|վերնագիր = [[Տարերք]], Գիրք 1
|հեղինակ = [[էվկլիդես]]
|թարգմանիչ = [[Մասնակից:Hovhannes003|Hovhannes003]], [[Մասնակից:Արարատ Ղազարյան|Արարատ Ղազարյան]]
|աղբյուր = [https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf Euclid's Elements of Geometry, English translation by Richard Fitzpatrick]
}}
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
==Pages 6-30== == '''Սահմանումներ''' ==
# Կետը այն է, որում չկան մասեր։
== Աքսիոմաներ ==
# Կարելի է գծել ուղիղ գիծ ցանկացած կետից դեպի ցանկացած կետ:
== Ընդհանուր հասկացություններ ==
# Եթե մի քանի բան հավասար են մեկ այլ բանի, ապա այդ մի քանի բաներն իրար էլ են հավասար։
[[Պատկեր:Euclids Elements book1 proposition1փ.jpg|center|200px]]
Թող AB ուղիղ գիծը ընկած լինի CD ուղիղ գծի վրա և կազմի CBA և ABD անկյունները։ Ես ասում եմ, որ անկյունները CBA և ABD հաստատ կամ երկու ուղղանկյուն են, կամ գումարը հավասար է երկու ուղղանկյան։
Փաստորեն, եթե CBA-ն հավասար է ABD-ին, ապա դրանք երկու ուղղանկյուն են [Սահմանում 1.10]։ Բայց, եթե ոչ, թող BE-ն գծվի B կետից՝ CD ուղիղ գծին ուղղանկյուն [Պնդում 1.11]։ Այսպիսով, CBE և EBD անկյունները երկու ուղղանկյուն են։ Քանի որ CBE-ն հավասար է երկու անկյունների՝ CBA և ABE-ի, թող EBD-ն ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, անկյունների CBE և EBD գումարը հավասար է CBA, ABE և EBD երեք անկյունների գումարին [Ընդհանուր հասկացություն 2]։
Նույն կերպ, քանի որ DBA-ն հավասար է երկու անկյունների՝ DBE և EBA-ի, թող ABC-ն ավելացվի երկուսին։ Այսպիսով, անկյունների DBA-ի և ABC-ի գումարը հավասար է DBE-ի, EBA-ի, և ABC-ի գումարին [Ընդհանուր հասկացություն 2]։ Բայց անկյունների CBE և EBD գումարը նույնպես ցույց տրվեց, որ հավասար է նույն երեք անկյունների գումարին։ Իսկ բաները, որոնք հավասար են նույնին, նույնպես հավասար են միմյանց [Ընդհանուր հասկացություն 1]։
Հետևաբար, անկյունների CBE և EBD գումարը հավասար է անկյունների DBA և ABC գումարին։ Բայց CBE և EBD-ի գումարը երկու ուղղանկյուն է։ Այսպիսով, ABD և ABC-ի գումարը նույնպես հավասար է երկու ուղղանկյան։
Այսպիսով, եթե երկու եռանկյուններ ունեն երկու կողմեր, որոնք հավասար են միմյանց համապատասխանաբար, բայց դրանցից մեկը ունի հավասար ուղիղ գծերով պարփակված անկյուն, որը մեծ է մյուսի համապատասխան անկյունից, ապա առաջին եռանկյունը նույնպես կունենա հիմք, որը մեծ է երկրորդի հիմքից։ (Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր ցույց տալ)։
== Պնդում 25 ==
Այսպիսով, եթե երկու եռանկյուններ ունեն երկու անկյուններ, որոնք հավասար են միմյանց համապատասխանաբար, և մեկ կողմ, որը հավասար է մեկ այլ կողմի՝ կամ հավասար անկյունների կողքին գտնվող, կամ դրանցից մեկի դիմաց գտնվող կողմը, ապա այդ եռանկյունները նույնպես կունենան մնացած կողմերը հավասար իրենց համապատասխան մնացած կողմերին, և մնացած անկյունը՝ հավասար մնացած անկյունին։ (Սա հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ էր ցույց տալ)։
==Pages 31-48==
== Պնդում 27 ==
ABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է՝ BAC ուղիղ անկյունով։ Պնդումն այն է, որ BC-ի քառակուսին հավասար է BA-ի և AC-ի քառակուսիների գումարին գումարին։
BC-ի վրակառուցված է BDEC քառակուսին և GB ու HC քառակուսիները՝ AB-ի ու AC-ի վրա համապատասխանաբար [[[#Պնդում 46|Պնդում 1.46]] ]։ A կետից գծված է AL-ը, որը զուգահեռ է BD-ին կամ CE-ին [[[#Պնդում 31|Պնդում 1.31]] ]։ AD-ն և FC-ն միացված են։ Քանի որ BAC և BAG անկյուններից յուրաքանչյուրը ուղիղ անկյուն է, ապա նույն կողմի վրա չնկնող AC և AG երկու ուղիղները ստեղծում են կից անկյուններ BA ուղղով՝ A կետում, որի գումարը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների։ Հետևաբար CA-ն ընկնում է AB-ի վրա [[[#Պնդում 14|Պնդում 1.14]] ]։ Նույն պատճառով BA-ն ընկնում է AH-ի վրա։ Քանի որ DBC անկյունը հավասար է FBA անկյանը, կամ երկուսն էլ ուղիղ անկյուն են, երկուսին էլ ավելացնենք ABC-ն։ Հետևաբար, ամբողջ DBA անկյունը հավասար է FBC ամբողջ անկյանը։ Քանի որ DB-ն հավասար է BC-ին և FB-ն BA-ին, երկու ուղիղները՝ DB-ն և BA-ն,համապատասխանաբար հավասար են CB և BF ուղիղներին։ Իսկ DBA անկյունը հավասար է FBC անկյանը։։ Հետևաբար, AD հիմքը հավասար է FC հիմքին և ABD անկյունը հավասար է FBC անկյանը [[[#Պնդում 4|Պնդում 1.4]] ]: Իսկ BL զուգահեռագծի մակերեսը ABD եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Դրանք ունեն նույն BD հիմքը և ընկած են նույն BD և AL զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ]: GB քառակուսու մակերեսը FBC եռանկյան մակերեսի կրկնապատիկն է։ Կրկին, դրանք ունեն նույն FB հիմքը և ընկած են նույն FB և GC զուգահեռների միջև [[[#Պնդում 41|Պնդում 1.41]] ] (հավասար պատկերների կեսերը հավասար են միմյանց)<ref>Սա լրացուցիչ ընդհանուր հասկացություն է:</ref>: Հետևաբար, BL զուգահեռագիծը հավասար է GB քառակուսուն։ Նույն կերպ, AE-ն և BK-ը միացված են և կարող ենք ցույց տալ, որ CL զուգահեռագիծը հավասար է HC քառակուսուն։ Հետևաբար, ամբողջ BDEC քառակուսին հավասար է GB և HC քառակուսիների գումարին։ BDEC քառակուսին կառուցված է BC- վրա․ իսկ GB և HC քառակուսիները՝ BA-ի և AC-ի վրա համապատասխանաբար։ Հետևաբար, BC կողմի քառակուսին հավասար է BA և AC կողմերի քառակուսիների գումարին։
[[Պատկեր:ElementsBook1-Propostion47.png|center|200px]]
Ենթադրենք ABC երանկյան կողմերից մեկի՝ BC-ի քառակուսին հավասար է BA և AC կողմերի քառակուսիների գումարին։ Պնդումն այն է, որ BAC-ն ուղիղ անկյուն է։
A կետով գծված է AD ուղիղը, որը ուղղահայաց է AC կողմին [[[#Պնդում 11|Պնդում 1.11]] ], AD-ն հավասար է BA-ին [[[#Պնդում 3|Պնդում 1.3]] ] և DC-ն միացված է։ Քանի որ DA-ն հավասար է AB-ին, ապա DA քառակուսին նույնպես հավասար է AB քառակուսուն <ref>Այստեղ օգտագործվում է լրացուցիչ ընդհանուր հասկացություն, որ հավասար իրերի քառակուսիներն իրենք էլ հավասար են: Հետագայում օգտագործվում է հակադարձ հասկացությունը։</ref>։ AC քառակուսին ավելացված է երկուսին էլ։ Հետևաբար, DA և AC քառակուսիների գումարը հավասար է BA և AC քառակուսիների գումարին։ Բայց DC քառակուսին հավասար է DA և AC քառակուսիների գումարին։ Իսկ DAC-ն ուղիղ անկյուն է [[[#Պնդում 47|Պնդում 1.47]] ]։ Բայց, BC քառակուսին հավասար է BA և AC քառակուսիների գումարին։ Դա ենթադրվում է։ Հետևաբար, DC քառակուսին հավասար է BC քառակուսուն։ Այսպիսով, DC-ն նույնպես հավասար է BC-ին։ Քանի որ DA-ն հավասար է AB-ին և AC-ն ընդհանուր է, DA և AC երկու ուղիղները հավասար են BA և AC երկու ուղիղներին։ Իսկ DC հիմքը հավասար է BC հիմքին։ Հետևաբար, DAC անկյունը հավասար է BAC անկյանը [[[#Պնդում 8|Պնդում 1.8]] ]։ Բայց DAC-ն ուղիղ անկյուն է։ Հետևաբար, BAC-ն նույնպես ուղիղ անկյուն է։
Հետևաբար, եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա մնացած երկու կողմերի մեջ պարունակվող անկյունն ուղղանկյուն է։ Սա այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ։