† Այլ կերպ ասած` <math> s, \cdot \frac{q\left[\sqrt{1 + k2)1/k^2 } + k\right]/[}{2 (1 + k2k^2)] } +\frac{q\left[(\sqrt{1 + k2)1/k^2 − } - k\right]/[}{2 (1 + k2k^2)] } = \frac{q\left[(\sqrt{1 + k′2)1/k'^2 } + k′k'\right]/[}{2 (1 + k′2k'^2)]} +\frac{q\left[(\sqrt{1 + k′2)1/k'^2 − k′} - k'\right]/[}{2 (1 + k′2k'^2)] } </math> ունի միայն մեկ արմատ, այն է: k′ = k.
† Այլ կերպ ասած, k′1<math> k'^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 + \frac{k/(}{\sqrt{1 + k2)1/k^2}}\right]/}{2 } + k′1k'^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 − - \frac{k/(}{\sqrt{1 + k2)1/k^2}}\right]/}{2 } = k′′′1k'''^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 + k′′/(\frac{k''}{\sqrt{1 + k′′2)1/k''^2}}\right]/}{2} +k′′′1k'''^{1/4q4} \cdot \frac{q \left[1 − k′′/(- \frac{k''}{\sqrt{1 + k′′2)1/k''^2}}\right]}{2}. </2 math> ունի միայն մեկ արմատ, այն է, k′′ = k և k′′′ = k′.
Առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծը գտնելու համար:
Տանենք ԱՑ և ՑԲ երկարություններով հատվածներն այնպես, որ դրանց ԱԲ գումարը ԲՑ-ի նկատմամբ ունենա այնպիսի հարաբերություն ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ, բայց չունենա CAՑԱ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն, ինչպիսին (որևէ) քառակուսի թիվ ունի (մեկ այլ) քառակուսի թվի նկատմամբ [[Պնդում 10.28, լեմմա I | Պնդում 10.28, լեմմա I]]: Նաև տանենք ռացիոնալ երկարությամբ Դ ուղիղ գիծը: Բացի այդ, ԵՖ-ն երկարոթյամբ համաչափելի է Դ-ին: Ուստի ԵՖ-ը նույնպես ռացիոնալ է [[Սահմանում 10.3 | Սահմանում 10.3]]։ Եվ թող սահմանվի, որ այնպես ինչպես ԲԱ-ն է հարաբերվում ԱՑ-ին, նույն կերպ էլ ԵՖ-ի քառակուսին ՖԳ-ի քառակուսուն [[Պնդում 10.6 հետևանք | Պնդում 10.6 հետևանք ]]: ԵՎ ԱԲ-ն ԱՑ-ի հետ ունի այն նույն հարաբերությունը, ինչը ինչ-որ թիվ ունի մեկ այլ թվի հետ: Այսպիսով, ԵՖ քառակուսին ՖԳ քառակուսու նկատմամբ ունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի թիվ ունի մյուսի նկատմամբ: Հետևաբար ԵՖ-ով կազմված թառակուսին համաչափելի է ՖԳ-ով կառուցված քառակուսուն [[Պնդում 10.6 | Պնդում 10.6]]։ Նաև ԵՖ-ն ռացիոնալ է: հետևաբար ՖԳ-ն ևս ռացիոնալ է: Եվ քանի որ ԲԱ-ն ԱՑ-ի նկատմամբ չունի այն նույն հարաբերությունը ինչ մի քառակուսի ունի մյուսի նկատմամբ, հետևաբար ԵՖ քառակուսին չունի ՖԳ-ի նկատմամբ այնպիսի հարաբերություն ինչպես մի քառակուսին մյուսի նկատմամբ ունի ևս: Հետևաբար ԵՖ-ն երկարությամբ անհամաչափելի է ՖԳ-ին [[Պնդում 10.9 | Պնդում 10.9]]։ Ստացվում է, որ ԵՖ-ն և ՖԳ-ն ռացիոնալ ուղիղ գծեր են, որոնք համաչափելի են միայն քառակուսով: Հետևաբար ԵԳ-ն երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է [[Պնդում 10.36 | Պնդում 10.36]]։ Այն է, դա նաև առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գիծ է:
[[Պատկեր:48.png]]
†Եթե ռացիոնաI ուղիղն ունի միավոր երկարություն, ապա առաջին երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> k + k√1 − k′ k\sqrt{1 - k'^2: Սա և } </math> դա առաջին ապոտոմենապոտոմենն է, որի երկարությունն է է՝ <math> k - k\sqrt{1 - k − k√1 − k′ '^2 }. </math> [[Պնդում 10.85 | Պնդում 10.85]], հետևյալ x2 − <math> x^2 k x - 2kx + k2 k′ k^2k'^2 = 0 . </math> հավասարման արմատներն են։
Ուստի, ԵԳ-ն երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գիծն է [[Սահմանում 10.6 | Սահմանում 10.6]]։† Որն էլ հենց պահանջվում էր ցույց տալ:
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երկրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի <math> \frac{k/√1 − k′ }{\sqrt{1 - k'^2 }} + k. </math> Սա և երկրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը <math> \frac{k/√1 − k′² − }{\sqrt{1 - k '^2}} - k. </math> է [[Պնդում 10.86 | Պնդում 10.86]], x² − <math> x^2 - \left(\frac{2k/√1 − k′²}{\sqrt{1 - k'^2}}\right)x + k²k^2\left[k′²/(\frac{k'^2}{1 − k′²)- k'^2}\right] = 0 . </math> հավասարման արմատներն են։
† Եթե ռացիոնալ ուղիղ գիծն ունի միավոր երկարություն, ապա երրորդ երկբաղադրիչ ուղիղ գծի երկարությունը կլինի k1<math> k^{1/2 } \left(1+√1 − k′ \sqrt{1 - k'^2}\right). </math>. Սա և երրորդ ապոտոմեն, որի երկարությունը k1<math> k^{1/2 } \left(1 − √1 − k′ - \sqrt{1 - k'^2}\right) . </math> [[Պնդում 10.87 | Պնդում 10.87]], <math> f x2 − x^2 k1- 2k^{1/2 } x + k k′ k'^2 = 0 . </math> հավասարման արմատներն են: