1․6] և DC-ի հավասար, երեք ուղիղ գծեր DA-ն, DB-ն և DC-ն կլինեն մեկը մյուսին հավասար։ Եվ D կետը կլինի վերջնականացրած շրջանի կենտրոնը։ Եվ ABC-ն բացահայտորեն կլինի կիսաշրջան։ Եվ եթե ABD-ն ավելի փոքր է քան BAD-ն, և մենք կառուցենք անկյուն BAE-ն հավասար անկյուն ABD-ին BA ուղիղ գծի վրա՝ A կետում [Պնդում 1․23], ապա կենտրոնը կընկնի DB-ի վրա՝ ABC հատվածի ներսում։ Եվ ABC հատվածը բացահայտորեն ավելի մեծ կլինի, քան կիսաշրջանը։ Հետևաբար շրջանը կարող է լինել վերջնականացված շրջանի տրված հատվածից։ Ինչն էլ հենց այն էր, որ պահանջվում էր ցույց տալ։
== pages 106-108 ==
