Changes

  == Տեսություն Պնդում 46 ==

== Տեսություն Պնդում 47 ==

== Տեսություն Պնդում 48 ==

Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց ԱԲ գումարը ԲՑ-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ, բայց չունենա CA-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ [Տեսություն [Պնդում 10.28, լեմմա I| Պնդում 10.28, լեմմա I]]]: Նաև տանենք ռացիոնալ երկարությամբ Դ ուղիղ գիծը: Բացի այդ, ԵՖ-ն երկարոթյամբ համաչափելի է Դ-ին: Ուստի ԵՖ-ը նույնպես ռացիոնալ է [Սահմանում 10.3]։ Եվ թող սահմանվի, որ այնպես ինչպես ԲԱ-ն է հարաբերվում ԱՑ-ին, նույն կերպ էլ ԵՖ-ի քառակուսին ՖԳ-ի քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 10.6 հետևանք| Պնդում 10.6 հետևանք ]]]: ԵՎ ԱԲ-ն ԱՑ-ի հետ ունի այն նույն հարաբերությունը, ինչը ինչ-որ թիվ ունի մեկ այլ թվի հետ: Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին ՖԳ քառակուսու նկատմամբ ունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի թիվ ունի մյուսի նկատմամբ: Հետևաբար ԵՖ-ով կազմված թառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ով կառուցված քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 10.6| Պնդում 10.6]]։ Նաև ԵՖ-ն ռացիոնալ է: հետևաբար ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ է: Եվ քանի որ ԲԱ-ն ԱՑ-ի նկատմամբ չունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի ունի մյուսի նկատմամբ, հետևաբար ԵՖ քառակուսին չունի ՖԳ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն ինչպես մի քառակուսին մյուսի նկատմամբ ունի ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։ Ստացվում է, որ ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով: Հետևաբար ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]։ Այն է, դա նաև առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:

Քանի որ ինչպես ԲԱ-ն ԱՑ-ին է հարաբերվում, այնպես էլ ԵՖ քառակուսին ՖԳ քառակուսուն և ԲԱ-ն մեծ է ԱՑ-ից, հետևաբար ԵՖ քառակուսոին ևս մեծ է ՖԳ-ից [Տեսություն [Պնդում 5.14| Պնդում 5.14]]։ Այդ իսկ պատճառով ՖԳ քառակուսու և Հ-ի գումարը թող լինի ԵՖ քառակուսուն: Եվ քանի որ ինչպես ԲԱ-ն ԱՑ-ին, այնպես էլ ԵՖ քառակուսին ՖԳ-ին, ապա ենթադրաբար, ինչպես AB-ն ունի հարաբերություն BC-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն H-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն [Պնդում 5.19| Պնդում 5.19]]։ ԵՎ ԱԲ-ն ԲՑ-ի նկատմամբ ունի այն հարաբերությունը, որը ինչ-որ քառակուսի ունի մեկ այլ քառակուսու նկատմամբ: Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին Հ ով կազմված քառակուսու նկատմամբ ևս ունի նույն հարաբերությունը ինչ ինչ-որ քառակուսի ունի մեկ այլ քառակուսու նկատմամբ: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ համաչափելի է Հ-ին [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։ Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին Ֆգ քառակուսուց մեծ է մի քառակուսիով որը կառուցված է մի ուղիղ գծից, որը երկարությամբ համաչափելի է ԵՖ-ին: Եվ ԵՖ-ն ու ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են: Եվ ԵՖ-ն երոկարությամբ համաչափելի է Դ-ին:Այսպիսով, ԵԳ-ն առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.5| Պնդում 10.5]]։ † Որն էլ և պահանջվուն էր ցույց տալ:

†Եթե ռացիոնաI ուղիղն ունի միավոր երկարություն, ապա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k + k√1 − k′ 2: Սա և առաջին ապոտոմեն, որի երկարությունն է k − k√1 − k′ 2 [Տեսություն [Պնդում 10.85| Պնդում 10.85]], հետևյալ x2 − 2 k x + k2 k′ 2 = 0 հավասարման արմատներն են։

== Տեսություն Պնդում 49 ==

Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց գումար ԱԲ-ն ԲՑ-ի հետ ունենա հարաբերություն, որը հավասար է ինչ-որ քառակուսու հարաբերությանը մեկ այլ քառակուսուն, և ԱՑ-ի հետ չունենա հաարաբերություն, որը հավասար է ինչ-որ քառակուսու հարաբերությանը մեկ այլ քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 10.28, լեմմա I| Պնդում 10.28, լեմմա I]]]: Տանենք ռացիոնալ Դ երկարությամբ ուղիղը: ԵՖ-ը Դ-ի հետ երկարությամբ համաչափելի է: Հետևաբար ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է: Եվ թող սահմանվի, որ այնպես, ինչպես CA-ն ունի հարաբերություն AB-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն FG-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն [Պնդում 10.6, հետևանք | Պնդում 10.6, հետևանք]։ Այսպիսով, ԵՖ-ի քառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ի քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 10.6| Պնդում 10.6 ]]: Ստացվուն է, որ ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ ուղի գիծ է: Եվ քանի որ ՑԱ-ն ԱԲ-ի նկատմամբ չունի նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի մյուսի նկատմամբ, ԵՖ քառակուսինՖԳ-ի նկատմամբ չունի նույն հարաբերությունը, ինչ մի քառակուսի մյուսի նկատմամբ ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]: Հետևաբար ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի: Այսպիսով, ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]: Ստացվում է, որ ԵՖ-ն ու ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ միայն քառակուսով համաչափելի ուղիղ գծեր են:Ուրեմն ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]: Այսպիսով մենք պետք է ցույց տանք, որ այն նաև երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է: Քանի որ, հակադարձ հարաբերությամբ, ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն [Պնդում 5.7, հետևանք | Պնդում 5.7, հետևանք]], և ԲԱ-ն ավելի մեծ է, քան ԱՑ-ն, ապա ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ավելի մեծ է, քան ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսին [Տեսություն [Պնդում 5.14 | Պնդում 5.14]։ Թող ԵՖ-ի և Հ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար լինի ԳՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, ինչպես ԱԲ-ն ունի հարաբերություն ԲՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի հարաբերություն Հ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն [Պնդում 5.19, հետևանք14 | Պնդում 5.14]]: Բայց ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ունի Հ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվ ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի, ՖԳ-ն երկարությամբ համաչափելի է Հ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։ Ուստի, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է ՖԵ-ի վրա կառուցված քառակուսուց այն քառակուսի չափով, որը ուղիղ գծի վրա է, համաչափելի երկարությամբ ՖԳ-ի հետ։ Եվ ՖԳ-ն և ՖԵ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Իսկ փոքր հատվածը՝ ՖԵ-ն, երկարությամբ համաչափելի է նախապես տրված ռացիոնալ ուղիղ գծի՝ Դ-ի հետ։ Ուստի, ԵԳ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն է [[Սահմանում 10.6| Սահմանում 10.6]]։† Որն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k/√1 − k′ 2 + k. Սա և երկրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը k/√1 − k′² − k է [ [[Տեսություն Պնդում 10.86|Տեսություն 52]Պնդում 10.86] ], x² − (2k/√1 − k′²)x + k²[k′²/(1 − k′²)] = 0 հավասարման արմատներն են։

== Տեսություն Պնդում 50 ==

Թող երկու թվեր՝ ԱՑ և ՑԲ, տրվեն այնպես, որ դրանց գումարը՝ ԱԲ-ն, ունենա ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, բայց չունենա ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Եվ թող տրվի ևս մեկ ոչ քառակուսի թիվ՝ Դ, և թող Դ-ն չունենա ԲԱ-ի կամ ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Եվ թող ինչ-որ ռացիոնալ ուղիղ գիծ՝ Ե, տրվի, և թող սահմանվի, որ ինչպես Դ-ն ունի ԱԲ-ի նկատմամբ, այնպես էլ Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ հարաբերություն [Տեսություն [Պնդում 10.6, հետևանք| Պնդում 10.6, հետևանք]]։ Ուստի Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [Տեսություն [Պնդում 10.6| Պնդում 10.6]]։ Ե-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Ուստի ՖԳ-ն նույնպես ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Եվ քանի որ Դ-ն չունի ԱԲ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին չի կարող ունենալ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի Ե-ն երկարությամբ անհամաչափ է ՖԳ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։

Նույն ձևով, թող սահմանվի, որ ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ հարաբերություն [Տեսություն [Պնդում 10.6, հետևանք]։ Ուստի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափելի է ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Եվ ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Ուստի ԳՀ-ն նույնպես ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Եվ քանի որ ԲԱ-ն չունի ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ, ապա ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին չի կարող ունենալ ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի մեկ այլ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի ՖԳ-ն երկարությամբ անհամաչափ է ԳՀ-ի հետ։

ՖԳ-ն և ԳՀ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Ուստի ՖՀ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36]։ Ուստի սա նույնպես երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Քանի որ ինչպես Դ-ն ունի ԱԲ-ի նկատմամբ հարաբերություն, այնպես էլ Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, և ինչպես ԲԱ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ հարաբերություն, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, ուստի, ըստ հավասարության, ինչպես Դ-ն ունի ԱՑ-ի նկատմամբ հարաբերություն, այնպես էլ Ե-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ [Տեսություն [Պնդում 5.22] | Պնդում 5.22]]։ Եվ Դ-ն չունի ԱՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ: Ուստի Ե-ն չունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի Ե-ն անհամաչափելի է երկարությամբ ԳՀ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]։ Եվ քանի որ ԲԱ-ն հարաբերվում է ԱՑ-ին, ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ նույն հարաբերությունը։ Ուստի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսին։ Հետևաբար, թող ԳՀ-ի և Կ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար լինի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսուն։ Ուստի, ըստ փոխարկման, ինչպես ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ունի Կ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ հարաբերություն [Տեսություն [Պնդում 5.19 հետևանք| Պնդում 5.19 հետևանք]]։ Եվ ԱԲ-ն ունի ԲՑ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին նույնպես ունի Կ-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին որևէ քառակուսի թիվն ունի որևէ քառակուսի թվի նկատմամբ։ Ուստի ՖԳ-ն համաչափելի է երկարությամբ Կ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։ Հետևաբար ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսին ավելի մեծ է, քան ԳՀ-ի վրա կառուցված քառակուսին Կ-ի հետ երկարությամբ համաչափելի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով։ Եվ ՖԳ-ն և ԳՀ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով, և նրանցից ոչ մեկը համաչափելի չէ Ե-ի հետ։

Ուստի ՖՀ-ն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ [[Սահմանում 10.7| Սահմանում 10.7]]:†

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k1/2 (1+√1 − k′ 2). Սա և երրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը k1/2 (1 − √1 − k′ 2) [Տեսություն [Պնդում 10.87| Պնդում 10.87]], f x2 − 2 k1/2 x + k k′ 2 = 0 հավասարման արմատներն են:

== Տեսություն Պնդում 51 ==

Քանի որ ինչպես ԲԱ-ն է ԱՑ-ին հարաբերվում, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն ՖԳ-ի վրա կառուցված քառակուսուն, ավելին, ԲԱ-ն մեծ է ԱՑ-ից, ուրեմն քառակուսին ԵՖ-ի վրա մեծ է քառակուսուց ՖԳ-ի վրա։ Հետևաբար, թող ՖԳ-ի և Հ-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարը հավասար լինի ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուն։ Ուստի, ինչպես ԱԲ-ն է հարաբերում ԲՑ-ին, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսին է հարաբերում Հ-ի վրա գտնվող քառակուսուն։ Եվ ԱԲ-ն ԲՑ-ի հետ չունի այն հարաբերությունը, որը որևիցե քառակուսի թիվ ունի որևիցե այլ քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ԵՖ քառակուսին չունի այն հարաբերությունը, որը որևիցե քառակուսի թիվ ունի որևիցե քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ԵՖ-ն համաչափելի չէ Հ-ի հետ երկարությամբ։ Ուստի քառակուսին ԵՖ-ի վրա մեծ է ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուց այն քառակուսու չափով, որը գտնվում է մի ուղիղ գծի վրա, որը համաչափելի չէ ԵՖ-ի հետ երկարությամբ։ Եվ ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով։ Եվ ԵՖ-ն համաչափելի է Դ-ի հետ երկարությամբ։ Հետևաբար, ԵԳ-ն չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Սահմանում 10.8| Սահմանում 10.8]]:†։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k (1+1/√1 + k′). Սա և չորրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունըk (1 − 1/√1 + k′) [Տեսություն [Պնդում 10.8| Պնդում 10.8]], x2 − 2 k x + k2 k′/(1 + k′) = 0 հավասարման արմատներն են:

== Տեսություն Պնդում 52 ==

Թող ԱՑ և ՑԲ հատվածները տարվեն այնպես, որ ԱԲ-ն նրանցից որևէ մեկի հետ չունենա այն հարաբերությունը, որը որևիցե քառակուսի թիվ ունի որևիցե քառակուսի թվի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.38 լեմմա].։ Տանենք նաև Դ ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ։ Թող ԵՖ-ն երկարությամբ համաչափելի լինի Դ-ի հետ: Ուստի ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գիծ է։ Ենթադրենք ինչպես ԱՑ-ն է ԱԲ-ին հարաբերում, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսին է ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուն հարաբերում [Տեսություն [Պնդում 10.6 հետևանք]։ Եվ ԱՑ-նմ ԱԲ-ի հետ չունի այն հարաբերությունը, որը որևիցե քառակուսի թիվ ունի որևիցե քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսին ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ նույնպես չունի այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով [Տեսություն [Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]։ Ուստի ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն[Պնդում. 10.36| Պնդում. 10.36]]։ Ուրեմն, կարող ենք պնդել, որ այն նաև հինգերորդ բինոմիական ուղիղ գիծ է։Քանի որ ինչպես ԱՑ-ն հարաբերում է ԱԲ-ին, այնպես էլ ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսին է հարաբերում ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուն, համապատասխանաբար, ինչպես ԲԱ-ն ԱՑ-ին, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 5.7| Պնդում 5.7]]։ Ուստի ԳՖ-ի վրա գտնվող քառակուսին մեծ է ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուց [Տեսություն [Պնդում 5.14| Պնդում 5.14]]։ Հետևաբար, թող ԵՖ-ի և Հ-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարը հավասար լինի ԳՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուն։ Ուստի փոխակերպման միջոցով, ինչպես ԱԲ թիվը ՑԲ-ին, այնպես էլ ԳՖ-ի վրա գտնվող քառակուսին Հ-ի վրա գտնվող քառակուսուն է հարաբերում [Տեսություն [Պնդում 5.19| Պնդում 5.19]]։ Եվ ԱԲ-ն ՑԲ-ի հետ չունի այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուստի ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին Հ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ նույնպես չունի այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։Ուստի ՖԳ-ն համաչափելի չէ Հ-ի հետ երկարությամբ [Տեսություն[Պնդում. 10.9| Պնդում. 10.9]]։ Ուստի ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին մեծ է ԵՖ-ի վրա գտնվող քառակուսուց այն քառակուսու չափով, որը մի ուղիղ գծի վրա է, որը համաչափելի չէ ՖԳ-ի հետ երկարությամբ։ Եվ ԳՖ-ն և ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով։ Եվ ավելի փոքր կողմը` ԵՖ-ն համաչափելի է երկարությամբ այն ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, որը նախկինում տարվել էր Դ-ով†: Ուստի ԵԳ-ն հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k (√1 + k′ +1). Սա և հինգերորդ ապոտոմեն, որի երկարությունըk (√1 + k′ − 1) [Տեսություն [Պնդում 10.89| Պնդում 10.89]], x2 − 2 k√1 + k′ x + k2 k′ = 0 հավասարման արմատներն են:

== Տեսություն Պնդում 53 ==

Թող ԱՑ և ՑԲ թվերը դրվեն այնպես, որ ԱԲ-ը նրանցից յուրաքանչյուրի հետ չունենա այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Եվ թող Դ-ն նույնպես լինի ուրիշ թիվ, որը քառակուսի չէ և չունի ԲԱ-ի և ԱՑ-ի հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ [Տեսություն[Պնդում. 10.28, լեմմաI| Պնդում. 10.28, լեմմաI]]։ Նաև տանենք Ե ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ գիծ։ Ինչպես Դ-ն է ԱԲ-ի հարաբերում, այնպես էլ Ե-ի վրա գտնվող քառակուսին ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուն է հարաբերում [Տեսություն[Պնդում. 10.6, հետևանք| Պնդում. 10.6, հետևանք]]։ Ուրեմն, Ե-ի վրա գտնվող քառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ [Տեություն[Պնդում 10. 6 | Պնդում 10.6]]։ Եվ Ե-ն ռացիոնալ է։ Ուրեմն, ՖԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ Դ-ն ԱԲ-ի հետ չունի այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ, Ե-ի վրա գտնվող քառակուսին նույնպես չունի ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուրեմն, Ե-ն համաչափելի չէ երկարությամբ ՖԳ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։Կրկին ենթադրենք, որ ինչպես ԲԱ-ն է ԱՑ-ին հարաբերում, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսուն [Տեսություն[Պնդում. 10.6, հետևանք| Պնդում. 10.6, հետևանք]]։ Ուրեմն, ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին համաչափելի է ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ [Տեսություն [Պնդում 10.6| Պնդում 10.6]]։ ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսին ռացիոնալ է։ Ուրեմն, ԳՀ-ն ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ ԲԱ-ն ԱՑ-ի հետ չունի այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ, ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին նույնպես չունի ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուրեմն, ՖԳ-ն համաչափելի չէ երկարությամբ ԳՀ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։Ուրեմն, ՖԳ-ն և ԳՀ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով։ Ուրեմն, ՖՀ-ն երկբաղոդրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]։ Հետևաբար, մենք պետք է ցույց տանք, որ դա նաև վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն է։Քանի որ ինչպես Դ-ն է ԱԲ-ին հարաբերում, այնպես էլ Ե-ի վրա գտնվող քառակուսին ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուն, և ինչպես ԲԱ-ն է ԱՑ-ին, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսուն, ուստի, ըստ հավասարության, ինչպես Դ-ն է ԱՑ-ին հարաբերում, այնպես էլ Ե-ի վրա գտնվող քառակուսին ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 5.22| Պնդում 5.22]]։ Եվ Դ-ն չունի ԱՑ-ի հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուրեմն, Ե-ի վրա գտնվող քառակուսին նույնպես չունի ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուրեմն, Ե-ն համաչափելի չէ երկարությամբ ԳՀ-ի հետ [Տեսություն[Պնդում. 10.9| Պնդում. 10.9]]։ Եվ ցույց էր տրված, որ Ե-ն նույնպես համաչափելի չէ ՖԳ-ի հետ։ Ուրեմն, ՖԳ-ն և ԳՀ-ն երկուսն էլ երկարությամբ համաչափելի չեն Ե-ի հետ:Եվ քանի որ ինչպես ԲԱ-ն է ԱՑ-ին է հարաբերում, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսուն, ուրեմն, ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին մեծ է ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսուց [Տեսություն [Պնդում 5.14| Պնդում 5.14]]։ Հետևաբար, թող ԳՀ-ի և Կ-ի վրա գտնվող քառակուսիների գումարը հավասար լինի ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսուն։ Ուստի, ինչպես ԱԲ-ն է ԲՑ-ին հարաբերում, այնպես էլ ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին Կ-ի վրա գտնվող քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 5.19 հետևանք| Պնդում 5.19 հետևանք]]։ Եվ ԱԲ-ն չունի ԲՑ-ի հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուրեմն, ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին նույնպես չունի Կ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ այն հարաբերությունը, որը որևէ քառակուսի թիվ ունի որևէ քառակուսի թվի հետ։ Ուրեմն, ՖԳ-ն երկարությամբ համաչափելի չէ Կ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.9| Պնդում 10.9]]։ ՖԳ-ի վրա գտնվող քառակուսին մեծ է ԳՀ-ի վրա գտնվող քառակուսուց այն քառակուսու չափով, որը որևէ ուղիղ գծի վրա է և համաչափելի չէ ՖԳ-ի հետ երկարությամբ։ Եվ ՖԳ-ն և ԳՀ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով, և ոչ մեկը երկարությամբ համաչափելի չէ նախկինում տարված ռացիոնալ երկարությամբ ուղիղ գծին՝ Ե-ին։Ուրեմն, ՖՀ-ն վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն է [[Սահմանում 10.10| Սահմանում 10.10]]։† Ինչն էլ պահանջբում էր ցույց տալ:

†Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա վեցերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի √k + √k′: Սա և վեցերորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը √k −√k′ է [Տեսություն [Պնդում 10.90| Պնդում 10.90]], x2 − 2√k x + (k − k′) = 0. հավասարման արմատներն են:

Քանի որ ԴԲ-ն հավասար է ՖԲ-ին, և ԲԵ-ն հավասար է ԲԳ-ին, ուրեմն ամբողջ ԴԵ-ն հավասար է ամբողջ ՖԳ-ին։ Բայց ԴԵ-ն հավասար է թե՛ ԱՀ-ին, թե՛ ԿՑ-ին, իսկ ՖԳ-ն հավասար է թե՛ ԱԿ-ին, թե՛ ՀՑ-ին [Տեսություն [Պնդում 1.34| Պնդում 1.34]]։ Ուրեմն, ԱՀ-ն և ԿՑ-ն նույնպես համապատասխանաբար հավասար են ԱԿ-ին և ՀՑ-ին։ Ուստի զուգահեռագիծ ԱՑ-ն հավասարակողմ է։ Եվ (այն) նաև ուղղանկյուն է։ Ուրեմն, ԱՑ-ն քառակուսի է։Այսպիսով, ինչպես ՖԲ-ն է ԲԳ-ի հետ, այնպես էլ ԴԲ-ն է ԲԵ-ի հետ հարաբերում, ինչպես ՖԲ-ն է ԲԳ-ի հետ, այնպես էլ ԱԲ-ն է ԴԳ-ի հետ հարաբերում, և ինչպես ԴԲ-ն է ԲԵ-ի հետ, այնպես էլ ԴԳ-ն է ԲՑ-ի հետ հարաբերում [Տեսություն [Պնդում 6.1| Պնդում 6.1]], ուստի նույնպես ինչպես ԱԲ-ն է ԴԳ-ի հետ, այնպես էլ ԴԳ-ն է ԲՑ-ի հետ հարաբերում [Տեսություն 5[Պնդում 6.111 | Պնդում 6.1]]։ Ուրեմն, ԴԳ-ն միջին համեմատականն է ԱԲ-ի և ԲՑ-ի:

Այսպիսով, ինչպես ԱԴ-ն է ԴԿ-ի հետ, այնպես էլ ԿԳ-ն է ԳՑ-ի հետ հարաբերում։ Քանի որ նրանք համապատասխանաբար հավասար են։ Ավելին, ինչպես ԱԿ-ն է ԿԴ-ի հետ, այնպես էլ ԿՑ-ն է ԳՑ-ի հետ հարաբերում [Տեսություն [Պնդում 5.18| Պնդում 5.18]]։ Ինչպես ԱԿ-ն է ԿԴ-ի հետ, այնպես էլ ԱՑ-ն է ԴՑ-ի հետ հարաբերում, և ինչպես ԿՑ-ն է ԳՑ-ի հետ, այնպես էլ ԴՑ-ն է ԲՑ-ի հետ հարաբերում [Տեսություն [Պնդում 6.1| Պնդում 6.1]]։ Ուրեմն նույնպես ինչպես ԱՑ-ն է ԴՑ-ի հետ, այնպես էլ ԴՑ-ն է ԲՑ-ի հետ հարաբերում [Տեսություն [Պնդում 5.11| Պնդում 5.11]]։ Ուրեմն, ԴՑ-ն միջին համեմատականն է ԱՑ-ի և ԲՑ-ի: Որն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

== Տեսություն Պնդում 54 ==

Քանի որ ԱԴ-ն առաջին երկանդամ ուղիղ գիծ է, թող այն բաժանվի իր բաղադրիչ մասերի Ե կետում, և թող ԱԵ-ն լինի մեծ մասը: Պարզ է դառնում որ, ԱԵ-ն և ԵԴ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով, և որ ԱԵ-ի քառակուսին ավելի մեծ է, քան ԵԴ-ի քառակուսին, ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, որը համաչափելի է ԱԵ երկարության հետ, և որ ԱԵ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԱԲ ռացիոնալ ուղիղ գծի հետ, որը նախապես տարվել էր [[Սահմանում 10.5| Սահմանում 10.5]]: Այժմ թող ԵԴ-ն կիսվի F կետում: Եվ քանի որ ԱԵ-ի քառակուսին ավելի մեծ է, քան ԵԴ-ի քառակուսին, ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսով, որը համաչափելի է ԱԵ երկարության հետ, ապա եթե ուղղանկյունը հավասար է փոքր մասի քառորդին՝ այսինքն՝ ԵՖ-ին, (որը փոքր է ինչ-որ քառակուսով), դրված է մեծ մասի՝ ԱԵ-ի վրա, ապա այն բաժանում է այն համաչափելի մասերի [Տեսություն [Պնդում 10.17| Պնդում 10.17]]: Ուստի, թող ԱԳ և ԳԵ-ն պարունակող ուղղանկյունը, որը հավասար է ԵՖ քառակուսիին, դրվի ԱԵ-ի վրա: ԱԳ-ն ուստի երկարությամբ համաչափելի է ԳԵ-ի հետ: Եվ թող ԳՀ, ԵԿ, և ՖԼ գծերը դուրս գան Գ, Ե, Ֆ կետերից համապատասխանաբար, և լինեն ԱԲ կամ ՑԴ-ին զուգահեռ: Կառուցենք ՍՆ քառակուսին, որը հավասար է ԱՀ զուգահեռագծին, և ՆՔ քառակուսին, որը հավասար է ԳԿ զուգահեռագծին [Տեսություն [Պնդում 2.14| Պնդում 2.14]]: Եվ թող ՄՆ-ն տարվի այնպես, որ շարունակի ՆՕ-ին: ՌՆ-ն ուստի նույնպես շարունակում է ՆՊ-ին: Եվ թող ՍՔ զուգահեռագիծը լինի փակ: ՍՔ-ն ուստի քառակուսի է [Տեսություն [Պնդում 10.53 լեմմա| Պնդում 10.53 լեմմա]]: Եվ քանի որ ԱԳ և ԳԵ-ն պարունակող ուղղանկյունը հավասար է ԵՖ քառակուսուն, ապա ինչպես ԱԳ-ն՝ ԵՖ-ին, այնպես էլ ՖԵ-ն՝ ԵԳ-ին [Տեսություն [Պնդում 6.17 | Պնդում 6.17]]: Եվ այդ դեպքերում, ինչպես ԱՀ-ն՝ ԵԼ-ին, այնպես էլ ԵԼ-ն՝ ԿԳ-ին [Տեսություն [Պնդում 6.1| Պնդում 6.1]]: Ուստի, ԵԼ-ն ԱՀ-ի և ԳԿ-ի միջին համեմատականն է: Բայց ԱՀ-ն հավասար է ՍՆ-ին, իսկ ԳԿ-ն՝ ՆՔ-ին: ԵԼ-ն, ուրեմն, ՍՆ-ի և ՆՔ-ի միջին համեմատականն է: Եվ ՄՌ-ն նույնպես դրանց միջին համեմատականն է, այսինքն ՍՆ-ի և ՆՔ-ի [Տեսություն[Պնդում. 10.53 լեմմա| Պնդում. 10.53 լեմմա]]: ԵԼ-ն, ուրեմն, հավասար է ՄՌ-ին: Հետևաբար, այն նաև հավասար է ՊՕ-ին [Տեսություն[Պնդում. 1.43| Պնդում. 1.43]]: Եվ ԱՀ գումարած ԳԿ հավասար է ՍՆ-ին գումարած ՆՔ-ն: Ուստի, ԱՑ-ի ամբողջը հավասար է ՍՔ-ի ամբողջին՝ այսինքն ՄՕ-ի քառակուսու մակերեսին: Ուստի, ՄՕ-ն ԱՑ մակերեսի քառակուսի արմատն է: Կարող ենք պնդել, որ ՄՕ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է։ Քանի որ AGԱԳ-ն երկարությամբ համաչափ է GEԳԵ-ի հետ, AEԱԵ-ն նույնպես երկարությամբ համաչափ է AGԱԳ-ի և GEԳԵ-ի հետ [Պրոփ[Պնդում 10. 15 | Պնդում 10.15]]: Եվ AEԱԵ-ն ենթադրվել է, որ համաչափ է ABԱԲ-ի հետ: Ուստի AGԱԳ-ն և GEԳԵ-ն նույնպես երկարությամբ համաչափ են ABԱԲ-ի հետ [Պրոփ[Պնդում. 10.12 | Պնդում. 10.12]]: Իսկ ABԱԲ-ն ռացիոնալ է: Ուստի AGԱԳ-ն և GEԳԵ-ն նույնպես ռացիոնալ են: Հետևաբար, AHԱՀ-ն և GKԳԿ-ն նույնպես ռացիոնալ մակերեսներ են, և AHԱՀ-ն համաչափ է GKԳԿ-ի հետ [Պրոփ[Պնդում. 10.19 | Պնդում. 10.19]]: Բայց AHԱՀ-ն հավասար է SNՍՆ-ին, իսկ GKԳԿ-ն՝ NQՆՔ-ին: Ուստի SNՍՆ-ն ու NQՆՔ-ն, այսինքն՝ MNՄՆ-ի և NOՆՕ-ի (համապատասխանաբար) քառակուսիները, նույնպես ռացիոնալ են և համաչափ:Եվ քանի որ ԱԵ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ԵԴ-ի հետ, սակայն ԱԵ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԱԳ-ի հետ, իսկ ԴԵ-ն համաչափելի է ԵՖ-ի հետ, ապա ԱԳ-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափելի է ԵՖ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]: Հետևաբար, ԱՀ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԵԼ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.11| Պնդում 6.1, 10.11]]: Բայց ԱՀ-ն հավասար է ՍՆ-ին, իսկ ԵԼ-ն՝ ՄՌ-ին: Ուստի ՍՆ-ն նույնպես անհամաչափելի է ՄՌ-ի հետ: Բայց ինչպես ՍՆ-ն ՄՌ-ին, այնպես էլ ՊՆ-ն ՆՌ-ին [Տեսություն [Պնդում 6.1| Պնդում 6.1]]: Ուստի ՊՆ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՆՌ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.11| Պնդում 10.11]]: Եվ ՊՆ-ն հավասար է ՄՆ-ին, իսկ ՆՌ-ն՝ ՆՕ-ին: Ուստի ՄՆ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՆՕ-ի հետ: Իսկ ՄՆ-ի վրա գտնվող քառակուսին համաչափելի է ՆՕ-ի վրա գտնվող քառակուսու հետ, և երկուսն էլ ռացիոնալ են: Հետևաբար, ՄՆ-ն և ՆՕ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափ:Այսպիսով, ՄՕ-ն և՛ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]], և՛ ԱՑ-ի քառակուսի արմատը: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ապացուցել:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծը ունի միավոր երկարություն, ապա այս տեսության համաձայն, առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը ևս երկբաղաադրիչ ուղիղ գիծ է: Այն է, առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը ունի k + k√1 − k′ 2 երկարությունը, որի քառակուսի արմատը ρ (1 +√k′′)-ն է, որտեղρ = pk (1 + k′)/2 և k′′ = (1 − k′)/(1 + k′). Սա երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Տեսություն Պնդում 10.36), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

== Տեսություն Պնդում 55 ==

Քանի որ ԱԴ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է, թող այն բաժանված լինի դրան պատկանող մասերին Ե-ով, այնպես, որ ԱԵ-ն մեծ մասն է։ Այսպիսով, ԱԵ-ն և ԵԴ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով, և ԱԵ-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է ԵԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուց ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որն ԱԵ-ի հետ համաչափելի է, իսկ փոքր մասը՝ ԵԴ-ն, երկարությամբ համաչափելի է ԱԲ-ին [[Սահմանում 10.6| Սահմանում 10.6]]։ Կիսենք ԵԴ-ն Ֆ կետում։ Եվ թող ԱԳԵ-ով պարփակված ուղղանկյունը, որը հավասար է ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն, վերադրված լինի ԱԵ-ին և փոքր լինի դրանից ինչ-որ քառակուսի չափով: ԱԳ-ն, հետևաբար, երկարությամբ համաչափելի է ԳԵ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.17| Պնդում 10.17]]։ Եվ թող ԳՀ-ն, ԵԿ-ն և ՖԼ-ը գծված լինեն Գ-ից, Ե-ից և Ֆ-ից սկզբնակետերից համապատասխանաբար՝ զուգահեռ լինելով ԱԲ-ին և ՑԴ-ին։ Եվ թող կառուցված լինի ՍՆ քառակուսին, որը հավասար է ԱՀ զուգահեռագծին, և ՆՔ քառակուսին, որը հավասար է ԳԿ-ին։ Եվ թող ՄՆ-ն շարունակի ՆՕ-ին։ Հետևաբար, ՌՆ-ն նույնպես ծարունակում է ՆՊ-ին։ Եվ թող ՍՔ քառակուսին լինի փակ։ Այսպիսով, նախապես ապացուցված տեսությունից Պնդումից պարզ է դառնում [Տեսություն [Պնդում 10.53 լեմմա| Պնդում 10.53 լեմմա]] որ ՄՌ-ն միջին համեմատականն է ՍՆ-ի և ՆՔ-ի, և հավասար է ԵԼ-ին, իսկ ՄՕ-ն ԱՑ-ի քառակուսի արմատն է։ Այսպիսով, մենք պետք է ապացուցենք, որ ՄՕ-ն առաջին երկմիջային ուղիղ գիծ է։

Քանի որ ԱԵ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ԵԴ-ի հետ, իսկ ԵԴ-ն համաչափելի է երկարությամբ ԱԲ-ի հետ, հետևաբար ԱԵ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԱԲ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]։ Եվ քանի որ ԱԳ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԳԵ-ի հետ, ԱԵ-ն նույնպես երկարությամբ համաչափելի է ԱԳ-ի և ԳԵ-ի հետ Տեսություն [[Պնդում 10.15| Պնդում 10.15]]։ Բայց ԱԵ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ԱԲ-ի հետ։ Ուստի, ԱԳ-ն և ԳԵ-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափելի են ԱԲ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]։ Այսպիսով, ԲԱ-ն, ԱԳ-ն, և ԳԵ-ն զույգերով ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի: Եվ, հետևաբար, ԱՀ-ն և ԳԿ-ն միջնականներ են [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]։ Հետևաբար, ՍՆ-ն և ՆՔ-ն նույնպես միջնականներ են։ Ուստի, ՄՆ-ն և ՆՕ-ն միջնական ուղիղ գծեր են։ Եվ քանի որ ԱԳ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԳԵ-ի հետ, ԱՀ-ն նույնպես համաչափելի է ԳԿ-ի հետ, այն է` ՍՆ-ն ՆՔ-ի հետ, այն է ` ՄՆ-ի վրա կառուցված քառակուսուն ՆՕ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ [այդ իսկ պատճառով, ՄՆ-ն և ՆՕ-ն քառակուսով համաչափելի են] [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.1 | Պնդում 6.1, 10.11]]։ Եվ քանի որ ԱԵ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ԵԴ-ի հետ, բայց ԱԵ-ն համաչափելի է ԱԳ-ի հետ, իսկ ԵԴ-ն համաչափելի է ԵՖ-ի հետ, ԱԳ-ն, այսպիսով, անհամաչափելի է ԵՖ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]։ Հետևաբար, ԱՀ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԵԼ-ի հետ, այսինքն՝ ՍՆ-ն ՄՌ-ի հետ, այսինքն՝ ՊՆ-ն ՆՌ-ի հետ, այսինքն՝ ՄՆ-ն ՆՕ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.11| Պնդում 6.1, 10.11]]։ Բայց ՄՆ-ն և ՆՕ-ն արդեն ցույց է տրվել, որ միջնականներ են, որոնք քառակուսով համաչափելի են։ Ուստի, ՄՆ-ն և ՆՕ-ն միջնականներ են, որոնք քառակուսով են միայն համաչափելի: Ուստի դրանք ունեն ռացիոնալ մակերես։Քանի որ արդեն ենթադրել էինք, որ ԴԵ-ն համաչափելի է ԱԲ-ի և ԵՖ-ի հետ, ապա ԵՖ-ը նույնպես համաչափելի է ԵԿ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.12| Պնդում 10.12]]։ Եվ նրանք երկուսն էլ ռացիոնալ են։ Ուստի, ԵԼ-ն, այսինքն՝ ՄՌ-ն ևս, ռացիոնալ են [Տեսություն [Պնդում 10.19| Պնդում 10.19]]։ Եվ ՄՌ-ն ՄՆՕ-ով արտագծված ուղղանկյունն է։ Եվ եթե երկու միջնականները, որոնք քառակուսով են միայն համաչափելի և ունեն ռացիոնալ մակերես, գումարվեն իրար, ապա ամբողջը կլինի այն իռացիոնալ ուղիղ գիծը, որը կոչվում է առաջին երկմիջային ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.37| Պնդում 10.37]]։

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը հավասար է k/√1 − k′ 2 + k, որի քառակուսի արմատը կլինի ρ (k′′1/4 + k′′3/4), որտեղ ρ = p(k/2) (1 + k′)/(1 − k′) և k′′ = (1−k′)/(1+k′): Սա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես Տեսություն Պնդում 10.3), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

== Տեսություն Պնդում 56 ==

Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում։ Եվ քանի որ ԱԴ-ն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է, ԱԵ-ն և ԵԴ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի, և ԱԵ-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է ԵԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուց ինչ-որ ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, որը համաչափելի է երկարությամբ ԱԵ-ի հետ, և ոչ ԱԵ, ոչ էլ ԵԴ-ն համաչափելի չեն ԱԲ-ի հետ երկարությամբ [[Սահմանում 10.7 | Սահմանում 10.7]]։ Հետևաբար, ինչպես արդեն ապացուցել ենք, կարելի է ցույց տալ, որ ՄՕ-ն ԱՑ մակերեսի քառակուսի արմատն է, իսկ ՄՆ-ն և ՆՕ-ն միջինական ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի։ Հետևաբար, ՄՕ-ն երկմիջնորդ է։ Ապացուցենք, որ այն նաև երկրորդ երկմիջնորդ է։ Եվ քանի որ ԴԵ-ն ԱԲ-ի հետ համաչափելի չէ երկարությամբ՝ այսինքն նաև ԵԿ-ի հետ, բայց ԴԵ-ն համաչափելի է ԵՖ-ի հետ, ապա ԵՖ-ն ԵԿ-ի հետ համաչափելի չէ երկարությամբ [Տեսություն 10.13]։ Եվ երկուսն էլ ռացիոնալ ուղիղ գծեր են։ Ուստի, ՖԵ-ն և ԵԿ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսով են համաչափելի։ Այսպիսով, ԵԼ-ն, այսինքն՝ ՄՌ-ն ևս, միջինական է [Տեսություն 10.21]։ Այն արտագծված է ՄՆՕ-ով։ Ուստի, ՄՆՕ-ով արտագծված ուղղանկյունը միջինական է։Հետըաբար, ՄՕ-ն երկրորդ երկմիջնորդ ուղիղ գիծ է [Տեսություն 10.38]։ Ինչն էլ պահանջվում էր ցույց տալ:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի քառակուսի արմատը երկրորդ երկմիջնորդ ուղիղ գիծ է. այն է` երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը ունի k1/2 (1+√1 − k′ 2) երկարություն, որի քառակուսի արմատն է` ρ (k1/4 +k′′1/2/k1/4), որտեղ ρ = p(1 + k′)/2 և k′′ = k (1 − k′)/(1 + k′). Սա երկրորդ երկմիջնորդի երկարությունն էe(Տես Տեսություն Պնդում 10.38), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

== Տեսություն Պնդում 57 ==

Քանի որ ԱԴ ուղիղ գիծը չորրորդ երկբաղադրիչ է, ԱԵ-ն և ԵԴ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն իրենց քառակուսիներով, ԱԵ-ի վրա կառուցված քառակուսին մեծ է ԵԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուց՝ ԱԵ-ի հետ անհամաչափելի ուղիղ գծի վրա կառուցված քառակուսու չափով, և ԱԵ-ն համաչափելի է ԱԲ-ի հետ երկարությամբ [[Սահմանում 10.8| Սահմանում 10.8]]։ Թող ԴԵ-ն բաժանված լինի երկու հավասար մասի Ֆ-ով։ Եվ թող ԱԵ-ին կից ԱԳ-ով և ԳԵ-ով կառուցված զուգահեռագիծը, որը հավասար է ԵՖ-ի վրա կառուցված քառակուսուն (և փոթր է դրանից ինչ-որ քառակուսով)։ ԱԳ-ն, հետևաբար, անհամաչափելի է ԳԵ-ի հետ երկարությամբ [Տեսություն [Պնդում 10.18| Պնդում 10.18]]։ Թող ԳՀ, ԵԿև ՖԼ-ն տարված լինեն զուգահեռ ԱՆ-ին։ Եվ թող մնացած կառուցումը կատարվի նույն ձևով, ինչպես նախորդ առաջադրանքում։ Հետևաբար, պարզ է, որ ՄՕ-ն ԱՑ մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Հետևաբար, պետք է ցույց տալ, որ ՄՕ-ն այն իռացիոնալ ուղիղ գիծն է, որը կոչվում է առանցքային։

Քանի որ ԱԳ-ն անհամաչափելի է ԵԳ-ի հետ երկարությամբ, ապա ԱՀ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԳԿ-ի հետ, այսինքն՝ ՍՆ-ն անհամաչափելի է ՆՔ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.11| Պնդում 6.1, 10.11]]։ Ուստի, ՄՆ-ն ու ՆՕ-ն անհամաչափելի են քառակուսիներով։ Եվ քանի որ ԱԵ-ն համաչափելի է ԱԲ-ի հետ երկարությամբ, ապա ԱԿ-ն ռացիոնալ է [Տեսություն [Պնդում 10.19| Պնդում 10.19]]։ Եվ այն հավասար է ՄՆ և ՆՕ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին։ Ուստի, ՄՆ և ՆՕ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը նույնպես ռացիոնալ է։ Եվ քանի որ ԴԵ-ն անհամաչափ է ԱԲ-ի հետ երկարությամբ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]՝ այսինքն՝ ԵԿ-ի հետ, բայց ԴԵ-ն համաչափ է ԵՖ-ի հետ, ապա ԵՖ-ն անհամաչափ է եԿ-ի հետ երկարությամբ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]։ Ուստի, ԵԿ և ԵՖ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափ են միայն քառակուսիներով։ ԼԵ-ն՝ այսինքն՝ ՄՌ-ն ևս, միջնական է [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]։ Եվ այն կառուցված է ՄՆ և ՆՕ-ի մեջ։ ՄՆ-ի և ՆՕ-ի վրա կառուցված ուղղանկյունը միջնական է։ Եվ ՄՆ-ի և ՆՕ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, իսկ ՄՆ և ՆՕ-ն անհամաչափ են քառակուսիներով։ Եվ եթե երկու ուղղիղ գծեր որոնք անհամաչափ են քառակուսիներով, և դրանց քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, իսկ դրանցով պարունակվող ուղղանկյունը միջնական է, ապա նրանց գումարը իռացիոնալ ուղիղ գիծ է, որը կոչվում է առանցքային [Տեսություն [Պնդում 10.39| Պնդում 10.39]]։

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն ունի k (1 + 1/√1 + k′) երկարությունը, որի արմատը ρq[1 + k′′/(1 + k′′ 2)1/2]/2 + ρq[1 − k′′/(1 + k′′ 2)1/2]/2-ն է, որտեղ ρ = √k և k′′ 2 = k′, սա առանցքային ուղիղ գծի երկարությունն է (Տես ՏեսությունՊնդում. 10.39), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

== Տեսություն Պնդում 58 ==

Որպեսզի դա ցույց տրվի, հաշվի առնենք, որ քանի որ ԱԳ-ն անհամաչափելի է ԳԵ-ին երկարությամբ [Տեսություն [Պնդում 10.18 | Պնդում 10.18]], ԱՀ-ն նույնպես անհամաչափելի է ՀԵ-ի հետ։ Այսինքն՝ ՄՆ-ի քառակուսին անհամաչափելի է ՆՕ-ի քառակուսու հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.11 | Պնդում 6.1, 10.11]]։ Այսպիսով, ՄՆ-ն և ՆՕ-ն քառակուսիներով անհամաչափելի են։ Եվ քանի որ ԱԴ-ն հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է, իսկ ԵԴ-ն դրա փոքր հատվածն է, ԵԴ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԱԲ-ի հետ [[Սահմանում 10.9| Սահմանում 10.9]]։ Բայց քանի որ ԱԵ-ն անհամաչափելի է ԵԴ-ի հետ, ԱԲ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԱԵ-ի հետ [ԲԱ-ն ու ԱԵ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսիներով] [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]։ Այսպիսով, ԱԿ-ն՝ այնսինքն նաև ՄՆ-ն և ՆՕ-ի քառակուսիների գումարը, միջնական է [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]։ Եվ քանի որ ԴԵ-ն համաչափելի է ԱԲ-ի հետ՝ այսինքն նաև՝ ԵԿ-ի հետ, բայց ԴԵ-ն համաչափելի է ԵՖ-ի հետ, ԵՖ-ն նույնպես համաչափելի է ԵԿ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.12| Պնդում 10.12]]։ Եվ ԵԿ-ն ռացիոնալ է։ Այսպիսով, ԵԼ-ն՝ այսինքն նաև՝ ՄՌ-ն՝ այսինքն՝ ՄՆՕ -ից դուրս եկող ճառագայթը, նույնպես ռացիոնալ է [Տեսություն [Պնդում 10.19| Պնդում 10.19]]։ ՄՆ-ն և ՆՕ-ն այսպիսով քառակուսիներով անհամաչափելի են, որի արդյունքում դրանցով կառուցված քառակուսիների գումարը միջնական է դառնում, իսկ նրանցով կազմված փակ ուղղանկյունը` ռացիոնալ։Այսպիսով, MO-ն ռացիոնալ թվի քառակուսի արմատի և միջնականի գումար է [Տեսություն [Պնդում 10.40| Պնդում 10.40]]։ Եվ ԱՑ մակերեսի քառակուսի արմատն է։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ապացուցել:

† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա, այս տեսության համաձայն` հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի արմատը հավասար է ռացիոնալ թվի արմատի և միջնականի գումարին, այն է, հինգերորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը k (√1 + k′ + 1) է, որի արմատը ρq[(1 + k′′ 2)1/2 + k′′]/[2 (1 + k′′ 2)] + ρq[(1 + k′′ 2)1/2 − k′′]/[2 (1 + k′′ 2)]-ն է, որտեղ ρ = pk (1 + k′′ 2) և k′′ 2 = k, սա ռացիոնալ թվի արմատի և միջնականի գումարն է (Տես ՏեսությունՊնդում. 10.40), քանի որ ρ-ն ռացիոնալ է:

== Տեսություն Պնդում 59 ==

Տանենք արդեն ցույց տրված երկրաչափական պատկերը: Այսպիսով, ակնհայտ է, որ ՄՕ-ն ԱՑ-ի քառակուսի արմատն է, իսկ ՄՆ-ն քառակուսով անհամաչափելի է ՆՕ-ի հետ: Եվ քանի որ ԵԱ-ն անհամաչափելի է երկարությամբ ԱԲ-ի հետ [[Սահմանում 10.10| Սահմանում 10.10]], ԵՍ-ն և ԱԲ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք քառակուսիներով համաչափելի են: Այսպիսով, ԱԿ-ն, այսինքն ՄՆ-ի և ՆՕ-ի քառակուսիների գումարը, միջնական է [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]: Կրկին, քանի որ ԵԴ-ն անհամաչափելի է երկարությամբ ԱԲ-ի հետ [[Սահմանում 10.10| Սահմանում 10.10]], ՖԵ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԵԿ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]: Այսպիսով, ՖԵ-ն և ԵԿ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք քառակուսիներով համաչափելի են: Այսպիսով, ԵԼ-ն, այսինքն ՄՌ-ն, այսինքն ՄՆՕ-ով կառուցված ուղղանկյունը միջնական է [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]: Եվ քանի որ ԱԵ-ն անհամաչափելի է երկարությամբ ԵՖ-ի հետ, ԱԿ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԵԼ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.11| Պնդում 6.1, 10.11]]: Բայց ԱԿ-ն ՄՆ-ի և ՆՕ-ի քառակուսիների գումարն է, իսկ ԵԼ-ն ՄՆՕ-ի պարունակած ուղղանկյունն է: Այսպիսով, ՄՆՕ-ի քառակուսիների գումարը անհամաչափելի է ՄՆՕ-ի պարունակած ուղղանկյան հետ: Եվ դրանցից յուրաքանչյուրը միջնական է: Իսկ ՄՆ-ն և ՆՕ-ն քառակուսիներով անհամաչափելի են:

Այսպիսով, ՄՕ-ն երկու միջնականների գումարի քառակուսի արմատն է [Տեսություն [Պնդում 10.41| Պնդում 10.41]]: Եվ այն ԱՑ-ի քառակուսի արմատն է: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ապացուցել:

k1/4 „q[1 + k′′/(1 + k′′ 2)1/2]/2 +q[1 − k′′/(1 + k′′ 2)1/2]/2«, where k′′ 2 = (k −k′)/k′ . Սա երկու միջնականների գումարի քառակուսի արմատն է (Տես Տեսություն Պնդում 10.41:

Թող ԱԲ գիծը բաժանված լինի երկու հավասար մասերի Դ կետում։ Ուստի, քանի որ ուղիղ գիծը Դ կետում բաժանված է հավասար մասերի, իսկ Ց կետում՝ անհավասար մասերի, ապա ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան գումարը ՑԴ-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ հավասար է ԱԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 2.5| Պնդում 2.5]]։ Ուստի, ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյունը փոքր է ԱԴ-ի վրա կառուցված քառակուսուց։ Ուստի, ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկը փոքր է ԱԴ-ի վրա կառուցված քառակուսու կրկնապատիկից։ Բայց ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը հավասար է ԱԴ-ի և ԴՑ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարի կրկնապատիկից [Տեսություն[Պնդում, 2.9| Պնդում, 2.9]]։ Ուստի, ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված քառակուսիների գումարը մեծ է ԱՑ-ի և ՑԲ-ի վրա կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկից։ Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

== Տեսություն Պնդում 60 ==

Թող ԱԲ-ն լինի երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ, որը բաժանված է իր բաղադրիչ մասերի Ց-ում, այնպես, որ ԱՑ-ն լինի մեծը: Տանենք ԴԵ-ն այնպես, որ լինի ռացիոնալ ուղիղ գիծ: Եվ թող ԴԵՖԳ ուղղանկոյւնը, որը հավասար է ԱԲ-ի քառակուսուն, տեղադրվի ԴԵ-ի վրա, և դրա լայնությունը լինի ԴԳ-ն: Կարող ենք պնդել, որ ԴԳ-ն առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է: Դրա համար, թող ԴՀ-ն, որը հավասար է ԱՑ-ի քառակուսուն, և ԿԼ-ն, որը հավասար է ԲՑ-ի քառակուսուն, տեղադրվեն ԴԵ-ի վրա: Ուստի մնացածը` ԱՑ և ՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկը, հավասար է ՄՖ-ին [Տեսություն [Պնդում 2.4| Պնդում 2.4]]: Կիսենք ՄԳ-ն Ն կետով, և թող ՆՕ-ն լինի ՄԼ-ին և ԳՖ-ին զուգահեռ։ ՄՕ-ն և ՆՖ-ն, հետևաբար, յուրաքանչյուրը հավասար է ԱՑԲ-ով կազմված ուղղանկյանը: Եվ քանի որ ԱԲ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է, որը բաժանվել է իր բաղադրիչ անդամներին Ց-ում, ԱՑ-ն և ՑԲ-ն, հետևաբար, ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիները ռացիոնալ են և իրար հետ համաչափելի են: Եվ հետևաբար, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է [Տեսություն [Պնդում 10.15| Պնդում 10.15]], և հավասար է ԴԼ-ին: Ուստի ԴԼ-ն ռացիոնալ է: Եվ այն վերադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ԴԵ-ի վրա: ԴՄ-ն հետևաբար ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.20| Պնդում 10.20]]: Եվ կրկին, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ն ռացիոնալ են (ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի), ԱՑ և ՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկը, այսինքն՝ ՄՖ-ն, հետևաբար, միջնական է [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]: Եվ այն տեղադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ՄԼ-ի վրա: ՄԳ-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԼ-ի հետ՝ այսինքն՝ ԴԵ-ի հետ նույնպես [Տեսություն [Պնդում 10.22| Պնդում 10.22]]: Իսկ ՄԴ-ն նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ համաչափելի է ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴՄ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]: Եվ դրանք ռացիոնալ են: ԴՄ և ՄԳ ուղիղ գծերը, հետևաբար, ռացիոնալ են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի: Ուստի, ԴԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

Քանի որ ԱՑԲ-ով կազմված ուղղանկյունը միջին հարաբերակցությունն է ԱՑ-ի և ՑԲ-ի քառակուսիների միջև [Տեսություն [Պնդում 10.53 լեմմա| Պնդում 10.53 լեմմա]], ապա ՄՕ-ն նույնպես միջին հարաբերակցությունն է ԴՀ-ի և ԿԼ-ի միջև: Ուստի, ինչպես ԴՀ-ն է ՄՕ-ին համեմատական, այնպես էլ ՄՕ-ն է ԿԼ-ին համեմատական, այսինքն՝ ինչպես ԴԿ-ն է ՄՆ-ին համեմատական, այնպես էլ ՄՆ-ն է ՄԿ-ին համեմատական [Տեսություն [Պնդում 6.1| Պնդում 6.1]]: Ուստի, ԴԿ և ՄԿ-ով կազմված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն [Տեսություն [Պնդում 6.17| Պնդում 6.17]]: Եվ քանի որ ԱՑ-ի քառակուսին համաչափելի է ՑԲ-ի քառակուսու հետ, ԴՀ-ն նույնպես համաչափելի է ԿԼ-ի հետ: Հետևաբար, ԴԿ-ն նույնպես համաչափելի է ՄԿ-ի հետ [Տեսություններ [Պնդումներ 6.1, 10.11| Պնդումներ 6.1, 10.11]]: Եվ քանի որ ԱՑ-ի և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը մեծ է, քան ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկը [Տեսություն [Պնդում 10.59 լեմմա| Պնդում 10.59 լեմմա]], ԴԼ-ն, հետևաբար, նույնպես մեծ է ՄՖ-ից: Հետևաբար, ԴՄ-ն նույնպես մեծ է ՄԳ-ից [Տեսություններ [Պնդումներ 6.1, 5.14| Պնդումներ 6.1, 5.14]]: Եվ ԴԿ և ՄԿ-ով կազմված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն, այսինքն՝ ՄԳ-ի քառակուսու քառորդին: Եվ ԴԿ-ն համաչափելի է ՄԿ-ի հետ: Եվ եթե երկու անհավասար ուղիղ գծեր կան, և դրանցից փոքրագույնի վրա տեղադրված է ուղղանկյուն, որը հավասար է քառակուսու չորրորդ մասին, որն ընկնում է փոքրագույնի վրա և քառակուսով անհամաչափելի է, ապա ավելի մեծի վրա տեղադրված այս ուղղանկյունը բաժանում է այպիսի մասերի որոնց երկարությունները համաչափելի են, ապա ավելի մեծի քառակուսին մեծ է, փոքրի քառակուսուց՝ փոքր մասի վրա տեղադրված ուղղանկյան քառակուսի չափով, որը համաչափելի է ավելի մեծի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.17| Պնդում 10.17]]: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց՝ ինչ-որ ուղիղ գծի քառակուսով, որը համաչափելի է ԴՄ-ի հետ: ԴՄ-ն և ՄԳ-ն ռացիոնալ են: Եվ ԴՄ-ն, որն ավելի մեծ է, երկարությամբ համաչափելի է նախկինում տարված ռացիոնալ ուղիղ գծի՝ ԴԵ-ի հետ:

Հետևաբար ԴԳ-ն առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Սահմանում 10.5| Սահմանում 10.5]]. Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

† Այլ կերպ ասած` երկբաղադրիչի քառակուսի արմատը առաջին երկբաղադրիչ է; Տես Տեսություն Պնդում 10.54:

== Տեսություն Պնդում 61 ==

Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում: Եվ քանի որ ԱԲ-ն առաջին երկմիջին ուղիղ գիծ է, որը բաժանված է Ց-ում, ԱՑ-ն և ՑԲ-ն, հետևաբար, միջնական ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի, և ստեղծում են ռացիոնալ մակերես [Տեսություն [Պնդում 10.37| Պնդում 10.37]]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիները նույնպես միջնական են [Տեսություն [Պնդում 10.21| Պնդում 10.21]]: Եվ ԴԼ-ն միջնական է [Տեսություններ [Պնդումներ 10.15, 10.23 հետևանք| Պնդումներ 10.15, 10.23 հետևանք]]: Եվ այն վերադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ԴԵ-ի վրա: ԴՄ-ն, հետևաբար, ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.22 | Պնդում 10.22]]: Եվ կրկին, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկը ռացիոնալ է, ՄՖ-ն նույնպես ռացիոնալ է: Եվ այն վերադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ՄԼ-ի վրա: Ուստի, ՄԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է ՄԼ-ի հետ՝ այսինքն՝ ԴԵ-ի հետ ևս [Տեսություն [Պնդում 10.20| Պնդում 10.20]]: ԴՄ-ն, հետևաբար, երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]: Եվ դրանք ռացիոնալ են: ԴՄ և ՄԳ ուղիղ գծերը, հետևաբար, ռացիոնալ են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի: ԴԳ-ն, հետևաբար, երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]: Ուստի, պետք է ցույց տրվի, որ այն նաև երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:

Քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը մեծ է ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյան կրկնապատիկից [Տեսություն [Պնդում 10.59| Պնդում 10.59]], ԴԼ-ն, հետևաբար, նույնպես մեծ է ՄՖ-ից: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես մեծ է ՄԳ-ից [Տեսություն [Պնդում 6.1| Պնդում 6.1]]: Եվ քանի որ ԱՑ-ի քառակուսին համաչափելի է ՑԲ-ի քառակուսու հետ, ԴՀ-ն նույնպես համաչափելի է ԿԼ-ի հետ: Ուստի, ԴԿ-ն երկարությամբ համաչափելի է ԿՄ-ի հետ [Տեսություններ [Պնդումներ 6.1, 10.11| Պնդումներ 6.1, 10.11]]: Եվ ԴԿՄ-ով կազմված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց այնքանով, որքանով մի ուղիղ գիծը, որը երկարությամբ համաչափ է ԴՄ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.17| Պնդում 10.17]]: Եվ ՄԳ-ն երկարությամբ համաչափ է ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴԳ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Սահմանում 10.6| Սահմանում 10.6]]:

† Այլ կերպ ասած` առաջին երկբաղադրիչի քառակուսի արմատը երկրորդ երկբաղադրիչ է; Տես Տեսություն Պնդում 10.55:

== Տեսություն Պնդում 62 ==

Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում: Քանի որ ԱԲ-ն երկրորդ երկմիջին ուղիղ գիծ է, որը բաժանված է Ց-ում, ԱՑ-ն և ՑԲ-ն, հետևաբար, միջնական ուղիղ գծեր են, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի և ստեղծում են միջնական մակերես [Տեսություն [Պնդում 10.38 | Պնդում 10.38]]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը նույնպես միջական է [Տեսություն [Պնդում 10.15, 10.23 հետևանք| Պնդում 10.15, 10.23 հետևանք]]: Եվ այն հավասար է ԴԼ-ին: Ուստի, ԴԼ-ն նույնպես միջական է: Եվ այն տեղադրված է ռացիոնալ ուղիղ գծի ԴԵ-ի վրա: ԴՄ-ն, հետևաբար, նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ անհամաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.22| Պնդում 10.22]]: Այսպես, նույն պատճառով, ՄԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԼ-ի հետ՝ այսինքն՝ ԴԵ-ի հետ նույնպես: Ուստի, ԴՄ-ն և ՄԳ-ն ռացիոնալ են, և երկարությամբ անհամաչափելի են ԴԵ-ի հետ: Եվ քանի որ ԱՑ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՑԲ-ի հետ, և ինչպես ԱՑ-ն է ՑԲ-ի հետ, այնպես էլ ԱՑ-ի քառակուսին՝ ԱՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.21 հետևանք| Պնդում 10.21 հետևանք]], ԱՑ-ի քառակուսին նույնպես անհամաչափելի է ԱՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյան կրկնապատիկի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.11| Պնդում 10.11]]: Ուստի, ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը անհամաչափելի է ԱՑԲ-ով կառուցված ուղղանկյանի կրկնապատիկի հետ, այսինքն՝ ԴԼ-ն ՄՖ-ի հետ ևս [Տեսություն [Պնդում 10.12, 10.13| Պնդում 10.12, 10.13]]: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.11 | Պնդում 6.1, 10.11]]: Եվ դրանք ռացիոնալ են: ԴԳ-ն, հետևաբար, երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ) է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]: Ուրեմն] մենք պետք է ցույց տանք, որ այն նաև երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:

Ինչպես նախորդ տեսություններումՊնդումներում, այստեղ ևս կարող ենք եզրակացնել, որ ԴՄ-ն մեծ է ՄԳ-ից, և ԴԿ-ն համաչափելի է երկարությամբ ԿՄ-ի հետ: Իսկ ԴԿՄ-ով կառուցված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց՝ ինչ-որ ուղիղ գծի քառակուսով, որը համաչափելի է երկարությամբ ԴՄ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.17| Պնդում 10.17]]: Եվ ոչ ԴՄ-ն, ոչ էլ ՄԳ-ն համաչափելի չեն երկարությամբ ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴԳ-ն երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Պնդում10.Տեսություն107 | Պնդում10.7]]: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

† Այլ կերպ ասած` երկրորդ երկբաղադրիչի քառակուսի արմատը երրորդ երկբաղադրիչ է; Տես Տեսություն Պնդում 10.56:

== Տեսություն Պնդում 63 ==

Ստանանք նույն երկրաչափական պատկերը, ինչպես նախորդ դեպքում: Եվ քանի որ ԱԲ-ն առանցքային ուղիղ գիծ է, որը բաժանվել է Ց-ում, ԱՑ և ՑԲ ուղիղ գծերը անհամաչափելի են քառակուսիներով, ինչը նշանակում է, որ դրանց քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, և դրանցով կազմված ուղղանկյունը միջնական է [Տեսություն [Պնդում 10.39| Պնդում 10.39]]: Ուստի, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ի քառակուսիների գումարը ռացիոնալ է, ԴԼ-ն ևս ռացիոնալ է: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես ռացիոնալ է և երկարությամբ համաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.20| Պնդում 10.20]]: Կրկին, քանի որ ԱՑ և ՑԲ-ով կազմված ուղղանկյանի կրկնապատիկը, այսինքն՝ ՄՖ-ն, միջնական է և այն կիրառվում է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ՄԼ-ի վրա, ՄԳ-ն նույնպես ռացիոնալ է, և երկարությամբ անհամաչափելի է ԴԵ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.22| Պնդում 10.22]]: Ուստի, ԴՄ-ն նույնպես երկարությամբ անհամաչափելի է ՄԳ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.13| Պնդում 10.13]]: ԴՄ-ն և ՄԳ-ն, հետևաբար, ռացիոնալ են, և միայն քառակուսիներով են համաչափելի: Ուստի, ԴԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն [Պնդում 10.36| Պնդում 10.36]]. Ուրեմն պետք է ցույց տանք, որ այն նաև չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:

Ուստի, նախորդ տեսությունների Պնդումների նման, մենք կարող ենք ցույց տալ, որ ԴՄ-ն մեծ է ՄԳ-ից, և որ ԴԿՄ-ով կազմված ուղղանկյունը հավասար է ՄՆ-ի քառակուսուն: Հետևաբար, քանի որ ԱՑ-ի քառակուսին անհամաչափելի է ՑԲ-ի քառակուսու հետ, ԴՀ-ն նույնպես անհամաչափելի է ԿԼ-ի հետ: Այդպիսով, ԴԿ-ն նույնպես անհամաչափելի է ՔՄ-ի հետ [Տեսություն [Պնդում 6.1, 10.1 | Պնդում 6.1, 10.11]]: Եվ եթե կան երկու անհավասար ուղիղ գծեր, և ուղղանկյուն, որը հավասար է փոքրագույնի քառակուսու չորրորդ մասին, որը պակասում է քառակուսի պատկերով, վերադրվում է մեծագույնի վրա և բաժանում այն անհամաչափելի մասերի, ապա մեծագույնի քառակուսին կլինի փոքրագույնի քառակուսուց մեծ ավելի քան ինչ-որ ուղիղ գծի քառակուսով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է մեծագույնի հետ [Տեսություն [Պնդում 10.18| Պնդում 10.18]]: Ուստի, ԴՄ-ի քառակուսին ավելի մեծ է ՄԳ-ի քառակուսուց, ինչ-որ ուղիղ գծի չափով, որը երկարությամբ անհամաչափելի է ԴՄ-ի հետ: Եվ ԴՄ-ն և ՄԳ-ն ռացիոնալ են (ուղիղ գծեր, որոնք միայն քառակուսիներով են համաչափելի): ԴՄ-ն երկարությամբ համաչափելի է ռացիոնալ ուղիղ գծի` ԴԵ-ի հետ: Ուստի, ԴԳ-ն չորրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [Տեսություն[Պնդում. 10.8| Պնդում. 10.8]]: Ինչն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:

† Այլ կերպ ասած`, առանցքային գծի վրա կառուցված քառակուսին չորրորդ երկմիջին է; Տես Տեսություն Պնդում 10.57.