Changes

|թարգմանիչ = [[Մասնակից:Hovhannes003|Hovhannes003]], [[Մասնակից:Արարատ Ղազարյան|Արարատ Ղազարյան]]

==Pages 6-30== == '''Սահմանումներ''' == 

Թող AB ուղիղ գիծը ընկած լինի CD ուղիղ գծի վրա և կազմի CBA և ABD անկյունները։ Ես ասում եմ, որ անկյունները CBA և ABD հաստատ կամ երկու ուղղանկյուն են, կամ գումարը հավասար է երկու ուղղանկյան։

Փաստորեն, եթե CBA-ն հավասար է ABD-ին, ապա դրանք երկու ուղղանկյուն են [Սահմանում 1.10]։ Բայց, եթե ոչ, թող BE-ն գծվի B կետից՝ CD ուղիղ գծին ուղղանկյուն [Պնդում 1.11]։ Այսպիսով, CBE և EBD անկյունները երկու ուղղանկյուն են։ Քանի որ CBE-ն հավասար է երկու անկյունների՝ CBA և ABE-ի, թող EBD-ն ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, անկյունների CBE և EBD գումարը հավասար է CBA, ABE և EBD երեք անկյունների գումարին [Ընդհանուր հասկացություն 2]։

Նույն կերպ, քանի որ DBA-ն հավասար է երկու անկյունների՝ DBE և EBA-ի, թող ABC-ն ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, անկյունների DBA-ի և ABC-ի գումարը հավասար է DBE-ի, EBA-ի, և ABC-ի գումարին [Ընդհանուր հասկացություն 2]։ Բայց անկյունների CBE և EBD գումարը նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է նույն երեք անկյունների գումարին։ Իսկ բաները, որոնք հավասար են նույնին, նույնպես հավասար են միմյանց [Ընդհանուր հասկացություն 1]։

Հակառակ դեպքում, AB-ն և CD-ն անպայման կհատվեին՝ կամ B և D ուղղություններով, կամ A և C ուղղություններով [ [[#Պնդում 1.23|Պնդում 1.23]] ]: Ենթադրենք դրանք հատվում են B և D ուղղություններով G կետում։ Այսպիսով, GEF եռանկյան արտաքին AEF անկյունը հավասար է ներքին և հակադիր EFG անկյանը։ Դա անհնար է [[[#Պնդում 16|Պնդում 1.16]] ]: Հետևաբար AB և CD ուղիղները՝ գծվելով, չեն հատվի B և D ուղղությամբ։ Նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ դրանք չեն հատվի A և C ուղղություններվ։ Բայց ուղիղները, որոնք չեն հատվում ոչ մի ուղղությամբ, զուգահեռ են [ [[#Սահմանումներ|Սահմանում 1.23]] ]: Հետևաբար, AB և CD ուղիղները զուգահեռ են։

Առաջին դեպքում EGB անկյունը հավասար է GHD անկյանը, բայց EGB անկյունը նաև հավասար է AGH անկյանը [[[#Պնդում 15|Պնդում 1.15]] ], հետևաբար, AGH անկյունը հավասար է GHD անկյանը։ Դրանք նաև խաչադիր անկյուններ են։ Հետևաբար, AB և CD ուղիղները զուգահեռ են [[[#Պնդում 27|Պնդում. 1.27]] ]։

Երկրորդ դեպքում, կրկին, BGH և GHD անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների, ինչպես նաև AGH և BGH անկյունների գումարն է հավասար երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 13|Պնդում 1.13]] ]։ Հետևաբար, AGH և BGH անկյունների գումարը հավասար է BGH և GHD անկյունների գումարին։ Երկուսից էլ հանենք BGH անկյունը։ Հետևաբար, մնացորդ AGH անկյունը հավասար է մնացորդ GHD անկյանը և դրանք խաչադիր անկյուններ են։ Հետևաբար, AB և CD ուղիղները զուգահեռ են [[[#Պնդում 27|Պնդում 1.27]] ]։

Եթե AGH անկյունը հավասար չէ GHD անկյանը, ապա նրանցից մեկը մեծ է։ Ենթադրենք AGH անկյունը մեծ է։ Երկու անկյուններին ավելացնենք BGH անկյունը։ Հետևաբար, AGH և BGH անկյունների գումարը մեծ է BGH և GHD անկյունների գումարից։ Բայց, AGH և BGH անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 13|Պնդում 1.13]] ]։ Հետևաբար, BGH և GHD անկյունների գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյուններից։ Բայց, ուղիղները գծված են անվերջ ներքին անկյուններից, որոնց գումարը փոքր է հատվող երկու ուղիղ անկյուններից [Կանխադրույթ [[#Աքսիոմաներ|Աքսիոմա 5]] ]: Հետևաբար, անվերջ գծված AB և CD ուղիղները կհատվեն։ Բայց, նրանք չեն հատվում, եթե հաշվի առնենք, որ իսկզբանե դրանք զուգահեռ էին [ [[#Սահմանումներ|Սահմանում 1.23]] ]։ Հետևաբար, AGH և GHD անկյունները չեն կարող հավասար չլինել՝ հավասար են։ Բայց, AGH և EGB անկյունները նույնպես հավասար են [[[#Պնդում 15|Պնդում 1.15]] ]։ EGB անկյունը, հետևաբար, հավասար է GHD անկյանը։ Երկուսին էլ ավելացնենք BGH անկյունը։ Հետևաբար, EGB և BGH անկյունների գումարը հավասար է BGH և GHD անկյունների գումարին։ Բայց, EGB և BGH անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 13|Պնդում 1.13]] ]։ Հետևաբար, BGH և GHD անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։

Քանի որ GK ուղիղը հատում է EB և EF զուգահեռ ուղիղները, AGK անկյունը, հետևաբար, հավասար է GHF անկյանը [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Կրկին, քնաի որ GK ուղիղը հատում է EF և CD զուգահեռ ուղիղները, GHF անկյունը հավասար է GKD անկյանը [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Բայց ցույց տրվեց, որ AGK անկյունը հավասար է GHF անկյանը։ Հետևաբար, AGK անկյունը հավասար է GKD անկյանը և դրանք խաչադիր անկյուններ են։ Հետևաբար, AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին [[[#Պնդում 27|Պնդում 1.27]] ]։

ADC անկյանը հավասար DAE անկյունը կառուցված է DA ուղղի վրա՝ A կետում [[[#Պնդում 23|Պնդում 1.23]] ]։ AF ուղիղը կառուցված է EA ուղղի վրա։

Քանի որ AD ուղիղը՝ հատելով BC և EF ուղիղները, ստեղծում է խաչադիր EAD և ADC անկյունները, EAF ուղիղը հավասար է BC ուղղին [[[#Պնդում 27|Պնդում 1.27]] ]:

AB ուղղին զուգահեռ գծված է CE ուղիղը, որն անցնում է C կետով [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։

Քանի որ AB և CE հատվածները զուգահեռ են, BAC և ACE խաչադիր անկյունները իրար հավասար են [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Կրկին, քանի որ AB և CE ուղիղները զուգահեռ են և BD ուղիղը հատում է դրանք ECD արտաքին անկյունը հավասար է ABC ներքին և հակադիր անկյանը [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Բայց, ցույց է տրված, որ ACE անկյունը հավասար է BAC անկյանը։ Հետևաբար, ACD անկյունը ամբողջությամբ հավասար է երկու ներքին և հակադիր անկյունների՝ BAC-ի և ABC-ի, գումրին։

Երկու անկյուններին ավելացնենք ACB անկյունը։ Հետևաբար, ACD և ACB անկյուննեի գումարը հավասար է երեք անկյուններ ABC, BCA, և CAB-ի գումարին։ Բայց, ACD և ACB անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 13|Պնդում 1.13]] ]։ Հետևաբար, ACB, CBA և CAB անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյան։

Գծված է BC անկյունագիծը։ Քանի որ AB-ն զուդահեռ է CD-ին և BC-ն հատում է դրանք, ABC և BCD խաչադիր անկյունները հավասար են միմյանց [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Քանի որ AB-ն հավասար է CD-ին և BC-ն ընդհանուր է, AB և BC ուղիղները հացվասար են DC և CB ուղիղներին։ Նաև ABC անկյունը հավասար է BCD անկյանը։ Հետևաբար, AC հիմքը հավասար է BD հիմքին և ABC եռանկյունը հավասար է BCD եռանկյանը։ Մյուս անկյունները նույնպես հավասար կլինեն համապատասխան անկյուններին, որոնք հենվում են հավասար կեղմերի վրա [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]։ Հետևաբար, ACB անկյունը հավասար է CBD անկյանը։ Նաև, քանի որ BC ուղիղը, որը հատում է AC և BD ուղիղները, կազմում է խաչադիր և հավասար ACB և CBD անկյունները, AC ուղիղը, հետևաբար, հավասար է BD ուղղին [[[#Պնդում 27|Պնդում 1.27]] ]։ Նաև ցույց է տրված, որ AC ուղիղը հավասար է BD ուղղին:

Քանի որ AB ուղիղը զուգահեռ է CD ուղղին և BC ուղիղը հատում է դրանք, խաչադիր ABC և BCD անկյունները հավասար են միմյանց [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Կրկին, քանի որ AC և BD ուղիղները զուգահեռ են և BC ուղիղը հատում է դրանք, խաչադիր ACB և CBD անկյունները հավասար են միմյանց [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։

Այսպիսով, ABC-ն և BCD-ն երկու եռանկյուններ են, որոնց համապատասխան ABC և BCA ու BCD և CBD անկյունները համապատասխանաբար հավասար են միմյանց և նրանց մի կողմը՝ հավասար անկյուններով, ընդհանուր է։ Դա BC կողմն է։ Հետևաբար, դրանց համապատասխան կողմերը նունյպես հավասար են և երրորդ անկյունը նույնպես համապատասխանաբար հավասար է [[[#Պնդում 26|Պնդում 1.26]] ]։ Հետևաբար, AB կողմը հավասար է CD կողմին և AC կողմը հավասար է BD կողմին։ Ավելին, BAC անկյունը հավասար է CDB անկյանը։ Քանի որ ABC անկյունը հավասար է BCD անկյանը և CBD անկյունը հավասար է ACB անկյանը, ամբողջ ABD անկյունը, հետևաբար, հավասար է ամբողջ ACD անկյանը։ Ցույց է տրված նաև, որ BAC-ն հավասար է CDB-ին։

Նաև պնդումն այն է, որ անկյունագիծը կիսում է այն երկու հավասար մասի։ Քանի որ AB կողմը հավասար է CD կողմին և BC-ն ընդհանուր է AB և BC ուղիղները, համապատասխանաբար, հավասար են DC և CB ուղիղներին։ Նաև ABC անկյունը հավասար է BCD անկյանը։ Հետևաբար, AC հիմքը նույնպես հավասար է DB-ին և ABC եռանկյունը հավասար է BCD եռանկյանը [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]։

Քանի որ ABCD-ն զուգահեռագիծ է AD-ն հավասար է BC-ին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Նույն պատճառով EF-ը հավասար է BC-ին։ Հետևաբար, ամբողջ AE ուղիղը հավասար է ամբողջ DF ուղղին։ AB-ն նույնպես հավասար է DC-ին։ Այսպիսով EA և AB ուղիղները համապատասխանաբար հավասար են FDև DC ուղիղներին։ Իսկ FDC անկյունը հավասար է EAB անկյանը՝ արտաքինը ներքինին [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]: Հետևաբար EB հիմքը հավասար է FC հիմքին և EAB եռանկյունին հավասար է DFC եռանկյունուն [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]: Երկուսից էլ հանենք DGE-ն։ Հետևաբար, հավելյալ ABGD սեղանը հավասար է հավելյալ EGCF սեղանին։ Երկուսին էլ ավելացնենք GBC եռանկյունը։ Հետևաբար, ամբողջ ABCD զուգահեռագիծը հավասար է ամբողջ EBCF զուգահեռագծին։

Գծված են BE և CH ուղիղները։ Քանի որ BC-n հավասար է FG-ին և FG-ն էլ հավասար է EH-ին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ], հետևաբար, BC-ն հավասար է EH-ին։ Նրանք նաև զուգահեռ են և EB ու HC ուղիղները միացնում են դրանք։ Բայց ուղիղները, որոնք միացնում են հավասար և զուգահեռ ուղիղներ նույն կողմի վրա, իրենք էլ հավասար են և զուգահեռ [[[#Պնդում 33|Պնդում 1.33]] ] (հետևաբար EB-ն և HC-ն նույնպես հավասար են և զուգահեռ)։ Հետևաբար, EBCH-ը զուգահեռագիծ է [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ] և հավասար է ABCD-ին: Այն ունի նույն BC հիմքը, այնպես ինչպես ABCD-ն և գտնվում է նույն BC և AH զուգահեռների միջև, այնպես ինչպես ABCD-ն [[[#Պնդում 35|Պնդում 1.35]] ]։ Նույն պատճառով EFGH-ն հավասար է նույն EBCH զուգահեռագծին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Այսպիսով, ABCD զուգահեռագիծը հավասար է EFGH զուգահեռագծին։

AD-ն ձգված է E և F ուղղություններով և B կետով գծված է BE ուղիղը, զուգահեռ CA-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Նաև C կետով գծված է CF ուղիղը, զուգահեռ BD-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Հետևաբար, EBCA-ն և DBCF-ն զուգահեռագծեր են և հավասար են։ Դրանք նույն BC հիմքի վրա են և գտնվում են նույն BC և EF զուգահեռ ուղիղների միջև [[[#Պնդում 35|Պնդում 1.35]] ]։ ABC եռանկյունը EBCA զուգահեռագծի կեսն է։ AB անկյունագիծը կիսում է վերջինս երկու մասի [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ DBC եռանկյունը DBCF զուգահեռագծի կեսն է։ DC անկյունագիծը կիսում է վերջինս երկու մասի [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ] (հավասար պատկերների կեսերը հավասար են միմյանց)։ Հետևաբար, ABC եռանկյունը հավասար է DBC եռանկյանը։

AD-ն ձգված է G և H ուղղություններով և B կետով գծված է BG ուղիղը, զուգահեռ CA-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]: Նաև F կետով գծված է FH ուղիղը, զուգահեռ DE-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Հետևաբար, GBCA-ն և DEFH-ն զուգահեռագծեր են և հավասար են։ Դրանք հավասար BC և EF հիմքերի վրա են և գտնվում են նույն BF և GH զուգահեռ ուղիղների միջև [[[#Պնդում 36|Պնդում 1.36]] ]։ ABC եռանկյունը GBCA զուգահեռագծի կեսն է։ AB անկյունագիծը կիսում է վերջինս երկու մասի [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ FED եռանկյունը DEFH զուգահեռագծի կեսն է։ DF անկյունագիծը կիսում է վերջինս երկու մասի (հավասար պատկերների կեսերը հավասար են միմյանց)։ Հետևաբար, ABC եռանկյունը հավասար է DEF եռանկյանը։

Հակառակ դեպքում, A կետով գծված է AE ուղիղը, որը զուգահեռ է BC ուղղին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և գծված է EC կողմը։ Հետևաբար, ABC եռանկյունը հավասար է EBC եռանկյանը։ Վերջինս նույն BC հիմքի վրա է և նույն զուգահեռների միջև է [[[#Պնդում 37|Պնդում 1.37]] ]։ Բայց ABC-ն հավասար է DBC-ին։ Հետևաբար, DBC-ն նաև հավասար է EBC-ին, մեծը՝ փոքրին, ինչը անհնար է։ Հետևաբար AE-ն զուգահեռ չէ BC-ին։ Նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ BC-ն, ոչ մի այլ ուղղի քան AD-ն, զուգահեռ չէ։ Հետևաբար, AD-ն զուգահեռ է BC-ին։

Հակառակ դեպքում, A կետով գծված է AF ուղիղը, որը զուգահեռ է BE-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և գծված է FE կողմը։ Հետևաբար, ABC եռանկյունը հավասար է FCE եռանկյանը։ Դրանք հավասար BC և CE հիմքերի վրա են կառուցված և նույն BE և AF զուգահեռների միջև են [[[#Պնդում 38|Պնդում 1.38]] ]։ Բայց, ABC եռանկյունը հավասար է DCE եռանկյանը։ Հետևաբար, DCE-ն նաև հավասար է FCE-ին, մեծը՝ փոքրին, ինչը անհնար է։ Հետևաբար AF-ը զուգահեռ չէ BE-ին։ Նմանապես, կարող ենք ցույց տալ, որ BE-ն, ոչ մի այլ ուղղի քան AD-ն, զուգահեռ չէ։ Հետևաբար, AD-ն զուգահեռ է BE-ին։

Միացված է AC հատվածը։ Այսպիսով, ABC եռանկյունը հավասար է EBC եռանկյանը։ Այն նույն BC հիմքի վրա է (EBC) և գտնվում է նույն BC և AE զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 37|Պնդում 1.37]] ]։ Բայց, ABCD զուգահեռագծի մակերեսը ABC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ AC անկյունագիծը կիսում է վերջինս երկու մասի [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Այսպիսով, ABCD զուգահեռագծի մակերեսը EBC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։

BC-ն E կետում կիսված է երկու հավասար մասի [[[#Պնդում 10|Պնդում 1.10]] ] և միացված է AE ուղիղը։ D անկյանը հավասար CEF անկյունը կառուցված է E կետում՝ EC կողմի վրա [[[#Պնդում 23|Պնդում 1.23]] ]։ A կետով գծված է AG ուղիղը, որը զուգահեռ է EC-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և C կետով գծված է CG ուղիղը, որը զուգահեռ է EF-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Հետևաբար, FECG-ն զուգահեռագիծ է։ Քանի որ BE-ն հավասար է EC-ին, ABE եռանկյունը հավասար է AEC եռանկյանը։ Դրանք հավասար BE և EC հիմքերի վրա են և նույն BC և AG զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 38|Պնդում 1.38]] ]։ Հետևաբար, ABC եռանկյան մակերեսը AEC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ FECG զուգահեռագծի մակերեսը նույնպես AEC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Այն ունի նույն հիմքը (AEC) և նույն զուգահեռների միջև է (AEC)[[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ]։ Հետևաբար, FECG զուգահեռագիծը հավասար է ABC եռանկյանը։ Իսկ FECG-ի CEF անկյունը հավասար է D անկյանը։

Քանի որ ABCD-ն զուգահեռագիծ է և AC-ն նրա անկյունագիծն է, ABC եռանկյունը հավասար է ACD եռանկյանը [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Կրկին, քանի որ EH-ը զուգահեռագիծ է և AK-ը նրա անկյունագիծը, AEK եռանկյունը հավասար է AHK եռանկյանը [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Այսպիսով, նույն պատճառով, KFC եռանկյունը հավասար է KGC եռանկյանը։ հետևաբար, քնաի որ AEK եռանկյունը հավասար է AHK եռանկյանը և KFC-ն KGC-ին, AEK և KGC եռանկյունների գումարը հավասար է AHK և KFC եռանկյունների գումարին։ Իսկ ամբողջ ABC եռանկյունը հավասար է ամբողջ ADC եռանկյանը։ Հետևաբար, հավելյալ BK լրացումը հավասար է հավելյալ KD լրացմանը։

BEFG զուգահեռագիծը՝ հավասար C եռանկյանը, կառուցված է EBG անկյունով, որը հավասար է D անկյանը [[[#Պնդում 42|Պնդում 1.42]] ]։ Այն տեղադրված է այնպես, որ BE-ն ընկնում է ուղիղ AB-ի վրա<ref>Սրան կարելի է հասնել օգտագործելով [[#Պնդում 3|1.3]], [[#Պնդում 23|1.23]], և [[#Պնդում 31|1.31 ]] պնդումները։</ref>։ H կետով գծված է FG-ն և A կետով գծված է AH-ը, զուգահեռ BG-ին կամ EF-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և միացված է HB հատվածը։ Քանի որ HF ուղիղը հատում է AH և EF զուգահեռները, AHF և HFE անկյունները, հետևաբար, հավասար են երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Հետևաբար, BHG-ի և GFE-ի գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյունից և ներքին անկյուններից (որոնց գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյուններից) ձգվող և անվերձության ձգտող ուղիղները հատվում են [Կանխադրույթ [[#Աքսիոմաներ|Աքսիոմա 5]] ]: Հետևաբար, HB-ն և FE-ն, եթե գծվեն, կհատվեն։ Ենթադրենք դրանք գծված են և հատվում են K կետում։ K կետով գծված է KL-ը, որը զուգահեռ է EA-ին կմա FH-ին [[[#Պնդում 42|Պնդում 1.3142]] ]։ Ենթադրենք, նաև, որ գծված են HA-ն և GB-ն համապատասխանաբար L և M կետերից։ Հետևաբար, HLKF-ն զուգահեռագիծ է և HK-ն դրա անկյունագիծն է։ AG-ն և ME-ն նույնպես զուգահեռագծեր են և LB-ն ու BF-ը այսպես կոչված լրացումներ են HK-ին։ Հետևաբար, LB-ն հավասար է BF-ին [[[#Պնդում 43|Պնդում 1.43]] ]։ Բայց, BF-ը հավասար է C եռանկյանը։ Հետևաբար, LB-ն հավասար է C-ին։ Նաև, քանի որ GBE-ն հավասար է ABM-ին [[[#Պնդում 15|Պնդում 1.15]] ], բայց GBE-ն նաև հավասար է D-ին, հետևաբար, ABM-ը հավասար է D-ին։

Գծված է DB կողմը։ E անկյանը հավասար HKF անկյունով կառուցված է ABD եռանկյանը հավասար FH զուգահեռագիծը [[[#Պնդում 42|Պնդում 1.42]] ]։ E անկյանը հավասար GHM անկյունով GH ուղղի վրա կառուցված է DBC եռանկյանը հավասար GM զուգահեռագիծը [[[#Պնդում 44|Պնդում 1.44]] ]։ Քանի որ E անկյունը հավասար է HKF և GHM անկյուններին, հետևաբար․ HKF անկյունը հավասար է GHM անկյանը։ Երկուսին էլ ավելացնենք KHG-ն։ Հետևաբար, FKH և KHG անկյունների գումարը հավասար է KHG և GHM անկյունների գումարին։ Բայց FKH և KHG անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Հետևաբար, KHG և GHM անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյան։ Այսպիսով, նույն կողմի վրա չնկնող KH և HM ուղիղները ստեղծում են կից անկյուններ GH ուղղի վրա H կետում, որի գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան։ Հետևաբար KH-ը ընկնում է ուղիղ HM-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Քանի որ HG ուղիղը հատում է KM և FG ուղիղները, խաչադիր MHG և HGF անկյունները հավասար են [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Երկուսին էլ ավելացնենք HGL-ն։ Հետևաբար, MHG և HGL անկյունների գումարը հավասար է HGF և HGL անկյունների գումարին։ Բայց MHG և HGL անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Հետևաբար HGF և HGL անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյան։ Հետևաբար, FG-ն ընկնում է ուղիղ GlGL-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Քանի որ FK-ն հավասար է և զուգահեռ HG-ին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ], բայց նաև HG-n հավասար է և զուգահեռ ML-ին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ], հետևաբար, KF-ը նույնպես հավասար է և զուգահեռ ML-ին [[[#Պնդում 30|Պնդում 1.30]] ]: KM և FL ուղիղները միացնում են դրանք։ Հետևաբար, KM և FL նույնպես հավասար են և զուգահեռ [Պնդում1[[#Պնդում 33|Պնդում 1.33]] ]։ Հետևաբար, KFLM-ը զուգահեռագիծ է։ Քանի որ ABD եռանկյունը հավասար է FH զուգահեռագծին և DBC-ն հավասար է GM, ամբողծ ABCD ուղղագիծ պատկերը, հետևաբար, հավասար է ամբողջ KFLM զուգահեռագծին։

AC-ն գծված է ուղղահայաց AB ուղղին A կետում [[[#Պնդում 11|Պնդում 1.11]] ] և AD-ն հավասար է AB-ին [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]: D կետով գծված է DE ուղիղը՝ զուգահեռ AB-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և B կետով գծված է BE ուղիղը՝ զուգահեռ AD-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Հետևաբար, ADEB-ն զուգահեռագիծ է։ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ DE-ն՝ BE-ին։ Բայց AB-ն նաև հավասար է AD-ին։ Հետևաբար, չորս կողմերը՝ BA, AD, DE և EB, հավասար են միմյանց։ Հետևաբար, ADEB զուգահեռագիծը հավասարակողմ է։ Այն ուղղանկյուն է։ Քանի որ AD ուղիղը հատում է AB և DE զուգահեռները BAD և ADE անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Բայց BAD-ը ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, ADE-ն նույնպես ուղիղ անկյուն է։ Զուգահեռագիծ պատկերներում հակադիր կողմերը և անկյունները հավասար են միմյանց [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Հետևաբար, ABE և BED հակադիր անկյուններից յուրաքանչյուրը նույնպես ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, ADEB-ն ուղղանկյուն է։ Ցույց է տրված նաև, որ այն հավասարակողմ է։

BC-ի վրակառուցված է BDEC քառակուսին և GB ու HC քառակուսիները՝ AB-ի ու AC-ի վրա համապատասխանաբար [[[#Պնդում 46|Պնդում 1.46]] ]։ A կետից գծված է AL-ը, որը զուգահեռ է BD-ին կամ CE-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ AD-ն և FC-ն միացված են։ Քանի որ BAC և BAG անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղիղ անկյուն է, ապա նույն կողմի վրա չնկնող AC և AG երկու ուղիղները ստեղծում են կից անկյուններ BA ուղղով՝ A կետում, որի գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։ Հետևաբար CA-ն ընկնում է AB-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Նույն պատճառով BA-ն ընկնում է AH-ի վրա։ Քանի որ DBC անկյունը հավասար է FBA անկյանը, կամ երկուսն էլ ուղիղ անկյուն են, երկուսին էլ ավելացնենք ABC-ն։ Հետևաբար, ամբողջ DBA անկյունը հավասար է FBC ամբողջ անկյանը։ Քանի որ DB-ն հավասար է BC-ին և FB-ն BA-ին, երկու ուղիղները՝ DB-ն և BA-ն,համապատասխանաբար հավասար են CB և BF ուղիղներին։ Իսկ DBA անկյունը հավասար է FBC անկյանը։։ Հետևաբար, AD հիմքը հավասար է FC հիմքին և ABD անկյունը հավասար է FBC անկյանը [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]: Իսկ BL զուգահեռագծի մակերեսը ABD եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Դրանք ունեն նույն BD հիմքը և ընկած են նույն BD և AL զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ]: GB քառակուսու մակերեսը FBC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Կրկին, դրանք ունեն նույն FB հիմքը և ընկած են նույն FB և GC զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ] (հավասար պատկերների կեսերը հավասար են միմյանց)<ref>Սա լրացուցիչ ընդհանուր հասկացություն է:</ref>: Հետևաբար, BL զուգահեռագիծը հավասար է GB քառակուսուն։ Նույն կերպ, AE-ն և BK-ը միացված են և կարող ենք ցույց տալ, որ CL զուգահեռագիծը հավասար է HC քառակուսուն։ Հետևաբար, ամբողջ BDEC քառակուսին հավասար է GB և HC քառակուսիների գումարին։ BDEC քառակուսին կառուցված է BC- վրա․ իսկ GB և HC քառակուսիները՝ BA-ի և AC-ի վրա համապատասխանաբար։ Հետևաբար, BC կողմի քառակուսին հավասար է BA և AC կողմերի քառակուսիների գումարին։

A կետով գծված է AD ուղիղը, որը ուղղահայաց է AC կողմին [[[#Պնդում 11|Պնդում 1.11]] ], AD-ն հավասար է BA-ին [[[#Պնդում 3|Պնդում 1.3]] ] և DC-ն միացված է։ Քանի որ DA-ն հավասար է AB-ին, ապա DA քառակուսին նույնպես հավասար է AB քառակուսուն <ref>Այստեղ օգտագործվում է լրացուցիչ ընդհանուր հասկացություն, որ հավասար իրերի քառակուսիներն իրենք էլ հավասար են: Հետագայում օգտագործվում է հակադարձ հասկացությունը։</ref>։ AC քառակուսին ավելացված է երկուսին էլ։ Հետևաբար, DA և AC քառակուսիների գումարը հավասար է BA և AC քառակուսիների գումարին։ Բայց DC քառակուսին հավասար է DA և AC քառակուսիների գումարին։ Իսկ DAC-ն ուղիղ անկյուն է [[[#Պնդում 47|Պնդում 1.47]] ]։ Բայց, BC քառակուսին հավասար է BA և AC քառակուսիների գումարին։ Դա ենթադրվում է։ Հետևաբար, DC քառակուսին հավասար է BC քառակուսուն։ Այսպիսով, DC-ն նույնպես հավասար է BC-ին։ Քանի որ DA-ն հավասար է AB-ին և AC-ն ընդհանուր է, DA և AC երկու ուղիղները հավասար են BA և AC երկու ուղիղներին։ Իսկ DC հիմքը հավասար է BC հիմքին։ Հետևաբար, DAC անկյունը հավասար է BAC անկյանը [[[#Պնդում 8|Պնդում 1.8]] ]։ Բայց DAC-ն ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, BAC-ն նույնպես ուղիղ անկյուն է։