Changes

|թարգմանիչ = [[Մասնակից:Hovhannes003|Hovhannes003]], [[Մասնակից:Արարատ Ղազարյան|Արարատ Ղազարյան]]

==Pages 6-30== == '''Սահմանումներ''' == 

Թող AB ուղիղ գիծը ընկած լինի CD ուղիղ գծի վրա և կազմի CBA և ABD անկյունները։ Ես ասում եմ, որ անկյունները CBA և ABD հաստատ կամ երկու ուղղանկյուն են, կամ գումարը հավասար է երկու ուղղանկյան։

Փաստորեն, եթե CBA-ն հավասար է ABD-ին, ապա դրանք երկու ուղղանկյուն են [Սահմանում 1.10]։ Բայց, եթե ոչ, թող BE-ն գծվի B կետից՝ CD ուղիղ գծին ուղղանկյուն [Պնդում 1.11]։ Այսպիսով, CBE և EBD անկյունները երկու ուղղանկյուն են։ Քանի որ CBE-ն հավասար է երկու անկյունների՝ CBA և ABE-ի, թող EBD-ն ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, անկյունների CBE և EBD գումարը հավասար է CBA, ABE և EBD երեք անկյունների գումարին [Ընդհանուր հասկացություն 2]։

Նույն կերպ, քանի որ DBA-ն հավասար է երկու անկյունների՝ DBE և EBA-ի, թող ABC-ն ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, անկյունների DBA-ի և ABC-ի գումարը հավասար է DBE-ի, EBA-ի, և ABC-ի գումարին [Ընդհանուր հասկացություն 2]։ Բայց անկյունների CBE և EBD գումարը նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է նույն երեք անկյունների գումարին։ Իսկ բաները, որոնք հավասար են նույնին, նույնպես հավասար են միմյանց [Ընդհանուր հասկացություն 1]։

Քանի որ ABCD-ն զուգահեռագիծ է և AC-ն նրա անկյունագիծն է, ABC եռանկյունը հավասար է ACD եռանկյանը [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Կրկին, քանի որ EH-ը զուգահեռագիծ է և AK-ը նրա անկյունագիծը, AEK եռանկյունը հավասար է AHK եռանկյանը [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Այսպիսով, նույն պատճառով, KFC եռանկյունը հավասար է KGC եռանկյանը։ հետևաբար, քնաի որ AEK եռանկյունը հավասար է AHK եռանկյանը և KFC-ն KGC-ին, AEK և KGC եռանկյունների գումարը հավասար է AHK և KFC եռանկյունների գումարին։ Իսկ ամբողջ ABC եռանկյունը հավասար է ամբողջ ADC եռանկյանը։ Հետևաբար, հավելյալ BK լրացումը հավասար է հավելյալ KD լրացմանը։

BEFG զուգահեռագիծը՝ հավասար C եռանկյանը, կառուցված է EBG անկյունով, որը հավասար է D անկյանը [[[#Պնդում 42|Պնդում 1.42]] ]։ Այն տեղադրված է այնպես, որ BE-ն ընկնում է ուղիղ AB-ի վրա<ref>Սրան կարելի է հասնել օգտագործելով [[#Պնդում 3|1.3]], [[#Պնդում 23|1.23]], և [[#Պնդում 31|1.31 ]] պնդումները։</ref>։ H կետով գծված է FG-ն և A կետով գծված է AH-ը, զուգահեռ BG-ին կամ EF-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և միացված է HB հատվածը։ Քանի որ HF ուղիղը հատում է AH և EF զուգահեռները, AHF և HFE անկյունները, հետևաբար, հավասար են երկու ուղիղ անկյունների [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Հետևաբար, BHG-ի և GFE-ի գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյունից և ներքին անկյուններից (որոնց գումարը փոքր է երկու ուղիղ անկյուններից) ձգվող և անվերձության ձգտող ուղիղները հատվում են [Կանխադրույթ [[#Աքսիոմաներ|Աքսիոմա 5]] ]: Հետևաբար, HB-ն և FE-ն, եթե գծվեն, կհատվեն։ Ենթադրենք դրանք գծված են և հատվում են K կետում։ K կետով գծված է KL-ը, որը զուգահեռ է EA-ին կմա FH-ին [[[#Պնդում 42|Պնդում 1.3142]] ]։ Ենթադրենք, նաև, որ գծված են HA-ն և GB-ն համապատասխանաբար L և M կետերից։ Հետևաբար, HLKF-ն զուգահեռագիծ է և HK-ն դրա անկյունագիծն է։ AG-ն և ME-ն նույնպես զուգահեռագծեր են և LB-ն ու BF-ը այսպես կոչված լրացումներ են HK-ին։ Հետևաբար, LB-ն հավասար է BF-ին [[[#Պնդում 43|Պնդում 1.43]] ]։ Բայց, BF-ը հավասար է C եռանկյանը։ Հետևաբար, LB-ն հավասար է C-ին։ Նաև, քանի որ GBE-ն հավասար է ABM-ին [[[#Պնդում 15|Պնդում 1.15]] ], բայց GBE-ն նաև հավասար է D-ին, հետևաբար, ABM-ը հավասար է D-ին։

Գծված է DB կողմը։ E անկյանը հավասար HKF անկյունով կառուցված է ABD եռանկյանը հավասար FH զուգահեռագիծը [[[#Պնդում 42|Պնդում 1.42]] ]։ E անկյանը հավասար GHM անկյունով GH ուղղի վրա կառուցված է DBC եռանկյանը հավասար GM զուգահեռագիծը [[[#Պնդում 44|Պնդում 1.44]] ]։ Քանի որ E անկյունը հավասար է HKF և GHM անկյուններին, հետևաբար․ HKF անկյունը հավասար է GHM անկյանը։ Երկուսին էլ ավելացնենք KHG-ն։ Հետևաբար, FKH և KHG անկյունների գումարը հավասար է KHG և GHM անկյունների գումարին։ Բայց FKH և KHG անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Հետևաբար, KHG և GHM անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյան։ Այսպիսով, նույն կողմի վրա չնկնող KH և HM ուղիղները ստեղծում են կից անկյուններ GH ուղղի վրա H կետում, որի գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան։ Հետևաբար KH-ը ընկնում է ուղիղ HM-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Քանի որ HG ուղիղը հատում է KM և FG ուղիղները, խաչադիր MHG և HGF անկյունները հավասար են [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Երկուսին էլ ավելացնենք HGL-ն։ Հետևաբար, MHG և HGL անկյունների գումարը հավասար է HGF և HGL անկյունների գումարին։ Բայց MHG և HGL անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Հետևաբար HGF և HGL անկյունների գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղիղ անկյան։ Հետևաբար, FG-ն ընկնում է ուղիղ GlGL-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Քանի որ FK-ն հավասար է և զուգահեռ HG-ին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ], բայց նաև HG-n հավասար է և զուգահեռ ML-ին [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ], հետևաբար, KF-ը նույնպես հավասար է և զուգահեռ ML-ին [[[#Պնդում 30|Պնդում 1.30]] ]: KM և FL ուղիղները միացնում են դրանք։ Հետևաբար, KM և FL նույնպես հավասար են և զուգահեռ [Պնդում1[[#Պնդում 33|Պնդում 1.33]] ]։ Հետևաբար, KFLM-ը զուգահեռագիծ է։ Քանի որ ABD եռանկյունը հավասար է FH զուգահեռագծին և DBC-ն հավասար է GM, ամբողծ ABCD ուղղագիծ պատկերը, հետևաբար, հավասար է ամբողջ KFLM զուգահեռագծին։

AC-ն գծված է ուղղահայաց AB ուղղին A կետում [[[#Պնդում 11|Պնդում 1.11]] ] և AD-ն հավասար է AB-ին [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]: D կետով գծված է DE ուղիղը՝ զուգահեռ AB-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ] և B կետով գծված է BE ուղիղը՝ զուգահեռ AD-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ Հետևաբար, ADEB-ն զուգահեռագիծ է։ AB-ն հավասար է DE-ին, իսկ DE-ն՝ BE-ին։ Բայց AB-ն նաև հավասար է AD-ին։ Հետևաբար, չորս կողմերը՝ BA, AD, DE և EB, հավասար են միմյանց։ Հետևաբար, ADEB զուգահեռագիծը հավասարակողմ է։ Այն ուղղանկյուն է։ Քանի որ AD ուղիղը հատում է AB և DE զուգահեռները BAD և ADE անկյունների գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյան [[[#Պնդում 29|Պնդում 1.29]] ]։ Բայց BAD-ը ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, ADE-ն նույնպես ուղիղ անկյուն է։ Զուգահեռագիծ պատկերներում հակադիր կողմերը և անկյունները հավասար են միմյանց [[[#Պնդում 34|Պնդում 1.34]] ]։ Հետևաբար, ABE և BED հակադիր անկյուններից յուրաքանչյուրը նույնպես ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, ADEB-ն ուղղանկյուն է։ Ցույց է տրված նաև, որ այն հավասարակողմ է։

BC-ի վրակառուցված է BDEC քառակուսին և GB ու HC քառակուսիները՝ AB-ի ու AC-ի վրա համապատասխանաբար [[[#Պնդում 46|Պնդում 1.46]] ]։ A կետից գծված է AL-ը, որը զուգահեռ է BD-ին կամ CE-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ AD-ն և FC-ն միացված են։ Քանի որ BAC և BAG անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղիղ անկյուն է, ապա նույն կողմի վրա չնկնող AC և AG երկու ուղիղները ստեղծում են կից անկյուններ BA ուղղով՝ A կետում, որի գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։ Հետևաբար CA-ն ընկնում է AB-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Նույն պատճառով BA-ն ընկնում է AH-ի վրա։ Քանի որ DBC անկյունը հավասար է FBA անկյանը, կամ երկուսն էլ ուղիղ անկյուն են, երկուսին էլ ավելացնենք ABC-ն։ Հետևաբար, ամբողջ DBA անկյունը հավասար է FBC ամբողջ անկյանը։ Քանի որ DB-ն հավասար է BC-ին և FB-ն BA-ին, երկու ուղիղները՝ DB-ն և BA-ն,համապատասխանաբար հավասար են CB և BF ուղիղներին։ Իսկ DBA անկյունը հավասար է FBC անկյանը։։ Հետևաբար, AD հիմքը հավասար է FC հիմքին և ABD անկյունը հավասար է FBC անկյանը [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]: Իսկ BL զուգահեռագծի մակերեսը ABD եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Դրանք ունեն նույն BD հիմքը և ընկած են նույն BD և AL զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ]: GB քառակուսու մակերեսը FBC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Կրկին, դրանք ունեն նույն FB հիմքը և ընկած են նույն FB և GC զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ] (հավասար պատկերների կեսերը հավասար են միմյանց)<ref>Սա լրացուցիչ ընդհանուր հասկացություն է:</ref>: Հետևաբար, BL զուգահեռագիծը հավասար է GB քառակուսուն։ Նույն կերպ, AE-ն և BK-ը միացված են և կարող ենք ցույց տալ, որ CL զուգահեռագիծը հավասար է HC քառակուսուն։ Հետևաբար, ամբողջ BDEC քառակուսին հավասար է GB և HC քառակուսիների գումարին։ BDEC քառակուսին կառուցված է BC- վրա․ իսկ GB և HC քառակուսիները՝ BA-ի և AC-ի վրա համապատասխանաբար։ Հետևաբար, BC կողմի քառակուսին հավասար է BA և AC կողմերի քառակուսիների գումարին։

A կետով գծված է AD ուղիղը, որը ուղղահայաց է AC կողմին [[[#Պնդում 11|Պնդում 1.11]] ], AD-ն հավասար է BA-ին [[[#Պնդում 3|Պնդում 1.3]] ] և DC-ն միացված է։ Քանի որ DA-ն հավասար է AB-ին, ապա DA քառակուսին նույնպես հավասար է AB քառակուսուն <ref>Այստեղ օգտագործվում է լրացուցիչ ընդհանուր հասկացություն, որ հավասար իրերի քառակուսիներն իրենք էլ հավասար են: Հետագայում օգտագործվում է հակադարձ հասկացությունը։</ref>։ AC քառակուսին ավելացված է երկուսին էլ։ Հետևաբար, DA և AC քառակուսիների գումարը հավասար է BA և AC քառակուսիների գումարին։ Բայց DC քառակուսին հավասար է DA և AC քառակուսիների գումարին։ Իսկ DAC-ն ուղիղ անկյուն է [[[#Պնդում 47|Պնդում 1.47]] ]։ Բայց, BC քառակուսին հավասար է BA և AC քառակուսիների գումարին։ Դա ենթադրվում է։ Հետևաբար, DC քառակուսին հավասար է BC քառակուսուն։ Այսպիսով, DC-ն նույնպես հավասար է BC-ին։ Քանի որ DA-ն հավասար է AB-ին և AC-ն ընդհանուր է, DA և AC երկու ուղիղները հավասար են BA և AC երկու ուղիղներին։ Իսկ DC հիմքը հավասար է BC հիմքին։ Հետևաբար, DAC անկյունը հավասար է BAC անկյանը [[[#Պնդում 8|Պնդում 1.8]] ]։ Բայց DAC-ն ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, BAC-ն նույնպես ուղիղ անկյուն է։