Changes

== Առաջարկություն Պնդում 24 ==

 Թող ABCD-ը լինի զուգահեռագիծ, իսկ AC-ը՝ նրա անկյունագիծը։ Եվ թող EG և HK լինեն զուգահեռագծեր, կառուցված AC անկյունագծի շուրջ։ Ասում Բանաձև եմ, որ EG և HK զուգահեռագծերը յուրաքանչյուրը նման են ամբողջ (ABCD) զուգահեռագծին և նաև միմյանց:միմյանց։ Քանի որ EF գիծը գծվել է ABC եռանկյան BC կողքին զուգահեռ, համեմատականորեն, ինչպես BE-ը EA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CF-ը FA-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 6.2]: Նորից, քանի որ FG-ը գծվել է ACD եռանկյան CD կողքին զուգահեռ, նույն կերպ, ինչպես CF-ը FA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ DG-ը GA-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 6.2]: Բայց, ինչպես CF-ը FA-ի նկատմամբ է, նույն կերպ արդեն ցույց տրված է, որ BE-ը EA-ի նկատմամբ է։ Ուստի, ինչպես BE-ը EA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ DG-ը GA-ի նկատմամբ։ Եվ, այսպես, համակցելով, ինչպես BA-ը AE-ի նկատմամբ է, այնպես էլ DA-ը AG-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 5.18]: Եվ, այլընտրանքորեն, ինչպես BA-ը AD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ EA-ը AG-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 5.16]: Այսպիսով, ABCD և EG զուգահեռագծերում BAD ընդհանուր անկյան շուրջ կողմերը համաչափ են։ Եվ , քանի որ GF-ը զուգահեռ է DC-ին, AFG անկյունը հավասար է DCA անկյանին անկյանը [Բան. Բանաձև 1.29]: Եվ DAC անկյունը ընդհանուր է ADC և AGF եռանկյունների համար։ Ուստի ADC եռանկյունը հավանկյուն է AGF եռանկյանը [Բան. Բանաձև 1.32]: Նույն պատճառներով, ACB եռանկյունը հավանկյուն է AFE եռանկյանը, և ամբողջ ABCD զուգահեռագիծը հավանկյուն է EG զուգահեռագծին։ Այսպիսով, համաչափորեն, ինչպես AD-ը DC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AG-ը GF-ի նկատմամբ է, և ինչպես DC-ը CA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GF-ը FA-ի նկատմամբ է, և ինչպես AC-ը CB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AF-ը FE-ի նկատմամբ է, իսկ, հետագայում, ինչպես CB-ը BA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ FE-ը EA-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 6.4]: Եվ , քանի որ ցույց տրված էր, որ ինչպես DC-ը CA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GF-ը FA-ի նկատմամբ է, և ինչպես AC-ը CB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AF-ը FE-ի նկատմամբ է, ապա, հավասարությամբ, ինչպես DC-ը CB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GF-ը FE-ի նկատմամբ է [Բան. Բանաձև 5.22]: Այսպիսով, ABCD և EG զուգահեռագծերում հավասար անկյունների շուրջ կողմերը համաչափ են։ Ուստի, ABCD զուգահեռագիծը նման է EG զուգահեռագծին [Սահմանում 6.1]: Նույն (պատճառներով), ABCD զուգահեռագիծը նման է նաև KH զուգահեռագծին։ Այսպիսով, EG և HK զուգահեռագծերը յուրաքանչյուրը նման են [ABCD] զուգահեռագծին։ Եվ (ուղղագծային) պատկերները, որոնք նման են նույն ուղղագծային պատկերին, նաև նման են միմյանց [Բան. Բանաձև 6.21]: Այսպիսով, EG զուգահեռագիծը նույնպես նման է HK զուգահեռագծին։  [[Պատկեր:1.png|center|200px]] 

== Առաջարկություն Պնդում 25 == 

 Քանի որ զուգահեռագիծ BE-ն, հավասար ABC եռանկյունինեռանկյանին, թող դրվի BC ուղղագծի վրա [Բան. Բանաձև 1.44], և զուգահեռագիծ CM-ը, հավասար D-ին, (դրվի) CE ուղղագծի վրա, FCE անկյան մեջ, որը հավասար է CBL անկյանին անկյան [Բան. Բանաձև 1.45]։ Այդպիսով, BC-ը ուղղագիծ է դեպի CF, իսկ LE-ն դեպի EM [Բան. Բանաձև 1.14]։ Եվ թող BC-ի և CF-ի միջին համեմատականը GH ընդունված լինի [Բան. Բանաձև 6.13]։ Եվ թող KGH պատկերը, նման և նույն կերպ դասավորված ABC-ին, գծված լինի GH-ի վրա [Բան. Բանաձև 6.18]։ Եվ , քանի որ ինչպես BC-ը GH-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GH-ը CF-ի նկատմամբ է, իսկ եթե երեք ուղիղ գծեր համաչափ են, ապա ինչպես առաջինը երրորդի նկատմամբ է, այնպես էլ առաջինի վրա կառուցված պատկերն ընդհանրապես նման, նույն կերպ կառուցված երկրորդի վրա գտնվող պատկերին է [Բան. Բանաձև 6.19 ճշգրտում], ապա ինչպես BC-ը CF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ ABC եռանկյունը KGH եռանկյան նկատմամբ է։ Բայց նաև, ինչպես BC-ը CF-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BE զուգահեռագիծը EF զուգահեռագծի նկատմամբ է [Բան. Բանաձև 6.1]։ Ուստի, ինչպես ABC եռանկյունը KGH եռանկյան նկատմամբ է, նույնպես BE զուգահեռագիծը EF զուգահեռագծի նկատմամբ է։ Այսպես, այլընտրանքորեն, ինչպես ABC եռանկյունը BE զուգահեռագծի զուգահեռագիծի նկատմամբ է, այնպես էլ KGH եռանկյունը EF զուգահեռագծի նկատմամբ է [Բան. Բանաձև 5.16]։ Եվ , քանի որ ABC եռանկյունը հավասար է BE զուգահեռագծին, հետևաբար KGH եռանկյունը նույնպես հավասար է EF զուգահեռագծին։ Բայց EF զուգահեռագիծը հավասար է D-ին։ Արդ, KGH-ն նույնպես հավասար է D-ին։ Եվ KGH-ն նաև նման է ABC-ին։ 

==Առաջարկություն Պնդում 26==

 Քանզի զուգահեռագիծ ABCD-ից թող հանվի AF զուգահեռագիծը, որը նման և նույն կերպ դասավորված է ABCD-ին, ունենալով նրա հետ ընդհանուր DAB անկյունը։ Ասում Բանաձև եմ, որ ABCD-ը նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ AF-ը։  [[Պատկեր:1.2.png|center|200px]] Եթե ոչ, ապա ենթադրենք հնարավոր է, որ AHC լինի [ABCD]-ի անկյունագիծը։ Եվ շարունակելով GF գիծը, թող այն անցնի H կետով։ Եվ թող HK-ը նույնպես գծվի H կետով, զուգահեռ AD-ին կամ BC-ին [Բան. Բանաձև 1.31]։ Ուստի, քանի որ ABCD-ը նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ KG-ը, ապա ինչպես DA-ը AB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GA-ն AK-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 6.24]։ Եվ ABCD և EG զուգահեռագծերի նմանության շնորհիվ, ինչպես DA-ը AB-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GA-ը AE-ի նկատմամբ է։ Այսպիսով, ինչպես GA-ը AK-ի նկատմամբ է, այնպես էլ GA-ը AE-ի նկատմամբ է։ Ուրեմն GA-ն նույն հարաբերությունն ունի AK-ի և AE-ի նկատմամբ։ Հետևաբար AE-ը հավասար է AK-ին [Բան. Բանաձև 5.9], ավելի փոքրն ավելի մեծին։ Սա անհնար է։ Արդ, ABCD-ը չէ նույն անկյունագծի շուրջ, ինչ AF-ը։ Ուստի ABCD զուգահեռագիծը նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ AF զուգահեռագիծը։ 

== Առաջարկություն Պնդում 27 ==

 Թող AB լինի ուղղագիծ և թող այն բաժանված լինի կեսի վրա C կետով [Բան. Բանաձև 1.10]։ Եվ թող AD զուգահեռագիծը դրված լինի AB ուղղագծի վրա, թերանալով DB զուգահեռագծային պատկերով, որը կիրառված է AB-ի կեսին, այն է՝ CB-ին։ Ասում Բանաձև եմ, որ բոլոր այն զուգահեռագծերից, որոնք դրված են AB-ի վրա և թերանում են DB-ին նման և նույն կերպ դասավորված զուգահեռագծային պատկերներով, ամենամեծը AD-ն է։ Քանզի թող AF զուգահեռագիծը դրված լինի AB-ի վրա, թերանալով FB զուգահեռագծային պատկերով, որը նույնպես նման է և նույն կերպ դասավորված DB-ին։ Ասում Բանաձև եմ, որ AD-ն մեծ է AF-ից։ [[Պատկեր:1.3.png|center|200px]] Քանի որ DB զուգահեռագիծը նման է FB զուգահեռագծին, ապա դրանք նույն անկյունագծի շուրջ են [Բան. Բանաձև 6.26]։ Թող նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը DB գծվի, և թող պատկերի մնացորդը լրացվի։ Ուստի, քանի որ (լրացնող) CF-ը հավասար է (լրացնող) FE-ին [Բան. Բանաձև 1.43], և FB զուգահեռագիծը ընդհանուր է, ապա ամբողջ CH զուգահեռագիծը հավասար է ամբողջ KE զուգահեռագծին։ Բայց CH զուգահեռագիծը հավասար է CG-ին, քանի որ AC-ը նույնպես հավասար է CB-ին [Բան. Բանաձև 6.1]։ Ուստի GC զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է EK-ին։ Թող CF զուգահեռագիծը ավելացվի երկուսին էլ։ Արդ, ամբողջ AF զուգահեռագիծը հավասար է LMN գномոնին։ Հետևաբար, DB զուգահեռագիծը, այսինքն AD-ը, մեծ է AF զուգահեռագծից։ 

== Առաջարկություն Պնդում 28 ==

Թող AB-ն լինի տրված ուղղագիծը, իսկ C-ը տրված ուղղագծային պատկերը, որին AB-ի վրա կիրառվող զուգահեռագիծը պետք է հավասար լինի։ D-ը այն զուգահեռագիծն է, որին պետք է նման լինի թերումը։ Արդ, պետք է AB ուղղագծի վրա կիրառել զուգահեռագիծ, հավասար տրված C ուղղագծային պատկերին, թերանալով մի զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է D-ին։ [[Պատկեր:1.4.png|center|200px]] Թող AB-ը բաժանված լինի կետ E-ով երկու կեսի [Բանաձև 1.10], և թող (զուգահեռագիծ) EBFG, որը նման է ու նույն կերպ դասավորված D զուգահեռագծին, կառուցվի EB-ի վրա [Բանաձև 6.18]։ Եվ թող AG զուգահեռագիծը լրացվի։ Եթե AG-ը հավասար է C-ին, ապա նախապես պահանջվածը կատարված է։ Որովհետև AG զուգահեռագիծը, հավասար տրված ուղղագծային պատկեր C-ին, կիրառված է AB ուղղագծի վրա, թերանալով GB զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է D-ին։ Իսկ եթե ոչ, թող HE-ն մեծ լինի C-ից։ Եվ HE-ը հավասար է GB-ին [Բանաձև 6.1]։ Ուստի GB-ն նույնպես մեծ է C-ից։ Թող KLMN զուգահեռագիծը կառուցվի, որը թե՛ նման է և թե՛ նույն կերպ դասավորված D-ին, և հավասար է GB-ի և C-ի մեծացման չափին [Բանաձև 6.25]։ Բայց GB-ն նման է D-ին։ Ուրեմն KM-ն նույնպես նման է GB-ին [Բանաձև 6.21]։ Ուստի թող KL-ը համապատասխանեցվի GE-ին, իսկ LM-ը GF-ին։ Եվ քանի որ GB զուգահեռագիծը հավասար է C պատկերին և KM զուգահեռագծին, GB-ն ավելի մեծ է KM-ից։ Հետևաբար GE-ն նույնպես մեծ է KL-ից, իսկ GF-ը LM-ից։ Թող GO-ը հավասարեցվի KL-ին, իսկ GP-ը LM-ին [Բանաձև 1.3]։ Եվ թող OGPQ զուգահեռագիծը լրացվի։ Այսպիսով [GQ]-ը հավասար է ու նման KM-ին (իսկ KM-ն նման է GB-ին), ուստի GQ-ն նույնպես նման է GB-ին [Բանաձև 6.21]։ Այսպիսով GQ և GB զուգահեռագծերը նույն անկյունագծի շուրջ են [Բանաձև 6.26]։ Թող GQB-ը լինի նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծը, և թող պատկերի մնացորդը լրացվի։ Քանի որ BG-ը հավասար է C-ին և KM-ին, որոնցից GQ-ը հավասար է KM-ին, մնացած գномոն VWU-ն նույնպես հավասար է C-ին։ Եվ քանի որ (լրացնող) PR-ը հավասար է (լրացնող) OS-ին [Բանաձև 1.43], թող QB զուգահեռագիծը ավելացվի երկուսին էլ։ Այդպիսով ամբողջ PB զուգահեռագիծը հավասար է ամբողջ OB զուգահեռագծին։ Իսկ OB-ն հավասար է TE-ին, քանի որ AE կողմը հավասար է EB կողմին [Բանաձև 6.1]։ Ուստի TE-ն նույնպես հավասար է PB-ին։ Թող (զուգահեռագիծ) OS-ը նույնպես ավելացվի երկուսին էլ։ Այդպիսով ամբողջ TS զուգահեռագիծը հավասար է VWU գномոնին։ Բայց VWU գномոնը ցույց տրվեց, որ հավասար է C-ին։ Ուստի TS զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է C պատկերին։ Այսպիսով, ST զուգահեռագիծը, հավասար տրված ուղղագծային պատկեր C-ին, կիրառվեց տրված AB ուղղագծին, թերանալով QB զուգահեռագծային պատկերով, որը նման է D-ին [քանի որ QB-ն նման է GQ-ին [Բանաձև 6.24]]։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր անել)։ Ծանոթագրություն: Այս առաջարկությունը երկրաչափական լուծումն է x² – αx + β =0 քառորդասնական հավասարման։ Այստեղ x-ը թերացման կողմի երկարության և D պատկերի համապատասխան կողմի հարաբերությունն է, α-ն AB ուղղագծի երկարության և D պատկերի այն կողմի երկարության հարաբերություն, որը համապատասխանում է թերացման կողքին (AB-ի երկայնքով), իսկ β-ն C և D պատկերների մակերեսների հարաբերությունն է։ Պայմանադրությունը β < α²/4-ն է, որպեսզի հավասարումն ունենա իրական լուծումներ։ Այստեղ գտնվում է հավասարման միայն փոքր արմատը։ Մեծ արմատը կարելի է գտնել նմանատիպ մեթոդով։ = Առաջարկություն = Պնդում 29 == 

[[Պատկեր:1.5.png|center|200px]] Թող AB-ն լինի տրված ուղղագիծը, իսկ C-ը տրված ուղղագծային պատկերը, որին AB-ի վրա կիրառվող զուգահեռագիծը պետք է հավասար լինի։ D-ը այն զուգահեռագիծն է, որի նման պետք է լինի ավելացած մասը։ Արդ, անհրաժեշտ է AB ուղղագծի վրա կիրառել մի զուգահեռագիծ, հավասար C ուղղագծային պատկերին, բայց այնքան, որ այն անցնի սահմանվածից ավել, առաջացնելով մի զուգահեռագծային պատկեր, որը նման է D-ին։ Թող AB-ը բաժանված լինի կեսի վրա E կետով [Բանաձև 1.10], և թող EB-ի վրա կառուցվի BF զուգահեռագիծը, որը նման և նույն կերպ դասավորված է D զուգահեռագծին [Բանաձև 6.18]։ Թող նաև կառուցվի GH զուգահեռագիծը, որը նույնպես նման է D-ին և հավասար BF-ի և C-ի գումարին [Բանաձև 6.25]։ Եվ թող KH-ը համապատասխանեցվի FL-ին, իսկ KG-ը FE-ին։ Քանի որ GH զուգահեռագիծը մեծ է FB զուգահեռագծից, հետևաբար KH-ը նույնպես մեծ է FL-ից, իսկ KG-ը մեծ է FE-ից։ Թող FL և FE գծերը երկարացվեն, և թող FLM երկարությունը հավասարեցվի KH-ին, իսկ FEN-ը հավասարեցվի KG-ին [Բանաձև 1.3]։ Եվ թող MN զուգահեռագիծը լրացվի։ Այսպիսով MN-ը հավասար և նման է GH-ին։ Բայց GH-ը նման է EL-ին։ Ուրեմն MN-ը նույնպես նման է EL-ին [Բանաձև 6.21]։ EL-ը, ուրեմն, նույն անկյունագծի շուրջ է, ինչ MN-ը [Բանաձև 6.26]։ Թող նրանց (ընդհանուր) անկյունագիծ FO գծվի, և թող պատկերի մնացած մասը լրացվի։ Ուստի, քանի որ GH զուգահեռագիծը հավասար է EL զուգահեռագծին և (C) պատկերին, բայց GH-ը հավասար է նաև MN զուգահեռագծին, ուրեմն MN-ը նույնպես հավասար է EL-ին և C-ին։ Թող EL-ը հանվի երկուսից էլ։ Ուստի մնացող XWV գномոնը հավասար է (C) պատկերին։ Եվ քանի որ AE-ը հավասար է EB-ին, AN զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է NB զուգահեռագծին [Բանաձև 6.1], այսինքն LP զուգահեռագծին [Բանաձև 1.43]։ Թող EO զուգահեռագիծը ավելացվի երկուսին էլ։ Այդպիսով ամբողջ AO զուգահեռագիծը հավասար է VWX գномոնին։ Բայց VWX գномոնը հավասար է (C) պատկերին։ Ուստի AO զուգահեռագիծը նույնպես հավասար է C պատկերին։ Այսպիսով AO զուգահեռագիծը, հավասար տրված ուղղագծային պատկեր C-ին, կիրառվել է տրված AB ուղղագծին, անցնելով ավել մի զուգահեռագծային պատկերով QP, որը նման է D-ին, քանի որ PQ-ն նույնպես նման է EL-ին [Բանաձև 6.24]։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր անել)։ Ծանոթագրություն: Այս առաջարկությունը քառակուսային հավասարման x² + αx – β =0 երկրաչափական լուծումն է։ Այստեղ x-ը ավելցուկի կողմի և D պատկերի համապատասխան կողմի հարաբերությունն է, α-ն AB ուղղագծի երկարության և D պատկերի այն կողի երկարության հարաբերություն, որը համապատասխանում է ավելցուկի երկայնքով AB կողմին, իսկ β-ն C և D պատկերների մակերեսների հարաբերությունն է։ Այստեղ գտնվում է հավասարման միայն դրական արմատը։ = Առաջարկություն = Պնդում 30 == 

[[Պատկեր:1.5.png|center|200px]] 

 Թող AB ուղղագծի վրա կառուցվի BC քառակուսին [Բան. Բանաձև 1.46], և թող BC-ին հավասար CD զուգահեռագիծը կիրառվի AC-ի վրա, անցնելով սահմանվածից ավելի AD պատկերով, որը նման է BC-ին [Բան. Բանաձև 6.29]։ Քանի որ BC-ը քառակուսի քառակուսին է, ուրեմն AD-ն նույնպես քառակուսի քառակուսին է։ Եվ , քանի որ BC-ը հավասար է CD-ին, թող CE ուղղանկյունը հանվի երկուսից էլ։ ԱյդպիսովԱյդպես, մնացած BF ուղղանկյունը հավասար է մնացած AD քառակուսուն։ Այն նաև հավանկյուն է նրա հետ։ Այսպիսով BF-ի և AD-ի կողմերը հավասար անկյունների շուրջ обратно (փոխադարձաբար) համաչափ են [Բան. Բանաձև 6.14]։ Ուստի, ինչպես FE-ն ED-ի նկատմամբ է, այնպես AE-ը EB-ի նկատմամբ է։ Եվ FE-ը հավասար է AB-ին, իսկ ED-ը AE-ին։ Հետևաբար, ինչպես BA-ը AE-ի նկատմամբ է, նույնպես AE-ը EB-ի նկատմամբ է։ Եվ , քանի որ AB-ը մեծ է AE-ից, ուրեմն AE-ը նույնպես մեծ է EB-ից [Բան. Բանաձև 5.14]։ 

Ծանոթագրություն: Այս մեթոդը ուղղագծի բաժանման, որն երբեմն անվանվում է "ոսկե հատում", դիտեք Առաջարկություն 2.11: == Առաջարկություն Պնդում 31 == Ուղղանկյուն եռանկյուններում, աջ անկյունը ծածկող կողմի վրա գծված պատկերն հավասար է աջ անկյունը շրջապատող կողմերի վրա կառուցված նման, և նույն կերպ նկարագրված պատկերների գումարին:գումարին։  [[Պատկեր:1.7.png|center|200px]] Թող ABC-ն լինի ուղղանկյուն եռանկյուն, որտեղ BΑC անկյունը աջ անկյուն է։ Բանաձև եմ, որ BC կողմի վրա կառուցված պատկերը հավասար է BA և AC կողերին կառուցված նման, նույն կերպ նկարագրված պատկերների գումարին։ Թող AD ուղիղը գծվի [Բանաձև 1.12]։ Ուստի, քանի որ ABC ուղղանկյուն եռանկյունում AD ուղիղը գծվեց A աջ անկյունից BC հիմքին ուղղահայաց, երեքանկյունները ABD և ADC ուղղահայացների շուրջ նման են թե՛ ամբողջ ABC եռանկյունին, թե՛ միմյանց [Բանաձև 6.8]։ Եվ, քանի որ ABC-ն նման է ABD-ին, ուրեմն ինչպես CB-ը BA-ի նկատմամբ է, այնպես էլ AB-ը BD-ի նկատմամբ է [Սահմ. 6.1]։ Եվ, քանի որ երեք ուղղագծերը համաչափ են, ապա ինչպես առաջինը երրորդի նկատմամբ է, այնպես էլ առաջինի վրա կառուցված նման և նույն ձևով նկարագրված պատկերը երկրորդի վրա կառուցված պատկերի նկատմամբ է [Բանաձև 6.19 ուղղում]։ Այսպիսով, ինչպես CB-ը BD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CB-ի վրա կառուցված պատկերը BA-ի վրա կառուցված նման, նույն կերպ նկարագրված պատկերների նկատմամբ է։ Նույն պատճառներով, ինչպես BC-ը CD-ի նկատմամբ է, այնպես էլ BC-ի վրա կառուցված պատկերը CA-ի վրա կառուցված պատկերի նկատմամբ է։ Հետևաբար, քանի որ BC-ը BD-ի և DC-ի նկատմամբ է, BC-ի վրա կառուցված պատկերը հավասար է BA-ի և AC կողմերին կառուցված նման, նույն ձևով նկարագրված պատկերների գումարին [Բանաձև 5.24]։ Եվ, քանի որ BC-ը հավասար է BD-ին և DC-ին, BC-ի վրա կառուցված պատկերը նույնպես հավասար է BA-ի և AC-ի վրա կառուցված նման, նույն ձևով նկարագրված պատկերների գումարին [Բանաձև 5.9]։

== Առաջարկություն Պնդում 32 == 

[[Պատկեր:1.8.png|center|200px]] Թող ABC և DCE լինեն երկու եռանկյուններ, որոնց BA և AC երկու կողմերը համաչափ են DC և DE երկու կողմերին, այնպես որ ինչպես AB-ը AC-ի նկատմամբ է, նույն կերպ DC-ն DE-ի նկատմամբ է, և AB կողմը զուգահեռ է DC-ին, իսկ AC-ն DE-ին։ Ասում Բանաձև եմ, որ BC կողմը ուղիղ է CE-ի հետ։ Քանզի AB-ը զուգահեռ է DC-ին, և AC ուղղագիծը անցնում է նրանց միջով, BAC և ACD փոխարինական անկյունները հավասար են միմյանց [Բան. Բանաձև 1.29]։ Նույն պատճառներով CDE-ն հավասար է ACD-ին։ Ուստի BAC-ը հավասար է CDE-ին։ Եվ , քանի որ ABC և DCE են երկու եռանկյուններ, որոնք ունեն A անկյունը հավասար D անկյանը, իսկ հավասար անկյունների շուրջ գտնվող կողմերը համաչափ են (այնպես, որ ինչպես BA-ը AC-ի նկատմամբ է, այնպես էլ CD-ն DE-ի նկատմամբ է), ABC եռանկյունը հավանկյուն է DCE եռանկյունին [Բան. Բանաձև 6.6]։ Ուստի ABC անկյունը հավասար է DCE անկյանը։ Եվ (անկյուն) ACD-ն նույնպես ցույց տրվեց հավասար BAC անկյանը։ Դրա շնորհիվ (ամբողջ) ACE անկյունը հավասար է (ABC և BAC անկյուններիանկյան) գումարին։ Թող ACB անկյունը նույնպես ավելացվի երկուսին։ Այդպիսով Այդպես ACE և ACB անկյունները հավասար են BAC, ACB, և CBA անկյուններին։ անկյաններին։ Բայց BAC, ABC և ACB անկյունների անկյանների գումարը հավասար է երկու ուղղանկյունների [Բան. Բանաձև 1.32]։ Ուստի ACE և ACB անկյունները նույնպես հավասար են երկու ուղղանկյունների։ Այսպիսով, BC և CE երկու ուղիղները, որոնք չեն գտնվում նույն կողմում, կազմում են ACE և ACB հարակից անկյուններ, որոնց գումարը հավասար է երկու ուղղանկյունների AC ուղղագծի վրա, C կետում։ Ուստի BC-ը ուղիղ է CE-ի հետ [Բան. Բանաձև 1.14]։ 

== Առաջարկություն Պնդում 33 ==

[[Պատկեր:1.9.png|center|200px]] Թող ABC և DEF լինեն հավասար շրջաններ, և թող BGC և EHF անկյունները լինեն դրանց կենտրոններում G և H կետերում համապատասխանաբար, իսկ BAC և EDF անկյունները լինեն դրանց շրջագծերի վրա։ Ասում Բանաձև եմ, որ ինչպես BC շրջագիծը EF շրջագծի նկատմամբ է, այնպես էլ BGC անկյունը EHF անկյան նկատմամբ է, և BAC անկյունը EDF անկյան նկատմամբ։ 

 Ուստի, քանի որ BC, CK և KL շրջագծերը հավասար են միմյանց, BGC, CGK և KGL անկյունները նույնպես հավասար են միմյանց [Բան. Բանաձև 3.27]։ Այսպիսով, քանի անգամ BL շրջագիծը բաժանվում է BC շրջագծի մեջ, նույնքան անգամ BGL անկյունը բաժանվում է BGC անկյան մեջ։ Եվ նույն պատճառներով, քանի անգամ NE շրջագիծը բաժանվում է EF-ի մեջ, նույնքան անգամ NHE անկյունը բաժանվում է EHF անկյան մեջ։ Արդ, եթե BL շրջագիծը հավասար է EN շրջագծին, ապա BGL անկյունը նույնպես հավասար է EHN անկյանին [Բան. Բանաձև 3.27]։ Եթե BL-ը մեծ է EN-ից, ապա BGL անկյունը նույնպես մեծ է EHN-ից, իսկ եթե BL-ը փոքր է EN-ից, ապա BGL անկյունը նույնպես փոքր է EHN-ից։  Արդ, ունենք չորս մեծություններ՝ երկու շրջագծեր BC և EF, և երկու անկյուններ BGC և EHF։ Եվ վերցվել են հավասար բազմապատիկներ BC շրջագծից և BGC անկյունից (մասնավորապես BL շրջագիծն ու BGL անկյունը) և EF շրջագծից ու EHF անկյունից (մասնավորապես EN շրջագիծն ու EHN անկյունը)։ Եվ ցույց տրվեց, որ եթե BL շրջագիծը գերազանցում է EN շրջագծին, ապա BGL անկյունը նույնպես գերազանցում է EHN անկյանը, եթե հավասար են, ապա հավասար են, իսկ եթե BL-ը փոքր է, ապա BGL անկյունը նույնպես փոքր է EHN-ից։ Այսպիսով, ինչպես BC շրջագիծը EF-ի նկատմամբ է, այնպես BGC անկյունը EHF-ի նկատմամբ է [Սահմանում 5.5]։ Բայց , քանի որ BGC անկյունը EHF-ի նկատմամբ է, նույն կերպ BAC անկյունը EDF-ի նկատմամբ է [Բան. Բանաձև 5.15]։ Նախադրյալները կրկնապատկում են հետևությունները [Բան. Բանաձև 3.20]։ Ուստի, ինչպես BC շրջագիծը EF-ի նկատմամբ է, այնպես BGC անկյունը EHF-ի նկատմամբ է, և BAC անկյունը EDF-ի նկատմամբ է։ 

== Սահմանումներ== 1. Միավորը այն է, ըստ որի ամեն գոյող (բան) ասվում է «մեկ»։2. Թիվը միավորներից կազմված բազմություն է։†3. Թիվը մաս է (ուրիշ) թիվի, փոքրագույնը մեծագույնի, երբ այն չափում է մեծագույնը։‡4. Իսկ (եթե փոքրագույնը) մասեր է (մեծագույնի), երբ այն չի չափում այն։§5. Եվ մեծագույն (թիվը) փոքրագույնի բազմապատիկն է, երբ մեծագույնը չափվում է փոքրագույնով։6. Զույգ թիվը այն թիվն է, որ կարելի է բաժանել երկու հավասար մասերի։7. Թեք (կամ կենտ) թիվը այն թիվն է, որը չի կարելի բաժանել երկու հավասար մասերի, կամ որը տարբերվում է զույգ թվից մեկ միավորով։8. Զույգ-անգամ-զույգ թիվը այն է, որ չափվում է մի զույգ թվով, ըստ մի այլ զույգ թվի։¶9. Իսկ զույգ-անգամ-թեք թիվը այն է, որ չափվում է մի զույգ թվով, ըստ մի թեք (կենտ) թվի։∗10. Եվ թեք-անգամ-թեք թիվը այն է, որ չափվում է մի թեք (կենտ) թվով, ըստ մի այլ թեք (կենտ) թվի։$11. Առաջնային∥ թիվը այն է, որ չափվում է միայն միավորով։12. Թվերը, որոնք պարզ են (առաջնային) միմյանց նկատմամբ, այն թվերն են, որոնք չափվում են միայն միավորով որպես ընդհանուր չափ։13. Բարդ թիվը այն է, որ չափվում է ինչ-որ թվով։14. Եվ թվերը, որոնք բարդ են միմյանց նկատմամբ, այն թվերն են, որոնք չափվում են ինչ-որ թվով որպես ընդհանուր չափ։15. Ասվում է, որ թիվը բազմապատկում է (ուրիշ) թիվը, երբ բազմապատկվող թիվը ինքն իրեն מוסարձակվում բազմապատկվում է այնքան անգամ, որքան միավորներ կան առաջին (բազմապատկող) թվումթվի, և (այդ կերպայդպես) առաջանում է մեկ այլ թիվ։16. Եվ երբ երկու թվեր միմյանց բազմապատկելով առաջացնում են ինչ-որ (ուրիշ) թիվ, ապա (այդպիսով) առաջացած թիվը կոչվում է հարթ (ղեկավար տերմինը "plane" – "հարթ"), և նրա կողմերը այն թվերն են, որոնք բազմապատկում են միմյանց։17. Եվ երբ երեք թվեր միմյանց բազմապատկելով առաջացնում են ինչ-որ (ուրիշ) թիվ, ապա (այդպիսով) առաջացած թիվը կոչվում է ծավալային (solid), և նրա կողմերը այն թվերն են, որոնք բազմապատկում են միմյանց։18. Քառակուսի (square) թիվը հավասար բազմապատիկ է հավասարի, կամ (հարթ թիվ) է, պարփակված երկու հավասար թվերով։19. Եվ խորանարդ (cube) թիվը հավասար-նշանակ բազմապատիկ է հավասարի, կրկին հավասարի, կամ (ծավալային թիվ) է, պարփակված երեք հավասար թվերով։20. Թվերը համաչափ են, երբ առաջինը նույն բազմապատիկն է, կամ նույն մասը, կամ նույն մասերն են երկրորդի նկատմամբ, ինչ երրորդը չորրորդի նկատմամբ։21. Նման հարթ և ծավալային թվերը այն թվերն են, որոնք ունեն համեմատական (համաչափ) կողմեր։22. Կատարյալ թիվը այն է, որը հավասար է իր մասերի գումարին։††Ծանոթագրություններ:† Այլ կերպ ասածասելով, «թիվը» միավորից մեծ դրական ամբողջ թիվ է։‡ Այլ կերպ ասածասելով, թիվ a-ն մաս է թիվ b-ի, եթե գոյություն ունի թիվ n, այնպես, որ na = b։§ Այլ կերպ ասածասելով, a թիվը մասեր է b թիվի , (որտեղ a < b), եթե գոյություն ունեն տարբեր թվեր m և n, այնպես որ na = m*b։¶ Այլ կերպ ասածասելով, զույգ-անգամ-զույգ թիվը երկու զույգ թվերի արտադրյալն է։∗ Այլ կերպ ասածասելով, զույգ-անգամ-թեք թիվը մեկ զույգ և մեկ թեք (կենտ) թվերի արտադրյալն է։$ Այլ կերպ ասածասելով, թեք-անգամ-թեք թիվը երկու թեք (կենտ) թվերի արտադրյալն է։∥ Բառացիորեն, «առաջին»։†† Այլ կերպ ասածասելով, կատարյալ թիվը հավասար է իր բաժանարարների գումարին։ == Պնդում 1 ==

[[Պատկեր:1.10.png|center|200px]] Երկու [անհավասար] թվերի, AB և CD-ի դեպքում, եթե փոքրագույնը հերթով անընդհատ հանվի մեծագույնից, թող մնացորդը երբեք չչափի իրեն նախորդող թիվը, մինչև չմնա մեկ միավոր։ Ասում Բանաձև եմ, որ AB և CD թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ, այսինքն՝ միայն միավորը չափում է (և) AB-ին, (և) CD-ին։ 

Մեկնաբանություններ: † Այստեղ օգտագործվում է չարտասանված ընդհանուր գաղափարը, որ եթե a-ն չափում է b-ին, և b-ն չափում է c-ին, ապա a-ն նույնպես չափում է c-ին, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։ ‡ Այստեղ օգտագործվում է չարտասանված ընդհանուր գաղափարը, որ եթե a-ն չափում է b-ին, և a-ն նաև չափում է b-ի մի մասը, ապա a-ն նույնպես չափում է b-ի մնացորդային մասը, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։ == Առաջարկություն Պնդում 2 ==

[[Պատկեր:1.11.png|center|200px]]

 Բայց եթե CD-ը չի չափում AB-ը, ապա AB-ից և CD-ից կմնա որոշ թիվ, երբ փոքրագույնը հերթով շարունակաբար հանենք մեծագույնից, որը կչափի իրեն նախորդող թիվը։ Որովհետև մեկ միավոր չի մնա։ Բայց եթե ոչ, ապա AB և CD թվերը պարզ կլինեն միմյանց նկատմամբ [Բան. Բանաձև 7.1]։ Սա հակասում է այն, ինչ ենթադրվել էր։ Ուստի կմնա մի թիվ, որը կչափի իրեն նախորդող թիվը։ ԵՎ թող CD-ը, չափելով BE-ն, թողնի EA մնացորդը, որը փոքր է իրենից, հետո EA-ն, չափելով DF-ը, թողնի FC մնացորդը, որը փոքր է իրենից, ապա CF-ը թող չափի AE-ը։ Ուստի, քանի որ CF-ը չափում է AE-ը, իսկ AE-ը չափում է DF-ը, CF-ը կհասկանանք, որ չափում է նաև DF-ը։ Եվ այն նաև ինքն իրեն է չափում։ Ուստի այն կչափի նաև ամբողջ CD-ը։ Իսկ CD-ը չափում է BE-ը։ Ուստի CF-ը նույնպես կչափի BE-ը։ Եվ այն նաև (E-ն) նույնպես չափում է EA-ն։ Ուստի այն կչափի նաև ամբողջ BA-ն։ Այն նաև չափում է AE մնացորդը։ Եվ AE-ը չափում է DF-ը։ Ուստի CF(E-ը ն) նույնպես կչափի DFAE մնացորդ AF-ը։ Եվ այն ինքն իրեն է չափում։ Ուստի այն կչափի նաև DC մնացորդը։ Այսպիսով, CFAF-ը ն չափում է և AB-ը, և CDDG-ը։ Ասում եմԱյսպիսով, որ այն նաև ամենամեծ (ընդհանուր չափն) է։ Քանի որ եթե CF-ը AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափը չէ, ապա կգտնվի մի թիվ, որը մեծ է CF-ից և կչափի AB ու CD թվերը։ Թող այն չափի (AB և CD), և թող այդ թիվը լինի G։ Եվ քանի որ GE-ն նույնպես չափում է CDDG-ը, իսկ CDը։ Եվ (E-ն ) նույնպես չափում է BEամբողջ DC-ը, Gը։ Ուստի (E-ն ) նույնպես կչափի BE-ը։ CG մնացորդը։ Եվ այն նաև կչափի ամբողջ BACG-ն։ Ուստի այն կչափի AE մնացորդը։ Իսկ AE-ը ն չափում է DFFH-ը։ Ուստի GԱյսպիսով, E-ն նույնպես կչափի DFչափում է FH-ը։ Այն Եվ (E-ն) նաև չափում է ամբողջ DCFA-ը։ ն։ Ուստի այն (E-ն) նույնպես կչափի CF մնացորդըHA մնացորդային միավորը, մեծը չափելով փոքրին։ թեև դա ուղղակի միավոր է։ Սա բացարձակապես անհնար է։ Ուստի ոչ մի  Հետևաբար գոյություն չունի թիվ, որը մեծ է CFչափի (և) AB-իցը, չի կարող չափել AB (և ) CD թվերը։ -ը։ Այսպիսով, CF-ը AB և CD թվերի ամենամեծ ընդհանուր չափն է։ թվերը պարզ են միմյանց նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։ 

== Առաջարկություն Պնդում 3 == 

[[Պատկեր:1.12.png|center|200px]]

Թող A և BC լինեն երկու թվեր, և թող BC-ը լինի փոքրագույնը։ Բանաձև եմ, որ BC-ը կամ մաս է, կամ մասեր են A թվի։ Քանի որ A և BC թվերը կամ պարզ են միմյանց նկատմամբ, կամ ոչ։ Նախ թող A և BC պարզ լինեն միմյանց նկատմամբ։ Այդ դեպքում, բաժանելով BC-ը նրա միավորներից բաղկացուցիչ մասերի, BC-ի յուրաքանչյուր միավոր կլինի A-ի ինչ-որ մասը։ Հետևաբար, BC-ը A-ի մասերից է։ [[Պատկեր:1.13.png|center|200px]] Այսպիսով, թող A և BC պարզ չլինեն միմյանց նկատմամբ։ Ուրեմն BC-ը կամ չափում է A թիվը, կամ չի չափում։ Եթե BC-ը չափում է A-ը, ապա BC-ը A-ի մաս է։ Իսկ եթե ոչ, թող A և BC ամենամեծ ընդհանուր չափը, D-ը, վերցվի [Բան. Բանաձև 7.2], և ։ Եվ թող BC-ը բաժանվի BE, EF, և FC մասերի, որոնք հավասար են D-ին։ Եվ , քանի որ D-ը չափում է A-ը, D-ը A-ի մաս է։ Եվ D-ը հավասար է BE, EF և FC մասերին։ Հետևաբար, BE, EF, FC ամեն մեկը A-ի մաս է։ Ուրեմն BC-ը A-ի մասերից է։ 

== Առաջարկություն Պնդում 5 == 

Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, իսկ D թիվը լինի նույն մասը EF թվի նկատմամբ, ինչ A-ն է BC-ի նկատմամբ[[Պատկեր: Ասում եմ, որ A և D թվերի գումարը նույնպես կլինի նույն մասը BC և EF գումարի նկատմամբ, ինչ A-ն է BC-ի նկատմամբ:Քանի որ ինչ մաս էլ A-ն ունի BC-ի մեջ, D-ն նույն մասն ունի EF-ի մեջ, ուրեմն քանի A-ին հավասար թվեր կան BC-ում, նույնքան D-ին հավասար թվեր կան նաև EF-ում: Թող BC-ը բաժանվի BG-ի և GC-ի, որոնք հավասար են A-ին, իսկ EF-ը բաժանվի EH-ի և HF-ի, որոնք հավասար են D-ին: Այսպիսով BG, GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH, HF բաժանումների քանակին: Եվ քանի որ BG-ը հավասար է A-ին, իսկ EH-ը D-ին, ապա BG, EH զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին: Նույն պատճառներով GC, HF զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին: Այսպիսով, քանի անգամ BC-ը բաժանվում է A-ով, նույնքան անգամ BC, EF գումարը բաժանվում է A, D գումարով: Հետևաբար, ինչ մաս A-ն BC-ի է, A, D գումարն էլ նույն մասն է BC, EF գումարի նկատմամբ:(Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ)։1.14.png|center|200px]]

Եթե մի թիվ մասեր է մեկ թվիՔանի որ ինչ մաս էլ A-ն ունի BC-ի մեջ, իսկ մեկ այլ թիվ D-ն նույն մասերն մաս ունի մեկ այլ թվի նկատմամբEF-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով A-ն բաժանում է BC-ը, նույնքան մասով D-ն բաժանում է EF-ը։ Թող BC-ը բաժանվի BG-ի և GC-ի, որոնք հավասար են A-ին, իսկ EF-ը բաժանվի EH-ի և HF-ի, որոնք հավասար են D-ին։ Այսպես, BG, GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH, HF բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ BG-ը հավասար է A-ին, իսկ EH-ը D-ին, ապա առաջին երկուսի գումարն BG, EH զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին։ Նույն պատճառներով GC, HF զույգը նույնպես հավասար է A, D զույգին։ Այսպիսով, քանի անգամ BC-ը բաժանվում է A-ով, նույնքան անգամ BC, EF գումարը բաժանվում է A, D գումարով։ Հետևաբար, ինչ մաս A-ն BC-ի է, A, D գումարը էլ նույն մասերը կլինի երկրորդ զույգի գումարի նկատմամբ, ինչպիսին առաջին թիվը երկրորդի նկատմամբ մաս է: [[Պատկեր:1.15.png]]BC, EF գումարի նկատմամբ։

Թող AB թիվը մասեր լինի C թվի, իսկ DE թիվը նույն մասերը լինի F թվի նկատմամբ, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի մեջ։ Ասում եմ, որ AB և DE գումարը նույնպես նույն մասերն է կունենա C և F գումարի նկատմամբ, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ։Քանի որ ինչ մասեր էլ AB-ն ունի C-ի մեջ, DE-ն նույն մասերը կունենա F-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով AB-ն բաժանում է C-ն, նույնքան մասով DE-ն բաժանում է F-ը։ Թող AB թիվը բաժանվի AG և GB մասերի, որոնք C-ի մասեր են, իսկ DE թիվը բաժանվի DH և HE մասերի, որոնք F-ի մասեր են։ Այդպես AG, GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH, HE բաժանումների քանակին։ Եվ քանի որ ինչ մաս AG-ը C-ի է, DH-ն նույն մասն է F-ի, ուրեմն ինչ մաս AG-ը C-ի է, AG և DH գումարը նույնպես նույն մասն է C և F գումարի նկատմամբ [Բան. 7.5]։ Նույն կերպ, ինչ մաս GB-ը C-ի է, GB և HE գումարը նույնպես նույն մասն է C և F գումարի նկատմամբ։ Ուստի, ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, AB և DE գումարը նույնպես նույն մասերն է ունենալու C և F գումարի նկատմամբ։(Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ, ինչ)։ Ժամանակակից նշաններով: Այս առաջարկությունը ժամանակակից գրառմամբ ասում է, որ եթե a = (m/n)*c և d = (m/n)f, ապա (a+d) = (m/n)(c+f), որտեղ բոլոր նշանները թվեր են։

Եթե մի թիվ այն նույն մասը լինի ինչ-որ թվի, ինչ (մասը) հանված AE-ն (է) հանված մասի CF-ից, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասը մնացորդի, ինչ ամբողջ AB-ն է ամբողջ CD-ի նկատմամբ: [[Պատկեր:1.1615.png|center|200px]]

Թող Քանի որ ինչ մասեր էլ AB թիվը լինի այն մասը CD թվի, ինչ AE հանված մասը CF-ն ունի C-ի նկատմամբ է: Ասում եմմեջ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի DE-ն նույն բաժինը FD մնացորդի նկատմամբմասերը կունենա F-ի մեջ, ինչ ուրեմն քանի մասով AB-ն բաժանում է CDC-ի նկատմամբ:Քանի որ (ինչ մաս AEն, նույնքան մասով DE-ն բաժանում է CFF-ը։ Թող AB թիվը բաժանվի AG և GB մասերի, որոնք C-ի)մասեր են, թող EB-ն նույնպես լինի նույն մասը CGիսկ DE թիվը բաժանվի DH և HE մասերի, որոնք F-ի: մասեր են։ Այսպիսով, AG և GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH և HE բաժանումների քանակին։ Եվ , քանի որ (ինչ մաս AEAG-ն է CFը C-ի)նկատմամբ է, EBDH-ն նույնպես նույն մասը կլինի CGմասն է F-ինկատմամբ է, և, փոխարինաբար, ապա (ինչ մաս AEկամ մասեր AG-ն է CFDH-ի)նկատմամբ է, ABC-ն նույնպես նույն մասերը կամ նույն մասը կլինի GFկունենա F-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 7.59]: Եվ (։ Նույն պատճառով, ինչ մաս AEկամ մասերը GB-ն է CFHE-ի), AB-ն նույնպես ընդունված նկատմամբ է լինել նույն մասը CD-ի: Այսպիսով, (ինչ մաս ABC-ն է GF-ի), (AB-ն) նույնպես նույն մասն է CDմասերը կամ մասերը կունենա F-ի: Ուրեմն GF-ը հավասար է CD-ին: Թող CF-ը հանվի երկուսից էլ: Ուստի GC մնացորդը հավասար է FD մնացորդին: նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Եվ քանի որ (ինչ մաս AEկամ մասերը AG-ն է CFDH-ի)նկատմամբ է, EBGB-ն նույնպես նույն մասը կլինի GCմասերը կամ մասերը կունենա HE-ինկատմամբ [Բանաձև 7.5, իսկ GC-ն հավասար է FD-ին, ապա (7.6]։ Բայց ինչ մաս AEկամ մասերը AG-ն է CFDH-ի)նկատմամբ է, EBնաև ցույց տրվեց, որ C-ն նույնպես նույն մասն է FDմասը կամ մասերը ունի F-ի: Բայց (նկատմամբ։ Ուստի, ինչ մաս AEմասեր կամ որ մասը AB-ն է CFունի C-ի)նկատմամբ, ABC-ն նույնպես նույն մասն է CDմասերը կամ samu մասերը կունենա F-ի: Ուրեմն EB մնացորդը նույն մասն է FD մնացորդի, ինչ AB-ն է CD-ի: նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):Նշում : Ժամանակակից նշանումներով, այս առաջարկությունը նշանակում է, որ եթե a = (m/nինչ)*b և c = (m/n)d, ապա (a+c) = (m/n)(b+d), որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։։

== Առաջարկություն 8 ==Եթե մի թիվ այն նույն մասերն է մեկ թվի նկատմամբ*(Ժամանակակից նշանմամբ, ինչ եթե a = (հանվածm/n) AE մասը է *d, ապա եթե a = (հանվածk/l) CF մասի նկատմամբ*c, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերի հարաբերությամբ մնացորդի նկատմամբb = (k/l)*d, ինչպիսին ամբողջը է ամբողջի նկատմամբ: [[Պատկերորտեղ բոլոր նշանները թվեր են):1.17.png]]

Թող AB թիվը լինի այն նույն մասերն CD թվի նկատմամբ, ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է: Ասում եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն է CD-ի նկատմամբ:Թող GH-ը դրվի հավասար AB-ին: Ուստի ինչ մասեր GH-ը ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասերն ունի CF-ի նկատմամբ: Թող GH-ը բաժանվի CD-ի մասերի՝ GK և KH, իսկ AE-ը՝ CF-ի մասերի՝ AL և LE: Այսպիսով, GK և KH բաժանումների քանակը հավասար կլինի AL և LE բաժանումների քանակին: Եվ քանի որ ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, նույն մաս AL-ը CF-ի նկատմամբ է, և քանի որ CD-ն մեծ է CF-ից, GK-ն նույնպես մեծ է AL-ից: Թող GM-ը վերցվի հավասար AL-ին: Այսպիսով, ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, GM-ը նույն մասն է CF-ի նկատմամբ: Ուստի MK մնացորդը նույնպես նույն մասն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բան. 7.5]:Նույն կերպ, քանի որ ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, EL-ը նույն մասն է CF-ի նկատմամբ, և CD-ն մեծ է CF-ից, HK-ն ավելի մեծ է EL-ից: Թող KN-ը հավասարեցվի EL-ին: Այսպիսով, ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, KN-ը նույն մասն է CF-ի նկատմամբ: Ուստի NH մնացորդը նույնպես նույն մասն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ KH ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բան. 7.5]:Եվ MK մնացորդը նույնպես ցույց տրվեց, որ նույն մասն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է: Ուստի MK և NH գումարը նույն մասերն են DF-ի նկատմամբ, ինչ HG ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է: Եվ MK, NH գումարը հավասար է EB-ին, իսկ HG-ը՝ BA-ին: Ուստի EB մնացորդը նույնպես նույն մասերն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):Նշում : Ժամանակակից նշանումներով, այս առաջարկությունը նշանակում է, որ եթե a = (m/n)*b և c = (m/n)d, ապա (a+c) Պնդում 7 == (m/n)(b+d), որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։

== Առաջարկություն 9 ==Եթե մի թիվ մաս է մեկ այն նույն մասը լինի ինչ-որ թվի, և մեկ այլ ինչ (թիվմասը) նույն մասը հանված AE-ն (կամ նույն մասերնէ) է մեկ այլ թվիհանված մասի CF-ից, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ կամ նույն մասերըմնացորդի, չորրորդ. [[Պատկեր:1.18.png]]ինչ հարաբերությամբ, ինչ ամբողջ AB-ն է ամբողջ CD-ի նկատմամբ։

Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ[[Պատկեր:Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, և մեկ այլ (թիվ) D լինի նույն մասը մեկ այլ EF թվի, ինչ A-ն է BC-ի: Ասում եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ A-ն ունենա D-ի նկատմամբ, BC-ն նույնպես կունենա նույն մասը, կամ նույն մասերը EF-ի նկատմամբ:Քանի որ ինչ մաս A-ն ունի BC-ի նկատմամբ, D-ն նույն մասն ունի EF-ի նկատմամբ, ապա որքան թվեր կան BC-ի մեջ, որոնք հավասար են A-ին, նույնքան թվեր կլինեն EF-ի մեջ, որոնք հավասար են D-ին: Թող BC-ը բաժանված լինի BG և GC մասերի, հավասար A-ին, իսկ EF-ը բաժանված լինի EH և HF մասերի, հավասար D-ին: Այսպիսով, BG և GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH և HF բաժանումների քանակին:Եվ քանի որ BG և GC թվերը հավասար են միմյանց, իսկ EH և HF թվերը նույնպես հավասար են միմյանց, և BG, GC բաժանումների քանակը հավասար է EH, HF բաժանումների քանակին, ապա ինչ մասը, կամ մասերն էլ որ BG-ն ունենա EH-ի նկատմամբ, GC-ն նույնպես կունենա նույն մասը, կամ նույն մասերը HF-ի նկատմամբ: Եվ այդպիսով, ինչ մասը, կամ մասերն էլ BG-ն ունենա EH-ի նկատմամբ, BC-ի ամբողջությունն էլ նույն մասը կամ մասերը կունենա EF-ի ամբողջության նկատմամբ [Բան1. 716.5, 7.6png|center|200px]]: Եվ քանի որ BG-ը հավասար է A-ին, իսկ EH-ը հավասար է D-ին, ուրեմն ինչ մասը, կամ մասերն էլ A-ն ունենա D-ի նկատմամբ, BC-ն նույնպես կունենա նույն մասը կամ մասերը EF-ի նկատմամբ: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (1/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)d, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր):

== Առաջարկություն 10† ==Եթե մի թիվ մասեր է ինչ-որ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասերն է մեկ այլ թվի, ապա նաև, փոխարինաբար, թե որ մասերը կամ մասը առաջին թիվը ունենա երրորդի նկատմամբ, երկրորդ թիվը նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասը չորրորդի նկատմամբ:Թող AB թիվը լինի C այն համեմատաբար CD թվի մասերը, իսկ DE թիվը լինի F թվի նույն մասերը: Ասում ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է։ Բանաձև եմ, որ նաևEB մնացորդը նույնպես կլինի նույն բաժինը FD մնացորդի նկատմամբ, փոխարինաբար, թե որ մասերը, կամ որ մասը ինչ AB-ն ունի Cէ CD-ի նկատմամբ, DE-ն նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասը F-ի նկատմամբ: [[Պատկեր:1.19.png]]նկատմամբ։

Քանի որ (ինչ մասեր ABմաս AE-ն ունի Cէ CF-ի նկատմամբ), DEթող EB-ն նույնպես նույն մասերն ունի Fմաս լինի CG-ի նկատմամբ, ապա որքան մասեր C-ի մեջ կան AB-ի չափ, նույնքան մասեր կլինեն F-ի մեջ DE-ի չափ: Թող AB-ը բաժանվի C-ի մասերի՝ AG և GBի։ Եվ, իսկ DE-ը բաժանվի F-ի մասերի՝ DH և HE: Այսպիսով, AG և GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH և HE բաժանումների քանակին:Եվ քանի որ (ինչ մասը, կամ մասեր AGմաս AE-ն ունի Cէ CF-ի նկատմամբ), DHEB-ն նույնպես ունի նույն մասը կամ մասերը Fմաս կլինի CG-ի նկատմամբ, նաև փոխարինաբար, ապա (ինչ մասը կամ մասերը AGմաս AE-ն ունի DHէ CF-ի նկատմամբ), CAB-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերը կունենա Fկլինի GF-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 7.95]: Նույն պատճառով, ։ Եվ (ինչ մասը կամ մասերը GBմաս AE-ն ունի HEէ CF-ի նկատմամբ), CAB-ն նույնպես նաև ընդունված է լինել նույն մասը կամ մասերը կունենա FCD-ի նկատմամբ [ԲանԲանաձև 7. 7, 7.98]: Եվ ։ Այսպիսով, (ինչ մասը կամ մասերը AGմաս AB-ն ունի DHէ GF-ի նկատմամբ), GB(AB-ն ) նույնպես նույն մասը կամ մասերը կունենա HEէ CD-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 7.57, 7.68]: Բայց ինչ մասը կամ մասերը AG։ Ուրեմն GF-ն ունի DHը հավասար է CD-ի նկատմամբ, նաև ցույց տրվեց, որ Cին։ Թող CF-ն նույն մասը կամ մասերը ունի F-ի նկատմամբ: ը հանվի երկուսից էլ։ ՈւստիGC մնացորդը հավասար է FD մնացորդին։ Եվ, քանի որ (ինչ մասեր կամ ինչ մասը ABմաս AE-ն ունի Cէ CF-ի նկատմամբ), CEB-ն նույնպես նույն մասերը կամ samme մասը կունենա Fկլինի GC-ի նկատմամբ: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):*(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*dիսկ GC-ն հավասար է FD-ին, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են): == Առաջարկություն 11 ==Եթե, ինչպես ամբողջ ABինչ մաս AE-ն ամբողջ CDէ CF-ի նկատմամբ է), EB-ն նույնպես նույն ձևով AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է, ապա մնացորդը նույնպես կլինի մնացորդի նկատմամբ այն հարաբերությամբ, FD-ի։ Բայց (ինչ ամբողջը ամբողջի նկատմամբ է:Թող ամբողջ ABմաս AE-ն լինի ամբողջ CDէ CF-ի նկատմամբ այնպիսին), ինչպիսին AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ AB-ն նույնպես նույն մաս է: Ասում եմ, որ CD-ի։ Ուրեմն EB մնացորդը նույն մասը է FD մնացորդի նկատմամբ նույն հարաբերությունն ունի, ինչ ամբողջ AB-ն ամբողջ է CD-ի նկատմամբ: [[Պատկեր:1.20.png]]ի։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։

Նշում: Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*b և c = (m/n)*d, ապա (a+c) = (m/n)(b+d), որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր։ == Պնդում 8 == Եթե մի թիվ այն նույն մասերն է մեկ թվի նկատմամբ, ինչ (հանված) AE մասը է (հանված) CF մասի նկատմամբ, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերի հարաբերությամբ մնացորդի նկատմամբ, ինչպիսին ամբողջը է ամբողջի նկատմամբ։ [[Պատկեր:1.17.png|center|200px]] Թող AB թիվը լինի այն նույն մասերն CD թվի նկատմամբ, ինչ AE հանված մասը CF-ի նկատմամբ է։ Բանաձև եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասերը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն է CD-ի նկատմամբ։ Թող GH-ը դրվի հավասար AB-ին։ Ուստի ինչ մասեր GH-ը ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասերն ունի CF-ի նկատմամբ։ Թող GH-ը բաժանվի CD-ի մասերի՝ GK և KH, իսկ AE-ը՝ CF-ի մասերի՝ AL և LE։ Այսպիսով, GK և KH բաժանումների քանակը հավասար կլինի AL և LE բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, նույն մասը AL-ը CF-ի նկատմամբ է, և, քանի որ CD-ն մեծ է CF-ից, GK-ը նույնպես մեծ է AL-ից։ Թող GM-ը վերցվի հավասար AL-ին։ Այսպիսով, ինչ մաս GK-ը CD-ի նկատմամբ է, GM-ը նույն մասը է CF-ի նկատմամբ։ Ուստի MK մնացորդը նույնպես նույն մաս է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բանաձև 7.5]։ Նույն կերպ, քանի որ ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, EL-ը նույն մաս է CF-ի նկատմամբ, և CD-ն մեծ է CF-ից, HK-ն ավելի մեծ է EL-ից։ Թող KN-ը հավասարեցվի EL-ին։ Այսպիսով, ինչ մաս KH-ը CD-ի նկատմամբ է, KN-ը նույն մաս է CF-ի նկատմամբ։ Ուստի NH մնացորդը նույնպես նույն մաս է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ KH ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է [Բանաձև 7.5]։ Ուստի MK մնացորդը նույնպես ցույց տրվեց, որ նույն մաս է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ GK ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է։ Ուստի MK և NH գումարը նույն մասերն են DF-ի նկատմամբ, ինչ HG ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է։ Եվ MK, NH գումարը հավասար է EB-ին, իսկ HG-ը՝ BA-ին։ Ուստի EB-ն մնացորդը նույնպես նույն մասերն է FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB ամբողջը CD ամբողջի նկատմամբ է։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։ Նշում: Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են։ == Պնդում 9 == Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ կամ նույն մասերը, չորրորդ։ [[Պատկեր:1.18.png|center|200px]] Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասը (կամ նույն մասերն) է մեկ այլ թվի, ապա, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ առաջին (թիվը) լինի երրորդի նկատմամբ, երկրորդ (թիվը) նույնպես կլինի նույն մասը կամ մասերը մյուսի նկատմամբ։ Թող A թիվը լինի BC թվի մի մաս, և D թիվը լինի նույն մասը մեկ այլ EF թվի, ինչ A-ն է BC-ի։ Բանաձև եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերն էլ որ A-ն ունենա D-ի նկատմամբ, BC-ն նույնպես կունենա նույն մասը, կամ մասերը EF-ի նկատմամբ։ Քանի որ ինչ մաս A-ն ունի BC-ի նկատմամբ, D-ն նույն մաս ունի EF-ի նկատմամբ, ապա քանի թվեր կան BC-ի մեջ, որոնք հավասար են A-ին, նույնքան թվեր կլինեն EF-ի մեջ, որոնք հավասար են D-ին։ Թող BC-ը բաժանված լինի BG և GC մասերի, հավասար A-ին, իսկ EF-ը բաժանված լինի EH և HF մասերի, հավասար D-ին։ Այսպիսով, BG և GC բաժանումների քանակը հավասար կլինի EH և HF բաժանումների քանակին։ Ուստի, քանի որ BG և GC թվերը հավասար են միմյանց, իսկ EH և HF թվերը նույնպես հավասար են միմյանց, և BG, GC բաժանումների քանակը հավասար է EH, HF բաժանումների քանակին, ապա ինչ մասը, կամ մասերը եւ որ BG-ն ունենա EH-ի նկատմամբ, նույնքան մաս է GB-ն ունենալու HE-ի նկատմամբ։ Եվ այդպիսով, ինչ մասը, կամ մասերը հետագա բաժանումներում համապատասխանում են, իսկ ինքը համաչափաբար համապատասխանում են։ Եվ, հետևաբար, ինչ մասը, կամ մասերը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ նույն մասը կունենա F-ի նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։ *(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (1/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները ներկայացնում են թվեր): == Պնդում 10† == Եթե մի թիվ մաս է մեկ թվի, և մեկ այլ (թիվ) նույն մասերն է մեկ այլ թվի, ապա նաև, փոխարինաբար, թե որ մասերը կամ մասերը էլ որ առաջին թիվը ունենա երրորդի նկատմամբ, երկրորդ թիվը նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասերը, չորրորդի նկատմամբ։ Թող AB թիվը լինի C թվի մասերը, իսկ DE թիվը լինի F թվի նույն մասերը։ Բանաձև եմ, որ նաև, փոխարինաբար, թե որ մասը, կամ մասերը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, DE-ն նույնպես կունենա նույն մասերը կամ նույն մասը F-ի նկատմամբ։ [[Պատկեր:1.19.png|center|200px]] Քանի որ ինչ մասեր AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, DE-ն նույն մասերը կունենա F-ի մեջ, ուրեմն քանի մասով AB-ն բաժանում է C-ը, նույնքան մասով DE-ն բաժանում է F-ը։ Թող AB-ը բաժանվի C-ի մասերի՝ AG և GB, իսկ DE-ը բաժանվի F-ի մասերի՝ DH և HE։ Այսպիսով, AG և GB բաժանումների քանակը հավասար կլինի DH և HE բաժանումների քանակին։ Եվ, քանի որ ինչ մաս կամ մասեր AG-ն ունի C-ի նկատմամբ, DH-ն նույնպես ունի նույն մասերը կամ մասերը F-ի նկատմամբ, նաև փոխարինաբար, ինչ մաս կամ մասերը AG-ն ունի DH-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ նույն մասը կունենա F-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Նույն պատճառով, ինչ մաս կամ մասերը GB-ն HE-ի նկատմամբ է, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ մասերը կունենա F-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.9]։ Եվ ինչ մաս կամ մասերը AG-ն DH-ի նկատմամբ է, GB-ն նույն մասերը կամ մասերը կունենա HE-ի նկատմամբ [Բանաձև 7.5, 7.6]։ Բայց ինչ մաս կամ մասերը AG-ն DH-ի նկատմամբ է, նաև ցույց տրվեց, որ C-ն նույն մասը կամ մասերը ունի F-ի նկատմամբ։ Ուստի, ինչ մասեր կամ որ մասը AB-ն ունի C-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասերը կամ samu մասերը կունենա F-ի նկատմամբ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր, ինչ)։ *(Ժամանակակից նշանմամբ, եթե a = (m/n)*d, ապա եթե a = (k/l)*c, ապա b = (k/l)*d, որտեղ բոլոր նշանները թվեր են): == Պնդում 11 == Եթե, ինչպես ամբողջ AB-ն ամբողջ CD-ի նկատմամբ է, նույն ձևով AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է, ապա մնացորդը նույնպես կլինի նույն մասը մնացորդի, ինչ հարաբերությամբ, ինչ ամբողջը է ամբողջի նկատմամբ։ Թող ամբողջ AB-ն լինի ամբողջ CD-ի նկատմամբ այնպիսին, ինչ AE հանված մասը CF հանված մասի նկատմամբ է։ Բանաձև եմ, որ EB մնացորդը նույնպես կլինի նույն բաժինը FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ ամբողջ AB-ն է ամբողջ CD-ի նկատմամբ։ [[Պատկեր:1.20.png|center|200px]] Քանի որ ինչպես AB-ը CD-ի նկատմամբ է, այնպես AE-ը CF-ի նկատմամբ է, ապա ինչ մասեր կամ մասը AB-ն ունի CD-ի նկատմամբ, AE-ն նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի CF-ի նկատմամբ [Սահմ. 7.20]: ։ Ուստի EB մնացորդը նույնպես նույն մասը կամ մասերն ունի FD մնացորդի նկատմամբ, ինչ AB-ն ունի CD-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 7.7, 7.8]: ։ Այսպիսով, ինչպես EB-ն FD-ի նկատմամբ է, այնպես AB-ն CD-ի նկատմամբ է [Սահմ. 7.20]: ։ (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ, ինչ):։  == Պնդում 12† ==

[[Պատկեր:1.21.png|center|200px]] Թող կամայական քանակի թվեր A, B, C, D համաչափ լինեն (այնպես, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես C-ն D-ի նկատմամբ է): Ասում եմ, որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ A և C (համատեղ) B և D (համատեղ) նկատմամբ են:Քանի որ ինչպես A-ն է B-ի նկատմամբ, այնպես էլ C-ն D-ի նկատմամբ է, ապա ինչ մասը, մաս կամ մասերն էլ A-ն ունենա B-ի նկատմամբ, C-ն նույնպես նույն մասը մաս կամ մասերն ունի D-ի նկատմամբ [Սահմ. 7.20]: Այդպիսով, A և C գումարը նույնպես նույն մասը, մաս կամ նույն մասերն է են B և D գումարի նկատմամբ, ինչ A-ն B-ի նկատմամբ [Բան. Բանաձև 7.5, 7.6]: Ուստի, ինչպես A-ն B-ի նկատմամբ է, այնպես էլ A, C (համատեղ) B, D (համատեղ) նկատմամբ են [Սահմ. 7.20]: (Սա էլ հենց այն էր, ինչ պետք էր ցույց տալ):