[[Պատկեր:104.png|center|350px]]
Թող AB-ն լինի միջինական ապոտոմե, և թող CD-ն լինի երկարությամբ համաչափ AB-ի հետ։ Ասում եմ, որ CD-ն նույնպես միջինական ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն։
Քանի որ AB-ն միջինական ապոտոմե է, թող EB-ն լինի կցորդ դրան։ Այսպիսով, AE-ն և EB-ն միջինական (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [[#Պնդում 10|Պնդում 10.74]], [[#Պնդում 10|Պնդում 10.75]]։ Եվ թող այնպես լինի, որ ինչպես AB-ն է CD-ի նկատմամբ, այնպես էլ BE-ն լինի DF-ի նկատմամբ [[#Պնդում 6|Պնդում 6.12]]։ Այսպիսով, AE-ն նույնպես համաչափ է CF-ի հետ, և BE-ն՝ DF-ի հետ [[#Պնդում 5|Պնդում 5.12]], [[#Պնդում 10|Պնդում 10.11]]։
Քանի որ ABԵվ AE-ն միջինական ապոտոմե է, թող և EB-ն լինի կցորդ դրան։ Այսպիսովմիջինական (ուղիղ գծեր են, AEորոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ CF-ն և EBFD-ն նույնպես միջինական (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.7423]], [[#Պնդում 10|Պնդում 10.7513]]։ Եվ թող այնպես լինիՈւստի, որ ինչպես ABCD-ն միջինական ապոտոմե է CD-ի նկատմամբ[[#Պնդում 10|Պնդում 10.74]], այնպես էլ BE-ն լինի DF-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 6[#Պնդում 10|Պնդում 10.1275]]։ ԱյսպիսովԱսում եմ, AE-ն որ այն նույնպես համաչափ նույն կարգի է CF-ի հետ, և BEինչ AB-ն՝ DF-ի հետ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12, 10.11]։ն։
Եվ Քանի որ ինչպես AE-ն և է EB-ն միջինական (ուղիղ գծեր ենի նկատմամբ, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով։ այնպես էլ CF-ն և է FD-ն նույնպես միջինական (ուղիղ գծեր են, որոնք) համաչափ են միայն քառակուսիներով ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 10[#Պնդում 5|Պնդում 5.2312]], 10[[#Պնդում 5|Պնդում 5.1316]]։ Ուստի, CDև ինչպես AE-ն միջինական ապոտոմե է EB-ի նկատմամբ, այնպես էլ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է AE-ի և EB-ի ուղղանկյան նկատմամբ, և ինչպես CF-ն է FD-ի նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի վրա կառուցված քառակուսին է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10.74, |Պնդում 10.7521-ի լեմմա]]։ Ասում եմ, որ այն նույնպես նույն կարգի է, ինչ AB-ն։
Քանի որ ինչպես AE-ն է EB-ի նկատմամբԵվ, այնպես էլ CF-ն է FD-ի նկատմամբ [Տե՛ս "Տարրեր" 5.12այլընտրանքով, 5.16], և ինչպես AE-ն ի վրա կառուցված քառակուսին է EBCF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է AE-ի և EB-ի ուղղանկյան նկատմամբ, և ինչպես ուղղանկյունը է CF-ն է ի և FD-ի նկատմամբ, այնպես էլ CFուղղանկյան նկատմամբ։ Եվ AE-ի վրա կառուցված construակցված քառակուսին համաչափ է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ, ապա ինչպես AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է քառակուսու հետ։ Ուստի, AE-ի և EB-ի ուղղանկյան նկատմամբ, այնպես էլ CF-ի վրա կառուցված քառակուսին ուղղանկյունը նույնպես համաչափ է CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ հետ [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 5|Պնդում 5.16]], [[#Պնդում 10|Պնդում 10.21-ի լեմմա11]]։
ԵվՈւստի, այլընտրանքով, ինչպես AE-ի վրա կառուցված քառակուսին է CF-ի վրա կառուցված քառակուսու նկատմամբ, այնպես էլ կամ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը ռացիոնալ է , և CF-ի և FD-ի ուղղանկյան նկատմամբ։ Եվ AEուղղանկյունը նույնպես ռացիոնալ կլինի [[#Պնդում 10|Պնդում 10.4-ի վրա կառուցված քառակուսին համաչափ է CF-ի վրա կառուցված քառակուսու հետ։ Ուստիսահմանում]], կամ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը նույնպես համաչափ միջինական է , և CF-ի և FD-ի ուղղանկյան հետ ուղղանկյունը նույնպես միջինական կլինի [Տե՛ս "Տարրեր" 5.16, [#Պնդում 10|Պնդում 10.1123-ի եզրակացություն]]։
Ուստի, կամ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը ռացիոնալ է, և CF-ի և FD-ի ուղղանկյունը նույնպես ռացիոնալ կլինի [Տե՛ս "Տարրեր" 10.4-ի սահմանում], կամ AE-ի և EB-ի ուղղանկյունը միջինական է, և CF-ի և FD-ի ուղղանկյունը նույնպես միջինական կլինի [Տե՛ս "Տարրեր" 10.23-ի եզրակացություն]։ Ուստի, CD-ն միջինական ապոտոմե է և նույն կարգի է, ինչ AB-ն [Տե՛ս "Տարրեր" [#Պնդում 10|Պնդում 10.74]], [[#Պնդում 10|Պնդում 10.75]]։ Սա այն էր, ինչ անհրաժեշտ էր ապացուցել։
==Պնդում 105==
